第一章：歷史上的數(shù)學(xué)危機(jī)


1-1 什么是數(shù)學(xué)危機(jī)

??? 為了講清楚第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的來(lái)龍去脈，我們首先要說(shuō)明什么是數(shù)學(xué)危機(jī)。一
般來(lái)講，危機(jī)是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學(xué)上來(lái)看，矛盾是無(wú)處不在
的、不可避免的，即便以確定無(wú)疑著稱(chēng)的數(shù)學(xué)也不例外。

??? 數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，比如正與負(fù)、加法與減法、微分與積分、有理
數(shù)與無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。但是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中還有許多深刻的矛盾，例
如有窮與無(wú)窮，連續(xù)與離散，乃至存在與構(gòu)造，邏輯與直觀，具體對(duì)象與抽象對(duì)
象，概念與計(jì)算等等。在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決。而在
矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。

??? 矛盾的消除，危機(jī)的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容，新的進(jìn)展，甚至引起革
命性的變革，這也反映出矛盾斗爭(zhēng)是事物發(fā)展的歷史動(dòng)力這一基本原理。整個(gè)數(shù)學(xué)
的發(fā)展史就是矛盾斗爭(zhēng)的歷史，斗爭(zhēng)的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。

??? 人類(lèi)最早認(rèn)識(shí)的是自然數(shù)。從引進(jìn)零及負(fù)數(shù)就經(jīng)歷過(guò)斗爭(zhēng)：要么引進(jìn)這些數(shù)，
要么大量的數(shù)的減法就行不通；同樣，引進(jìn)分?jǐn)?shù)使乘法有了逆運(yùn)算——除法，否則許
多實(shí)際問(wèn)題也不能解決。但是接著又出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題，是否所有的量都能用有理
數(shù)來(lái)表示?于是發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)就導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，而危機(jī)的解決也就促使邏輯
的發(fā)展和幾何學(xué)的體系化。

??? 方程的解導(dǎo)致了虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開(kāi)始就被認(rèn)為是“不實(shí)的”。可是這種不
實(shí)的數(shù)卻能解決實(shí)數(shù)所不能解決的問(wèn)題，從而為自己爭(zhēng)得存在的權(quán)利。

??? 幾何學(xué)的發(fā)展從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到各種非歐幾何學(xué)也是如此。在
十九世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問(wèn)題，如五次及五次以上代數(shù)方程不能
通過(guò)加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方求出根來(lái)；古希臘幾何三大問(wèn)題，即三等分任意
角、倍立方體、化圓為方不能通過(guò)圓規(guī)、直尺作圖來(lái)解決等等。


??? 這些否定的結(jié)果表明了傳統(tǒng)方法的局限性，也反映了人類(lèi)認(rèn)識(shí)的深入。這種發(fā)
現(xiàn)給這些學(xué)科帶來(lái)極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如說(shuō)，代數(shù)學(xué)從此
以后向抽象代數(shù)學(xué)方面發(fā)展，而求解方程的根變成了分析及計(jì)算數(shù)學(xué)的課題。在第
三次數(shù)學(xué)危機(jī)中，這種情況也多次出現(xiàn)，尤其是包含整數(shù)算術(shù)在內(nèi)的形式系統(tǒng)的不
完全性、許多問(wèn)題的不可判定性都大大提高了人們的認(rèn)識(shí)，也促進(jìn)了數(shù)理邏輯的大
發(fā)展。

??? 這種矛盾、危機(jī)引起的發(fā)展，改變面貌，甚至引起革命，在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上是
屢見(jiàn)不鮮的。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是由無(wú)窮小量的矛盾引起的，它反映了數(shù)學(xué)內(nèi)部的有
限與無(wú)窮的矛盾。數(shù)學(xué)中也一直貫穿著計(jì)算方法、分析方法在應(yīng)用與概念上清楚及
邏輯上嚴(yán)格的矛盾。在這方面，比較注意實(shí)用的數(shù)學(xué)家盲目應(yīng)用。而比較注意嚴(yán)密
的數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家則提出批評(píng)。只有這兩方面取得協(xié)調(diào)一致后，矛盾才能解決。后
來(lái)算符演算及δ函數(shù)也重復(fù)了這個(gè)過(guò)程，開(kāi)始是形式演算、任意應(yīng)用，直到施瓦爾
茲才奠定廣義函數(shù)論的嚴(yán)整系統(tǒng)。

??? 對(duì)于第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，有人認(rèn)為只是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機(jī)，與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)。這種看法
是片面的。誠(chéng)然，問(wèn)題涉及數(shù)理邏輯和集合論，但它一開(kāi)始就牽涉到無(wú)窮集合，而
現(xiàn)代數(shù)學(xué)如果脫離無(wú)窮集合就可以說(shuō)寸步難行。因?yàn)槿绻豢紤]有限集合或至多是
可數(shù)的集合，那絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)將不復(fù)存在。而且即便這些有限數(shù)學(xué)的內(nèi)容，也有許
多問(wèn)題要涉及無(wú)窮的方法，比如解決數(shù)論中的許多問(wèn)題都要用解析方法。由此看
來(lái)，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是一次深刻的數(shù)學(xué)危機(jī)。

　

1-2 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

??? 從某種意義上來(lái)講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)（也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)）來(lái)
源于古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派興旺的時(shí)期為公元前500年左右，它是一
個(gè)唯心主義流派。他們重視自然及社會(huì)中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文
學(xué)、音樂(lè)稱(chēng)為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧及規(guī)律性。他們認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，認(rèn)
為數(shù)學(xué)的知識(shí)是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界。數(shù)學(xué)的知識(shí)是由于
純粹的思維而獲得，并不需要觀察、直覺(jué)及日常經(jīng)驗(yàn)。

??? 畢達(dá)哥拉斯的數(shù)是指整數(shù)，他們?cè)跀?shù)學(xué)上的一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。
他們知道滿(mǎn)足直角三角形三邊長(zhǎng)的一般公式，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三
邊比不能用整數(shù)來(lái)表達(dá)，也就是勾長(zhǎng)或股長(zhǎng)與弦長(zhǎng)是不可通約的。這樣一來(lái)，就否
定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。

??? 不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。有人說(shuō)，這種性質(zhì)是希帕索斯約在公
元前400年發(fā)現(xiàn)的，為此，他的同伴把他拋進(jìn)大海。不過(guò)更有可能是畢達(dá)哥拉斯已
經(jīng)知道這種事實(shí)，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)古希臘的數(shù)
學(xué)觀點(diǎn)有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由
整數(shù)及其比來(lái)表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，
于是幾何學(xué)開(kāi)始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。

??? 同時(shí)這也反映出，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希
臘人開(kāi)始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這不能不
說(shuō)是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。

??? 回顧以前的各種數(shù)學(xué)，無(wú)非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)
也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去的。比如泰勒斯預(yù)測(cè)日食，利用影子距離計(jì)
算金字塔高度，測(cè)量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴
比倫、中國(guó)、印度等國(guó)的數(shù)學(xué)，并沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)這樣的危機(jī)和革命，所以也就一直停
留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原
本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。

　

1-3 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物—古典邏輯與歐氏幾何學(xué)

??? 亞里士多德的方法論對(duì)于數(shù)學(xué)方法的影響是巨大的，他指出了正確的定義原
理。亞里士多德繼承自己老師柏拉圖的觀念，把定義與存在區(qū)分，由某些屬性來(lái)定
義的東西可能未必存在(如正九面體)。另外，定義必須用已存在的定義過(guò)的東西來(lái)
定義，所以必定有些最原始的定義，如點(diǎn)、直線(xiàn)等。而證明存在的方法需要規(guī)定和
限制。

??? 亞里士多德還指出公理的必要性，因?yàn)檫@是演繹推理的出發(fā)點(diǎn)。他區(qū)別了公理
和公設(shè)，認(rèn)為公理是一切科學(xué)所公有的真理，而公設(shè)則只是某一門(mén)學(xué)科特有的最基
本的原理。他把邏輯規(guī)律(矛盾律、排中律等)也列為公理。

??? 亞里士多德對(duì)邏輯推理過(guò)程進(jìn)行深入研究，得出三段論法，并把它表達(dá)成一個(gè)
公理系統(tǒng)，這是最早的公理系統(tǒng)。他關(guān)于邏輯的研究不僅使邏輯形成一個(gè)獨(dú)立學(xué)
科，而且對(duì)數(shù)學(xué)證明的發(fā)展也有良好的影響。

??? 亞里士多德對(duì)于離散與連續(xù)的矛盾有一定闡述。對(duì)于潛在的無(wú)窮(大)和實(shí)在的
無(wú)窮(大)加以區(qū)別。他認(rèn)為正整數(shù)是潛在無(wú)窮的，因?yàn)槿魏握麛?shù)加上1以后總能得
到一個(gè)新的數(shù)。但是他認(rèn)為所謂“無(wú)窮集合”是不存在的。他認(rèn)為空間是潛在無(wú)窮
的，時(shí)間在延長(zhǎng)上是潛在無(wú)窮的，在細(xì)分上也是潛在無(wú)窮的。

??? 歐幾里得的《幾何原本》對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用無(wú)須在此多談。不過(guò)應(yīng)該指出，歐幾
里得的貢獻(xiàn)在于他有史以來(lái)第一次總結(jié)了以往希臘人的數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化
的演繹體系。這對(duì)數(shù)學(xué)乃至哲學(xué)、自然科學(xué)的影響一直延續(xù)到十九世紀(jì)。牛頓的
《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和斯賓諾莎的《倫理學(xué)》等都采用了歐幾里得《幾何原本》的體例。

??? 歐幾里得的平面幾何學(xué)為《幾何原本》的最初四篇與第六篇。其中有七個(gè)原始定
義，五個(gè)公理和五個(gè)公設(shè)。他規(guī)定了存在的證明依賴(lài)于構(gòu)造。

??? 《幾何原本》在西方世界成為僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書(shū)籍。它一直是幾何學(xué)
的標(biāo)準(zhǔn)著作。但是它還存在許多缺點(diǎn)并不斷受到批評(píng)，比如對(duì)于點(diǎn)、線(xiàn)、面的定義
是不嚴(yán)格的：“點(diǎn)是沒(méi)有部分的對(duì)象”，“線(xiàn)是沒(méi)有寬度的長(zhǎng)度(線(xiàn)指曲線(xiàn))”，“面是
只有長(zhǎng)度和寬度的對(duì)象”。顯然，這些定義是不能起邏輯推理的作用。特別是直
線(xiàn)、平面的定義更是從直觀來(lái)解釋的(“直線(xiàn)是同其中各點(diǎn)看齊的線(xiàn)”)。

??? 另外，他的公理五是“整體大于部分”，沒(méi)有涉及無(wú)窮量的問(wèn)題。在他的證明
中，原來(lái)的公理也不夠用，須加上新的公理。特別是平行公設(shè)是否可由其他公理、
公設(shè)推出更是人所矚目的問(wèn)題。盡管如此，近代數(shù)學(xué)的體系特點(diǎn)在其中已經(jīng)基本上
形成了。

　

1-4 非歐幾何學(xué)的誕生

??? 歐幾里得的《幾何原本》是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物。盡管它有種種缺點(diǎn)和毛病，
畢竟兩千多年來(lái)一直是大家公認(rèn)的典范。尤其是許多哲學(xué)家，把歐幾里得幾何學(xué)擺
在絕對(duì)幾何學(xué)的地位。十八世紀(jì)時(shí)，大部分人都認(rèn)為歐幾里得幾何是物質(zhì)空間中圖
形性質(zhì)的正確理想化。特別是康德認(rèn)為關(guān)于空間的原理是先驗(yàn)綜合判斷，物質(zhì)世界
必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。

??? 既然是完美的，大家希望公理、公設(shè)簡(jiǎn)單明白、直截了當(dāng)。其他的公理和公設(shè)
都滿(mǎn)足了上面的這個(gè)條件，唯獨(dú)平行公設(shè)不夠簡(jiǎn)明，象是一條定理。

??? 歐幾里得的平行公設(shè)是：每當(dāng)一條直線(xiàn)與另外兩條直線(xiàn)相交，在它一側(cè)做成的
兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角的和小于兩直角時(shí)，這另外兩條直線(xiàn)就在同側(cè)內(nèi)角和小于兩直角的那
一側(cè)相交。

??? 在《幾何原本》中，證明前28個(gè)命題并沒(méi)有用到這個(gè)公設(shè)，這很自然引起人們考
慮：這條啰哩啰嗦的公設(shè)是否可由其他的公理和公設(shè)推出，也就是說(shuō)，平行公設(shè)可
能是多余的。

??? 之后的二千多年，許許多多人曾試圖證明這點(diǎn)，有些人開(kāi)始以為成功了，但是
經(jīng)過(guò)仔細(xì)檢查發(fā)現(xiàn)：所有的證明都使用了一些其他的假設(shè)，而這些假設(shè)又可以從平
行公設(shè)推出來(lái)，所以他們只不過(guò)得到一些和平行公設(shè)等價(jià)的命題罷了。

??? 到了十八世紀(jì)，有人開(kāi)始想用反證法來(lái)證明，即假設(shè)平行公設(shè)不成立，企圖由
此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如“有兩條線(xiàn)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處相交，而在交點(diǎn)
處這兩條線(xiàn)有公垂線(xiàn)”等等。在他們看來(lái)，這些結(jié)論不合情理，因此不可能真實(shí)。
但是這些推論的含義不清楚，也很難說(shuō)是導(dǎo)出矛盾，所以不能說(shuō)由此證明了平行公設(shè)。

??? 從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。

??? 首先，要能從二千年來(lái)證明平行公設(shè)的失敗過(guò)程中看出這個(gè)證明是辦不到的
事，并且這種不可能性是可以加以證實(shí)的；其次，要選取與平行公設(shè)相矛盾的其他
公設(shè)，也能建立邏輯上沒(méi)有矛盾的幾何。這主要是羅巴切夫斯基的開(kāi)創(chuàng)性工作。

??? 要認(rèn)識(shí)到歐幾里得幾何不一定是物質(zhì)空間的幾何學(xué)，歐幾里得幾何學(xué)只是許多
可能的幾何學(xué)中的一種。而幾何學(xué)要從由直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)的空間科學(xué)要變成一門(mén)
純粹數(shù)學(xué)，也就是說(shuō)，它的存在性只由無(wú)矛盾性來(lái)決定。雖說(shuō)象蘭伯特等人已有這
些思想苗頭，但是真正把幾何學(xué)變成這樣一門(mén)純粹數(shù)學(xué)的是希爾伯特。

??? 這個(gè)過(guò)程是漫長(zhǎng)的，其中最主要的一步是羅巴切夫斯基和波耶分別獨(dú)立地創(chuàng)立
非歐幾何學(xué)，尤其是它們所考慮的無(wú)矛盾性是歷史上的獨(dú)創(chuàng)。后人把羅氏幾何的無(wú)
矛盾性隱含地變成歐氏幾何無(wú)矛盾性的問(wèn)題。這種利用“模型”和證明“相對(duì)無(wú)矛盾
性”的思想一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究中。而且這種把非歐幾何歸結(jié)到大家
一貫相信的歐氏幾何，也使得大家在接受非歐幾何方面起到重要作用。

??? 應(yīng)該指出，非歐幾何為廣大數(shù)學(xué)界接受還是經(jīng)過(guò)幾番艱苦斗爭(zhēng)的。首先要證明
第五公設(shè)的否定并不會(huì)導(dǎo)致矛盾，只有這樣才能說(shuō)新幾何學(xué)成立，才能說(shuō)明第五公
設(shè)獨(dú)立于別的公理公設(shè)，這是一個(gè)起碼的要求。

??? 當(dāng)時(shí)證明的方法是證明“相對(duì)無(wú)矛盾性”。因?yàn)楫?dāng)時(shí)大家都承認(rèn)歐幾里得幾何學(xué)
沒(méi)有矛盾，如果能把非歐幾何學(xué)用歐幾里得幾何學(xué)來(lái)解釋而且解釋得通，也就變得
沒(méi)有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得
幾何學(xué)中相應(yīng)的東西，公理和定理也可用相應(yīng)歐幾里得幾何學(xué)的公理和定理來(lái)解
釋，這種解釋叫做非歐幾何學(xué)的歐氏模型。

??? 對(duì)于羅巴切夫斯基幾何學(xué)，最著名的歐氏模型有意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米于1869
年提出的常負(fù)曲率曲面模型；德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因于1871年提出的射影平面模型和彭
加勒在1882年提出的用自守函數(shù)解釋的單位圓內(nèi)部模型。這些模型的確證實(shí)了非歐
幾何的相對(duì)無(wú)矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創(chuàng)立的橢圓幾
何學(xué)，另外還可以推廣到高維空間上。

??? 因此，從十九世紀(jì)六十年代末到八十年代初，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家接受了非歐幾何
學(xué)。盡管有的人還堅(jiān)持歐幾里得幾何學(xué)的獨(dú)特性，但是許多人明確指出非歐幾何學(xué)
和歐氏幾何學(xué)平起平坐的時(shí)代已經(jīng)到來(lái)。當(dāng)然也有少數(shù)頑固派，如數(shù)理邏輯的締造
者弗雷格，至死不肯承認(rèn)非歐幾何學(xué)，不過(guò)這已無(wú)關(guān)大局了。

??? 非歐幾何學(xué)的創(chuàng)建對(duì)數(shù)學(xué)的震動(dòng)很大。數(shù)學(xué)家開(kāi)始關(guān)心幾何學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題，從
十九世紀(jì)八十年代起，幾何學(xué)的公理化成為大家關(guān)注的目標(biāo)，并由此產(chǎn)生了希爾伯
特的新公理化運(yùn)動(dòng)。

　

1-5 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

??? 早在古代，人們就對(duì)長(zhǎng)度、面積、體積的度量問(wèn)題感興趣。古希臘的歐多克斯
引入量的觀念來(lái)考慮連續(xù)變動(dòng)的東西，并完全依據(jù)幾何來(lái)嚴(yán)格處理連續(xù)量。這造成
數(shù)與量的長(zhǎng)期脫離。古希臘的數(shù)學(xué)中除了整數(shù)之外，并沒(méi)有無(wú)理數(shù)的概念，連有理
數(shù)的運(yùn)算也沒(méi)有，可是卻有量的比例。他們對(duì)于連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣，尤其
是芝諾提出的四個(gè)著名的悖論：

??? 第一個(gè)悖論是說(shuō)運(yùn)動(dòng)不存在，理由是運(yùn)動(dòng)物體到達(dá)目的地之前必須到達(dá)半路，
而到達(dá)半路之前又必須到達(dá)半路的半路……如此下去，它必須通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，這在
有限長(zhǎng)時(shí)間之內(nèi)是無(wú)法辦到的。

??? 第二個(gè)悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因?yàn)闉觚斣谒懊?
時(shí)，他必須首先到達(dá)烏龜?shù)钠瘘c(diǎn)，然后用第一個(gè)悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。
這兩個(gè)悖論是反對(duì)空間、時(shí)間無(wú)限可分的觀點(diǎn)的。

??? 而第三、第四悖論是反對(duì)空間、時(shí)間由不可分的間隔組成。第三個(gè)悖論是說(shuō)
“飛矢不動(dòng)”，因?yàn)樵谀骋粫r(shí)問(wèn)間隔，飛矢總是在某個(gè)空間間隔中確定的位置上，因
而是靜止的。第四個(gè)悖論是游行隊(duì)伍悖論，內(nèi)容大體相似。這說(shuō)明希臘人已經(jīng)看到
無(wú)窮小與“很小很小”的矛盾。當(dāng)然他們無(wú)法解決這些矛盾。

??? 希臘人雖然沒(méi)有明確的極限概念，但他們?cè)谔幚砻娣e體積的問(wèn)題時(shí)，卻有嚴(yán)格
的逼近步驟，這就是所謂“窮竭法”。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難
證的定理。

??? 到了十六、十七世紀(jì)，除了求曲線(xiàn)長(zhǎng)度和曲線(xiàn)所包圍的面積等類(lèi)問(wèn)題外，還產(chǎn)
生了許多新問(wèn)題，如求速度、求切線(xiàn)，以及求極大、極小值等問(wèn)題。經(jīng)過(guò)許多人多
年的努力，終于在十七世紀(jì)晚期，形成了無(wú)窮小演算——微積分這門(mén)學(xué)科，這也就是
數(shù)學(xué)分析的開(kāi)端。

??? 牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者。他們的功績(jī)主要在于：1，把各種
問(wèn)題的解法統(tǒng)一成一種方法，微分法和積分法；2，有明確的計(jì)算微分法的步驟；
3．微分法和積分法互為逆運(yùn)算。

??? 由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用范圍的廣泛性，使微積分成為解決問(wèn)題的重要工具。
同時(shí)關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問(wèn)題也越來(lái)越嚴(yán)重。以求速度為例，瞬時(shí)速度是Δs/Δt當(dāng)Δt
趨向于零時(shí)的值。Δt是零、是很小的量，還是什么東西，這個(gè)無(wú)窮小量究竟是不是
零。這引起了極大的爭(zhēng)論，從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

??? 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家成功地用微積分解決了許多實(shí)際問(wèn)題，因此有些人就對(duì)這些
基礎(chǔ)問(wèn)題的討論不感興趣。如達(dá)朗貝爾就說(shuō)，現(xiàn)在是“把房子蓋得更高些，而不是
把基礎(chǔ)打得更加牢固”。更有許多人認(rèn)為所謂的嚴(yán)密化就是煩瑣。

??? 但也因此，微積分的基礎(chǔ)問(wèn)題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是
貝克萊主教在1734年的攻擊。

??? 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的、強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算，而不管基礎(chǔ)
的可靠與否，其中特別是：沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，因此導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念
不清楚；對(duì)無(wú)窮大的概念也不清楚；發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性；符號(hào)使用的不嚴(yán)格
性；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及可否展成冪級(jí)數(shù)等等。

??? 一直到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家才開(kāi)始比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。
它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開(kāi)始，最終由威爾斯特拉
斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)
學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

??? 波爾查諾不承認(rèn)無(wú)窮小數(shù)和無(wú)窮大數(shù)的存在，而且給出了連續(xù)性的正確定義。
柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量開(kāi)始，認(rèn)識(shí)到函數(shù)不一定要有解析表
達(dá)式。他抓住了極限的概念，指出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都不是固定的量而是變量，
并定義了導(dǎo)數(shù)和積分；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級(jí)數(shù)展開(kāi)及求和；狄里克萊給出
了函數(shù)的現(xiàn)代定義。

??? 在這些數(shù)學(xué)工作的基礎(chǔ)上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在
通用的ε - δ的極限、連續(xù)定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴(yán)格地建立在極限的基
礎(chǔ)上，從而克服了危機(jī)和矛盾。

??? 十九世紀(jì)七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)
理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析終于
建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上了。

??? 同時(shí)，威爾斯特拉斯給出一個(gè)處處不可微的連續(xù)函數(shù)的例子。這個(gè)發(fā)現(xiàn)以及后
來(lái)許多病態(tài)函數(shù)的例子，充分說(shuō)明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴(yán)格的
概念及推理。由此，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)使數(shù)學(xué)更深入地探討數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)——實(shí)數(shù)論
的問(wèn)題。這不僅導(dǎo)致集合論的誕生，并且由此把數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題歸結(jié)為實(shí)
數(shù)論的無(wú)矛盾性問(wèn)題，而這正是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的首要問(wèn)題。



第二章：第三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的背景

　

