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目錄

• 問題描述
• 思路
• 代碼（解法一）
• 代碼（解法二）
• 牛頓迭代法公式解析
• 相關內容
• 其他

問題描述

求平方根（牛頓迭代法），公式如下：
$$x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2$$

輸入：a
輸出：$\sqrt{a}$

思路

初步思路: 把問題具像化——求正方形邊長

正方形： $邊{長}^2=面積$ ，$邊長=\sqrt{面積}$
所以問題可轉化為求面積為 $a$ 的正方形的邊長 $x$。

問：不開根號，怎么求正方形邊長？
答：猜一個 $x$，看是不是正方形，然后繼續猜。

繼續猜怎么猜？用公式：

$$x_{new}=(x+a/x)/2$$
即，$${長}_{新}=(長+寬)/2$$

判斷當前長、寬是否接近：

|$x?$$\frac{a}{x}$| < $?$???? 或???? ｜$x_{new}?x$｜< $?$

（設$?$=0.001 或其他數，控制精度）

不斷用公式猜（更新），則長、寬會越來越接近，形狀越來越像正方形，即 $x_{new}$ 會逐漸趨近于$\sqrt{a}$。

如，求8的平方根：

我們知道$\sqrt{8}$是一個無理數 $\approx 2.8284271247462...$，會一直計算下去。而設置了精度$?$，就可以知道什么時候停止計算，認為找到精確根。
?
判斷當前長、寬是否接近的2種方法，會使代碼略微不同，如下：

代碼思路一

• 設置$?$ 用以控制精度；
• 判斷所求數 a 是否為正：
  • 若a > 0, 可求平方根；
  • 假設長、寬初始值：
    x = a/2 ???? y = a/x
  • 只要｜$x?y$｜> $?$ ,長寬不夠接近，迭代計算。
    迭代終止條件：｜$x?y$｜< $?$
  • 若a < 0, 不可求平方根，提示輸入數不可為負。

代碼（解法一）

double eps = 0.001; //epsillon用以控制計算精度：若找到的長寬之差小于0.001，則認為足夠精確 int main(){double a;cin >> a; //接收鍵盤輸入的數a (cin:輸入 cout:輸出)if (a >= 0){ //若a為正，可求平方根double x = a/2, y = a/x; //猜測矩形的長、寬，并初始化while (x - y > eps || y - x > eps){ //只要精度未達要求，長寬不夠接近，就繼續迭代y = a/x; //每次迭代先用原來的長x更新寬yx = (x + y)/2; //再更新長x（公式）//cout << x << endl; //加上這行可看每次迭代更新的x，也就是近似根（endl：換行）}cout << x << endl; //若|x - y| < eps，迭代完畢，輸出精確根（endl：換行）}else //若a為負，不可求平方根cout << "It can't be nagetive." << endl; //輸出提示語句 （endl：換行）return 0; }

代碼思路二

• 設置$?$ 用以控制精度；
• 判斷所求數 a 是否為正：
  • 若a > 0, 可求平方根；
  • 猜測根的兩個值$x_{n+1}$和$x_n$，以便至少進入一次迭代計算。
    設：$x_{n+1}$為x，????x = a/2
    ???????$x_n$為 lastX，?lastX = x + 1 + eps
    （上述假定可使 lastX - x > eps，$x_{n+1}$和$x_n$不夠接近，可往下進行至少一次迭代計算）
  • 只要｜$lastX?x$｜> $?$ ,相鄰兩次計算結果不夠接近，繼續迭代計算。
    迭代終止條件：｜$lastX?x$｜< $?$
  • 若a < 0, 不可求平方根，提示輸入數不可為負。

代碼（解法二）

double eps = 0.001; //epsillon用以控制計算精度，若找到的假設的平方根和真實平方根直接的差距小于0.001，就足夠精確 int main(){double a;cin >> a; //接收鍵盤輸入的數a (cin:輸入 cout:輸出)if (a >= 0){ //若a為正，可求平方根double x = a/2, lastX = x + 1 + eps; //猜測之前相鄰兩次計算結果x和lastX，并初始化while (x - lastX > eps || lastX - x > eps){ //只要精度未達要求，相鄰兩次計算結果不夠接近，繼續迭代lastX = x; //每次迭代先更新lastX，把上次結果變成上上次計算結果x = (x + a/x)/2; //再更新X（公式）//cout << x << endl; //加上這行可看每次迭代更新的x，也就是近似根（endl：換行）}cout << x << endl; // |x - lastX| < eps,迭代完畢，輸出精確根}else //若a為負，不可求平方根cout << "It can't be nagetive." << endl;//輸出提示語句 （endl：換行）return 0; }

牛頓迭代法公式解析

$$L_{new}=(L+A/L)/2$$
假設存在一個長方形，
面積：$A$ ???????????長：$L$ ???????????寬：$a/L$

那么，
$L_{new}$：$\frac{(L+a/L)}{2}$ 即 $\frac{(長+寬)}{2}$

在面積不變的情況下， 一直計算，$L_{new}$會越來越接近正方形的邊長，一直計算下去則可得到$\sqrt{A}$。

正方形面積 = 邊長 × 邊長
邊長=$\sqrt{正方形面積}$
邊長為正方形面積的平方根。

圖片來源: 康奈爾大學課件

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的不使用库函数sqrt求平方根详解（牛顿迭代法） C语言入门的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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