概率統計（在更）

• 一：
• 二：
• 三：
• 四：隨機變量+分布
• • 1.隨機變量+分布函數
  • 2.離散型隨機變量:
  • 3.連續型隨機變量
  • 4.
• 五：
• 六：
• 七：隨機變量的數字特征
• • (一)數學期望+中位數
  • (二)方差+標準差
  • (三)協方差+相關系數
  • (四)切比雪夫不等式+大數律
  • (五)中心極限定理

參考：工程數學 概率統計簡明教程（第二版）同濟大學數學系編

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一：

二：

三：

四：隨機變量+分布

1.隨機變量+分布函數

1.隨機變量：隨機+變量 ——> 將隨機事件結果存入到變量中

例子：

1.題目描述：在系統{m個紅球+n個白球}中，隨機取一球，觀察該球的顏色是什么。
步驟：
1.明確隨機事件的結果：一個球的顏色（一個顏色）
所以得出該試驗的樣本空間:{紅 紅 紅...(共n個)；白 白 白...(共n個)}
2.我們可以這樣數量化隨機事件結果類型：
——0：結果抽到一個紅球
——1：結果抽到一個白球
3.定義一個變量X，去存放上面的0和1，也就是X=0，1
4.重新表示隨機事件：
——p(X=0) = p(抽到白球)
——p(X=1) = p(抽到紅球)
注意：新手不要把X=1的形式看作是一個數值，而應看作是一個隨機事件，當遇到P(X≥x) 的形式，應該把X≥x看成一個事件的集合，即很多個事件的組合！

2.隨機變量的分布函數：

拿一個函數來用作分布函數：F(x)∈【0，1】，其中，x∈R
其中：F(x)=p(X≤x)，
也就是說，F(x)的值其實就是一堆事件的概率。
之所以稱為“分布函數”，是因為需要將概率P(X)映射到二維坐標中
即X≤x 的事件的確定取決于自變量x，其中x經常以X的值進行劃分區間

例子：

題目：設X= -1，2，3，且可求出p(X=-1)=1/6；p(X=2)=1/2；p(X=3)=1/3; 求X的分布函數：
步驟：
1.用X對x劃分3+1個區間：x<-1 ; -1≤x<2 ; 2≤x<3 ; x≥3
2.當x<-1 時 ：F(x)=p(X≤x)=0（不可能事件）
3.當-1≤x<2 時 ：F(x)=p(X≤x)=p(X=-1)
4.當 2≤x<3 時 ：F(x)=p(X≤x)=p(X=-1)+p(X=2)
5.當 x≥3 時 ：F(x)=p(X≤x)=1（必然事件）
6.用大括號表示分布函數即可。

鞏固：

如果已知F(x)，讓你求p(a<X≤b):
步驟：
1.解讀：我們知道a<X≤b表示一個范圍內的事件（事件集合），
2.所以，如果你做這樣的假設：{a<X≤b} + {X≤a} = {X≤b} 是成立的。你可以畫一個數軸鑒定一下。
那為這么要做這樣的假設？因為我們的分布函數需要X≤b
那么：p(a<X≤b) = p(X≤b) - p(X≤a)
3.由畫分布函數圖我們可以看得出來：p(X≤b) = F(b)
所以答案就是：p(a<X≤b) = p(X≤b) - p(X≤a) =F(b) - F(a)

2.離散型隨機變量:

像上面的形式，就是離散型變量，即X的取值是斷點，而不是一整個區間。所以離散型隨機變量其實我們就講完了。
下面補充2個知識點：

1.通常我們用一個表來表示X和P的值（X的分布律）：

Xx1x2…xn

P	p1	p2	…	pn

其中，概率p的總和=1，這個方程也會有用，畢竟是一個方程。
2.常用的離散分布模型：

1. 泊松分布：公式百度
2. 0-1分布：你懂的
3.二項分布：最常用—— 記作：X~B(n,p)，公式百度
4.幾何分布：百度
5.超幾何分布：百度

3.連續型隨機變量

引言：

還記得這個求法嗎：當 2≤x<3 時 ：F(x)=p(X≤x)=p(X=-1)+p(X=2)
此時，X是點值。
即：需要把區間【2，3】內所有的X事件的概率加起來。這時，