??? 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生于十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)初，當(dāng)時(shí)正是數(shù)學(xué)空前興旺發(fā)達(dá)
的時(shí)期。首先是邏輯的數(shù)學(xué)化，促使了數(shù)理邏輯這門(mén)學(xué)科誕生。

??? 十九世紀(jì)七十年代康托爾創(chuàng)立的集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是產(chǎn)生危機(jī)的直
接來(lái)源。十九世紀(jì)末，戴德金及皮亞諾對(duì)算術(shù)及實(shí)數(shù)理論進(jìn)行公理化，推動(dòng)了公理
化運(yùn)動(dòng)。而公理化運(yùn)動(dòng)的最大成就則是希爾伯特在1899年對(duì)于初等幾何的公理化。

??? 公理化方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的方法之一，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯的研究也
有影響。當(dāng)時(shí)也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)一些新分支興起的時(shí)期，如抽象代數(shù)學(xué)、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)和
代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析、測(cè)度與積分理論等學(xué)科。這些學(xué)科的發(fā)展一直與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
及數(shù)理邏輯的發(fā)展有著密切的關(guān)系。數(shù)學(xué)的更新與發(fā)展也對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)有許多新的探
討，數(shù)學(xué)的陳腐哲學(xué)觀念在當(dāng)時(shí)已經(jīng)幾乎一掃而空了。

　

2-1 數(shù)學(xué)符號(hào)化的擴(kuò)充：數(shù)理邏輯的興起

??? 數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是計(jì)算和證明。在十七世紀(jì)，算術(shù)因符號(hào)化促使了代數(shù)學(xué)的產(chǎn)
生，代數(shù)使計(jì)算變得精確和方便，也使計(jì)算方法系統(tǒng)化。費(fèi)爾馬和笛卡兒的解析幾
何把幾何學(xué)代數(shù)化，大大擴(kuò)展了幾何的領(lǐng)域，而且使得少數(shù)天才的推理變成機(jī)械化
的步驟。這反映了代數(shù)學(xué)作為普遍科學(xué)方法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數(shù)
化。與笛卡兒同時(shí)代的英國(guó)哲學(xué)家霍布斯也認(rèn)為推理帶有計(jì)算性質(zhì)，不過(guò)他并沒(méi)有
系統(tǒng)地發(fā)展這種思想。

??? 現(xiàn)在公認(rèn)的數(shù)理邏輯創(chuàng)始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數(shù)”，其
中把一切推理都化歸為計(jì)算。實(shí)際上這正是數(shù)理邏輯的總綱領(lǐng)。他希望建立一套普
遍的符號(hào)語(yǔ)言，其中的符號(hào)是表義的，這樣就可以象數(shù)字一樣進(jìn)行演算，他的確將
某些命題形式表達(dá)為符號(hào)形式，但他的工作只是一個(gè)開(kāi)頭，大部分沒(méi)有發(fā)表，因此
影響不大。

??? 真正使邏輯代數(shù)化的是英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾，他在1847年出版了《邏輯的數(shù)學(xué)分
析》，給出了現(xiàn)代所謂的“布爾代數(shù)”的原型。布爾確信符號(hào)化會(huì)使邏輯變得嚴(yán)密。
他的對(duì)象是事物的類(lèi)，1表示全類(lèi)，0表示空類(lèi)；xy表示x和y的共同分子所組成的
類(lèi)，運(yùn)算是邏輯乘法；x＋y表示x和y兩類(lèi)所合成的類(lèi)，運(yùn)算是邏輯加法。

??? 所以邏輯命題可以表示如下：凡x是y可以表示成x(1－y)＝0；沒(méi)有x是y可以表
示成xy＝0。它還可以表示矛盾律 x(1－x)＝0；排中律x＋(1－x)＝1。

??? 布爾看出類(lèi)的演算也可解釋為命題的演算。當(dāng)x、y不是類(lèi)而是命題，則x＝1表
示的是命題 x為真，x＝0表示命題x為假，1－x表示x的否定等等。顯然布爾的演算
構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，遵守著某些規(guī)律，這就是布爾代數(shù)。特別是它遵從德·莫爾根
定律。

??? 美國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家小皮爾斯推進(jìn)了命題演算，他區(qū)別了命題和命題函數(shù)。一
個(gè)命題總是真的或假的，而一個(gè)命題函數(shù)包含著變?cè)?#xff0c;隨著變?cè)颠x取的不同，它
可以是真也可以是假。皮爾斯還引進(jìn)了兩個(gè)變?cè)拿}函數(shù)以及量詞和謂詞的演算。

??? 對(duì)現(xiàn)代數(shù)理邏輯貢獻(xiàn)最大的是德國(guó)耶拿大學(xué)教授、數(shù)學(xué)家弗雷格。弗雷格在
1879年出版的《概念文字》一書(shū)中不僅完備地發(fā)展了命題演算，而且引進(jìn)了量詞概念
以及實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的概念，他還給出一個(gè)一階謂詞演算的公理系統(tǒng)，這可以說(shuō)是歷史上
第一個(gè)符號(hào)邏輯的公理系統(tǒng)。因此在這本只有88頁(yè)的小冊(cè)子中，包含著現(xiàn)代數(shù)理邏
輯的一個(gè)頗為完備的基礎(chǔ)。

??? 1884年，弗雷格的《算術(shù)基礎(chǔ)》出版，后來(lái)又?jǐn)U展成《算術(shù)的基本規(guī)律》。不過(guò)由
于他的符號(hào)系統(tǒng)煩瑣復(fù)雜，從而限制了它的普及，因此在十九世紀(jì)時(shí)，他的著作流
傳不廣。后來(lái)由于羅素的獨(dú)立工作，才使得弗雷格的工作受到重視。

??? 用符號(hào)語(yǔ)言對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行公理化的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾，他在1889年用拉丁文
寫(xiě)了一本小冊(cè)子《用新方法陳述的算術(shù)原理》。在這之前，皮亞諾已經(jīng)把布爾和施羅
德的邏輯用在數(shù)學(xué)研究上，并且引進(jìn)了一系列對(duì)于他前人工作的更新。例如對(duì)邏輯
運(yùn)算和數(shù)學(xué)運(yùn)算使用不同的符號(hào)，區(qū)別范疇命題和條件命題，這引導(dǎo)他得出量詞理論。

??? 這些改進(jìn)都是對(duì)于布爾和施羅德理論的改進(jìn)，而不是對(duì)弗雷格理論的改進(jìn)，因
為當(dāng)時(shí)皮亞諾還不知道弗雷格的工作。在《算術(shù)原理》中，他在引進(jìn)邏輯概念相公式
之后，開(kāi)始用符號(hào)的記法來(lái)重寫(xiě)算術(shù)，在這本書(shū)中他討論了分?jǐn)?shù)、實(shí)數(shù)、甚至極限
和點(diǎn)集論中的概念。

??? 皮亞諾引進(jìn)最原始的算術(shù)概念是“數(shù)”“1”“后繼”和“等于”，并且陳述了關(guān)于這
些概念的九條公理。今天我們認(rèn)為其中公理2、3、4、5都是討論恒等的，應(yīng)該屬于
邏輯公理，所以就剩下了五條公理。這就是現(xiàn)在眾所周知的皮亞諾公理。最后一條
公理即公理9，就是所謂數(shù)學(xué)歸納法原理，他用類(lèi)的詞句來(lái)表述，其中包含一個(gè)類(lèi)
變?cè)Ｆ喼Z承認(rèn)他的公理化來(lái)自戴德金。

??? 從1開(kāi)始，皮亞諾用x＋1來(lái)表示后繼函數(shù)。然后作為定義引進(jìn)了加法和乘法。
這些定義是遞歸的定義。雖然在他的系統(tǒng)中，皮亞諾沒(méi)有象戴德金那樣有力的定理
可資利用，但皮亞諾并沒(méi)有公開(kāi)地宣稱(chēng)這些定義可以去掉。

??? 這本書(shū)的邏輯部分還列出命題演算的公式，類(lèi)演算的公式，還有一部分量詞的
理論。皮亞諾的符號(hào)要比布爾和施羅德的符號(hào)高明得多，標(biāo)志著向近代邏輯的重要
轉(zhuǎn)變。他還對(duì)于命題的演算和類(lèi)演算做了某些區(qū)別。這就是我們現(xiàn)在的兩種不同演
算，而不是同一種演算的兩種不同解釋。它的普遍量詞記號(hào)是新的，而且是便利的。

??? 不過(guò)書(shū)里還是存在缺點(diǎn)，如公式只是列出來(lái)的，而不是推導(dǎo)出來(lái)的；因?yàn)闆](méi)有
給出推導(dǎo)規(guī)則，皮亞諾引進(jìn)了代入規(guī)則的概念，但是也沒(méi)有給出任何規(guī)則；更嚴(yán)重
的是他沒(méi)有給出任何分離規(guī)則，結(jié)果盡管他的系統(tǒng)有許多優(yōu)點(diǎn)，但他沒(méi)有可供使用
的邏輯。一直到后來(lái)，他才在一系列文章，特別是1895年發(fā)表的《數(shù)學(xué)論集》中，對(duì)
這些邏輯公式進(jìn)行了證明。然而他這些證明還是缺少推演規(guī)則，在這方面他受到了
弗雷格的批評(píng)。后來(lái)皮亞諾盡力想比弗雷格的《概念文字》有更多的內(nèi)容，但是他做
得并不夠。不過(guò)他的這些著作在數(shù)學(xué)界仍有很大影響，得到廣泛的傳播。

　

??? 2.1.1 命題演算

??? 邏輯演算是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，命題演算是邏輯演算最基本的組成部分。命題演
算研究命題之間的關(guān)系，比如簡(jiǎn)單命題和復(fù)雜命題之間的關(guān)系，簡(jiǎn)單命題如何構(gòu)成
復(fù)雜命題，由簡(jiǎn)單命題的真假如何推出復(fù)雜命題的真假等等。對(duì)于具體命題，我們
不難通過(guò)機(jī)械運(yùn)算來(lái)達(dá)到我們的目的，這就是命題的算術(shù)。

??? 對(duì)于命題演算最早是由美國(guó)邏輯學(xué)家波斯特在1921年給出證明的，他的證明方
法是把命題化為標(biāo)準(zhǔn)形式—合取范式。教科書(shū)中常見(jiàn)的證明是匈牙利數(shù)學(xué)家卡爾馬
給出的。除了這些構(gòu)造性證明之外，還有用布爾代數(shù)的非構(gòu)造性證明。

　

??? 2.1.2 一階謂詞演算

??? 在命題演算中，形式化的對(duì)象及演算的對(duì)象都是語(yǔ)句。但是，在數(shù)學(xué)乃至一般
推理過(guò)程中，許多常見(jiàn)的邏輯推理并不能建立在命題演算的基礎(chǔ)上。例如：1．張
三的每位朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友，所以王五不是張三的朋友。
因此，我們必須深入到語(yǔ)句的內(nèi)部，也就是要把語(yǔ)句分解為主語(yǔ)和謂語(yǔ)。

??? 謂詞演算要比命題演算范圍寬廣得多，這由變?cè)部梢苑从吵鰜?lái)。命題演算的
變?cè)皇钦Z(yǔ)句或命題，而謂詞演算的變?cè)腥?lèi)：個(gè)體變?cè)⒚}變?cè)⒅^詞變
元。由于謂詞演算中有全稱(chēng)量詞和存在量詞，在這些量詞后面的變化稱(chēng)為約束變
元，其他變?cè)Q(chēng)為自由變?cè)Ｗ詈?jiǎn)單的謂詞演算是狹義謂詞演算，現(xiàn)在通稱(chēng)一階謂
詞演算。

??? 謂詞演算中的普遍有效公式與命題演算中的重言式還是有差別的。我們有行之
有效的具體方法來(lái)判定一個(gè)公式是不是重言式。這種方法每一步都有明確的規(guī)定，
并且可以在有限步內(nèi)完成，這種方法我們稱(chēng)為能行的。但是在謂詞演算中，并沒(méi)有
一種能行的方法來(lái)判定任何一個(gè)公式是否普遍有效的。這就需要尋找一種能行的方
法來(lái)判定某個(gè)具體公式或一類(lèi)公式是否普遍有效，這就是所謂判定問(wèn)題。它是數(shù)理
邏輯中最主要的問(wèn)題之一。

??? 一階謂詞演算的普遍有效公式也有一個(gè)公理系統(tǒng)。另外，同樣也有代入規(guī)則及
推理規(guī)則。另外，還有約束變?cè)淖忠?guī)則等變形規(guī)則。在謂詞演算中也可以將每一
個(gè)公式通過(guò)變形規(guī)則化為標(biāo)準(zhǔn)形式。其中最常用的是所謂前束范式，也就是公式中
所有的量詞都放在最前面，而且還可以把前束范式進(jìn)一步化成斯科蘭路范式，它不
但具有前束范式的形狀，而且每一個(gè)存在量詞都在所有全稱(chēng)量詞之前。

??? 利用范式可以解決許多問(wèn)題，最重要的是哥德?tīng)栕C明的一階謂詞演算的公理系
統(tǒng)的完全性定理，即可以證明：公式A在公理系統(tǒng)中可以證明的當(dāng)且僅當(dāng)A是普遍有
效的。同樣，一階謂詞演算的公理系統(tǒng)也是協(xié)調(diào)(無(wú)矛盾)的、相獨(dú)立的。1936年丘
奇和圖林獨(dú)立的證明一階謂詞演算公式的一般判定問(wèn)題不可解問(wèn)題，可以變?yōu)槿ソ?
決具有特殊形式的范式公式的判定問(wèn)題。

　

??? 2.1.3 其他邏輯演算

??? 邏輯演算系統(tǒng)很多，命題演算應(yīng)該說(shuō)來(lái)源于布爾，布爾的系統(tǒng)是非真即假的二
值系統(tǒng)。真值大于2的邏輯系統(tǒng)稱(chēng)為多值邏輯。多值邏輯首先由波蘭數(shù)學(xué)家盧卡西
維茨在1920年引進(jìn)，波斯特在1921年也獨(dú)立地引進(jìn)。多值邏輯有著廣泛的應(yīng)用，在
二十世紀(jì)七十年代，國(guó)際上就曾多次召開(kāi)專(zhuān)門(mén)的多值邏輯會(huì)議。

??? 另一種常見(jiàn)的邏輯是模態(tài)邏輯，它是美國(guó)邏輯學(xué)家劉易斯在1918年引進(jìn)的。他
考慮的不是實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵而是嚴(yán)格蘊(yùn)涵。另外，他在邏輯中也考慮所謂必要性與可能性
等問(wèn)題，引進(jìn)著名的模態(tài)算子，這是直觀可能性的形式化。

??? 還有一個(gè)包括古典邏輯演算的公理系統(tǒng)，即直覺(jué)主義公理系統(tǒng)，其中否定排中
律，它是荷蘭數(shù)學(xué)家海丁于1930年引進(jìn)的。它雖因直覺(jué)主義而得名，但是可以得到
其他的解釋，在現(xiàn)代數(shù)理邏輯的研究中十分重要。

??? 在數(shù)理邏輯的研究中，狹義謂詞演算是最重要的。狹義謂詞演算也稱(chēng)一階謂詞
演算，許多人默認(rèn)數(shù)學(xué)中所用的邏輯通用為一階謂詞演算。但是，許多涉及數(shù)學(xué)問(wèn)
題的邏輯演算必須加進(jìn)有關(guān)等號(hào)的謂詞，稱(chēng)為具等式的一階謂詞演算。這是現(xiàn)在最
常用的一種邏輯系統(tǒng)，在研究算術(shù)系統(tǒng)中就要用到它。

??? 但是，即使象實(shí)數(shù)的算術(shù)系統(tǒng)，一階謂詞演算也是不夠的，更何況現(xiàn)代數(shù)學(xué)中
涉及集合的子集，因此一階謂詞演算是不足以表達(dá)的。這時(shí)需要二階謂詞演算乃至
高階謂詞演算，其中首先出現(xiàn)的是謂詞變?cè)?

??? 不過(guò)，在現(xiàn)代數(shù)理邏輯的研究中，常常通過(guò)其它方式推廣一階謂詞演算。比如
一種常用的“無(wú)窮”邏輯允許無(wú)窮公式，即公式中容許可數(shù)多合取或析取，不過(guò)量詞
仍限制為有限多。這種無(wú)窮邏輯現(xiàn)在在集合論、遞歸論、模型論當(dāng)中是必不可少
的。另外一種推廣一階謂詞演算的途徑是引進(jìn)新的量詞，比如“存在許多……”。

??? 邏輯系統(tǒng)比數(shù)學(xué)系統(tǒng)更不統(tǒng)一，各人用的系統(tǒng)在細(xì)節(jié)上有許多不同，而且同一
概念也用不同的符號(hào)來(lái)表示。第一套是弗雷格自己系統(tǒng)運(yùn)用的，但是連他的后繼者
也不用這套極不方便的符號(hào)系統(tǒng)。第二套是皮亞諾首先在《數(shù)學(xué)論集》提出的，后經(jīng)
羅素和懷特海在《數(shù)學(xué)原理》中使用。一般文獻(xiàn)通用的都是這種符號(hào)系統(tǒng)的改進(jìn)形
式，如希爾伯特和他的學(xué)生們采用的也屬于這一套。第三套是盧卡西維茨使用的，
后來(lái)也有人用，如普瑞爾在《形式邏輯》中就加以來(lái)用。



第二章：第三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的背景（下）

　

2、尋找數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)：集合論的創(chuàng)立

　

2.1? 集合論的創(chuàng)立和傳播

??? 集合論的創(chuàng)立者格奧爾格·康托爾，1845年3月3日出生于俄國(guó)圣彼得堡(前蘇聯(lián)
列寧格勒)一個(gè)商人家庭。他在中學(xué)時(shí)期就對(duì)數(shù)學(xué)感興趣。1862年，他到蘇黎世上
大學(xué)，1863年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)。

??? 當(dāng)時(shí)柏林大學(xué)正在形成一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心，他在1867年的博土論文中
就已經(jīng)反映出“離經(jīng)叛道”的觀點(diǎn)，他認(rèn)為在數(shù)學(xué)中提問(wèn)的藝術(shù)比起解法來(lái)更為重
要。的確，他原來(lái)的成就并不總是在于解決間題，他對(duì)數(shù)學(xué)的獨(dú)特貢獻(xiàn)在于他以特
殊提問(wèn)的方式開(kāi)辟了廣闊的研究領(lǐng)域。他所提出的問(wèn)題一部分被他自己解決，一部
分被他的后繼者解決，一些沒(méi)有解決的問(wèn)題則始終支配著某一個(gè)方向的發(fā)展，例如
著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。

??? 1869年康托爾取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久就升為副教授，并在1879年升
為教授，他一直到去世都在哈勒大學(xué)工作。哈勒是一個(gè)小地方，而且薪金微薄。康
托爾原來(lái)希望在柏林找到一個(gè)薪金較高、聲望更大的教授職位，但是在柏林，那位
很有勢(shì)力而且又專(zhuān)橫跋扈的克洛耐克處處跟他為難，阻塞了他所有的道路。原因是
克洛耐克對(duì)于他的集合論，特別是他的“超窮數(shù)”觀點(diǎn)持根本否定的態(tài)度。由于用腦
過(guò)度和精神緊張，從1884年起，他不時(shí)犯深度精神抑郁癥，常常住在療養(yǎng)院里。
1918年1月6日他在哈勒大學(xué)附近的精神病院中去世。

??? 集合論的誕生可以說(shuō)是在1873年年底。1873年11月，康托爾在和戴德金的通信
中提出了一個(gè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題使他從以前關(guān)于數(shù)學(xué)分析的研究轉(zhuǎn)到一個(gè)新方向。他
認(rèn)為，有理數(shù)的集合是可以“數(shù)”的，也就是可以和自然數(shù)的集合成一對(duì)一的對(duì)應(yīng)。
但是他不知道，對(duì)于實(shí)數(shù)集合這種一對(duì)一的對(duì)應(yīng)是否能辦到。他相信不能有一對(duì)一
的對(duì)應(yīng)，但是他“講不出什么理由”。

??? 不久之后，他承認(rèn)他“沒(méi)有認(rèn)真地考慮這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)樗坪鯖](méi)有什么價(jià)值”。
接著他又補(bǔ)充一句，“要是你認(rèn)為它因此不值得再花費(fèi)力氣，那我就會(huì)完全贊同”。
可是，康托爾又考慮起集合的映射問(wèn)題來(lái)。很快，他在1873年12月7日又寫(xiě)信給戴
德金，說(shuō)他已能成功地證明實(shí)數(shù)的“集體”是不可數(shù)的了，這一天可以看成是集合論
的誕生日。

??? 戴德金熱烈的祝賀了康托爾取得的成功。其間，證明的意義也越來(lái)越清楚。因
為康托爾還成功地證明代數(shù)數(shù)的集合也是可數(shù)的。所謂代數(shù)數(shù)就是整系數(shù)代數(shù)方程
的根，而象π與e這樣的不能成為任何整系數(shù)代數(shù)方程的根的數(shù)，則稱(chēng)為超越數(shù)。

??? 早在1847年，劉維爾就通過(guò)構(gòu)造的方法（當(dāng)時(shí)大家認(rèn)為是唯一可接受的方法）
證明了超越數(shù)的存在，也就是具體造出超越數(shù)來(lái)。可是，康托爾1874年發(fā)表的有關(guān)
集合論的頭一篇論文《論所有實(shí)代數(shù)集合的一個(gè)性質(zhì)》斷言，所有實(shí)代數(shù)數(shù)的集合是
可數(shù)的，所有實(shí)數(shù)的集合是不可數(shù)的。因此，非代數(shù)數(shù)的超越數(shù)是存在的，并且其
總數(shù)要比我們熟知的實(shí)代數(shù)數(shù)多得多，也就是說(shuō)超越數(shù)的集合也是不可數(shù)的。

??? 康托爾的這種證明是史無(wú)前例的。他連一個(gè)具體的超越數(shù)都沒(méi)有舉出來(lái)，就
“信口開(kāi)河”的說(shuō)超越數(shù)存在，而且比實(shí)代數(shù)數(shù)的“總數(shù)”多得多，這怎么能不引起當(dāng)
時(shí)數(shù)學(xué)家的懷疑甚至憤怒呢？

??? 其實(shí)，康托爾的著作主要是證明了無(wú)窮之間也有差別，既存在可數(shù)的無(wú)窮，也
存在那種像實(shí)數(shù)集合那樣不可數(shù)的、具有“連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)”的無(wú)窮。過(guò)去數(shù)學(xué)家認(rèn)為靠
得住的只有有限，而無(wú)窮最多只是模模糊糊的一個(gè)記號(hào)。而康托爾把無(wú)窮分成許多
“層次”，這真有點(diǎn)太玄乎了。

??? 1878年，康托爾發(fā)表了集合論第二篇文章，其中把隱含在1847年文章中的“一
一對(duì)應(yīng)”概念提出來(lái)，作為判斷兩個(gè)集合相同或不同的基礎(chǔ)，這就是最原始的等價(jià)
觀念。而兩個(gè)集合相互之間如果能夠一一對(duì)應(yīng)就稱(chēng)為等勢(shì)，勢(shì)的概念于是應(yīng)運(yùn)而生。

