文章目錄

• 第四問
• • 第一理解
  • 第二理解
• 第五問
• 第六問
• • PageRank 算法
  • 應用 PageRank
  • J 和 N 設置消防站后
  • 逐年建立消防站（失敗的嘗試）
  • 改進方案
• 代碼與提問

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第一題到第三題鏈接

第四問

題目是找出不同區域，相關性最高的事件。我們首先整理出事件類型-事件發生密度表格，如下所示：

什么是相關性，我覺得有兩個理解：

相關性是否指：事件對區域而言呢？也就是找出，該區域某事件發生的密度，在其他區域時，發生密度相差很大的事件，可否如此理解？

相關性是否指：事件-事件呢？也就是，不同區域，事件 A 和事件 B 的相關性最大，找出 A 和 B 呢？

第一理解

對于第一個理解，可以沿著上表的行，求出事件的方差，方差最大的那個，就是啦。求出方差如下：

于是，事件 7 是不同區域相關性最大的。

第二理解

第二個理解，沿著行，求出數據的相關性矩陣，找出最大的那個相關性，對應的兩個事件，就是啦。

計算偏相關矩陣（使用Pearson相關系數），偏相關系數可以刪除其他因素的影響，所以使用偏相關系數：

從上圖可以找出，事件 3 和 事件 7 在不同區域的相關性最高。

第五問

找出人口密度和事件密度的關系，首先就得統計出數據咯：

其中事件密度是根據 16-20 年的總數據算出來的。

如何找出關系呢？還記得問題二的方法嗎？

我們首先畫出數據：

大致可以猜測出，人口密度越大，事件密度（16-20年）越大。

采用第二問的一元回歸方法，用線性函數去擬合數據，可得：

我們可以用 R 方來評價模型的效果，計算出模型的 R 方為：0.9996，可見模型的效果很好。

于是，人口密度和事件密度（16-20）：$y=0.4116x?0.02374$

第六問

第六問是：

目前該地有兩個消防站，分別位于區域J和區域N，請依據附件1和附件2，綜合考慮各種因素，建立數學模型，確定如果新建1個消防站，應該建在哪個區域？如果在2021-2029年每隔3年新建1個消防站，則應依次建在哪些區域？

從第四問可知，由于人口密度和事件密度呈現線性關系，且是正相關，所以我們只需要考慮人口密度即可。

先看第一問：該地已經有兩個消防站，另一個消防站該建在哪里？

我們不妨先考慮簡單的：如果沒有消防站，那么消防站應該建在哪里？

若沒有消防站，那么，我們可以用谷歌的網頁排行算法來解決這個問題。具體是：

把每一個節點看成網頁

把邊看成是網頁到網頁的鏈接，邊的權重視為鏈接的權重

把人口密度視為網頁的權重

于是：就可以搜索出最重要的網頁，也就是，最重要的節點！

那么，邊的權重，以及網頁的權重，該如何設置呢？

首先得來看看 PageRank 算法的原理：

PageRank 算法

PageRank 算法要求每一個節點的權重之和是 1，權重是為了模擬每個網頁被點擊的概率（所有網頁被點擊的概率當然是 1）

PageRank 算法要求每一個節點，散發出的所有邊，的權重之和，為 1。

然后，PageRank 的算法如下（篇幅原因，就用專業的語言描述吧）：

設每一個節點的權重為 $N_i$，$i$ 是節點編號，為了方便，就即為 $\{1,2,?,n\}$，$n$ 為節點的數量；若 $i$, $j$ 存在邊，記邊的權重為 $w_{ij}$。設收斂標準為：tol，最大迭代步長為：T，當前步長為：t，設權重傳遞時的損失參數為 $\alpha$算法如下：

---

$$\begin{array}{rl}& initial{N}_i(0)\\ & t=0\\ & \text{for???}\text{i???in???}n:\\ & \text{????????for???}\text{j???in???}{w}_i:\\ & \text{????????????????????}{N}_j(t+1)+=\alpha ?N_i(t)?w_{ij}\\ & if\text{????}t\le T:\\ & \text{????????}break\\ & while\sum |N_i(t?1)?N_i(t)|\le tol\end{array}$$

應用 PageRank

如何應用呢？

首先如何將節點設置為總和為 1？我認為直接將人口密度進行標準化即可。

如何將某節點的邊，設置為總和為 1？

當兩個點的距離越大時，應該賦予一個較大的權重。因為距離越遠，意味著越需要消防站。因此，如某點到 1，2, 3 的距離為 40,50,10，則權重分別為 0.4, 0.5, 0.1；

帶入 PageRank 算法，可得結果如下：

因此，當沒有消防站時，最重要的節點是 D。此時應該在 D 中設置消防站。從這個結果來看，還算是比較合理，畢竟 D 節點鏈接的邊最多，而且人口密度也比較多：

J 和 N 設置消防站后

沒有設置消防站是，我們用人口密度的標準化，作為節點的權重。

在 J 和 N 設置消防站后，只需要將 J 和 N 的權重設置為 0 即可（或負數，意味著其鏈接的點的權重也會在迭代過程中下降），這里設置為負數也即，標準化后，J 和 N 的權重為 $ n(w)/15$。其中 $n(w)$ 為該節點的邊數。

之所以設置為 $?2/15$，是因為圖的節點總數為 15 個，而我們認為一個消防站所起到的撲滅功能，頂的上平均意義上的 $n(w)$ 個節點權重。當然，這個數值的設置有主觀性，it depends。

此時依舊使用 PageRank 算法，可得：

逐年建立消防站（失敗的嘗試）

因為不知道人口密度的變化，所以按照我們的理論，這是一個靜態模型。2021 到 2029 一共 9 年，三年一次，迭代三次。按照上述算法，迭代三次即可：

在運行代碼時，我們發現連續三次都需要在 I 中設置消防站，這明顯是不合理的。究其原因，就是因為負數在迭代過程中，對周圍的線條的影響，超出了我們主觀上的預估。

但筆者在將有消防站的節點的權重，設置為 0 時，則出現下面的情況：

改進方案

本文所講解的 PageRank 是最簡單形式。實際上還有許多復雜的算法。對于設置了消防站的節點，我們可以將其視為懸浮節點，也即對所有節點都看成有鏈接，且鏈接是單向的，并根據距離，設置單獨地權重。

至于如何實現，就要看大家啦！

代碼與提問

若需要代碼，請點贊，關注、私信、說明題目和年份

如果有其他問題，請到評論區留言，私信提問，概不回答。也在此鼓勵大家獨立思考。

本人不會回訪，不互關，不互吹，以及謝絕諸如此類事

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021 年 五一数学建模比赛 B 题（第四问至第六问）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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