來自于《思考的樂趣-Matrix67數學筆記》第一部分第2節的一條小題

題目：

我的書桌有8個抽屜，分別用數字1到8編號。每次拿到一份文件后，我都會把這份文件隨機的放在一個抽屜中。但是我非常粗心，有1/5的概率會忘了把文件放進抽屜里，最終把文件搞丟。現在我要找一份非常重要的文件。我將按順序打開每一個抽屜，直到找到這份文件為止（或者很悲劇的發現，翻遍了所有抽屜都沒能找到這份文件）。考慮下面三個問題。(1) 假如我打開了第一個抽屜，發現里面沒有我要的文件。這份文件在其余的7個抽屜里的概率是多少？(2) 假如我翻遍了前4個抽屜，里面都沒有我要的文件。這份文件在剩下的4個抽屜里的概率是多少？(3) 假如我翻遍了前7個抽屜，里面都沒有我要的文件。這份文件在最后一個抽屜里的概率是多少？

這實際上是道很簡單的題目，只是慚愧，大學里學的概率已經全部還給老師，第一遍看題目愣是沒解出來。第二遍看題目時才發現M牛在第1節提到貝葉斯定理的用意。

以第(1)個問題為例

解：

設事件A：在第一個抽屜沒有找到文件

設事件B：在其余的7個抽屜中找到文件

則所求概率為P(B|A)

根據貝葉斯公式，可得P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A)

對于P(A|B)，當事件B發生時，事件A發生的概率顯然為1

對于P(B)，可得P(B) = (1 - 1/5)·(7/8) = 7/10

對于P(A)，可得P(A) = 1 - (1- 1/5)·(1/8) = 9/10

代入各值，可得P(B|A) = (7/10) / (9/10) = 7/9

解畢

M牛在書中給出的一個巧妙解法是這樣的。

注意到，平均每10份文件就有兩份被搞丟，其余8份平均地分給了8個抽屜。假如我把所有搞丟了的文件都找了回來，那么它們應該還占2個抽屜。這讓我們想到了這樣一個有趣的思路：在這8個抽屜后加上2個虛擬抽屜——抽屜9和抽屜10，這兩個抽屜專門用來裝我丟掉的文件。我們甚至可以把題目等價地變為：隨機把文件放在10個抽屜里，但找文件時不允許打開最后2個抽屜。當我已經找過n個抽屜但仍沒找到我想要的文件時，文件只能在剩下的10-n個抽屜里，但是我只能打開剩下的8-n個抽屜，因此所有的概率是(8 - n)/(10 - n)。當n分別等于1、4、7時，這個概率值分別是7/9、2/3和1/3。

然后來看下如何從普通的解法轉到(8 - n)/(10 - n)這個結論。

從基本的解法中可發現，對于此題中的事件A、B，有P(A|B)恒等于1。因此，實際上當文件不在前n個抽屜中時，文件在后(抽屜總數-n)個抽屜中的概率就為(文件在后(抽屜總數 - n)個抽屜中的概率 除以 文件不在前n個抽屜中的概率)

考慮文件不在前n個抽屜中的概率，可得P(文件不在前n個抽屜中) = 1 - P(文件不丟失)·(n / 抽屜總數)

考慮文件在后(抽屜總數 - n)個抽屜中的概率，可得P(文件在后(抽屜總數 - n)個抽屜中) = P(文件不丟失)·(抽屜總數 - n) / 抽屜總數

則總體概率為P(B|A) = P(文件不丟失)·(抽屜總數 - n) / (抽屜總數 - P(文件不丟失)·n)

代入P(文件不丟失) = 4/5， 抽屜總數 = 8，可得

總體概率P = (4/5)·(8 - n) / (8 - 4·n / 5) = (8 - n) / (10 - n)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的找东西背后的概率问题——From《思考的乐趣 Martix67数学笔记》的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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