??? 從1879年到1884年，康托爾發(fā)表了題為“論無(wú)窮線(xiàn)性點(diǎn)集”的一系列文章，共有
六篇，這些文章奠定了新集合論的基礎(chǔ)。特別是在1883年的文章中引進(jìn)生成新的超
窮數(shù)概念，并且提出了所謂連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，即可數(shù)基數(shù)后面緊接著就是實(shí)數(shù)基數(shù)。他
相信這個(gè)假設(shè)正確，但沒(méi)能證明。這個(gè)假設(shè)對(duì)于二十世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展起著極其
重大的作用。

??? 康托爾最后的集合論著作是1895年和1897年發(fā)表的兩篇文章，其中最重要的是
引進(jìn)“序型”的概念，并定義相應(yīng)的序數(shù)。這個(gè)時(shí)期，反對(duì)集合論的勢(shì)力逐漸削弱，
但是集合論的內(nèi)在矛盾已經(jīng)開(kāi)始暴露出來(lái)了。

??? 康托爾自己最早發(fā)現(xiàn)了集合論的內(nèi)在矛盾。他在1895年文章中遺留下兩大問(wèn)題
未解決：一個(gè)是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，另一個(gè)是所有超窮基數(shù)的可比較性。他雖然認(rèn)為無(wú)窮
基數(shù)有最小數(shù)但沒(méi)有最大數(shù)，但沒(méi)有明顯敘述其矛盾之處。

??? 第一個(gè)發(fā)表集合論悖論的是意大利數(shù)學(xué)家布拉里·福蒂，他指出所有序數(shù)的集
合這個(gè)概念的內(nèi)在矛盾，但是當(dāng)時(shí)認(rèn)為這也許能夠補(bǔ)救。一直到1903年羅素發(fā)表他
的著名悖論，集合論的內(nèi)在矛盾才突出出來(lái)，并成為二十世紀(jì)集合論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研
究的出發(fā)點(diǎn)。

??? 康托爾的集合論是數(shù)學(xué)上最具有革命性的理論，因此它的發(fā)展道路自然很不平
坦。在當(dāng)時(shí)，占統(tǒng)治地位的觀念是：你要證明什么，你就要具體造出什么來(lái)。因
此，人們只能從具體的數(shù)或形出發(fā)，一步一步經(jīng)過(guò)有限多步得出結(jié)論來(lái)。至于“無(wú)
窮”的世界，即完全是超乎人的能力之外，決不是人所能掌握和控制得了的。

??? 反對(duì)集合論最激烈的克洛耐克認(rèn)為只有他研究的數(shù)論及代數(shù)才最可靠。他有一
句著名的話(huà)：“上帝創(chuàng)造了正整數(shù)，其余的是人的工作”。他認(rèn)為除了由數(shù)經(jīng)過(guò)有限
多步推出的事實(shí)，其他一概無(wú)效。他甚至認(rèn)為圓周率 π都不存在，證明 π是超越數(shù)
也毫無(wú)意義。當(dāng)時(shí)柏林是世界數(shù)學(xué)的中心之一，克洛耐克又是柏林學(xué)派的領(lǐng)袖人
物，因此他對(duì)集合論發(fā)展的阻礙作用是非常大的。克洛耐克在1891年去世之后，阻
力一下子減少了，康托爾發(fā)揮出自己的組織才能，積極籌建德國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)(1891
年成立)以及國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(1897年第一屆大會(huì)在蘇黎世召開(kāi))，給集合論獲得承
認(rèn)鋪平了道路。

??? 另—方面，許多大數(shù)學(xué)家支持康托爾的集合論。除了戴德金以外，瑞典的數(shù)學(xué)
家米太格－萊夫勒在自己創(chuàng)辦的國(guó)際性數(shù)學(xué)雜志“數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)”(1882年創(chuàng)刊)上，把康
托爾集合論的論文譯成法文轉(zhuǎn)載，從而大大促進(jìn)了集合論在國(guó)際上的傳播。柏林大
學(xué)教授威爾斯持拉斯也是集合論的同情者，為了捍衛(wèi)集合論而勇敢戰(zhàn)斗的則是希爾
伯特。

??? 從此，圍繞集合論形成了二十世紀(jì)初關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的大論戰(zhàn)。

　

2.2? 集合論簡(jiǎn)介

??? 有限和無(wú)窮的這個(gè)特點(diǎn)可以從下面的小故事反映出來(lái)，這個(gè)故事?lián)f(shuō)是希爾伯
特說(shuō)的。

??? 某一個(gè)市鎮(zhèn)只有一家旅館，這個(gè)旅館與通常旅館沒(méi)有不同，只是房間數(shù)不是有
限而是無(wú)窮多間，房間號(hào)碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。這個(gè)
旅館的房間可排成一列的無(wú)窮集合(1，2，3，4，…)，稱(chēng)為可數(shù)無(wú)窮集。

??? 有一天開(kāi)大會(huì)，所有房間都住滿(mǎn)了。后來(lái)來(lái)了一位客人，堅(jiān)持要住房間。旅館
老板于是引用“旅館公理”說(shuō)：“滿(mǎn)了就是滿(mǎn)了，非常對(duì)不起！”。正好這時(shí)候，聰明
的旅館老板的女兒來(lái)了，她看見(jiàn)客人和她爸爸都很著急，就說(shuō)：“這好辦，請(qǐng)每位
顧客都搬一下，從這間房搬到下一間”。于是1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間，2號(hào)房間
的客人搬到3號(hào)房間……依此類(lèi)推。最后1號(hào)房間空出來(lái)，請(qǐng)這位遲到的客人住下了。

??? 第二天，希爾伯特旅館又來(lái)了一個(gè)龐大的代表團(tuán)要求住旅館，他們聲稱(chēng)有可數(shù)
無(wú)窮多位代表一定要住，這又把旅館經(jīng)理難住了。老板的女兒再一次來(lái)解圍，她
說(shuō)：“您讓1號(hào)房間客人搬到2號(hào)，2號(hào)房間客人搬到4號(hào)……，k號(hào)房間客人搬到2k號(hào)，
這樣，1號(hào)，3號(hào)，5號(hào)，……房間就都空出來(lái)了，代表團(tuán)的代表都能住下了。”

??? 過(guò)一天，這個(gè)代表團(tuán)每位代表又出新花招，他們想每個(gè)人占可數(shù)無(wú)窮多間房來(lái)
安排他們的親戚朋友，這回不僅把老板難住了，連女兒也被難住了。聰明的女兒想
了很久，終于也想出了辦法。（因?yàn)楸容^繁瑣，這里不詳細(xì)介紹了）

??? 希爾伯特旅館越來(lái)越繁榮，來(lái)多少客人都難不閱聰明的老板女兒。后來(lái)女兒進(jìn)
了大學(xué)數(shù)學(xué)系。有一天，康托爾教授來(lái)上課，他問(wèn)：“要是區(qū)間[0，1]上每一點(diǎn)都
占一個(gè)房間，是不是還能安排？”她絞盡腦汁，要想安排下，終于失敗了。康托爾
教授告訴她，用對(duì)角線(xiàn)方法證明一切想安排下的方案都是行不通的。

??? 由康托爾的定理，可知無(wú)窮集合除了可數(shù)集臺(tái)之外還有不可數(shù)集合，可以證
明：不可數(shù)集合的元素?cái)?shù)目要比可數(shù)集合元素?cái)?shù)目多得多。為了表示元素?cái)?shù)目的多
少，我們引進(jìn)“基數(shù)”也稱(chēng)“勢(shì)”的概念，這個(gè)概念是自然數(shù)的自然推廣。可以與自然
數(shù)集合N一一對(duì)應(yīng)的所有集合的共同性質(zhì)是它們都具有相同的數(shù)目，這是最小的無(wú)
窮基數(shù)記做ω。（ω是希伯來(lái)文字母第一個(gè)，讀做阿列夫)。同樣，連續(xù)統(tǒng)(所有實(shí)數(shù)
或[0，1]區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)集合)的基數(shù)是C。康托爾還進(jìn)一步證明，C＝2ω。，問(wèn)
題是C是否緊跟著ω。的第二個(gè)無(wú)窮基數(shù)呢？這就是所謂連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。



3、數(shù)學(xué)的公理化

??? 十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初，數(shù)學(xué)已發(fā)展成為一門(mén)龐大的學(xué)科，經(jīng)典的數(shù)學(xué)部門(mén)
已經(jīng)建立起完整的體系：數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)家開(kāi)始探訪(fǎng)一些
基礎(chǔ)的問(wèn)題，例如什么是數(shù)？什么是曲線(xiàn)？什么是積分？什么是函數(shù)？……另外，怎
樣處理這些概念和體系也是問(wèn)題。

??? 經(jīng)典的方法一共有兩類(lèi)。一類(lèi)是老的公理化的方法，不過(guò)非歐幾何學(xué)的發(fā)展，
各種幾何學(xué)的發(fā)展暴露出它的許多毛病；另一類(lèi)是構(gòu)造方法或生成方法，這個(gè)辦法
往往有局限性，許多問(wèn)題的解決不能靠構(gòu)造。尤其是涉及無(wú)窮的許多問(wèn)題往往靠邏
輯、靠反證法、甚至靠直觀。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是無(wú)法
斷定的。

??? 對(duì)于基礎(chǔ)概念的分析研究產(chǎn)生了一系列新領(lǐng)域—抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分
析、測(cè)度論、積分論。而在方法上的完善，則是新公理化方法的建立，這是希爾伯
特在1899年首先在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中做出的。

　

3.1? 初等幾何學(xué)的公理化

??? 十九世紀(jì)八十年代，非歐幾何學(xué)得到了普遍承認(rèn)之后，開(kāi)始了對(duì)于幾何學(xué)基礎(chǔ)
的探討。當(dāng)時(shí)已經(jīng)非常清楚，歐幾里得體系的毛病很多：首先，歐幾里得幾何學(xué)原
始定義中的點(diǎn)、線(xiàn)、面等不是定義；其次，歐幾里得幾何學(xué)運(yùn)用許多直觀的概念，
如“介于……之間”等沒(méi)有嚴(yán)格的定義；另外，對(duì)于公理系統(tǒng)的獨(dú)立性、無(wú)矛盾性、完
備性沒(méi)有證明。

???? 在十九世紀(jì)八十年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家巴士提出一套公理系統(tǒng)，提出次序公理等
重要概念，不過(guò)他的體系中有的公理不必要，有些必要的公理又沒(méi)有，因此他公理
系統(tǒng)不夠完美。而且他也沒(méi)有系統(tǒng)的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通過(guò)
理想元素的引進(jìn)，把度量幾何包括在射影幾何之中。

??? 十九世紀(jì)八十年代末期起，皮亞諾和他的學(xué)生們也進(jìn)行了一系列的研究。皮亞
諾的公理系統(tǒng)有局限性；他的學(xué)生皮埃利的“作為演繹系統(tǒng)的幾何學(xué)”(1899)，由于
基本概念太少(只有“點(diǎn)”和“運(yùn)動(dòng)”)而把必要的定義和公理弄得極為復(fù)雜，以致整個(gè)
系統(tǒng)的邏輯關(guān)系極為混亂。

??? 希爾伯特的《幾何學(xué)基礎(chǔ)》的出版，標(biāo)志著數(shù)學(xué)公理化新時(shí)期的到來(lái)。希爾伯特
的公理系統(tǒng)是其后一切公理化的楷模。希爾伯特的公理化思想極深刻地影響其后數(shù)
學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展，他這部著作重版多次，已經(jīng)成為一本廣為流傳的經(jīng)典文獻(xiàn)了。

??? 希爾伯特的公理系統(tǒng)與歐幾里得及其后任何公理系統(tǒng)的不同之處，在于他沒(méi)有
原始的定義，定義通過(guò)公理反映出來(lái)。這種思想他在1891年就有所透露。他說(shuō)：
“我們可以用桌子、椅子、啤酒杯來(lái)代替點(diǎn)、線(xiàn)、面”。當(dāng)然，他的意思不是說(shuō)幾何
學(xué)研究桌、椅、啤酒懷，而是在幾何學(xué)中，點(diǎn)、線(xiàn)、面的直觀意義要拋掉，應(yīng)該研
究的只是它們之間的關(guān)系，關(guān)系由公理來(lái)體現(xiàn)。幾何學(xué)是對(duì)空間進(jìn)行邏輯分析，而
不訴諸直觀。

??? 希爾伯特的公理系統(tǒng)包括二十條公理，他把它們分為五組：第一組八個(gè)公理，
為關(guān)聯(lián)公理（從屬公理）；第二組四個(gè)公理，為次序公理；第三組五個(gè)公理；第四
組是平行公理；第五組二個(gè)，為連續(xù)公理。

??? 希爾伯特在建立公理系統(tǒng)之后，首要任務(wù)是證明公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。這個(gè)要
求很自然，否則如果從這個(gè)公理系統(tǒng)中推出相互矛盾的結(jié)果來(lái)，那么這個(gè)公理系統(tǒng)
就會(huì)毫無(wú)價(jià)值。希爾伯特在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》第二章中證明了他的公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾
性。這次，他不能象非歐幾何那樣提出歐氏模型，他提出的是算術(shù)模型。

??? 實(shí)際上，由解析幾何可以把點(diǎn)解釋為三數(shù)組(可以理解為坐標(biāo)(x、y、z))，直
線(xiàn)表示為方程，這樣的模型不難證明是滿(mǎn)足所有20個(gè)公理的。因此，公理的推論若
出現(xiàn)矛盾，則必定在實(shí)數(shù)域的算術(shù)中表現(xiàn)出來(lái)。這就把幾何學(xué)公理的無(wú)矛盾性變成
實(shí)數(shù)算術(shù)的無(wú)矛盾性。

??? 其次，希爾伯特考慮了公理系統(tǒng)的獨(dú)立性，也就是說(shuō)公理沒(méi)有多余的。一個(gè)公
理如果由其他公理不能推出它來(lái)，它對(duì)其他公理是獨(dú)立的。假如把它從公理系統(tǒng)中
刪除，那么有些結(jié)論就要受到影響。希爾伯特證明獨(dú)立性的方法是建造模型，使其
中除了要證明的公理(比如說(shuō)平行公理)之外其余的公理均成立，而且該公理的否定
也成立。

??? 由于這些公理的獨(dú)立性和無(wú)矛盾性，因此可以增減公理或使其中公理變?yōu)榉?
定，并由此得出新的幾何學(xué)。比如平行公理?yè)Q成其否定就得到非歐幾何學(xué)；阿基米
德公理（大意是一個(gè)短線(xiàn)段經(jīng)過(guò)有限次重復(fù)之后，總可以超出任意長(zhǎng)的線(xiàn)段）換成
非阿基米德的公理就得到非阿基米德幾何學(xué)。希爾伯特在書(shū)中詳盡地討論了非阿基
米德幾何學(xué)的種種性質(zhì)。

??? 希爾伯特對(duì)初等幾何公理的無(wú)矛盾性是相對(duì)于實(shí)數(shù)的無(wú)矛盾性，因此自然要進(jìn)
一步考慮實(shí)數(shù)系的公理化及其無(wú)矛盾性，于是首當(dāng)其沖的問(wèn)題是算術(shù)的公理化。

　

3.2? 算術(shù)的公理化

??? 數(shù)學(xué)，顧名思義是一門(mén)研究數(shù)的科學(xué)。自然數(shù)和它的計(jì)算——算術(shù)是數(shù)學(xué)最明顯
的出發(fā)點(diǎn)。歷史上不少人認(rèn)為，所有經(jīng)典數(shù)學(xué)都可以從自然數(shù)推導(dǎo)出來(lái)。可是，一
直到十九世紀(jì)末，卻很少有人解釋過(guò)什么是數(shù)？什么是0？什么是1？這些概念被認(rèn)
為是最基本的概念，它們是不是還能進(jìn)一步分析，這是一些數(shù)學(xué)家關(guān)心的問(wèn)題。因
為一旦算術(shù)有一個(gè)基礎(chǔ)，其他數(shù)學(xué)部門(mén)也就可以安安穩(wěn)穩(wěn)建立在算術(shù)的基礎(chǔ)上。

??? 什么東西可以做為算術(shù)的基礎(chǔ)呢？在歷史上有三種辦法：康托爾的基數(shù)序數(shù)理
論，他把自然數(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，并把自然數(shù)向無(wú)窮推廣；弗雷格和羅素把
數(shù)完全通過(guò)邏輯詞匯來(lái)定義，把算術(shù)建立在純邏輯的基礎(chǔ)上；用公理化的方法通過(guò)
數(shù)本身的性質(zhì)來(lái)定義，其中最有名的是皮亞諾公理。

??? 在皮亞諾之前，有戴德金的公理化定義。他的方法是準(zhǔn)備向有理數(shù)、實(shí)數(shù)方面
推廣，為數(shù)學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。他們也都注意到邏輯是基礎(chǔ)，但都有非邏輯公理。

??? 1888年，戴德金發(fā)表《什么是數(shù)，什么是數(shù)的目的？》一文，闡述他的數(shù)學(xué)觀
點(diǎn)。他把算術(shù)(代數(shù)、分析)看成邏輯的一部分，數(shù)的概念完全不依賴(lài)人對(duì)空間、時(shí)
間的表象或直覺(jué)。他說(shuō)“數(shù)是人類(lèi)心靈的自由創(chuàng)造，它們做為一個(gè)工具，能使得許
許多多事物能更容易、更精確地板掌握”。而創(chuàng)造的方法正是通過(guò)邏輯。他的定義
是純邏輯概念——類(lèi)(System)，類(lèi)的并與交，類(lèi)之間的映射，相似映射(不同元素映
到不同元素)等等。通過(guò)公理定義，戴德金證明數(shù)學(xué)歸納法。但是他沒(méi)有能夠直接
從純邏輯名詞來(lái)定義數(shù)。

??? 1889年，皮亞諾發(fā)表他的《算術(shù)原理：新的論述方法》，其中明顯地做了兩件
事：第一，把算術(shù)明顯地建立在幾條公理之上；第二，公理都用新的符號(hào)來(lái)表達(dá)。
后來(lái)皮亞諾刻劃數(shù)列也同弗雷格一樣是從0開(kāi)始，但是他對(duì)數(shù)的概念也同戴德金一
樣，是考慮序數(shù)。

??? 皮亞諾的興趣主要在于清楚地表述了數(shù)學(xué)結(jié)果，他編制的數(shù)理邏輯符號(hào)（1894
年發(fā)表于《數(shù)學(xué)論集》）也主要是如此，而不是為了哲學(xué)分析。1900年羅素從皮亞諾
學(xué)習(xí)這套符號(hào)之后，才對(duì)邏輯、哲學(xué)同時(shí)也對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大沖擊。

??? 從1894年到1908年，皮亞諾接連五次出版了《數(shù)學(xué)論集》的續(xù)集，每一次都把他
提出的五個(gè)公理(只是用0代1)作為算術(shù)的基礎(chǔ)。但是皮亞諾除了邏輯符號(hào)之外，還
有其他三個(gè)基本符號(hào)，即：數(shù)、零、后繼。因此，他還不象弗雷格及羅素那樣把數(shù)
完全建立在邏輯基礎(chǔ)上。

??? 他的公理系統(tǒng)也是有毛病的,特別是第五公理涉及所有性質(zhì)，因此須要對(duì)性質(zhì)
或集合有所證明。有人把它改為可數(shù)條公理的序列，這樣一來(lái)，由公理系所定義的
就不單純是自然數(shù)了。斯科蘭姆在1934年證明，存在皮亞諾公理系統(tǒng)購(gòu)非標(biāo)準(zhǔn)模
型，這樣就破壞了公理系統(tǒng)的范疇性。

　

3.3? 其他數(shù)學(xué)對(duì)象的公理化

??? 在十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初的公理化浪潮中，一系列數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行了公理化，
這些公理化一般在數(shù)學(xué)中進(jìn)行。例如由于解代數(shù)方程而引進(jìn)的域及群的概念，在當(dāng)
時(shí)都是十分具體的，如置換群。只有到十九世紀(jì)后半葉，才逐步有了抽象群的概念
并用公理刻劃它。群的公理由四條組成，即封閉性公理、兩個(gè)元素相加(或相乘)仍
對(duì)應(yīng)唯一的元素、運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律、有零元素及逆元素存在。

??? 群在數(shù)學(xué)中是無(wú)處不在的，但是抽象群的研究一直到十九世紀(jì)末才開(kāi)始。當(dāng)
然，它與數(shù)理邏輯有密切的關(guān)系。有理數(shù)集體、實(shí)數(shù)集體、復(fù)數(shù)集體構(gòu)成抽象域的
具體模型，域的公理很多。另外，環(huán)、偏序集合、全序集合、格、布爾代數(shù)，都已
經(jīng)公理化。

??? 另一大類(lèi)結(jié)構(gòu)是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，拓?fù)淇臻g在1914年到1922年也得到公理化，泛函分
析中的希爾伯特空間，巴拿赫空間也在二十年代完成公理化，成為二十世紀(jì)抽象數(shù)
學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)。在模型論中，這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)成為邏輯語(yǔ)句構(gòu)成理論的模型。



第三章：悖論及其解決方案

　

1、一連串悖論的出現(xiàn)

　

??? 羅素的悖論以其簡(jiǎn)單明確震動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界，造成第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但是，羅
素悖論并不是頭一個(gè)悖論。老的不說(shuō)，在羅素之前不久，康托爾和布拉里·福蒂已
經(jīng)發(fā)現(xiàn)集合論中的矛盾。羅素悖論發(fā)表之后，更出現(xiàn)了一連串的邏輯悖論。這些悖
論使入聯(lián)想到古代的說(shuō)謊者悖論。即“我正在說(shuō)謊”，“這句話(huà)是謊話(huà)”等。這些悖論
合在一起，造成極大問(wèn)題，促使大家都去關(guān)心如何解決這些悖論。

??? 頭一個(gè)發(fā)表的悖論是布拉里·福蒂悖論，這個(gè)悖論是說(shuō)，序數(shù)按照它們的自然
順序形成一個(gè)良序集。這個(gè)良序集合根據(jù)定義也有一個(gè)序數(shù)Ω，這個(gè)序數(shù)Ω由定義應(yīng)
該屬于這個(gè)良序集。可是由序數(shù)的定義，序數(shù)序列中任何一段的序數(shù)要大于這段之
內(nèi)的任何序數(shù)，因此Ω應(yīng)該比任何序數(shù)都大，從而又不屬于Ω。這是布拉里·福蒂
1897年3月28日在巴洛摩數(shù)學(xué)會(huì)上宣讀的一篇文章里提出的。這是頭一個(gè)發(fā)表的近
代悖論，它引起了數(shù)學(xué)界的興趣，并導(dǎo)致了以后許多年的熱烈討論。有幾十篇文章
討論悖論問(wèn)題，極大地推動(dòng)了對(duì)集合論基礎(chǔ)的重新審查。

??? 布拉里·福蒂本人認(rèn)為這個(gè)矛盾證明了這個(gè)序數(shù)的自然順序只是一個(gè)偏序，這
與康托爾在幾個(gè)月以前證明的結(jié)果序數(shù)集合是全序相矛盾，后來(lái)布拉里·福蒂在這
方面并沒(méi)有做工作。

??? 羅素在他的《數(shù)學(xué)的原理》中認(rèn)為，序數(shù)集雖然是全序，但并非良序，不過(guò)這種
說(shuō)法靠不住，因?yàn)槿魏谓o定序數(shù)的初始一段都是良序的。法國(guó)邏輯學(xué)家茹爾丹找到
—條出路，他區(qū)分了相容集和不相容集。這種區(qū)分實(shí)際上康托爾已經(jīng)私下用了許多
年了。不久之后，羅素在1905年一篇文章中對(duì)于序數(shù)集的存在性提出了疑問(wèn)，策梅
羅也有同樣的想法，后來(lái)的許多人在這個(gè)領(lǐng)域都持有同樣的想法。

