求素数: 一般线性筛法 + 快速线性筛法
From: http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550
素數總是一個比較常涉及到的內容，掌握求素數的方法是一項基本功。
基本原則就是題目如果只需要判斷少量數字是否為素數，直接枚舉因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。
如果需要判斷的次數較多，則先用下面介紹的辦法預處理。
?一般的線性篩法
首先先介紹一般的線性篩法求素數
[cpp] view plaincopyprint?這種方法比較好理解，初始時，假設全部都是素數，當找到一個素數時，顯然這個素數乘上另外一個數之后都是合數(注意上面的 i*i ,? 比 i*2 要快點 )，把這些合數都篩掉，即算法名字的由來。
但仔細分析能發現，這種方法會造成重復篩除合數，影響效率。比如10，在i=2的時候，k=2*15篩了一次；在i=5，k=5*6 的時候又篩了一次。所以，也就有了快速線性篩法。
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快速線性篩法
快速線性篩法沒有冗余，不會重復篩除一個數，所以“幾乎”是線性的，雖然從代碼上分析，時間復雜度并不是O(n)。先上代碼
[cpp] view plaincopyprint?
首先，先明確一個條件，任何合數都能表示成一系列素數的積。
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不管 i 是否是素數，都會執行到“關鍵處1”，
①如果 i 都是是素數的話，那簡單，一個大的素數 i 乘以不大于 i 的素數，這樣篩除的數跟之前的是不會重復的。篩出的數都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之間不相等
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②如果 i 是合數，此時 i 可以表示成遞增素數相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素數（2<=i<=n），? pi<=pj? ( i<=j )
p1是最小的系數。
根據“關鍵處2”的定義，當p1==prime[j] 的時候，篩除就終止了，也就是說，只能篩出不大于p1的質數*i。
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我們可以直觀地舉個例子。i=2*3*5
此時能篩除 2*i ,不能篩除 3*i
如果能篩除3*i 的話，當 i' 等于 i'=3*3*5 時，篩除2*i' 就和前面重復了。
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需要證明的東西：
根據上面紅字的條件，現在分析一個數會不會被重復篩除。
設這個數為 x=p1*p2*...*pn, pi都是素數（1<=i<=n)? ,? pi<=pj ( i<=j )
當 i = 2 時，就是上面①的情況，
當 i >2 時， 就是上面②的情況， 對于 i ，第一個能滿足篩除 x 的數? y 必然為 y=p2*p3...*pn（p2可以與p1相等或不等），而且滿足條件的 y 有且只有一個。所以不會重復刪除。
證明合數肯定會被干掉？ 用歸納法吧。
?類比一個模型，比如說我們要找出 n 中2個不同的數的所有組合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,
我們會這么寫
for (i=1; i<n; ++i )
? for (j=i+1; j<=n; ++j)
?? {
??? /
?? }
我們取 j=i+1 便能保證組合不會重復。快速篩法大概也是這個道理，不過這里比較難理解，沒那么直觀。
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1樓提供的方法，我整理下
//偶數顯然不行，所以先去掉偶數。可以看作上面第一種的優化吧。
//不過這種方法不太直觀，不太好理解。
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[cpp] view plaincopyprint?擴展閱讀
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以上完整源碼(a.cpp)
/*功能: 求[0, 20000)間的所有素數, 假設內存空間足夠環境: Linux C++編譯: g++ -o a a.cpp -Wall -Os總結: 這兩種算法在性能上差距不是很大, 當N個數較少時, 還是"一般線性篩選法"速度更快,但是當N較大時, 快速線性篩選法的優勢更加明顯 */ #include <stdio.h> #include <string.h>#define N 20000// 一般線性篩選法: 會出現重復篩選同一個數 void make_prime(int primes[], int& cnt) {bool bPrime[N]; // 質數標志數組cnt = 0; // 素數個數memset(bPrime, true, sizeof(bPrime));// 假設全是素數bPrime[0] = false; // 0: 非素數bPrime[1] = false; // 1: 非素數for (int i = 2; i < N; i++){if (bPrime[i]) // i是素數{primes[cnt++] = i; // 將素數i保存到bPrimes[]中// 作篩選: i的倍數都不是素數for (int k = i * i; k < N; k += i) // 將素數i的倍數全置為非素數標志bPrime[k] = false;}} }// 快速線性篩選法: 不會出現重復篩選同一個數 void getPrimes(int primes[], int& cnt) {bool bPrime[N]; // 素數標志數組cnt = 0; // 素數個數memset(bPrime, true, sizeof(bPrime)); // 假設全部為素數bPrime[0] = false; // 0: 非素數bPrime[1] = false; // 1: 非素數for(int i = 2; i < N; i++){if(bPrime[i]) // i是素數primes[cnt++] = i; // 保存素數i// 作篩選: i與素數的乘積都不是素數for(int j = 0; j < cnt && i * primes[j] < N; j++){bPrime[i * primes[j]] = false; // 置非素數標志if(i % primes[j] == 0) // i為素數的倍數break;}} }int main() {int primes[N]; // 保存所有素數int cnt = 0; // 素數個數#if 1make_prime(primes, cnt); // 調用一般線性篩選法 #elsegetPrimes(primes, cnt); // 調用快速線性篩選法 #endiffor(int i = 0; i < cnt; i++)printf("primes[%d] = %d\n", i, primes[i]);printf("\n素數個數cnt=%d\n", cnt);return 0; }
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的求素数: 一般线性筛法 + 快速线性筛法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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