因為X的數值是離散的，所以對應的概率也是離散的，所以需要一個一個加。
但如果X的取值是連續的呢？不再是一個點值，而是一個區間，那么，此時X取點值的概率就等于0。為什么呢？因為你在連續的世界使用離散，就相當于不可能事件，所以概率為0。后面就需要使用微積分的知識了。

補充微積分小知識：

學過微積分的你，至少要明白：
求微分：本質上就是求原函數的導數
求積分：本質上就是求導數的原函數
定積分用來求和，它表示求每一小塊面積：高f(x)·寬△x，并加起來
并記住它的形式：
$${\int }_{下限}^{上限}f(x)dx.$$
當下限是常數，但上限是變量x（已默認：上限>下限），那么這個定積分將是不固定的。也就是它由一個值變成了一個函數：
$$令F(x)={\int }_{下限}^{x}f(t)dt.$$
每當上限的值一改變，那么這個定積分就對應改變。所以說，原本定積分本來只是一個值（累加的一個結果），但是，當你把上限變成一個變量（下限固定為常數），那么這就不再是一個定積分，而是一個函數(即一個集合)。
——————————————————
上面所說的這個新的函數非常重要（記為F(x)），因為它跟被積函數f(x)有關系：F(x)' = f(x), （x∈（下限，x的最大值））
你沒看錯，就是導數關系

別跑題了——>連續型隨機變量：

通過上面的了解，我們做下面幾個約定：
1.如果F(x)是一個隨機變量的分布函數，即：F(x)=P(X≤x) ∈[0,1]
2.那么$$F^{\prime }(x)={（{\int }_{下限}^{x}f(t)dt）}^{\prime }=f(x).$$
此時，稱：f(x)也就是導數為隨機變量X的概率密度函數（簡稱：密度函數）
新手可能會混亂的區別：
1.$${\int }_{常數下限}^{x}f(t)dt）=？$$
2.$$F(x)=?$$
3.$$f(x)=?$$
自己從上面找答案并區別開。

有什么用：

從上面我們看得出來：
$$F(x)=P(X\le x)={\int }_{下限}^{x}F(x{)}^{\prime }dt={\int }_{下限}^{x}f(x)dt.$$
$$F(a)=P(X\le a)={\int }_{下限}^{a}F(x{)}^{\prime }dt={\int }_{下限}^{a}f(x)dt.$$
$$F(b)=P(X\le b)={\int }_{下限}^{b}F(x{)}^{\prime }dt={\int }_{下限}^{b}f(x)dt.$$
所以，引入密度函數f(x)其實是用來求分布函數F(x)的。
下面重復幾個前面初略涉及過的結論：
1.F(x)=P(X≤x),因為所以概率P總和=1，所以所有的F(x)的值加起來是1

$$即：{\int }_{?\infty }^{+\infty }F(x{)}^{\prime }dt={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)dt=1.$$
2.密度函數f(x)可以看作是一個個概率，因為它的積分是所有概率之和。
——所以f(x)必須≥0
3.因為：p(a<X≤b) = p(X≤b) - p(X≤a) =F(b) - F(a)
$$所以：p(a<X\le b))={\int }_{下限}^{b}f(x)dt?{\int }_{下限}^{a}f(x)dt.$$ $$所以：p(a<X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dt.$$
好好結合上面的介紹，相信不難看懂！

4.

五：

六：

七：隨機變量的數字特征

(一)數學期望+中位數

Xx1x2…

P	p1	p2	…

(二)方差+標準差

(三)協方差+相關系數

(四)切比雪夫不等式+大數律

(五)中心極限定理

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【概率统计】（在更）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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