??? 布拉里·福蒂文章中對(duì)良序集有一個(gè)錯(cuò)誤的概念，這個(gè)概念是康托爾1883年引
進(jìn)來(lái)的，但—直沒(méi)有受到什么重視。1887年8月，在布拉里·福蒂的文章發(fā)表以后，
阿達(dá)馬在第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上仍然給出了一個(gè)錯(cuò)誤的良序集的定義。因?yàn)椴祭?
里．福蒂所考慮的關(guān)于良序集的概念太弱了，他不得不引進(jìn)自己的完全序。這兩個(gè)
概念并不一致，每一個(gè)良序集是完全序集，但是反過(guò)來(lái)不對(duì)。布拉里·福蒂很快就
認(rèn)識(shí)到他的錯(cuò)誤，他在1897年10月的一篇文章中指出這兩個(gè)概念的不同，但是他沒(méi)
有重新檢查自己的證明。一直到1906年初他給庫(kù)圖拉的—封信中，他似乎還認(rèn)為：
一旦良序集和完全序集的區(qū)別被人們認(rèn)識(shí)到，在他的文章中揭示的矛盾就會(huì)消除。

??? 康托爾1899年7月28日給戴德金的信中，談到布拉里·福蒂所提到的矛盾，這個(gè)
矛盾并沒(méi)有導(dǎo)致康托爾放棄集合的良序性，而放棄了它的集合性。他把集合分為兩
類(lèi)：相容集合和不相容集合，而只把前者叫做集合。這種區(qū)分法預(yù)示了馮·諾依曼
在1925年引進(jìn)的集合和類(lèi)的區(qū)別。但是康托爾對(duì)于這種區(qū)分的判斷標(biāo)準(zhǔn)仍然是不精
確的。如果我們把一個(gè)集體考慮為一個(gè)對(duì)象而沒(méi)有矛盾，它是一個(gè)集合。這個(gè)想法
后來(lái)改進(jìn)為：當(dāng)一個(gè)集體是另一個(gè)集體的元素，它是一個(gè)集合。

??? 這種相容集體和不相容集體的區(qū)別早已被施羅德引進(jìn)來(lái)。他認(rèn)為如果集體的元
素彼此是相容的，它是相容的；而如果集體的元素彼此是不相容的，它是不相容
的。有趣的是施羅德引進(jìn)的這種區(qū)分和悖論沒(méi)有關(guān)系，因?yàn)檫@種現(xiàn)代形式的悖論當(dāng)
時(shí)還不知道。康托爾關(guān)于集體的敘述——兩個(gè)等價(jià)的集體或者都是集合，或者都是不
相容的，可以看成是取代公理的最早的表述。這個(gè)公理是弗蘭克爾和斯科蘭姆在
1922年提出的。

??? 布拉里·福蒂的悖論揭示了康托爾集合論的矛盾。其實(shí)，康托爾本人在這之前
已經(jīng)意識(shí)到集合論的內(nèi)在矛盾。他在1899年7月28日給戴德金的信中指出，不能談
論由一切集合構(gòu)成的集合，否則就會(huì)陷入矛盾。這實(shí)際上就是羅素悖論的內(nèi)容。

??? 康托爾最大基數(shù)悖論和布拉里·福蒂悖論到羅素悖論都是集合論悖論，它們直
接同康托爾樸素集合論的不嚴(yán)格性有關(guān)。毛病出在集合的定義上，也就是任何性質(zhì)
就對(duì)應(yīng)一個(gè)具有這種性質(zhì)的集合，這就是所謂內(nèi)函公理組。集合論的這種矛盾必須
通過(guò)削弱這個(gè)錯(cuò)誤的公理組才能解決。

??? 羅素的悖論發(fā)表之后，接著又發(fā)現(xiàn)一系列悖論（后來(lái)歸入所謂語(yǔ)義悖論）：

??? 1、理查德悖論。法國(guó)第戎中學(xué)教師理查德在1905年發(fā)表了一個(gè)悖論，大意如
下：法語(yǔ)中某些片語(yǔ)表示實(shí)數(shù)，比如“一個(gè)圓的圓周與直徑之比”就表示實(shí)數(shù)π。法
語(yǔ)字母也象英語(yǔ)字母一樣有一定的順序，所以我們可以把所有片語(yǔ)按照字母順序排
列，然后按照片語(yǔ)中字母的多少排列，少的在前，多的在后。這樣我們把能用片語(yǔ)
表達(dá)的實(shí)數(shù)排成一個(gè)序列，al，a2，a：，……。于是就得到了所有能用有限多字(字
母)定義的數(shù)了。它們構(gòu)成了一個(gè)可數(shù)集合E。現(xiàn)在我們提出一個(gè)規(guī)則把這個(gè)序列改
變一下造成一個(gè)數(shù)來(lái)：“設(shè)E中第n個(gè)數(shù)的第n位為p，我們?cè)煲粋€(gè)實(shí)數(shù)如下：其整數(shù)
部分為0，如果p不是8或9；其第n位小數(shù)為p＋1，要是p是8或9的話(huà)，則第n位變成
1”。這個(gè)實(shí)數(shù)顯然不屬于E，因?yàn)樗虴中每個(gè)數(shù)都不一樣。但是它們卻可以由上面
有限多個(gè)字組成的話(huà)來(lái)表示，因此應(yīng)該屬于E，這就出現(xiàn)矛盾。

??? 理查德提出的悖論是因?yàn)榭吹椒▏?guó)《純粹科學(xué)與應(yīng)用科學(xué)通論》1905年3月30日
一期的編者按語(yǔ)而寫(xiě)的。編者談到，1904年8月在德國(guó)海德?tīng)柋ふ匍_(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家
大會(huì)上，德國(guó)數(shù)學(xué)家寇尼格證明連續(xù)統(tǒng)是不能夠良序化的。可是一個(gè)月后，德國(guó)數(shù)
學(xué)家策梅羅卻證明了任何集合都能良序化，理查德從這段話(huà)中看到了集合論中存在
“某些矛盾”，這些矛盾和良序性和序數(shù)的概念有關(guān)系，于是他給該刊物編輯部寫(xiě)了
一封信，登在1905年6月號(hào)上，編者還加了按語(yǔ)。

??? 2、培里悖論。培里是英國(guó)的圖書(shū)館管理員。有一天他告訴羅素下面的悖論：
英語(yǔ)中只有有限多個(gè)音節(jié)，只有有限多英語(yǔ)表達(dá)式包含少于40個(gè)音節(jié)，所以，用少
于40個(gè)音節(jié)的表達(dá)式表示的正數(shù)數(shù)目只有有限多個(gè)。假設(shè)R為不能由少于40個(gè)普的
英語(yǔ)表達(dá)式來(lái)表示的最小正整數(shù)(The least positive integer which is not
denotedby an? expression in the English language containing fewer than
forty? syllables)。但是，這段英語(yǔ)只包含三十幾個(gè)音節(jié)，肯定比40個(gè)少，而且
表示R，這自然產(chǎn)生了矛盾。

??? 3．格瑞林和納爾遜悖論。納爾遜是新康德主義的小流派之一弗瑞斯派的代
表。1908年他和他的學(xué)生格瑞林把下面的悖論發(fā)表在弗瑞斯派的一個(gè)文集上，通常
稱(chēng)為格瑞林悖論。如果一個(gè)形容詞所表示的性質(zhì)適用于這個(gè)形容詞本身，比如“黑
的”兩字的確是黑的，那么這個(gè)形容詞稱(chēng)為自適用的。反之，一個(gè)形容詞如果不具
有自適用的性質(zhì)，就叫做非自適用的。在英語(yǔ)中：“Polysyllabic”(多音節(jié)的)，
“English”(英語(yǔ)的)這些詞都是自適用的形容詞，而“monosyllabic”(單音節(jié)的)、
“French”(法語(yǔ)的)這些詞就是非自適用的。現(xiàn)在我們來(lái)考慮“非自適用的”這個(gè)形容
詞，它是自適用的還是非自適用的呢？如果“非自運(yùn)用的”是非自適用的，那么它就
是自適用的；如果“非自適用的”是自適用的，那么按照這詞的意思，則它是非自適
用的，這就導(dǎo)出矛盾。

　

2、悖論動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

　

??? 1900年左右，數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)龐大的領(lǐng)域了。當(dāng)時(shí)純數(shù)學(xué)大致分為算術(shù)
—代數(shù)、幾何和數(shù)學(xué)分析。隨著第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，數(shù)學(xué)分析建立在極限理論
基礎(chǔ)上。而極限理論中，有些基本性質(zhì)要由“單調(diào)有界的數(shù)列必有極限”這個(gè)定理來(lái)
證明。這個(gè)定理從直觀上看盡管很明顯，但是追求嚴(yán)密性的數(shù)學(xué)家很早就要求不靠
直觀而靠邏輯來(lái)證明，要求一切定理都從比較簡(jiǎn)單的公理推導(dǎo)出來(lái)。

??? 要推導(dǎo)極限的性質(zhì)，必須對(duì)數(shù)列有明確的概念。這里的數(shù)不只是有理數(shù)，還包
括無(wú)理數(shù)，這兩種數(shù)構(gòu)成實(shí)數(shù)的集合。所以，當(dāng)務(wù)之急就是建立起嚴(yán)格的“實(shí)數(shù)”理
論。戴德金在1872年發(fā)表了《這續(xù)性與無(wú)理數(shù)》這本專(zhuān)著，同年康托爾也發(fā)表實(shí)數(shù)理
論的文章。康托爾通過(guò)一定的有理數(shù)序列(基本序列)來(lái)定義實(shí)數(shù)。而戴德金則利用
有理數(shù)集合的分割來(lái)定義實(shí)數(shù)。他們的理論雖然邏輯上可靠，但是都不太自然，依
賴(lài)于有理數(shù)的集合概念。這樣一來(lái)，實(shí)數(shù)理論的無(wú)矛盾性就歸結(jié)為有理數(shù)論，進(jìn)而
歸結(jié)成自然數(shù)論的無(wú)矛盾性了。

??? 自古以來(lái)，大家都認(rèn)為自然數(shù)的算術(shù)是天經(jīng)地義、不容懷疑的。不過(guò)有些數(shù)學(xué)
家如弗雷格和戴德金又進(jìn)一步把自然數(shù)歸結(jié)為邏輯與集合論。這樣一來(lái)，集合論與
邏輯成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。羅素悖論一出現(xiàn)，集合論靠不住了，自然數(shù)的算術(shù)也成
問(wèn)題，這樣一來(lái)，整個(gè)數(shù)學(xué)大廈都動(dòng)搖了。無(wú)怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在
他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第二卷末尾寫(xiě)道：“一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難
堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)跨掉了。當(dāng)本書(shū)等待付印的時(shí)候，羅素
先生的一封信把我置于這種境地”。戴德金原來(lái)打算把《連續(xù)性及無(wú)理數(shù)》第三版付
印，這時(shí)也把稿件抽了回來(lái)。他也覺(jué)得由于羅素悖論，整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)都靠不住了。

??? 悖論涉及的是集合、屬于、所有(全部)性質(zhì)與集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系、無(wú)窮這些最基
本的概念。這些：概念在數(shù)學(xué)中是天天必須用到的。如果不加以澄清，在數(shù)學(xué)證明
的過(guò)程中，不是這里就是那里就會(huì)出毛病。

??? 有了毛病，有的人就主張把集合論全盤(pán)推倒，只考慮有限的東西，這樣不僅把
數(shù)學(xué)內(nèi)容砍掉了一大半，而且無(wú)窮的問(wèn)題仍會(huì)出現(xiàn)。另一部分人則主張限制這些概
念的使用范圍，當(dāng)然限制太多了，就縮小了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而限制太少了又會(huì)出現(xiàn)矛
盾，所以要在這兩者之間找到一種最好的解決辦法。從二十世紀(jì)初，人們就一直在
找，雖然并沒(méi)有得到最終滿(mǎn)意的解決，不過(guò)給數(shù)學(xué)提供一個(gè)可靠的基礎(chǔ)還是可以辦
得到的。

　


3、羅素的類(lèi)型論

??? 1901年6月羅素發(fā)現(xiàn)了“悖論”。他在1902年6月16日把這個(gè)悖論告訴了弗雷格。
他在1903年出版的《數(shù)學(xué)的原理》中，有一段可能是在1901年寫(xiě)的，他寫(xiě)道：“作為
多的類(lèi)與類(lèi)的項(xiàng)具有不同的類(lèi)型”；“整個(gè)秘密的關(guān)鍵是邏輯類(lèi)型的不同”。對(duì)這個(gè)
問(wèn)題的解決，他只寫(xiě)了不到三十行。他還考查了其他的解決辦法，覺(jué)得它們都不令
人滿(mǎn)意，于是得出結(jié)論：“沒(méi)有適當(dāng)?shù)恼軐W(xué)涉及到上述的矛盾，這些矛盾直接從常
識(shí)中得出，也只能通過(guò)拋棄掉某些常識(shí)的假定而解決”。但是在這本書(shū)出版之前，
羅素感覺(jué)到這個(gè)題目還應(yīng)該更加注意，于是他寫(xiě)了大約六頁(yè)的一個(gè)附錄，“嘗試性
地提出了類(lèi)型論”，他要求在回答所有問(wèn)題之前變成為更加精致的形式。自然，當(dāng)
時(shí)羅素已經(jīng)知道其他的悖論了，例如布拉里·福蒂悖論和最大基數(shù)悖論。

??? 大約1905年12月，羅素拋棄了類(lèi)型論。為了克服由悖論引起的困難，他提出了
三種理論：1、曲折理論，命題函數(shù)非常簡(jiǎn)單時(shí)才決定類(lèi)，而當(dāng)它們復(fù)雜時(shí)就不能
決定類(lèi)；2、限制大小的理論，不存在象所有實(shí)體的類(lèi)的東西；3、非類(lèi)理論，類(lèi)和
關(guān)系完全都禁用。這篇文章甚至投有提到類(lèi)型論。1906年2月5日，羅素在這篇文章
末尾加了一個(gè)注：“通過(guò)更進(jìn)一步的研究，我一點(diǎn)也不懷疑非類(lèi)理論能夠解決本文
第一節(jié)所陳述的所有困難”。這就是說(shuō)，能夠解決悖論。

??? 非類(lèi)理論的中心思想是它不講滿(mǎn)足某種結(jié)定語(yǔ)句的所有對(duì)象的類(lèi)，而只講語(yǔ)句
本身和其中的代換。于是關(guān)于指定類(lèi)的討論都可以用語(yǔ)句和代換來(lái)表述。但是當(dāng)我
們討論一般的類(lèi)作為可量詞化變?cè)闹禃r(shí)，這種討論德意義就不明顯了。在這篇文
章中，羅素已經(jīng)承認(rèn)對(duì)于大部分經(jīng)典數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，非類(lèi)理論的可能證明是不適當(dāng)?shù)摹?
他在1906年2月加的附注中表現(xiàn)出他對(duì)于剛剛拋棄的類(lèi)型論又重新燃起希望。果
然，他很快就回來(lái)進(jìn)一步細(xì)致地研究類(lèi)型論，并于1906年7月發(fā)表論文了。

??? 羅素把悖論加以分析之后認(rèn)為：一切悖論的共同特征是“自我指謂”或自指示、
自反性，它們都來(lái)源于某種“惡性循環(huán)”。這種惡性循環(huán)來(lái)源于某種不合法的集體
(或總體或全體)。這類(lèi)集體的不合法之處在于，定義它的成員時(shí)，要涉及到這個(gè)集
體的整體。羅素悖論是最明顯的例子。定義不屬于自身的集合時(shí)，涉及到“自身”這
個(gè)整體，這是不合法的，這種涉及自身的定義稱(chēng)為非直謂定義。所以要避免悖論，
只需遵循“(消除)惡性循環(huán)原理”，“凡是涉及一個(gè)集體的整體的對(duì)象，它本身不能
是該集體的成員”。根據(jù)這個(gè)原則，羅素提出他的分支類(lèi)型論。

??? 羅素把論域分成為等級(jí)或者類(lèi)型，只有當(dāng)滿(mǎn)足某一給定條件的所有對(duì)象都屬于
同一類(lèi)型時(shí)，我們才能談到他們的全體，于是一個(gè)類(lèi)的所有成員必定全都具有同一
類(lèi)型。同樣，任何一個(gè)量詞化的變?cè)脖囟ㄓ型活?lèi)型。這樣羅素就引導(dǎo)談?wù)摗八?
有”和“任何”的區(qū)別。“所有”由普遍量詞的束縛變?cè)獊?lái)表示，它們跑遍一個(gè)類(lèi)型；
而“任何”則由自由變?cè)獊?lái)表示，它們可以指任何不確定的事物，而不管其類(lèi)型如
何。因此自由變?cè)菦](méi)有任何妨礙的。

??? 但是，分支類(lèi)型論禁例太嚴(yán)，以致無(wú)法推出全部數(shù)學(xué)。為此羅素引進(jìn)可化歸公
理：“任何公式都可以和一個(gè)直謂公式等價(jià)”。也就是都可以化為含n級(jí)變?cè)膎＋1
級(jí)公式。這樣一來(lái)可以不必考慮約束變?cè)募?jí)了。這種類(lèi)型論稱(chēng)為簡(jiǎn)單類(lèi)型論。

??? 由于集合(類(lèi))和謂詞(命題函數(shù))是平行的，因此我們可以用集合更簡(jiǎn)單地解釋
一下：簡(jiǎn)單類(lèi)型論是由一系列層構(gòu)成的系統(tǒng)，最底一層是第0級(jí)，上面各層、各級(jí)
都是同一類(lèi)的型構(gòu)成，最低一層的元素稱(chēng)為個(gè)體，由這些個(gè)體所成的類(lèi)就構(gòu)成第一
級(jí)的類(lèi)，由一級(jí)的類(lèi)為元素所成的類(lèi)就構(gòu)成第二級(jí)的類(lèi)，依此類(lèi)推。

??? 1926年，英國(guó)年輕數(shù)學(xué)家拉姆塞把悖論區(qū)別為邏輯悖論(或謂詞悖論、集合論
悖論)及語(yǔ)義悖論(或認(rèn)識(shí)論悖論)。他證明對(duì)于集合論悖論，簡(jiǎn)單類(lèi)型論就足以消
除。因?yàn)檫@種悖論只牽涉到謂詞和變?cè)年P(guān)系，它們不同級(jí)便可以消除悖論了。但
是語(yǔ)義悖論要涉及到謂詞本身，非得分支類(lèi)型論不可。

??? 雖然類(lèi)型論可以消除悖論，但是缺點(diǎn)很多，非常煩瑣，特別是可化歸公理的引
進(jìn)，具有很大的任意性，因此受到很多批評(píng)。不過(guò)它的歷史作用還是很大的，也借
助它，羅素才實(shí)現(xiàn)他的邏輯主義綱領(lǐng)，完成前人沒(méi)有完成的計(jì)劃。

??? 羅素和懷特海的《數(shù)學(xué)原理》出版之后，許多人對(duì)于其系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化與改進(jìn)。特
別是哥德?tīng)柤八査够?940年，丘奇給簡(jiǎn)單類(lèi)型論一個(gè)新的表述。類(lèi)型論至今仍
是數(shù)理邏輯中主要的系統(tǒng)之一。

　


4、策梅羅的公理集合論

　

??? 1908年，策梅羅采用把集合論公理化的方法來(lái)消除羅素悖論。他的著名論文
《關(guān)于集合論基礎(chǔ)的研究》是這樣開(kāi)始的：“集合論是這樣一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的任務(wù)
就是從數(shù)學(xué)上以最為簡(jiǎn)單的方式來(lái)研究數(shù)、序和函數(shù)等基本概念，并借此建立整個(gè)
算術(shù)和分析的邏輯基礎(chǔ)；因此構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的必不可少的組成部分。但是在當(dāng)
前，這門(mén)學(xué)科的存在本身似乎受到某種矛盾或者悖論的威脅，而這些矛盾和悖論似
乎是從它的根本原理導(dǎo)出來(lái)的。而且一直到現(xiàn)在，還沒(méi)有找到適當(dāng)?shù)慕鉀Q辦法。面
對(duì)著羅素關(guān)于‘所有不包含以自己為元素的集合的集合’的悖論，事實(shí)上，它今天似
乎不能再容許任何邏輯上可以定義的概念‘集合’或‘類(lèi)’為其外延。康托爾原來(lái)把集
合定義為我們直覺(jué)或者我們思考的確定的不同的對(duì)象做為一個(gè)總體。肯定要求加上
某種限制，雖然到現(xiàn)在為止還沒(méi)有成功地用另外同樣簡(jiǎn)單的定義代替它，而不引起
任何疑慮。在這種情況下，我們沒(méi)有別的辦法，而只能?chē)L試反其道而行之。也就是
從歷史上存在的集合論出發(fā)，來(lái)得出一些原理，而這些原理是作為這門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科的
基礎(chǔ)所要求的。這個(gè)問(wèn)題必須這樣地解決，使得這些原理足夠地狹窄，足以排除掉
所有的矛盾。同時(shí)，又要足夠地寬廣，能夠保留這個(gè)理論所有有價(jià)值的東西。”

??? 在這篇文章中，策梅羅實(shí)行的計(jì)劃，是把集合論變成一個(gè)完全抽象的公理化理
論。在這樣一個(gè)公理化理論中，集合這個(gè)概念一直不加定義，而它的性質(zhì)就由公理
反映出來(lái)。他不說(shuō)什么是集合，而只講從數(shù)學(xué)上怎樣來(lái)處理它們，他引進(jìn)七條公
理：決定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、單元素公理、對(duì)集公理)、
分離公理、冪集公理、并集公理、選擇公理、無(wú)窮公理(稍稍改變一下原來(lái)形式)。

??? 實(shí)際上策梅羅的公理系統(tǒng)Z(公理1至7)把集合限制得使之不要太大，從而回避
了比如說(shuō)所有“對(duì)象”，所有序數(shù)等等，從而消除羅素悖論產(chǎn)生的條件。策梅羅不把
集合只簡(jiǎn)單看成一些集團(tuán)或集體，它是滿(mǎn)足七條公理的條件的“對(duì)象”，這樣排除了
某些不適當(dāng)?shù)摹凹稀薄Ｌ貏e是產(chǎn)生悖論的原因是定義集合的所謂內(nèi)函公理組，如今
已換成弱得多的分離公理組。

??? 策梅羅首次提出的集合論公理系統(tǒng)，意義是非常重大的。但是，其中有許多缺
點(diǎn)相毛病。比如：公理3的確定性質(zhì)的含義并不清楚，他的公理沒(méi)有涉及邏輯基
礎(chǔ)，選擇公理有許多爭(zhēng)議等等。后來(lái)經(jīng)許多人加以嚴(yán)格處理及補(bǔ)充，才成為嚴(yán)格的
公理系統(tǒng)，即ZF或ZFS系統(tǒng)。其中Z代表策梅羅，F代表弗蘭克爾，S代表斯科蘭姆。
這里面特別是有斯科蘭姆和弗蘭克爾進(jìn)行的改進(jìn)。但是一般的ZF中往往不包括選擇
公理，如果加進(jìn)選擇公理則寫(xiě)為ZFC(AC是Axiom of Choice的縮寫(xiě)，有時(shí)簡(jiǎn)寫(xiě)為C)

