? 今天在一個OJ上做了一個Joseph Problem（解約瑟夫問題）的題，題目不難，直接用循環鏈表模擬實際操作即可完成，但是用此種方法的時間太長，超時，所以我就用了一個大家對這類問題比較常用的解法——數學方法。

問題再現：

題目內容： 實作Joseph problem. 假設一開始有N個人，編號1~N， 按照順序以順時針圍成一個圓圈。 游戲開始時，編號1的人拿刀。 之后每一輪刀子會被往下傳M個人， 而當輪最后拿到刀子的人會將他的下一個人殺掉， 殺完后刀子會再傳給被殺的下一個人。 這樣一輪就算結束。 游戲會進行許多輪，直到只剩下最后一個人。范例1：N=5, M=2 第一輪：刀子傳給3號，4號被殺，刀子再傳給5號 (1 2 3 5) 第二輪：刀子傳給2號，3號被殺，刀子再傳給5號 (1 2 5) 第三輪：刀子傳給2號，5號被殺，刀子再傳給1號 (1 2) 第四輪：刀子傳給1號，2號被殺，最后1號存活。 范例2：N=4, M=3 第一輪：刀子傳給4號，1號被殺，刀子再傳給2號 (2 3 4) 第二輪：刀子傳給2號，3號被殺，刀子再傳給4號 (2 4) 第三輪：刀子傳給2號，4號被殺，最后2號存活。輸入格式: 輸入第一行為一個數字T，代表測資的筆數。 接下來會有T筆測資，每一筆測資一行， 會有兩個數字N,M，數字間以空格區隔。 數字范圍： T < 1000 0 < N <= 1000 0 < M <= 1000輸出格式： 輸出一行數字，將每筆測資最后存活下來的人的編號加總。輸入樣例： 3 5 2 4 3 8 4輸出樣例： 4 時間限制：1000ms內存限制：32000kb

算法實現：

• 循環鏈表（真實模擬）算法

第一點想到的實現算法就是完全模擬問題中的方法進行算法設計，代碼如下：

#include <stdio.h>int arrQ[1000]; //循環隊列，此處用固定值 int Qcount, head, tail; //隊列操作 void add(int x, int size){if(Qcount == 0){arrQ[0] = x;}else{tail = (tail + 1) % size;arrQ[tail] = x;}Qcount ++; }void del(int size){head = (head + 1) % size;Qcount --; }int main(){int T, N, M, sum = 0;int i, j, k, tmp;scanf("%d", &T);for(i = 0; i < T; i ++){scanf("%d", &N);scanf("%d", &M);Qcount = head = tail = 0;for(j = 0; j < N; j ++){ //初始隊列 add(j + 1, N);}while(Qcount != 1){ //直到剩下最后一個人 for(k = 0; k <= M; k ++){ //根據題意 執行M+1次操作 tmp = arrQ[head];del(N);add(tmp, N);}del(N);}sum += arrQ[head]; }printf("%d", sum);return 0; } 此算法雖然很容易理解，但是時間復雜度是O(nm)，執行大隊列時會超時。

• 數學推導進行求解

這里先拿一個經典的例子進行說明。

問題:有n個人站成環 從1開始報數,報k的人出列,之后下一個人報1,問最后存在的是誰?

這里設n = 11，k = 3。下面將處理的所有過程寫下來。

最后存在的是7。

這里可以用 f(n, k)來描述每一輪的操作，n是當前隊列中的人數，k是出列的人，f(n,k) = (f(n - 1,k) + k) % n，下面來實現。

最底端是 f(1,k) ?f(1,k) = 0 就是說只有一個人的時候存在者的下標是0，編號是7

向上，f(2,k) = (f(1,k) + k) % n ?= ?f(2,3)=(f(1,3) + 3) % 2 = 3 % 2 = 1，在只剩兩個人時，存在者在這一輪數組中的下標位置是1（下標位置為1 編號是7 ）

向上，f(3,3) = (f(2,3) + 3) % 3 = 4 % 3 = 1，在只剩三個人時 在存者在這一輪數組中的下標位置是1 （下標位置為1 編號是7）
向上，f(4,3) = (f(3,3) + 3) % 4 = 4 % 4 = 0
……

……

最后，f(11,3) = (f(10,3) + 3) % 11 = 6 % 11 = 6 ?(看看上面的表格第一行 下標位置為6 編號是7 )

在只剩三個人時 幸存者在這一輪數組中的下標位置是0 ?(看看上面的表格 下標位置為0 編號是7 )

通過上述很容易寫出程序來：

int fn(int n,int k){int s = 0; //最后存在者的下標 for(int i=2;i<=n;i++) {s = (s + k) % i;}return s + 1; //因為是從數組下標是從0開始的，所以這里要加1 }

好了，經典問題說完后，來看一下我們這個題，把這種數學推導出來的公式移植到程序中，如下：

#include <stdio.h>int main() {int N, M, T, sum = 0;int i, s;scanf("%d", &T);while(T--) {scanf("%d %d", &N, &M);s = 0;for(i = 2; i <= N; i ++){s = (s + M + 2) % i; //因為題目中要求是從當前位置的M個位置的下一個人出列，所以這里要加2 }sum += s+1;}printf ("%d", sum);return 0; }

這里的時間復雜度是O(n)，所以完勝。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Joseph Problem（解约瑟夫问题）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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