??? 策梅羅的公理系統(tǒng)發(fā)表之后，遭到各方面的批評(píng)。特別是斯科蘭姆1922年在8
月份在赫爾辛基召開(kāi)的第五屆斯堪的納維亞數(shù)學(xué)家大會(huì)上做了公理化集合論的報(bào)
告，他對(duì)策梅羅公理系統(tǒng)提出了八點(diǎn)批評(píng)：

??? 1、為了討論集合，我們必須從對(duì)象“域”開(kāi)始，也就是用某種方法構(gòu)成的域；
2、策梅羅關(guān)于確定的命題要有一個(gè)定義使得它精確化；3、在所有完全的公理化
中，集合論的概念不可避免地是相對(duì)的；4、策梅羅的公理系統(tǒng)不足以提供通常集
合論的基礎(chǔ)；5、當(dāng)人們打算證明公理的無(wú)矛盾時(shí)，謂語(yǔ)句所引起的困難；6、對(duì)象
域B的不唯一性；7、數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于抽象給出的公理系統(tǒng)的必要性；8、選擇公理
的問(wèn)題。

??? 另一方面，許多人對(duì)策梅羅公理集合論提出許多改進(jìn)意見(jiàn)。首先Z太狹窄不足
以滿(mǎn)足對(duì)集合論的合法需要，有許多集合不能由它產(chǎn)生出來(lái)，也不能夠由此造出序
數(shù)的一般理論和超窮歸納法。為了彌補(bǔ)這個(gè)缺陷，弗蘭克爾加進(jìn)一個(gè)公理組即代換
公理。另外，弗蘭克爾還把公理以符號(hào)邏輯表示出來(lái)，形成了現(xiàn)在通用的ZF系統(tǒng)。

??? 一般認(rèn)為經(jīng)過(guò)弗蘭克爾改進(jìn)的策梅羅集合論公理系統(tǒng)，再加上選擇公理是足夠
數(shù)學(xué)發(fā)展所需的，但是還需要加一條限制性的公理，即除了滿(mǎn)足這些公理的集合之
外沒(méi)有其他的集合。采取這樣一個(gè)公理是出于一個(gè)悖論的啟發(fā)，這個(gè)悖論最初是法
國(guó)數(shù)學(xué)家米里馬諾夫在1917年提出的。這個(gè)悖論涉及所謂基礎(chǔ)集合，為了排除這種
集合，馮·諾依曼引進(jìn)公理9(基礎(chǔ)公理)，從而消除了上述悖論。

??? 這樣定義的集合論(ZF)中，雖說(shuō)與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)有關(guān)的“冪集公理”不留下疑點(diǎn)，
但正因?yàn)椴话泻芏鄦?wèn)題的“選擇公理(AC)”，所以純粹性很高。雖然至今還不能
給出ZF集合論的無(wú)矛盾性的證明,可是它已經(jīng)沒(méi)有必須大書(shū)特書(shū)的難點(diǎn)了。

??? 常用的集合論公理系統(tǒng)除了ZF之外，還有由馮·諾依曼開(kāi)創(chuàng)并由貝耐斯、哥德
爾加以改進(jìn)、簡(jiǎn)化的集合論公理系統(tǒng)—NBG系統(tǒng)(有時(shí)簡(jiǎn)稱(chēng)為BG系統(tǒng)，N代表馮·諾依
曼，B代表貝耐斯，G代表哥德?tīng)?。

??? 大數(shù)學(xué)家馮·諾依曼在他年青的時(shí)候，開(kāi)辟了公理化集合論的第二個(gè)系統(tǒng)。他
第一個(gè)主要的數(shù)學(xué)研究就是重新考慮策梅羅—弗蘭克爾對(duì)于集合論的公理化。在他
的博士論文中論述了一般集合論的公理構(gòu)造，這篇論文是他1925年用匈牙利文寫(xiě)
的。但是他后來(lái)在兩篇重要文章中用德文發(fā)表了其中主要的思想，一篇是《集合論
的一種公理化》，另二篇是《集合論的公理化》。第一篇文章中他給出了自己的公理
化體系，在第二篇文章中他詳細(xì)地證明了怎樣由他的公理系統(tǒng)導(dǎo)出集合論。

??? 馮·諾依曼的處理方法是策梅羅公理化的推廣。原來(lái)的理論基本上保持了下
來(lái)，但是形式有所變化。表面看來(lái)新公理和舊公理非常不一樣，但是主要是使用的
語(yǔ)言有所變化。通常表示集合論的語(yǔ)言有兩種，一種是集合和它的元素的語(yǔ)言，一
種是函數(shù)及其變項(xiàng)的語(yǔ)言，這兩種語(yǔ)言是等價(jià)的。

??? 策梅羅用的主要是集合的語(yǔ)言，不過(guò)他也隱含地用函數(shù)的語(yǔ)言。而在弗蘭克爾
改進(jìn)的理論里，這點(diǎn)就更加明顯。馮·諾依曼選用的語(yǔ)言完全與策梅羅相反，他一
開(kāi)始就用變項(xiàng)和函數(shù)來(lái)敘述他的公理。

??? 但是策梅羅—弗蘭克爾和馮·諾依曼兩個(gè)公理系統(tǒng)主要差別還不是語(yǔ)言的問(wèn)題，
而是如何在樸素集合論中排除悖論的方式。在策梅羅—弗蘭克爾系統(tǒng)中，是通過(guò)限
制集合產(chǎn)生的方式來(lái)達(dá)到這個(gè)目的的，他們把集合只限制在對(duì)于數(shù)學(xué)必不可少的那
些集合上。但是從馮·諾依曼看來(lái)，這樣施加限制有點(diǎn)不必要地過(guò)分嚴(yán)格，使得數(shù)
學(xué)家在論證過(guò)程中失掉一些有時(shí)有用的論證方式，而這些論證方式似乎是沒(méi)有惡性
循環(huán)的。于是馮·諾依曼采取一個(gè)比策梅羅—弗蘭克爾更廣的概念，而同時(shí)卻消除任
何產(chǎn)生悖論的危險(xiǎn)。

??? 按照馮·諾依曼的想法，悖論的產(chǎn)生也許是因?yàn)檫^(guò)大的總體所引起，更準(zhǔn)確來(lái)
講，就相當(dāng)于所有集合的集合，所以馮·諾依曼就覺(jué)得只要讓這類(lèi)總體成為元素，
就可以避免悖論。

??? 在馮·諾依曼的公理系統(tǒng)中，悖論是通過(guò)下面的方法來(lái)避免的；承認(rèn)有兩種類(lèi)
型的類(lèi)，即集合和固有類(lèi)。集合可以是其他類(lèi)的成員，而固有類(lèi)則不容許是其他類(lèi)
的成員。在這個(gè)公理系統(tǒng)中，我們就有三個(gè)原始概念：集合，類(lèi)，屬于關(guān)系。所以
NBG中的定理不一定是ZF中的定理，不過(guò)可以證明ZF中的每個(gè)合適公式在ZF中可證
明當(dāng)且僅當(dāng)在NBG中可證明。這樣看來(lái)NBG是ZF的一個(gè)擴(kuò)充，數(shù)學(xué)家可以根據(jù)自己不
同的需要來(lái)選用自已認(rèn)為方便的公理系統(tǒng)。比如哥德?tīng)柺窃贜BG公理系統(tǒng)中考慮選
擇公理及廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的相對(duì)無(wú)矛盾性，而科亨則是在ZF公理系統(tǒng)中考慮選擇公
理及連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性。除了這兩個(gè)最重要的集合論公理系統(tǒng)之外，還有好幾個(gè)
公理系統(tǒng)，但是它們的用途遠(yuǎn)不如ZF和NBG系統(tǒng)了。

??? 盡管集合論公理系統(tǒng)建立起來(lái)，并得到廣泛承認(rèn)，但仍然存在許多問(wèn)題，例
如：不可達(dá)基數(shù)和序數(shù)是不是存在？；連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是否能夠證明；公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)
性和獨(dú)立性，……。從三十年代之后，為了解決這些問(wèn)題，公理集合論掀開(kāi)了新的一頁(yè)。



第四章：哥德?tīng)柕陌l(fā)現(xiàn)—意想不到的結(jié)果

　

??? 在數(shù)理邏輯的歷史上，哥德?tīng)柕墓ぷ髌鹬星皢⒑蟮淖饔谩?928年希爾伯特在
意大利波倫那召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出的四個(gè)問(wèn)題，很快就被哥德?tīng)栐瓌t上解
決了。尤其是他的不完全性定理，把人們引向一種完全不同的境界，從此數(shù)理邏輯
開(kāi)始了一個(gè)新的時(shí)代。

??? 在這之前，數(shù)學(xué)家期望數(shù)學(xué)有一個(gè)既廣闊又嚴(yán)格的基礎(chǔ)，在這個(gè)基礎(chǔ)上數(shù)學(xué)家
可以放心地去干他們?cè)敢飧傻氖隆８绲聽(tīng)柕牟煌耆远ɡ硎惯@種想法破滅了。悖論
所造成的危機(jī)雖然可以暫時(shí)回避，然而想從原則上一攬子解決是毫無(wú)希望的。從此
之后，數(shù)學(xué)家只滿(mǎn)足于使用集合論一些最簡(jiǎn)單的結(jié)果，而對(duì)更深入的數(shù)理邏輯與數(shù)
學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題則不那么關(guān)心注意了。

??? 同時(shí)，由于哥德?tīng)栐谧C明中發(fā)展的一些技術(shù)，也使數(shù)理邏輯成為一門(mén)具有自己
獨(dú)立技術(shù)和方法的數(shù)學(xué)分支。現(xiàn)在的數(shù)理邏輯，不管是公理集合論、模型論還是證
明論、遞歸論都已經(jīng)變得十分專(zhuān)門(mén)。就象代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、算子代數(shù)、隨機(jī)過(guò)程等學(xué)
科，對(duì)于非本行專(zhuān)家來(lái)說(shuō)，簡(jiǎn)直是難以理解的。

　

1、哥德?tīng)栃?

??? 庫(kù)爾特·哥德?tīng)栍?906年4月28日出生在奧匈帝國(guó)屬下的布瑞尼(今天的布爾
諾，這里出過(guò)另一位偉大人物遺傳學(xué)之父孟德?tīng)?，他的父母是德國(guó)人。與一般人
推測(cè)不同，他并沒(méi)有猶太血統(tǒng)。他在家鄉(xiāng)上了四年國(guó)民學(xué)校和八年德國(guó)國(guó)立中學(xué)。
1924年中學(xué)畢業(yè)后，他進(jìn)入維也納大學(xué)哲學(xué)系，先是攻讀物理，后于1926年轉(zhuǎn)而攻
讀數(shù)學(xué)，這恐怕是出于他對(duì)精密性和嚴(yán)格性過(guò)分偏愛(ài)的緣故。當(dāng)時(shí)的維也納大學(xué)有
不少有國(guó)際聲譽(yù)的數(shù)學(xué)家，如曾解決過(guò)希爾伯特的一些猜想的數(shù)論專(zhuān)家費(fèi)特萬(wàn)格
勒，泛函分析的創(chuàng)始人之一哈恩與拓?fù)鋵W(xué)家門(mén)格爾等。大學(xué)時(shí)他對(duì)費(fèi)特萬(wàn)格勒的數(shù)
論課很有興趣，這同他后來(lái)的工作有很大關(guān)系，比如他應(yīng)用孫子定理來(lái)構(gòu)造由加法
與乘法表出的原始遞歸函數(shù)。

??? 上大學(xué)時(shí)，哥德?tīng)枌?duì)哲學(xué)也很有興趣，實(shí)際上對(duì)哲學(xué)的探索始終貫穿著他的一
生。他聽(tīng)哲學(xué)教授的講課，特別是經(jīng)常參加維也納小組的活動(dòng)。二十世紀(jì)最主要的
哲學(xué)流派——邏輯實(shí)證主義當(dāng)時(shí)剛剛開(kāi)始他們的事業(yè)，哥德?tīng)栙澇梢允├锟藶槭椎倪@
個(gè)學(xué)派的分析方法，即用數(shù)理邏輯來(lái)對(duì)哲學(xué)及科學(xué)概念進(jìn)行分析。但是他也一直不
同意他們否定客觀實(shí)在性，及認(rèn)為形而上學(xué)命題是無(wú)意義命題等基本觀點(diǎn)。不過(guò)，
他的哲學(xué)觀點(diǎn)也促使他對(duì)于數(shù)理邏輯進(jìn)行深入的鉆研。

??? 當(dāng)時(shí)數(shù)理邏輯的經(jīng)典著作是羅素和懷特海的《數(shù)學(xué)原理》，這三卷滿(mǎn)是符號(hào)的大
書(shū)，恐怕只有極少數(shù)人讀過(guò)。1928年，希爾伯特和阿克曼合著的《理論邏輯綱要》出
版，這是一本論述簡(jiǎn)明、清晰，概括性強(qiáng)的好書(shū)，對(duì)哥德?tīng)柕膯l(fā)性很大。書(shū)中明
確提出一個(gè)尚未解決的問(wèn)題——狹義謂詞演算的完全性問(wèn)題。哥德?tīng)柡芸旖鉀Q了這個(gè)
問(wèn)題，把結(jié)果寫(xiě)成博士論文，成為他一生事業(yè)的開(kāi)端。

??? 1929年秋天，他進(jìn)行答辯。1930年2月得到批準(zhǔn)取得博士學(xué)位。1930年夏天，
哥德?tīng)栭_(kāi)始研究希爾伯特計(jì)劃，他想證明分析的無(wú)矛盾性。9月，他到東普魯士哥
尼斯堡去參加科學(xué)會(huì)會(huì)議，許多著名數(shù)學(xué)家如希爾伯特、馮·諾依曼、海丁、卡爾
納普都參加了這次會(huì)議。希爾伯特在會(huì)上做了題為“邏輯和對(duì)自然的認(rèn)識(shí)”的著名演
說(shuō)，他樂(lè)觀地宣稱(chēng)：“我們必須知道，我們將會(huì)知道”。可是，就在這個(gè)會(huì)上哥德?tīng)?
宣布了他的第一不完全性定理。不久，他又證明了第二不完全定理。這個(gè)結(jié)果毫無(wú)
疑義對(duì)希爾伯特計(jì)劃是莫大的打擊。

??? 1931年哥德?tīng)栐诰S也納大學(xué)當(dāng)助教，這篇文章成為就職論文而受到了很高的評(píng)
價(jià)。從1933年到1938年，他在維也納大學(xué)當(dāng)講師。1932年他到過(guò)哥丁根，見(jiàn)到過(guò)愛(ài)
米·諾特、西格爾、甘岑等人。他沒(méi)見(jiàn)到早逝的天才厄布朗，但他們交換過(guò)信件，
厄布朗的信中有最早的遞歸函數(shù)想法。但是厄布朗只收到哥德?tīng)栆环庑拧?

??? 1933年到1934年，哥德?tīng)柕谝淮蝸?lái)到普林斯頓大學(xué)高等研究院。他在這里見(jiàn)到
丘奇、克林和羅塞爾。他在普林斯頓大學(xué)發(fā)表了《論形式數(shù)學(xué)系統(tǒng)的不可判定命題》
的演講，這對(duì)后來(lái)美國(guó)研究遞歸論是極大的推動(dòng)。

??? 1937年，哥德?tīng)栐诰S也納講授“公理化集合論”，這時(shí)他開(kāi)始集中力量研究這個(gè)
題目。在他秋天來(lái)到高等研究院時(shí)，他已經(jīng)對(duì)選擇公理的無(wú)矛盾性有所考慮，并把
自己的思想同馮·諾依曼交談過(guò)。不過(guò)，他的可構(gòu)造集的思想、廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和
選擇公理與NGB系統(tǒng)的無(wú)矛盾性，一直到1938年秋天才在高等研究院講演，并在
1938到1940年發(fā)表。這時(shí)他已經(jīng)開(kāi)始定居美國(guó)了。

??? 1938年3月，希特勒兼并奧地利，這時(shí)哥德?tīng)杽倓偨Y(jié)婚。1939年9月，二次大戰(zhàn)
爆發(fā)，他于1939年底橫貫蘇聯(lián)的西伯利亞太鐵路經(jīng)日本到了美國(guó)，從此再也沒(méi)有回
奧地利。在美國(guó)，除了1940年春季在圣母大學(xué)任教外，一直在普林斯頓高等研究院
工作。由于研究院里有人反對(duì)和阻撓，直到1947年他才被批準(zhǔn)為常任研究員，1953
年才成為教授。對(duì)于這樣偉大的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，得到這種稱(chēng)號(hào)的時(shí)間實(shí)在是太晚了。
到這時(shí)，他在數(shù)理邏輯方面的主要工作都已經(jīng)完成了，他的興趣已經(jīng)轉(zhuǎn)向其他方面了。

??? 1947年到1951年，哥德?tīng)栭_(kāi)始注意和研究廣義相對(duì)論。他同愛(ài)因斯坦是多年老
鄰居，他們幾乎天天一起散步回家。但是哥德?tīng)柋硎?#xff0c;他對(duì)相對(duì)論的興趣并非來(lái)自
同愛(ài)因斯坦的談話(huà)，而是來(lái)自對(duì)康德時(shí)空哲學(xué)的興趣。1950年，他在國(guó)際數(shù)學(xué)家大
會(huì)上做的報(bào)告，就是關(guān)于“旋轉(zhuǎn)宇宙”的論文。

??? 后來(lái)，哥德?tīng)柕呐d趣轉(zhuǎn)向哲學(xué)。他認(rèn)為，健全的哲學(xué)思想對(duì)科學(xué)研究的成功有
很密切的關(guān)系。他說(shuō)，數(shù)學(xué)及元數(shù)學(xué)的(特別是關(guān)于超窮推理的)客觀主義觀點(diǎn)，對(duì)
于他的邏輯研究是最根本的。1959年起，哥德?tīng)栭_(kāi)始閱讀德國(guó)哲學(xué)家胡塞爾的哲學(xué)
著作，并一直保持著強(qiáng)烈的興趣。他認(rèn)為有些哲學(xué)家，特別是拍拉圖和笛卡爾，在
他們一生中具有一種與日常生活的世界觀完全不同的直觀的世界觀，也許胡塞爾也
曾達(dá)到過(guò)這種境界。

??? 晚年，哥德?tīng)栭g或?qū)?shù)理邏輯作些工作。美國(guó)符號(hào)邏輯協(xié)會(huì)正在組織力量搜集
整理他的著作，準(zhǔn)備出版他的全集。他已經(jīng)出版的邏輯方面的論著不過(guò)二十余篇，
大都很簡(jiǎn)短，不過(guò)它們?cè)跉v史上的作用是十分巨大的。

??? 1978年1月14日下午，哥德?tīng)栐谄樟炙诡D醫(yī)院的椅子上坐著候診時(shí)去世，享年
72歲。

　

2、1930年數(shù)理邏輯的狀況

??? 1930年前，整個(gè)數(shù)學(xué)界是非常樂(lè)觀的：希爾伯特的思想占統(tǒng)治地位；數(shù)學(xué)是建
立在集合論和數(shù)理邏輯兩塊基石之上；康托爾的樸素集合論已被公理集合論所代
替，從而消除了悖論；選擇公理是一個(gè)很好的工具，數(shù)學(xué)中許多部門(mén)都要用到它；
連續(xù)統(tǒng)假設(shè)仍然是懸案，不過(guò)希爾伯特多次覺(jué)得自己已接近解決這個(gè)難題，看來(lái)前
景是樂(lè)觀的；大部分?jǐn)?shù)學(xué)可以建立在謂詞演算的基礎(chǔ)上，而一階謂詞演算的公理系
統(tǒng)是無(wú)矛盾的，盡管其完全性仍有待證明；整個(gè)數(shù)學(xué)的基本理論是自然數(shù)的算術(shù)和
實(shí)數(shù)理論，它們都已經(jīng)公理化。這些公理系統(tǒng)應(yīng)該是無(wú)矛盾的、完全的，如果它們
能夠得證，并且集合論公理系統(tǒng)也能得到同樣的結(jié)果，那么整個(gè)數(shù)學(xué)就比較牢靠了。

??? 為了不使一小撮直覺(jué)主義者指手劃腳、評(píng)頭品足，希爾伯特提出他的計(jì)劃：把
理論系統(tǒng)形式化，然后通過(guò)有限多步證明它們沒(méi)有矛盾。他信心十足，在1930年9
月東普魯士哥尼斯堡的科學(xué)會(huì)會(huì)議上，他批判了不可知論。

??? 1928年希爾伯特提出四個(gè)問(wèn)題：

??? 1、分析的無(wú)矛盾性。1924年阿克曼和1927年馮·諾依曼的工作使希爾伯特相信
只要一些純算術(shù)的初等引理即可證明。1930年夏天，哥德?tīng)栭_(kāi)始研究這個(gè)問(wèn)題，他
不理解希爾伯特為什么要直接證明分析的無(wú)矛盾性。哥德?tīng)栒J(rèn)為應(yīng)該把困難分解：
用有限主義的算術(shù)證明算術(shù)的無(wú)矛盾性，再用算術(shù)的無(wú)矛盾性證明分析的無(wú)矛盾
性，哥德?tīng)栍纱顺霭l(fā)去證明算術(shù)的無(wú)矛盾性而得出不完全性定理。

??? 2、更高級(jí)數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性，特別是選擇公理的無(wú)矛盾性。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被哥
德?tīng)栐?938年以相對(duì)的方式解決。

??? 3、算術(shù)及分析形式系統(tǒng)的完全性。這個(gè)問(wèn)題在1930年秋天哥尼斯堡的會(huì)議
上，哥德?tīng)栆呀?jīng)提出了一個(gè)否定的解決，這個(gè)問(wèn)題的否定成為數(shù)理邏輯發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

??? 4、一階謂詞邏輯的完全性。這個(gè)問(wèn)題已被哥德?tīng)栐?930年完全解決。

??? 這樣一來(lái)，哥德?tīng)柕墓ぷ靼严柌氐姆较蚺まD(zhuǎn)，使數(shù)理邏輯走上全新的道路。

　

3、1930年哥德?tīng)柕膬身?xiàng)主要貢獻(xiàn)

??? 1、完全性定理：哥德?tīng)柕膶W(xué)位論文《邏輯函數(shù)演算的公理的完全性》解決了一
階謂詞演算的完全性問(wèn)題。羅素與懷德海建立了邏輯演算的公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性及
完全性(也許還包括不那么重要的獨(dú)立性)。所謂完全性就是，每一個(gè)真的邏輯數(shù)學(xué)
命題都可以由這個(gè)公理系統(tǒng)導(dǎo)出，也就是可證明。

??? 命題演算的完全性已由美國(guó)數(shù)學(xué)家波斯特在1921年給出證明，而一階謂詞演算
的完全性—直到1929年才由哥德?tīng)柦o出證明。但是哥德?tīng)栒J(rèn)為，斯柯侖在1922年的
文章中已隱含證明了命題演算的完全性，但是他沒(méi)有陳述這個(gè)結(jié)果，可能是他本人
并沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn)。

??? 2、哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ?#xff1a;這是數(shù)理邏輯最重大的成就之一，是數(shù)理邏輯發(fā)
展的一個(gè)里程碑和轉(zhuǎn)折點(diǎn)。哥德?tīng)栐谘芯窟^(guò)程中直接考慮悖論及解決悖論的方法，
從而把第三次數(shù)學(xué)危機(jī)引導(dǎo)至另外一個(gè)方向上。

??? 哥德?tīng)栕C明不完全性定理是從考慮數(shù)學(xué)分析的協(xié)調(diào)性問(wèn)題開(kāi)始的。1930年秋在
哥尼斯堡會(huì)議上，他宣布了第一不完全性定理：一個(gè)包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，如
果是協(xié)調(diào)的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算術(shù)系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，
則協(xié)調(diào)性在算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)不可證明。

??? 哥德?tīng)柕淖C明使用了“算術(shù)化”的方法。哥德?tīng)栒f(shuō)：“一個(gè)系統(tǒng)的公式……從外觀
上看是原始符號(hào)的有窮序列……。不難嚴(yán)格地陳述，哪些原始符號(hào)的序列是合適公
式，哪些不是；類(lèi)似地，從形式觀點(diǎn)看來(lái)，證明也只不過(guò)是(具有某種確定性質(zhì)的)
一串公式的有窮序列”。因此，研究一個(gè)形式系統(tǒng)實(shí)際上就是研究可數(shù)個(gè)對(duì)象的集
合。我們給每個(gè)對(duì)象配上一個(gè)數(shù)，這種把每一個(gè)對(duì)象配上一個(gè)數(shù)的方法稱(chēng)為“哥德
爾配數(shù)法”。哥德?tīng)柾ㄟ^(guò)這些數(shù)反過(guò)來(lái)看原來(lái)形式系統(tǒng)的性質(zhì)。

??? 哥德?tīng)栄芯苛?6種函數(shù)和謂詞，哥德?tīng)栕C明了他的前45個(gè)函數(shù)和謂詞都是原始
遞歸的。但第46個(gè)謂詞為“X是一個(gè)可證公式的哥德?tīng)枖?shù)”。在對(duì)哥德?tīng)柵鋽?shù)的系統(tǒng)
中，可以得到一個(gè)公式，它相當(dāng)于：我是不可證的。所以這個(gè)句子是不可證的且是
真的。所以系統(tǒng)中存在真語(yǔ)句而又不可證，也就是系統(tǒng)不完全。

??? 哥德?tīng)柕恼撐脑?931年發(fā)表之后，立即引起邏輯學(xué)家的莫大興趣。它開(kāi)始雖然
使人們感到驚異不解，不久即得到廣泛承認(rèn)，并且產(chǎn)生巨大的影響：

??? 哥德?tīng)柕淖C明對(duì)希爾伯特原來(lái)的計(jì)劃是一個(gè)巨大的打擊，因此把整個(gè)數(shù)學(xué)形式
化的打算是注定要失敗的，因而邏輯主義和形式主義的原則是不能貫徹到底的；
“希爾伯特計(jì)劃”中證明論的有限主義觀點(diǎn)必須修正，從而使證明論的要求稍稍放
寬。1936年甘岑在容許超窮歸納的條件下證明了算術(shù)的無(wú)矛盾性，而倡導(dǎo)有限構(gòu)造
主義的直覺(jué)主義也不能解決問(wèn)題；哥德?tīng)柕墓ぞ哌f歸函數(shù)促進(jìn)了遞歸函數(shù)論的系統(tǒng)
研究，同時(shí)推動(dòng)了不可判定問(wèn)題的研究，開(kāi)始出現(xiàn)遞歸論的新分支。

??? 哥德?tīng)柌煌耆ɡ淼淖C明結(jié)束了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭(zhēng)論不休的時(shí)期，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的
危機(jī)不那么突出表現(xiàn)出來(lái)。數(shù)理邏輯形成了一個(gè)帶有強(qiáng)技巧性的獨(dú)立學(xué)科，而絕大
部分?jǐn)?shù)學(xué)家仍然把自己的研究建立在樸素集合論或ZF公理集合論的基礎(chǔ)上。

??? 盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可回避。研究這些矛盾，特別是
集合論的矛盾變成數(shù)理邏輯學(xué)家的事業(yè)。另外一方面，直覺(jué)主義和構(gòu)造主義數(shù)學(xué)雖
然也有發(fā)展，但終究是一小部分，半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，在數(shù)學(xué)中始終不占統(tǒng)治地位。因
為矛盾也好、危機(jī)也好，根源在于無(wú)窮，但是數(shù)學(xué)中畢竟少不了無(wú)窮。歸根結(jié)蒂，
數(shù)學(xué)終究是研究無(wú)窮的科學(xué)。

第五章：數(shù)理邏輯的大發(fā)展

　

??? 1930年以后，數(shù)學(xué)邏輯開(kāi)始成為一個(gè)專(zhuān)門(mén)學(xué)科，得到了蓬勃發(fā)展。哥德?tīng)柕膬?
個(gè)定理證明之后，希爾伯特的有限主義綱領(lǐng)行不通，證明論出現(xiàn)新的情況，主要有
兩方面：通過(guò)放寬有限主義的限制來(lái)證明算術(shù)無(wú)矛盾性以及把證明形式化、標(biāo)準(zhǔn)
化，這些主要是在三十年代完成。同時(shí)哥德?tīng)栆M(jìn)遞歸函數(shù)，發(fā)展成遞歸論的新分
支，開(kāi)始研究判定問(wèn)題。而哥德?tīng)柋救宿D(zhuǎn)向公理集合論的研究，從此出現(xiàn)公理集合
論的黃金時(shí)代。五十年代模型論應(yīng)運(yùn)而生，它與數(shù)學(xué)有著密切聯(lián)系，并逐步產(chǎn)生積
極的作用。

　

1、證明論

??? 證明論又稱(chēng)元數(shù)學(xué)，它研究數(shù)學(xué)的最基本活動(dòng)—證明的合理性問(wèn)題。研究這類(lèi)
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問(wèn)題原來(lái)一直是哲學(xué)家的事，后來(lái)才成為數(shù)學(xué)家的事。這個(gè)轉(zhuǎn)變發(fā)生在
1893年弗雷格發(fā)表《算術(shù)基礎(chǔ)規(guī)則》之時(shí)，后來(lái)希爾伯特和他的許多合作者使這種思
想發(fā)展成一門(mén)學(xué)科—元數(shù)學(xué)，目的是用數(shù)學(xué)方法來(lái)研究整個(gè)數(shù)學(xué)理論。

??? 要使數(shù)學(xué)理論成為一個(gè)合適的研究對(duì)象，就必須使之形式化。自從希爾伯特和
阿克曼所著《理論邏輯綱要》第一版在1928年出版以來(lái)，在實(shí)踐中用得最多的是具有
等式的一階謂詞演算(以及高階謂詞演算)。許多理論可以用一階理論來(lái)表述，它比
較簡(jiǎn)單方便，具有多種形式。

??? 從基礎(chǔ)的觀點(diǎn)來(lái)看，有兩個(gè)理論最為重要，因而研究也最多。這兩個(gè)理論就是
形式化的皮亞諾算術(shù)理論與形式化的集合論。因?yàn)榇蠖鄶?shù)觀代數(shù)學(xué)理論都可以在這
兩個(gè)理論范圍內(nèi)發(fā)展，所以這兩個(gè)理論的合理性如果得到證實(shí)，也就是向數(shù)學(xué)的可
靠性邁進(jìn)了一大步。“希爾伯特計(jì)劃”無(wú)非就是要找到一個(gè)有限的證明步驟來(lái)證明算
術(shù)的無(wú)矛盾性。

??? 這里“有限”的意義是由法國(guó)年輕數(shù)學(xué)家厄布朗明確提出的，他認(rèn)為下列條件必
須滿(mǎn)足：必須只討論確定的有限數(shù)目的對(duì)象及函數(shù)；這些對(duì)象及函數(shù)要能確定它們
的真值產(chǎn)生協(xié)調(diào)一致的計(jì)算結(jié)果；一個(gè)對(duì)象如不指出如何構(gòu)造它就不能肯定其存
在；必須永遠(yuǎn)不考慮一個(gè)無(wú)窮集體中所有對(duì)象的集合；一個(gè)定理對(duì)于一組對(duì)象都成
立的意思是，對(duì)于每個(gè)特殊的對(duì)象，可以重復(fù)所講的普遍論證，而這普遍論證只能
看成是結(jié)果特殊論證的原型。

??? 數(shù)學(xué)理論的無(wú)矛盾性有了這種有限的、可構(gòu)造性的論證之后，任何人都可以放
心了。希爾伯特計(jì)劃提出后，幾組數(shù)學(xué)家分別為實(shí)現(xiàn)它而努力：一組是希爾伯特及
貝耐斯，以及阿克曼關(guān)于把數(shù)學(xué)理論形式化的研究，一組是馮·諾依曼關(guān)于算術(shù)無(wú)
矛盾性的初步研究及哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ硪约案梳淖詈蠼鉀Q；還有一組是厄布
朗及甘岑關(guān)于證明的標(biāo)準(zhǔn)形式等的研究。

??? 厄布朗是法國(guó)天才的青年數(shù)學(xué)家，1931年8月在登阿爾卑斯山時(shí)遇難，年僅23
歲。他對(duì)代數(shù)數(shù)論尤其是數(shù)理邏輯進(jìn)行過(guò)重要的研究工作，1929年他在博士論文
《證明論研究》中提出他的基本定理。從某種意義上來(lái)講，這個(gè)定理是想把謂詞演算
歸結(jié)為命題演算。由于前一理論是不可判定的，而后一理論是可判定的，因此這種
歸結(jié)不可能是完全的。

??? 但是，由于厄布朗局限于希爾伯特有限主義立場(chǎng)，他應(yīng)用的證明方法比較繞彎
子。而且在1963年發(fā)現(xiàn)，他的證明中有漏洞，他的錯(cuò)誤很快就得到了彌補(bǔ)。厄布朗
定理可以便我們?cè)谧C明中擺脫三段論法。他的許多結(jié)果，后來(lái)也為甘岑獨(dú)立地得出。

??? 甘岑的自然演繹系統(tǒng)是把數(shù)學(xué)中的證明加以形式化的結(jié)果。他由此得出所謂
“主定理”，即任何純粹邏輯的證明，都可以表示成為某種正規(guī)形式，雖然正規(guī)形式
不一定是唯一的。為了證明這個(gè)主定理，他又引進(jìn)了所謂的式列(Sequenz)演算。

??? 在普通的數(shù)學(xué)證明中，最常用則是三段論法，即如果A→B，且若A成立，則B成
立。其實(shí)這就是甘岑推論圖中的“斷”。但是甘岑的主定理就是從任何證明圖中可以
消除掉所有的“斷”。也就是：如果在一個(gè)證明中用到三段論法，那么定理表明，它
也可以化成為不用三段論法的證明，也得到同樣的結(jié)論。

??? 這個(gè)定理乍一看來(lái)似乎不可理解，其實(shí)正如甘岑所說(shuō)，一個(gè)證明圖中有三段論
法實(shí)際上是“繞了彎子”，而不用三段論法是走直路。這種沒(méi)有三段論法的證明圖稱(chēng)
為“正規(guī)形式”，利用這沒(méi)有三段論法的證明圖稱(chēng)為“正規(guī)形式”。利用這個(gè)主定理很
容易得出許多重要結(jié)果，其中之一就是極為簡(jiǎn)單地證明“一階謂詞演算是無(wú)矛盾
的”，而且能夠推出許多無(wú)矛盾性的結(jié)果。后來(lái)還可以用來(lái)證明哥德?tīng)柕耐耆约?
不完全性定理，當(dāng)然，最重要的事還是要證明算術(shù)的無(wú)矛盾性。

??? 希爾伯特引進(jìn)證明論的目標(biāo)是證明整個(gè)數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性，其中最重要的是集合
論的無(wú)矛盾性(至少ZF系統(tǒng)無(wú)矛盾)、數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性，最基本的當(dāng)然是算術(shù)的
無(wú)矛盾性。哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ碚f(shuō)明，用有限的辦法這個(gè)目標(biāo)是達(dá)不到的。由于
哥德?tīng)柌煌耆ɡ淼臎_擊，希爾伯特計(jì)劃需要修改。

??? 有限主義行不通就要用非有限的超窮步驟。1935年，甘岑用超窮歸納法證明自
然數(shù)算術(shù)形式系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。其后幾年，他和其他人又給出了其他的證明。這種
放寬了的希爾伯特計(jì)劃在第二次世界大戰(zhàn)之后發(fā)展成為證明論的分支，這些證明也
推廣到分支類(lèi)型論及其他理論。

??? 甘岑在第二次大戰(zhàn)行將結(jié)束時(shí)去世，他的結(jié)果代表當(dāng)時(shí)證明論的最高成就，希
爾伯特和貝納斯的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》第二卷中總結(jié)了他的工作，但是證明論遠(yuǎn)遠(yuǎn)未能完成
它的最初目標(biāo)。戰(zhàn)后隨著模型論和遞歸論乃至六十年代以來(lái)公理集合論的發(fā)展，證
明論一直進(jìn)展不大。

??? 五十年代中，日本數(shù)學(xué)家竹內(nèi)外史等人開(kāi)始對(duì)于實(shí)數(shù)理論(或數(shù)學(xué)分析)的無(wú)矛
盾性進(jìn)行探索。因?yàn)閷?shí)數(shù)一開(kāi)始就同有理數(shù)的無(wú)窮集和有關(guān)，描述它的語(yǔ)言用一階
謂詞演算就不夠了，所以第一步就要先把甘岑的工作推廣到高階謂詞演算中去。

??? 1967年，日本年輕數(shù)學(xué)家高橋元男用非構(gòu)造的方法證明，單純類(lèi)型論中也可以
消去三段論法。由此可以推出數(shù)學(xué)分析子系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。但是，由于證明不是構(gòu)
造的，數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性至今仍然有待解決。

??? 厄布朗及甘岑的結(jié)果雖然不可能完成希爾伯特計(jì)劃的最初目標(biāo)，但是由于其有
限性、可構(gòu)造性的特點(diǎn)，現(xiàn)在已廣泛地應(yīng)用于機(jī)械化證明，成為這門(mén)學(xué)科的理論基礎(chǔ)。

??? 證明論的方法對(duì)于數(shù)理邏輯本身有很大的推動(dòng)，特別是得出新的不可判定命
題。最近，英國(guó)年輕數(shù)學(xué)家巴黎斯等人有了一項(xiàng)驚人的發(fā)現(xiàn)。他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)在皮
亞諾算術(shù)中既不能證明也不能否證的純粹組合問(wèn)題，這不僅給哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?
一個(gè)具體的實(shí)例，而且使人懷疑要解決許多至今尚未解決的數(shù)論難題可能都是白費(fèi)
力氣。這無(wú)疑開(kāi)辟了證明論一個(gè)完全新的方向。

　

2、遞歸論

??? 遞歸論討論的是從形式上刻劃一個(gè)運(yùn)算或一個(gè)進(jìn)程的“能行”性這種直觀的觀
念，也就是從原則上講，它們能機(jī)械地進(jìn)行而產(chǎn)生一個(gè)確定的結(jié)果。“能行”的這個(gè)
概念含有可具體實(shí)現(xiàn)的、有效的、有實(shí)效的等等意思。法國(guó)數(shù)學(xué)家保萊爾首先在
1898年他的函數(shù)論教科書(shū)中引進(jìn)了這個(gè)詞，他把數(shù)學(xué)的對(duì)象局限于能行的對(duì)象，這
種主張實(shí)際上就是“法國(guó)經(jīng)驗(yàn)主義”。因?yàn)楹瘮?shù)論主要討論集合、函數(shù)、積分等等，
從這種觀點(diǎn)產(chǎn)生出描述集合論、拜爾函數(shù)等概念。

??? 遞歸論中所討論的函數(shù)是比較簡(jiǎn)單的。它討論有效可計(jì)算的函數(shù)，也就是遞歸
函數(shù)。遞歸函數(shù)在歷史上曾從不同角度提出來(lái)，后來(lái)證明它們都是等價(jià)的。

??? 1931年秋天，丘奇在普林斯頓開(kāi)了一門(mén)邏輯課，克林和羅塞爾當(dāng)時(shí)作為學(xué)生記
了筆記。丘奇在講課中引進(jìn)了他的系統(tǒng)，并且在其中定義自然數(shù)。這就很自然引起
一個(gè)問(wèn)題，在丘奇系統(tǒng)中如何發(fā)展一個(gè)自然數(shù)理論。于是克林開(kāi)始進(jìn)行研究，結(jié)果
克林和丘奇得到一類(lèi)可計(jì)算的函數(shù)，他們稱(chēng)之為A可定義函數(shù)。

??? 1934年春天，哥德?tīng)栐谄樟炙诡D做了一系列講演(克林和羅塞爾記了筆記)。在
講演中，哥德?tīng)栆M(jìn)了另外一套可以精確定義的可計(jì)算函數(shù)類(lèi)，他稱(chēng)為一般遞歸函
數(shù)。據(jù)他講，他是受了厄布朗的啟發(fā)得到的。

??? 這時(shí)自然出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題。一般遞歸函數(shù)類(lèi)是否包括所有能行可計(jì)算的函數(shù)，
它是否與克林與丘奇研究的 A可定義函數(shù)類(lèi)重合。1934年春末，丘奇和哥德?tīng)栍懻?
一般遞歸函數(shù)問(wèn)題，結(jié)果丘奇明確提出他的“論點(diǎn)”，所有直覺(jué)上可看成能行可計(jì)算
函數(shù)都是 λ可定義函數(shù)，于是丘奇花了好幾個(gè)月反復(fù)思考。當(dāng)時(shí)克林表示懷疑，他
認(rèn)為這論點(diǎn)不太可能是對(duì)的，他想如果從A可定義函數(shù)類(lèi)用對(duì)角化方法可以得出另
外一個(gè)能行可計(jì)算函數(shù)，那么它就不是A可定義的。但他又想到這事行不通。不久
之后，丘奇和克林在1936年分別發(fā)表論文，證明A可定義函數(shù)類(lèi)正好就是一般遞歸
函數(shù)類(lèi)。有了這個(gè)有力的證據(jù)，丘奇于是公開(kāi)發(fā)表他的“論點(diǎn)”。

??? 也是在1936年，英國(guó)年輕數(shù)學(xué)家圖林發(fā)表了另外一篇重要文章，這標(biāo)志著所謂
圖林機(jī)的產(chǎn)生。在這篇文章中，圖林也定義了一類(lèi)可計(jì)算函數(shù)，也就是用圖林機(jī)可
以計(jì)算的函數(shù)。同時(shí)，他也提出他的一個(gè)論點(diǎn)：“能行可計(jì)算的函數(shù)”與“用圖林機(jī)
可計(jì)算的函數(shù)”是一回事。1937年圖林證明了用圖林機(jī)可計(jì)算的函數(shù)類(lèi)與可定義函
數(shù)類(lèi)是一致的，當(dāng)然，也就和一般遞歸函數(shù)類(lèi)相重合。這樣一來(lái)，丘奇的論點(diǎn)與圖
林的論點(diǎn)就是一回事。當(dāng)時(shí)許多人對(duì)于丘奇的論點(diǎn)表示懷疑，由于圖林的思想表述
得如此清楚，從而消除了許多人的疑慮，哥德?tīng)柧褪瞧渲幸晃弧倪@時(shí)起大家對(duì)于
丘奇—圖林論點(diǎn)一般都抱支持的態(tài)度了。

??? 與圖林同時(shí)，美國(guó)數(shù)學(xué)家波斯特也發(fā)表了一篇文章，類(lèi)似于圖林的可計(jì)算函
數(shù)，他的文章過(guò)于簡(jiǎn)短，一直到1943年波斯特才發(fā)表了第四個(gè)表述，結(jié)果證明他的
與別人的也都一樣。

??? 遞歸的概念并不難理解，它就是由前面的結(jié)果可以遞推得到后面的結(jié)果。哥德
爾等人引進(jìn)的實(shí)際上是一般遞歸函數(shù)，一股遞歸函數(shù)都可以由原始遞歸函數(shù)算出來(lái)。

??? 另一個(gè)復(fù)雜一些的概念稱(chēng)為遞歸集合S，它的定義是存在一種能行的辦法來(lái)判
斷任何正整數(shù)n是否屬于S。正數(shù)數(shù)集合是遞歸的當(dāng)且僅當(dāng)它與它在N中的補(bǔ)集都是
遞歸可枚舉的。任何無(wú)窮遞歸可枚舉集都包含一個(gè)無(wú)窮遞歸集。但是，存在正整數(shù)
的遞歸可枚舉集而不是遞歸集。

??? 于是波斯特提出問(wèn)題：是否存在兩個(gè)遞歸可按舉但是非遞歸的集合，使得第一
個(gè)集合相對(duì)于第二個(gè)是遞歸的，但第二個(gè)相對(duì)于第一個(gè)卻不是遞歸的。一直到十二
年后的1956年，蘇聯(lián)人穆其尼克及美國(guó)人弗里德伯格才獨(dú)立地肯定地解決了這個(gè)問(wèn)題。

??? 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬爾科夫在1947年發(fā)表《算法論》，首先明確提出算法的概念。但是
它同以前定義的遞歸函數(shù)及可計(jì)算函數(shù)的計(jì)算過(guò)程都是等價(jià)的。這幾個(gè)定義表面上
很不相同，并有著十分不同的邏輯出發(fā)點(diǎn)，卻全都證明是等價(jià)的。這件事看來(lái)決非
巧合。它表明：所有這些定義都是同一個(gè)概念，而且這個(gè)概念是自然的、基本的、
有用的。這就是“算法”概念的精確的數(shù)學(xué)定義。大家都接受了這個(gè)定義之后，判定
問(wèn)題從我們平時(shí)直觀的概念也上升為精確的數(shù)學(xué)概念，判定問(wèn)題也成為一門(mén)數(shù)理邏
輯的重要分支了。從這時(shí)起，判定問(wèn)題有突飛猛進(jìn)的發(fā)展。

??? 判定問(wèn)題有了精確的數(shù)學(xué)表述之后，立即在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了巨
大的影響。因?yàn)檫@時(shí)一些不可判定命題的出現(xiàn)，標(biāo)志著人們?cè)跀?shù)學(xué)歷史上第一次認(rèn)
識(shí)到：有一些問(wèn)題是不可能找到算法解的。在過(guò)去，人們一直模模糊糊地覺(jué)得，任
何一個(gè)精確表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題總可以通過(guò)有限步驟來(lái)判定它是對(duì)還是錯(cuò)，是有解還是
沒(méi)有解。找到不可判定問(wèn)題再一次說(shuō)明用有限過(guò)程對(duì)付無(wú)窮的局限性，它從另外一
個(gè)角度反映了數(shù)學(xué)的內(nèi)在固有矛盾。

??? 怎樣得到這些結(jié)果的呢？丘奇的論點(diǎn)發(fā)表之后，不難看出存在不可計(jì)算的函
數(shù)，也就是非一般遞歸的函數(shù)。因?yàn)樗锌赡懿煌乃惴ü灿锌蓴?shù)無(wú)窮多(粗淺來(lái)
講，算法都是用有限多個(gè)字來(lái)描述的)，可是所有數(shù)論函數(shù)的集合卻是不可數(shù)的。

??? 不過(guò)，頭一個(gè)明顯的不可判定的結(jié)果是1936年丘奇得到的。他首先得到與λ可
定義性有關(guān)的不可判定結(jié)果。然后，他把這個(gè)結(jié)果應(yīng)用到形式系統(tǒng)的判定問(wèn)題上，
特別他證明，形式化的一階數(shù)論N是不可判定的。也是在1936年，丘奇證明純粹的
謂詞演算也是不可判定的。當(dāng)時(shí)大家的反應(yīng)是：這種不完全性的范圍到底有多廣？

??? 甚至于象丘奇這樣的數(shù)學(xué)家，也想找到一條出路能避開(kāi)哥德?tīng)柕慕Y(jié)果。比如
說(shuō)，可以采用伺哥德?tīng)査玫南到y(tǒng)完全不同的其他的特殊系統(tǒng)。一旦算法的精確定
義和丘奇論點(diǎn)出現(xiàn)之后，大家就認(rèn)識(shí)到躲不過(guò)哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼挠绊?#xff0c;可計(jì)算
性和不完全性這兩個(gè)概念是緊密聯(lián)系在一起的。

??? 實(shí)際上克林在1936年就證明了(作為丘奇論點(diǎn)的應(yīng)用)：甚至在能夠能行地認(rèn)出
公理和證明的形式系統(tǒng)中，哥德?tīng)柕亩ɡ砣匀怀闪ⅰＯチ吭~方法對(duì)許多理論行不
通。一般的判定問(wèn)題是試圖找出一個(gè)能行的步驟，通過(guò)這個(gè)步驟可以決定什么東西
具有某種指定的元數(shù)學(xué)特征。

??? 在純粹邏輯演算的元理論中，有最明顯的一類(lèi)判定問(wèn)題：對(duì)于給定的演算和給
定類(lèi)的公式，求出一個(gè)步驟，能夠在有限多步內(nèi)判定這類(lèi)的任何特殊公式是否可以
形式地推導(dǎo)出來(lái)。有些情形、問(wèn)題已經(jīng)得到肯定的解決，在另外一些情形，答案是
否定的，可以證明不存在這樣一個(gè)步驟。這種否定的證明，特別對(duì)于數(shù)學(xué)理論，很
大程度上依賴(lài)于遞歸論。

??? 最早明確提出的數(shù)學(xué)判定問(wèn)題是希爾伯特第十問(wèn)題。他在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大
會(huì)上提出了著名的二十三個(gè)問(wèn)題，其中第十個(gè)問(wèn)題是：給定一個(gè)有任意多未知數(shù)
的、系數(shù)為有理整數(shù)的丟番圖方程，設(shè)計(jì)一個(gè)步驟，通過(guò)它可以經(jīng)有限步運(yùn)算判定
該方程是否有有理整數(shù)解。這個(gè)到1970年才被否定解決的問(wèn)題不僅解決了一個(gè)重大
問(wèn)題，而且解決問(wèn)題過(guò)程中所得到的工具和結(jié)果對(duì)數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)發(fā)展有著極大影
響，比如表示素?cái)?shù)的多項(xiàng)式，尤其與整個(gè)數(shù)理邏輯有關(guān)的是得出了一個(gè)更確切的哥
德?tīng)柌煌耆远ɡ怼?

??? 現(xiàn)在我們來(lái)看希爾伯特第十問(wèn)題，為了清楚起見(jiàn)，我們考慮多項(xiàng)式方程，看看
一般的多項(xiàng)式丟番圖方程的次數(shù)和未定元的數(shù)目是否可以降低。

??? 1938年斯科蘭姆證明，任何丟番圖方程的次數(shù)可約化成次數(shù)小于等于4的方
程；1974年馬蒂亞謝維奇和羅濱遜證明未定元的數(shù)目可約化成小于等于3。對(duì)于齊
次方程，阿德勒在1971年證明，任何齊次方程可以能行地約化為二次齊次方程組，
從而等價(jià)于一個(gè)四次齊次方程。對(duì)于一次方程早就有具體方法解丟番圖方程了。對(duì)
于任意多未定元的二次方程，1972年西格爾也找到一個(gè)算法。四次方程不能判定，
三次方程尚不知道。

??? 解決丟番圖方程解是否存在的判定問(wèn)題的方法是引進(jìn)丟番圖集。我們把丟番圖
方程的變?cè)殖蓛捎幸唤M解。每個(gè)丟番圖集合是遞歸可枚舉集。1970年，蘇聯(lián)大學(xué)
生馬蒂亞謝維奇證明了每個(gè)遞歸可枚舉集也是丟番圖集合。這樣一來(lái)，由于存在不
可判定的遞歸可枚舉集，所以存在一些特殊的丟番圖方程，使得對(duì)是否有解的判定
問(wèn)題不可解。當(dāng)然對(duì)一般丟番圖方程的判定問(wèn)題就更不可解了。

??? 另一個(gè)判定問(wèn)題是半群和群論中字的問(wèn)題，半解問(wèn)題是挪威數(shù)學(xué)家圖埃在1907
年首先提出來(lái)的。問(wèn)題是對(duì)于一個(gè)半群，如果給定它的有限多生成元和有限多關(guān)
系，那么能否找到一個(gè)方法來(lái)判定任何一個(gè)特殊的字是否等于單位元素。1947年，
波斯特否定地解決了這個(gè)問(wèn)題。

??? 群論中字的問(wèn)題更為重要，它是在1911年由德恩首先研究的，一直到1955年才
由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家諾維科夫否定解決。這些結(jié)果給數(shù)學(xué)家指明了新的方向：不要妄圖去
解決一大類(lèi)問(wèn)題。不過(guò)對(duì)于更窄的一類(lèi)的對(duì)象比如一類(lèi)特殊的群，群的字問(wèn)題是可
解的。



第五章：數(shù)理邏輯的大發(fā)展

　

3、模型論

??? 模型論是數(shù)理邏輯的一個(gè)分支，討論形式語(yǔ)言與其解釋或者模型之間的關(guān)系。
如語(yǔ)言是一階謂詞邏輯，則這種模型論就稱(chēng)為“古典模型論”。最簡(jiǎn)單的模型是數(shù)學(xué)
中的一些結(jié)構(gòu)，例如 5階循環(huán)群，有理數(shù)域，以及所有按照包含關(guān)系歷形成的偏序
結(jié)構(gòu)由整數(shù)構(gòu)成的集合等等。在數(shù)學(xué)里我們直接研究這類(lèi)模型，而不管形式語(yǔ)言。
這個(gè)理論可以說(shuō)是泛代數(shù)(當(dāng)然也包含通常代數(shù)中的群論、環(huán)論、域論等等)，它們
研究同態(tài)、同構(gòu)、子結(jié)構(gòu)、直積等等。可是關(guān)于這些模型的性質(zhì)，都要表示成為語(yǔ)
言。反過(guò)來(lái)，一個(gè)語(yǔ)句可以真也可以假，看你是說(shuō)哪一個(gè)模型。

??? 這樣看來(lái)，模型論和代數(shù)學(xué)是有區(qū)別的，有人把模型論看成是邏輯加上泛代
數(shù)，這也是十分形象的。模型論一定要明顯地涉及語(yǔ)句，并且以語(yǔ)句為出發(fā)點(diǎn)，這
是它同一般代數(shù)學(xué)有區(qū)別的地方。另外模型論的語(yǔ)言是形式語(yǔ)言，它與模型的關(guān)系
是語(yǔ)法和語(yǔ)義的關(guān)系。對(duì)于形式語(yǔ)言，我們只是按照一定的規(guī)則(文法規(guī)則)去造出
一些語(yǔ)句，至于這些語(yǔ)句含義如何、是真是假，就不是語(yǔ)法所能管得了的。

??? 語(yǔ)法只考慮形式的結(jié)構(gòu)，比如構(gòu)成語(yǔ)句的符號(hào)是哪些，符號(hào)之間的關(guān)系如何
(誰(shuí)在誰(shuí)的前面而不能在后面)等等，而語(yǔ)義則提供解釋或者意義，只有意義才能確
認(rèn)語(yǔ)句的真假(除了重言式或恒真語(yǔ)句或同語(yǔ)反復(fù)之外)。因此可以說(shuō)，模型論是研
究形式語(yǔ)言的語(yǔ)法和語(yǔ)義之間關(guān)系的學(xué)科。

??? 在數(shù)學(xué)中，我們對(duì)模型還不是很陌生，在非歐幾何中就是靠引進(jìn)模型才論證了
非歐幾何公理系統(tǒng)是不矛盾的。但一直到195年左右，模型論才正式成為一門(mén)新學(xué)
科。主要標(biāo)志就是1949年亨肯發(fā)表的完全性定理的新證明，以及1950年國(guó)際數(shù)學(xué)家
大會(huì)上塔爾斯基與羅濱遜的的報(bào)告，以及1951年羅濱遜《代數(shù)的元數(shù)學(xué)》的發(fā)表。

??? 自此之后，模型論大致可分為兩條路線(xiàn)，一條是美國(guó)西海岸的斯科蘭姆一塔爾
斯基路線(xiàn)，他們從四十年代起就由數(shù)論、分析、集合論的問(wèn)題所推動(dòng)，強(qiáng)調(diào)研究一
階邏輯所有公式的集合模型。另一條是美國(guó)東海岸的羅濱遜路線(xiàn)，他們的問(wèn)題由抽
象代表的問(wèn)題所推動(dòng)，它強(qiáng)調(diào)無(wú)量詞公式集與存在公式集。關(guān)于兩塊量詞的理論很
多，它們有許多應(yīng)用。羅濱遜主要用于域論，前蘇聯(lián)馬力茨夫等人主要用于群論。

??? 屬于純粹模型論主題的最早的定理有兩個(gè)，一個(gè)是羅文漢姆的定理。他在1915
年證明每一組有限多公理如果有模型的話(huà)，則它也有一個(gè)可數(shù)模型。把這個(gè)定理推
廣到有可數(shù)個(gè)公理的情況。另一個(gè)定理是緊性定理。

??? 三十年代，哥德?tīng)枌?duì)可數(shù)語(yǔ)言證明緊性定理，1936年蘇聯(lián)馬力茨夫推廣到不可
數(shù)語(yǔ)言。緊性定理在代數(shù)學(xué)方面有許多應(yīng)用。

??? 這兩個(gè)定理都肯定某種模型的存在性，特別是羅文漢姆—斯科蘭姆定理及緊性
定理指出有想不到的特別大的模型存在。最明顯的就是自然數(shù)集合的皮亞諾公理
(其中歸納公理加以改變)，不僅有通常自然集N為其標(biāo)準(zhǔn)模型(即包括可數(shù)多個(gè)元
素)，還有包括不可數(shù)多個(gè)元素的模型，這就是所謂非標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)模型。第一個(gè)非標(biāo)
準(zhǔn)算術(shù)模型是由斯科蘭姆在1934年首先造出的。這兩個(gè)定理的證明都依賴(lài)于造模型
的方法。

??? 模型論中常用的構(gòu)造模型方法與工具有：初等鏈方法、圖式、緊性定理、下行
羅文海姆—斯科蘭姆定理、省略類(lèi)型定理、力迫法、超積、齊性集合等8種，這些方
法都是相當(dāng)專(zhuān)門(mén)的。

??? 圖式方法是亨金及羅濱遜首創(chuàng)的，它有許多用處，不僅能證明緊性定理、羅文
海姆—斯科蘭姆定理、哥德?tīng)柾耆远ɡ淼鹊?#xff0c;而且可以得出許多新定理。

??? 初等鏈?zhǔn)撬査够拔痔卦?957年提出的。超積是最常用的構(gòu)造模型的方法，
超積和超冪的用處表現(xiàn)在同構(gòu)定理上。超冪的另一個(gè)很大的用處是構(gòu)造非標(biāo)準(zhǔn)分析
的模型。

??? 對(duì)于數(shù)學(xué)理論最重要的事是公理化。在模型論中，公理數(shù)目可以有限多，稱(chēng)為
有限可公理化的理論。這類(lèi)理論有；群、交換群、環(huán)、整域、域、有序域、全序
集、格、布爾代數(shù)、貝納斯—哥德?tīng)柤险摰鹊取ＴS多重要理論是不能有限公理化
的，其中一部分是遞歸可公理化的。如可分群、無(wú)撓群、特征0的域、代數(shù)封閉
域、實(shí)封閉域、有限域、尤其重要的是皮亞諾算術(shù)和ZF集合論，而有限群論甚至連
遞歸可公理化都不行。

??? 一個(gè)理論是遞歸可公理化的充分必要條件是：它的所有推論集合是遞歸可枚舉
的。通常它不一定是遞歸的，如果是遞歸的，則稱(chēng)為可判定的。可以證明，每個(gè)完
全、遞歸可公理化理論是可判定的。因此利用模型論的有力工具可以得出判定理論
的一些結(jié)果，如早在1948年塔爾斯基等人證明，實(shí)閉域理論是完全的，因此是可判
定的。

??? 早在十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)家利用造模型的方法來(lái)肯定非歐幾何的真實(shí)性，他們?cè)爝^(guò)
許多模型，但這些模型本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別，也就是“同構(gòu)”。在二十世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家一
般認(rèn)為，一個(gè)理論的模型都是同構(gòu)的，如自然數(shù)理論就是皮亞諾公理所刻劃的一種。

??? 但是這種想法很快就由于自然數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)模型的存在而被打破，所以人們又在模
型論當(dāng)中引進(jìn)重要的概念—范疇性：一個(gè)理論或一組公式如果其所有模型均同構(gòu)，
它就稱(chēng)為范疇的。實(shí)際上，這對(duì)于形式系統(tǒng)(或公理系統(tǒng))是僅次于協(xié)調(diào)性(無(wú)矛盾
性)、完全性、獨(dú)立性之后的第四個(gè)重要要求。但是這個(gè)要求實(shí)在太強(qiáng)了，實(shí)際
上，只要一個(gè)理論有一個(gè)無(wú)窮模型，那么它就不是范疇的，所以我們把范疇性的要
求降低。

??? 模型論給數(shù)學(xué)帶來(lái)許多新結(jié)果，我們大致可以分成三大部分：在代數(shù)方面的應(yīng)
用主要是在群論和域論方面；在分析方面的應(yīng)用主要是非標(biāo)準(zhǔn)分析；在拓樸學(xué)、代
數(shù)幾何學(xué)方面的應(yīng)用主要是拓?fù)渌估碚摗?

??? 模型論在代數(shù)學(xué)中最早的應(yīng)用是量詞的消去，早在三十年代，就由此得到了整
數(shù)加法群的判定步驟，塔爾斯基得到實(shí)數(shù)的可定義集和實(shí)數(shù)域的判定步驟。

??? 1965年以后，數(shù)理邏輯的發(fā)展逐步影響到數(shù)學(xué)本身，因而重新引起數(shù)學(xué)家們的
注意，特別是集合論與模型論的結(jié)果不斷沖擊數(shù)學(xué)本身。模型論在解決代數(shù)問(wèn)題方
面顯示巨大威力，特別是艾柯斯及柯辰解決了著名的阿廷猜想，這個(gè)問(wèn)題曾使代數(shù)
學(xué)家為難了幾十年。

??? 非標(biāo)準(zhǔn)分析是羅濱遜在1960年創(chuàng)造的。1961年1月，在美國(guó)數(shù)學(xué)大會(huì)上，羅濱
遜宣布了他的非標(biāo)準(zhǔn)分析，其實(shí)這就是邏輯學(xué)家所謂的實(shí)數(shù)的非標(biāo)準(zhǔn)模型。在這篇
報(bào)告中，他總結(jié)了新方法的所有重要方面，因此無(wú)可爭(zhēng)辯地成為這個(gè)新領(lǐng)域的獨(dú)一
無(wú)二的創(chuàng)造者。他指出，實(shí)數(shù)系統(tǒng)是全序域，具有阿基米德性質(zhì)，也就是任何一個(gè)
正實(shí)數(shù)經(jīng)過(guò)有限次自己加自己之后可以超過(guò)任何一個(gè)實(shí)數(shù)。但是非標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)一般并
不滿(mǎn)足這個(gè)條件，比如說(shuō)一個(gè)無(wú)窮小量的一千倍，一萬(wàn)倍、一億倍甚至更多，也大
不過(guò) 1，這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為非阿基米德性質(zhì)。

??? 最近，非標(biāo)準(zhǔn)分析在分析、微分幾何學(xué)、代數(shù)幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)有一系列的應(yīng)
用，使數(shù)學(xué)家對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)分析也不得不另眼相看了，特別是非標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)浜头菢?biāo)推測(cè)度
論近來(lái)更是有重要的突破。

??? 非標(biāo)難測(cè)度論已經(jīng)得出許多新的“標(biāo)準(zhǔn)”結(jié)果，如關(guān)于測(cè)度的擴(kuò)張、位勢(shì)理論、
布朗運(yùn)動(dòng)理論、隨機(jī)微分方程、最優(yōu)控制理論，甚至運(yùn)用到數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)及高分子物
理化學(xué)當(dāng)中。其中關(guān)鍵來(lái)自1975年洛布的工作。他從非標(biāo)準(zhǔn)測(cè)度空間能造出豐富的
標(biāo)準(zhǔn)測(cè)度空間，使得非標(biāo)準(zhǔn)分析真正能對(duì)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)作出自己的貢獻(xiàn)。

??? 拓?fù)渌故墙y(tǒng)—現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最新基礎(chǔ)，它反映了數(shù)理邏輯與范演論的結(jié)合。范疇
論大約在六十年代初由同調(diào)代數(shù)學(xué)脫胎而出，而同調(diào)代數(shù)則在四十年代末到六十年
代初由代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展而來(lái)。代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)則是用群、環(huán)、域、模等代數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)刻化
幾何圖形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。同調(diào)代數(shù)學(xué)則用代數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)刻化代數(shù)結(jié)構(gòu)，比如說(shuō)一組群與
另一組的對(duì)應(yīng)關(guān)系。把這個(gè)組發(fā)展到集合或其它任何結(jié)構(gòu)，研究范躊與范躊之間的
關(guān)系就是范疇論。

??? 我們可以考慮幾何的范躊和范躊的范躊。1963年出現(xiàn)了層的范疇，這就是拓?fù)?
斯。托普斯使范疇方法迅速推廣到其他數(shù)學(xué)分支中去。1970年，勞威爾等人引進(jìn)一
種特殊的范疇—初等拓?fù)渌埂啄曛?#xff0c;證明了一個(gè)重要結(jié)果，一個(gè)初等拓?fù)渌拐?
好是高階直覺(jué)主義集合論的模型。因此，初等拓?fù)渌咕拖蠹弦粯映蔀閿?shù)學(xué)的基
礎(chǔ)，而且更接近數(shù)學(xué)的內(nèi)容。

　

4、公理集合論

??? 1930年以后，迎來(lái)了公理集合論的黃金時(shí)代。對(duì)于數(shù)學(xué)家們來(lái)說(shuō)，策梅羅的公
理系統(tǒng)ZF大致夠用。他們?nèi)圆惶P(guān)心集合論的細(xì)微未節(jié)，以及一層一層的無(wú)窮大，
這些在他們的數(shù)學(xué)中難得碰到。不過(guò)除了九條可靠的ZF公理之外，他們也往往需要
選擇公理(AC)，有時(shí)也要考慮連續(xù)統(tǒng)假設(shè)(CH)。他們希望這兩個(gè)公理是真的，這樣
似乎就可以天下太平了。誰(shuí)知事情越來(lái)越麻煩，現(xiàn)在居然找出一大堆玄妙的公理和
假設(shè)，它們能推出一些我們想要的結(jié)果來(lái)，同時(shí)又出現(xiàn)許多荒唐矛盾的現(xiàn)象。這些
現(xiàn)象十分有趣，但是從外行看來(lái)實(shí)在亂七八糟。這里還是簡(jiǎn)單歸納介紹一下:

　

??? 4.1 選擇公理

??? 選擇公理是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最常用的假設(shè)，過(guò)去許多人曾不自覺(jué)地使用。對(duì)這個(gè)問(wèn)
題引起注意，是因?yàn)榭低袪栐?883年提出任意集合是否都可良序化的問(wèn)題。希爾伯
特也曾把這個(gè)問(wèn)題引入其23問(wèn)題頭一問(wèn)題的后半部分。1904年，策梅羅提出選擇公
理，并通過(guò)選擇公理證明了良序定理。這個(gè)公理有極多的等價(jià)形式，其中有在代數(shù)
中常用的造恩引理。這個(gè)應(yīng)用極廣、看來(lái)正確的選擇公理，卻可以證明出一些看來(lái)
荒唐的結(jié)果。如1914年的豪斯道夫的分球面定理和U23年的巴拿赫—塔爾斯基悖論。

??? 可是選擇公理的用途太大，不能忽視，許多學(xué)科的基本定理少不了它：泛函分
析中的哈恩—巴拿赫定理(關(guān)于巴拿赫空間上的線(xiàn)性泛函的可擴(kuò)張性)；拓?fù)鋵W(xué)的吉
洪諾夫定理(關(guān)于任意多緊空間的直積為緊)；布爾代數(shù)的斯通表示定理，每個(gè)布爾
代數(shù)皆同構(gòu)于集代數(shù)；自由群論的尼爾森定理，自由群的子群也是自由的。

??? 其他還有許多定理，如果沒(méi)有選擇公理也不行。

　

??? 4.2連續(xù)統(tǒng)假設(shè)

??? 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的歷史最久，它可以說(shuō)是隨著集合論一起產(chǎn)生的。1883年康托爾就
提出了這個(gè)假設(shè)，可數(shù)無(wú)窮集的基數(shù)的后面就是連續(xù)統(tǒng)的基。康托爾花了畢生精力
去證明，但沒(méi)有成功。希爾伯特把它列入自己著名的23個(gè)問(wèn)題的頭一個(gè)。希爾伯特
本人也曾經(jīng)用了許多精力證明它，并且在192～—1926年宣布過(guò)證明的大綱，但終究
未能成功。這個(gè)問(wèn)題終究懸而未決。

??? 1930年哥德?tīng)柾瓿闪怂膬纱筘暙I(xiàn)以后，曾說(shuō)過(guò)“現(xiàn)在該輪到集合論了”。他從
1935年起就開(kāi)始研究連續(xù)統(tǒng)假設(shè)及廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。這一次他又出人意料地證明了
ZF和GCH是協(xié)調(diào)一致的，不過(guò)當(dāng)然要假設(shè)ZF本身也是協(xié)調(diào)的，雖然這一點(diǎn)一直沒(méi)有
得到證明。

??? 哥德?tīng)枒?yīng)用可構(gòu)造性公理證明ZFC和ZFC＋GCH的相對(duì)無(wú)矛盾性，他用可構(gòu)造集
的類(lèi)L作為ZFC的模型。1963年7月，美國(guó)年輕數(shù)學(xué)家科恩發(fā)明了影響極為重大的力
迫法，并證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定命題成立，這樣一來(lái)CH在ZF中既不能證明也不能否定。

　

??? 4.3可構(gòu)成性公理

??? 哥德?tīng)栕C明選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)協(xié)調(diào)性的方法是定義一種類(lèi)型的集合，叫做
可構(gòu)成集。假如把集合論中集合的概念完全用可構(gòu)成集合的概念來(lái)理解，那么集合
論中的一些概念就會(huì)有相應(yīng)的改變。但是有一些概念不會(huì)改變，這種概念我們稱(chēng)為
絕對(duì)的，特別是可構(gòu)成性這個(gè)概念是絕對(duì)的。所以“一切集合是可構(gòu)成的”，這稱(chēng)為
可構(gòu)成性公理。

??? 可構(gòu)成性的概念非常重要，表現(xiàn)在：1、可構(gòu)成性公理與ZF的其他公理是協(xié)調(diào)
的；2、可構(gòu)成性公理蘊(yùn)涵連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和選擇公理；3、如果可測(cè)基數(shù)存在，則不可
構(gòu)成集合存在，這是斯科特1961年證明的。隨后，羅巴通在他1964年的博土論文中
證明可測(cè)基數(shù)的存在，蘊(yùn)涵整數(shù)不可構(gòu)成集合的存在性，后來(lái)他又證明可測(cè)基數(shù)的
存在蘊(yùn)涵只有可數(shù)無(wú)窮多個(gè)整數(shù)的可構(gòu)成集合。

　

??? 4.4 馬丁公理

??? 馬丁公理是1970年由馬丁等人提出來(lái)的，它與ZFC的其他公理完全不同，不象
一個(gè)“真”的公理，但是由它可以推出數(shù)學(xué)上重要的結(jié)果。馬丁公理是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的
推論，因此可以看成是弱連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。

??? 馬丁公理在數(shù)學(xué)上有一系列的重要應(yīng)用。特別重要的是，舍拉在1974年證明懷
特海猜想在ZFC下是不可判定的。同樣，許多拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題也有類(lèi)似情況。

　

??? 4.6 大基數(shù)公理

??? 連續(xù)統(tǒng)假設(shè)及廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)反映了最理想的大基數(shù)產(chǎn)生的方法，也就是一個(gè)
接一個(gè)由冪集的基數(shù)產(chǎn)生出來(lái)。但是，這種理想的情況現(xiàn)在還無(wú)法證明，而與它不
同或矛盾的情形也不可能得到否定。因此，這種種特殊大基數(shù)的存在性能得到更加
特殊的結(jié)果，而且對(duì)數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生了不可忽視的影響。

??? 雖然這些大基數(shù)極為玄乎，可是由它們可以推出許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)果。因此我
們不得不重視它，而它們的存在性作為公理就是大基數(shù)公理。可以料到這些大基數(shù)
公理同原來(lái)的一些公理是矛盾的。比如，可構(gòu)造公理就蘊(yùn)涵可測(cè)基數(shù)不存在。

??? 大基數(shù)公理對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要性可以由下面問(wèn)題的解決看出：拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)著
名的幾十年末解決的正規(guī)莫爾空間猜想歸結(jié)為可測(cè)基數(shù)的存在問(wèn)題，而象過(guò)去局限
于ZFC系統(tǒng)的證明是沒(méi)有希望的。

　

??? 4.6決定性公理

??? 決定性公理是與描述集合論密切相關(guān)的公理，它涉及到自然數(shù)列的集合是否能
夠通過(guò)某種方法決定。

??? 決定性公里的基本問(wèn)題是：什么集合是可決定的？經(jīng)過(guò)許多人的努力，馬丁在
1975年證明，數(shù)學(xué)中最常用的保萊爾集合是可決定的。下一個(gè)猜想是證明所有解析
集合(即二維保萊爾集合的射影集合)是可決定的，但這個(gè)猜想與哥德?tīng)柕目蓸?gòu)成性
公理相矛盾。上面講過(guò)，可構(gòu)成性公理是與ZFC是相容的，因此這個(gè)猜想無(wú)法在集
合論中證明。這樣一來(lái)，它本身可以成為一個(gè)新公理。

??? 比這個(gè)公理更加激進(jìn)的公理是：R的所有子集合都是決定的。這個(gè)公理太過(guò)激
烈了，以致很難為“真”，因?yàn)樗紫韧x擇公理有矛盾。不過(guò)，由這個(gè)決定性公理
卻能推出一系列有趣的數(shù)學(xué)事實(shí)；其中最突出的是，由它可推出所有實(shí)數(shù)集合都是
勒貝格可測(cè)的。這樣一來(lái)，許多數(shù)學(xué)成為沒(méi)有意思的了。因此，數(shù)學(xué)家還是不太想
要這個(gè)太強(qiáng)的公理。可是，它帶來(lái)的一系列問(wèn)題仍有待解決。

　

第六章：數(shù)學(xué)與哲學(xué)(上)

　

??? 從1900年到1930年左右，數(shù)學(xué)的危機(jī)使許多數(shù)學(xué)家都卷入到一場(chǎng)大辯論當(dāng)中。
他們看到這次危機(jī)涉及數(shù)學(xué)的根本，必須對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)加以嚴(yán)密的考察。在這
場(chǎng)大辯論中，原來(lái)的不明顯的意見(jiàn)分歧擴(kuò)展成為學(xué)派的爭(zhēng)論，以羅素為代表的邏輯
主義，以布勞威爾為代表的直覺(jué)主義，以希爾伯特為代表的形式主義三大學(xué)派應(yīng)運(yùn)
而生。他們?cè)跔?zhēng)論過(guò)程中盡管言語(yǔ)尖刻，好象勢(shì)不兩立，其實(shí)他們各自的觀點(diǎn)在爭(zhēng)
論過(guò)程中都吸收了對(duì)立面的看法而有很多變化。

??? 1930年，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明暴露了各派的弱點(diǎn)，哲學(xué)的爭(zhēng)論冷淡了下
去。此后各派力量沿著自己的道路發(fā)展演化。盡管爭(zhēng)論的問(wèn)題遠(yuǎn)未解決，但大部分
數(shù)學(xué)家并不太關(guān)心哲學(xué)問(wèn)題。近年來(lái)數(shù)學(xué)哲學(xué)問(wèn)題又激起人們的興趣，因此我們有
必要了解一下數(shù)學(xué)哲學(xué)的來(lái)龍去脈。

　

1、邏輯主義

??? 羅素在1903年出版的《數(shù)學(xué)的原理》中對(duì)于數(shù)學(xué)的本性發(fā)表了自己的見(jiàn)解。他
說(shuō)：“純粹數(shù)學(xué)是所有形如‘p蘊(yùn)涵q’的所有命題類(lèi)，其中p和q都包含數(shù)目相同的一
個(gè)或多個(gè)變?cè)拿}，且p和q除了邏輯常項(xiàng)之外，不包含任何常項(xiàng)。所謂邏輯常項(xiàng)
是可由下面這些對(duì)象定義的概念：蘊(yùn)涵，一個(gè)項(xiàng)與它所屬類(lèi)的關(guān)系，如此這般的概
念，關(guān)系的概念，以及象涉及上述形式一般命題概念的其他概念。除此之外，數(shù)學(xué)
使用一個(gè)不是它所考慮的命題組成部分的概念，即真假的概念。”

??? 這種看法是羅素自己最早發(fā)表的關(guān)于邏輯主義的論點(diǎn)。這種看法在以前也不同
程度被戴德金、弗雷格、皮亞諾、懷特海等人表達(dá)過(guò)。戴德金在1872年出版了《連
續(xù)性及無(wú)理數(shù)》一文，在這篇文章中，他把有理數(shù)做為已知，進(jìn)而分析連續(xù)性這個(gè)
概念。為了要徹底解決這個(gè)問(wèn)題，必須考慮有理數(shù)乃至自然數(shù)產(chǎn)生的問(wèn)題。他認(rèn)為
應(yīng)該建立在邏輯基礎(chǔ)上，但沒(méi)有實(shí)行。

??? 弗雷格在1884年《算術(shù)基礎(chǔ)》中認(rèn)為每個(gè)數(shù)是一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象。他認(rèn)為算術(shù)規(guī)則
是分析判斷，因此是先驗(yàn)的。根據(jù)這點(diǎn)，算術(shù)只是邏輯進(jìn)一步發(fā)展的形式，每個(gè)算
術(shù)定理是一個(gè)邏輯規(guī)律。把算術(shù)應(yīng)用到自然現(xiàn)象上的解釋只是對(duì)所觀察到的事實(shí)的
邏輯加工，計(jì)算就是推理。數(shù)字規(guī)律無(wú)須實(shí)踐檢驗(yàn)即可應(yīng)用于外在世界，而在外在
世界、空間總體及其內(nèi)容物，并沒(méi)有概念、沒(méi)有數(shù)。因此，數(shù)字規(guī)律實(shí)際上不能應(yīng)
用于外在世界，這些規(guī)律并不是自然規(guī)律。不過(guò)它們可以應(yīng)用于對(duì)外在世界中的事
物為真的判斷上，這些判斷即是自然規(guī)律。它們反映的不是自然現(xiàn)象之間的關(guān)系，
而是關(guān)于自然現(xiàn)象的判斷之間的關(guān)系。

??? 早在羅素發(fā)現(xiàn)悖論之前，他在寫(xiě)作《數(shù)學(xué)的原理》時(shí)就企圖把數(shù)學(xué)還原為邏輯，
由于發(fā)現(xiàn)悖論，這個(gè)計(jì)劃遭到了困難。他發(fā)現(xiàn)消除悖論的方法之后，又開(kāi)始具體實(shí)
現(xiàn)他的計(jì)劃，這就是他和懷特海合著的《數(shù)學(xué)原理》。

??? 既然羅素、懷特海的《數(shù)學(xué)原理》原來(lái)的目的是企圖把數(shù)學(xué)建立在邏輯的基礎(chǔ)
上，因此，書(shū)一開(kāi)始就提出幾個(gè)不加定義的概念和一些邏輯的公理，由此推出邏輯
規(guī)則以及數(shù)學(xué)定性。

??? 不加定義的概念有基本命題、命題函數(shù)、斷言、或、否(非)；這里講的命題是
指陳述一件事實(shí)或描述一種關(guān)系的一個(gè)語(yǔ)句，如“張三是人”，“蘋(píng)果是紅的”等等，
由這些概念可定義邏輯上最重要的概念“蘊(yùn)涵”。

??? 要想由邏輯推出數(shù)學(xué)，第一步是推出“數(shù)”來(lái)，這件事皮亞諾及弗雷格都做了。
羅素在消除悖論之后，成功地用“類(lèi)”來(lái)定義1。這個(gè)過(guò)程極為繁瑣費(fèi)力，一直到《數(shù)
學(xué)原理》第一卷的363頁(yè)才推出“1”的定義，而第二卷費(fèi)了很大力氣證明了n×m＝m×n。

??? 在《數(shù)學(xué)的原理》及《數(shù)學(xué)原理》中，羅素的目標(biāo)在于證明“數(shù)學(xué)和邏輯是全等的”
這個(gè)邏輯主義論題，它可以分析為三部分內(nèi)容：

??? 1、每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為完全用邏輯表達(dá)或表示的語(yǔ)言。簡(jiǎn)單來(lái)講，即
每條數(shù)學(xué)真理都能夠表示為真正的邏輯命題。

??? 2、每一條真的邏輯命題如果是一條數(shù)學(xué)真理的翻譯，則它就是邏輯真理。

??? 3、每條數(shù)學(xué)真理一旦表示為一個(gè)邏輯命題，就可由少數(shù)邏輯公理及邏輯規(guī)則
推導(dǎo)出來(lái)。

??? 這三方面不完全一樣，羅素只是分別在各處用一條或兩條表示過(guò)邏輯主義。由
于哥德?tīng)柕牟煌耆ɡ?#xff0c;3是錯(cuò)的，但是還可以堅(jiān)持1和2。

??? 羅素認(rèn)為邏輯主義的許多主要論點(diǎn)不是來(lái)自他本人，弗雷格就曾明確地表示過(guò)
一些邏輯主義的觀點(diǎn)。但是，邏輯主義觀點(diǎn)盡管受到批判，羅素本人還一直堅(jiān)持。
在三十年代以后，還是有許多人發(fā)展邏輯主義。

??? 邏輯主義從—開(kāi)始就遭到批評(píng)，“因?yàn)槿绻麛?shù)學(xué)只是一套邏輯演繹系統(tǒng)，那么它
怎么可能反映廣泛的自然現(xiàn)象呢？它又怎樣能夠有創(chuàng)造力呢？它又怎樣能夠產(chǎn)生新
觀念呢？”用維特根斯坦的話(huà)說(shuō)，數(shù)學(xué)就是同語(yǔ)反復(fù)(重言式)，結(jié)不出任何新知識(shí)。

??? 羅素悖論的出現(xiàn)，使得這一派遭到的攻擊更大。彭加勒挖苦他們“邏輯主義的
理論倒不是不毛之地，什么也不長(zhǎng)，它滋長(zhǎng)矛盾，這就更加讓人受不了”。羅素—懷
特海用了幾年時(shí)間寫(xiě)出了《數(shù)學(xué)原理》論證了自己的觀點(diǎn)，仍不免遭到譏諷。彭加勒
挖苦他們費(fèi)很大力氣去定義1，說(shuō)“這是一個(gè)可欽可佩的定義，它獻(xiàn)給那些從來(lái)不知
道1的人”，別人也說(shuō)這一套完全是中世紀(jì)的教條。更有人指出這種方法的人為性、
煩瑣性。尤其是可化歸公理，顯然是硬加上的，沒(méi)有任何自然之處。盡管如此，邏
輯主義總算還能自圓其說(shuō)。

??? 對(duì)邏輯主義致命打擊的是哥德?tīng)柕牟煌耆远ɡ?#xff0c;它證明了從邏輯并不能推出
算術(shù)的正確性來(lái)，顯然把數(shù)學(xué)全部化歸為邏輯徹底失敗了。但是，羅素等人的歷史
功績(jī)是不可磨滅的，他們?yōu)閿?shù)學(xué)奠定了邏輯基礎(chǔ)。在一段時(shí)期內(nèi)，《數(shù)學(xué)原理》是一
部引導(dǎo)數(shù)學(xué)邏輯家的經(jīng)典，至今它還有一定的意義。

??? 邏輯主義也不是后繼無(wú)人，英國(guó)的拉姆塞、美國(guó)的奎因都對(duì)邏輯主義作了進(jìn)一
步的發(fā)展。

　

2、直覺(jué)主義

??? 直覺(jué)主義有著長(zhǎng)遠(yuǎn)的歷史，它植根于數(shù)學(xué)的構(gòu)造性當(dāng)中。古代數(shù)學(xué)大多是算，
只是在歐幾里得幾何學(xué)中邏輯才起一定作用。到了十七世紀(jì)解析幾何和微積分發(fā)明
之后，計(jì)算的傾向大大超過(guò)了邏輯傾向。十七、十八世紀(jì)的創(chuàng)造，并不考慮邏輯的
嚴(yán)格，而只是醉心于計(jì)算。

??? 十九世紀(jì)初，三個(gè)力量出現(xiàn)了，一個(gè)是解五次代數(shù)方程碰釘子，需要考慮存在
性定理。一個(gè)是非歐幾何不矛盾，是邏輯而不是直覺(jué)在起作用。一個(gè)是數(shù)學(xué)分析不
嚴(yán)格，產(chǎn)生荒謬的結(jié)果。在新的矛盾面前出現(xiàn)一些非構(gòu)造性結(jié)果，也考慮一些無(wú)窮
的問(wèn)題。這時(shí)追求嚴(yán)密與追求實(shí)用構(gòu)造兩種傾向都有增長(zhǎng)，不過(guò)一般數(shù)學(xué)家維持著
微妙的平衡。

??? 到了十九世紀(jì)末，集合論的出現(xiàn)激起這兩方面的尖銳斗爭(zhēng)。于是出現(xiàn)極端的構(gòu)
造主義者，象克洛耐克否認(rèn)無(wú)理數(shù)存在，否認(rèn)連續(xù)函數(shù)，他認(rèn)為任何東西部要有構(gòu)
造步驟或判斷準(zhǔn)則，但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。

??? 法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒等人是半直覺(jué)主義者，有人稱(chēng)為法國(guó)經(jīng)驗(yàn)主義者。他們反對(duì)
實(shí)無(wú)窮，反對(duì)實(shí)數(shù)集合，反對(duì)選擇公理，主要因?yàn)樗麄冋J(rèn)為根本不能進(jìn)行無(wú)窮的構(gòu)造。

??? 現(xiàn)代直覺(jué)主義真正的奠基人是布勞威爾，他于1881年2月27日生于荷蘭奧弗
西。1897年進(jìn)入阿姆斯待丹大學(xué)學(xué)習(xí)，一直到1904年，他很快掌握了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)并
且發(fā)表關(guān)于幾何第一個(gè)結(jié)果。他多少受曼諾利的影響，關(guān)心當(dāng)時(shí)的基礎(chǔ)問(wèn)題，在
1907年博士論文中闡述自己對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的觀點(diǎn)。

??? 布勞威爾是從哲學(xué)中得出自己觀點(diǎn)的，基本的直覺(jué)是按照時(shí)間順序出現(xiàn)的感
覺(jué)，而這形成自然數(shù)的概念。這倒不是新鮮的，他認(rèn)為數(shù)學(xué)思維是頭腦中的自由構(gòu)
造，與經(jīng)驗(yàn)世界無(wú)關(guān)，只受基本數(shù)學(xué)直覺(jué)為基礎(chǔ)的限制，在這方面他是不同于法國(guó)
經(jīng)驗(yàn)主義者的。數(shù)學(xué)概念進(jìn)入人腦是先于語(yǔ)言、邏輯和經(jīng)驗(yàn)的，決定概念的正確性
是直覺(jué)，而不是經(jīng)驗(yàn)及邏輯。這些充分暴露了他唯心主義和神秘主義的思想傾向。

??? 布勞威爾認(rèn)為數(shù)學(xué)直覺(jué)的世界和感覺(jué)的世界是互相對(duì)立的，日常的語(yǔ)言屬于感
覺(jué)世界，不屬于數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)獨(dú)立于語(yǔ)言存在，而邏輯是從屬于語(yǔ)言的，它不是揭露
真理的工具，而是運(yùn)用語(yǔ)言的手段。正因?yàn)槿绱?#xff0c;數(shù)學(xué)中最主要的進(jìn)展不是靠邏輯
形式完美化而得到，而是靠基本理論本身的變革。

??? 布勞威爾認(rèn)為邏輯規(guī)律并不對(duì)數(shù)學(xué)有什么約束作用，數(shù)學(xué)是自由的，不一定遵
守什么邏輯規(guī)則。他認(rèn)為經(jīng)典邏輯是從有限集合的數(shù)學(xué)抽象出來(lái)，沒(méi)有理由運(yùn)用到
無(wú)窮集合。1908年，他反對(duì)把排中律運(yùn)用于無(wú)窮集合上，因?yàn)橛懈F集合可以逐個(gè)檢
查，而無(wú)窮集合則辦不到，因此存在不可斷定真假的第三種情況，就是說(shuō)有既不可
證明，又非得要證明的命題。

??? 1908年到1913年，布勞威爾主要從事拓?fù)鋵W(xué)的研究，他運(yùn)用單形逼近的方法證
明了維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃?#xff0c;這在數(shù)學(xué)上是個(gè)了不起的成就，是極重要的拓?fù)浞椒āＫ?
在李群、幾何等方面也有出色的工作，不過(guò)很快他又轉(zhuǎn)向基礎(chǔ)研究。

??? 布勞威爾象康德和彭加勒一樣，認(rèn)為數(shù)學(xué)定理是先驗(yàn)綜合真理。他在1912年的
阿姆斯特丹大學(xué)就職演說(shuō)中，他承認(rèn)由于非歐幾何的發(fā)展，康德的空間學(xué)說(shuō)不可
信。但他同弗雷格和羅素相反，仍然堅(jiān)持康德的觀點(diǎn)，算術(shù)是從對(duì)時(shí)間的直覺(jué)導(dǎo)出
的。由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在算術(shù)基礎(chǔ)上的，所以整個(gè)數(shù)學(xué)也是如此。正是時(shí)間單位
的序列產(chǎn)生序數(shù)的概念，而連續(xù)統(tǒng)[0，1]只是不可用新單位窮盡的居間性，他認(rèn)為
幾何學(xué)也依賴(lài)于這種直覺(jué)。他認(rèn)為除了可數(shù)集合之外，沒(méi)有其他集合，所以ω以上
的超窮數(shù)都是胡說(shuō)八道，象 0與 1之間所有實(shí)數(shù)的集合是毫無(wú)意義的。這點(diǎn)他在
1908年羅馬召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上講過(guò)，數(shù)學(xué)無(wú)窮集合只有一個(gè)基數(shù)，即可數(shù)無(wú)窮。

??? 1909年他同希爾伯特通信，指出形式主義和直覺(jué)主義的爭(zhēng)論焦點(diǎn)。1912年說(shuō)到
這個(gè)問(wèn)題之后，他一直到1917年才又開(kāi)始這方面的論戰(zhàn)。從這時(shí)起到二十年代末他
發(fā)表一系列的文章，開(kāi)始建立一個(gè)不依靠排中律的集合論，接著又建立構(gòu)造的測(cè)度
論及函數(shù)論，這是他從消極的否定轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極的構(gòu)造。同時(shí)他試圖使數(shù)學(xué)家相信排
中律導(dǎo)出矛盾。他運(yùn)用了扇定理，這個(gè)定理及選擇序列、散集等是他的直覺(jué)主義數(shù)
學(xué)的獨(dú)創(chuàng)。

??? 三十年代初期由于哥德?tīng)柕墓ぷ?#xff0c;許多數(shù)學(xué)家開(kāi)始重視直覺(jué)主義。外爾早在
1920年左右就表示效忠于直覺(jué)主義，從而激起希爾伯特的極大憤怒。他吸收了直覺(jué)
主義一些思想，開(kāi)始用有限主義方法來(lái)完成證明論方案，企圖一勞永逸地解決基礎(chǔ)
問(wèn)題，不料沒(méi)能成功，于是還得求助于無(wú)窮。

??? 直覺(jué)主義仍然進(jìn)行他們的事業(yè)，特別是海丁建立直覺(jué)邏輯系統(tǒng)，它包含古典邏
輯系統(tǒng)。后來(lái)更有人建立直覺(jué)主義集合論及直覺(jué)主義分析。不過(guò)，仍然不能盡如人意。

??? 1967年，美國(guó)數(shù)學(xué)家畢肖普出版《構(gòu)造性分析》一書(shū)，開(kāi)始了構(gòu)造主義的時(shí)期。
他們不象以前直覺(jué)主義者那樣偏激，而是積極采用構(gòu)造的方法解決一個(gè)個(gè)具體問(wèn)
題。不去單純的否定或爭(zhēng)論。畢肖普自信會(huì)取得大多數(shù)人的支持，不過(guò)沒(méi)有能實(shí)
現(xiàn)，因?yàn)樗麄儺吘钩删陀邢?#xff0c;難于同整個(gè)數(shù)學(xué)汪洋大海相比，可是十幾年來(lái)構(gòu)造主
義還是取得一定進(jìn)展，如《構(gòu)造性泛函分析》等書(shū)問(wèn)世，說(shuō)明它還有一定的市場(chǎng)。



第六章：數(shù)學(xué)與哲學(xué)(下)

　

3、形式主義

??? 一般認(rèn)為形式主義的奠基人是希爾伯特，但是希爾伯特自己并不自命為形式主
義者。并且，希爾伯特的思想有一個(gè)發(fā)展變化的過(guò)程，我們簡(jiǎn)單地介紹一下。希爾
伯特是二十世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家，他不僅是數(shù)學(xué)上一些分支的公認(rèn)權(quán)威，而且恐
怕也是最后一位在幾乎所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都做出偉大貢獻(xiàn)的全才。更重要的是，他對(duì)
于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題有著長(zhǎng)時(shí)期的持久關(guān)注，他的思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)也占有統(tǒng)治地位。

??? 大衛(wèi)·希爾伯特，1862年1月23日出生在東普魯士的哥尼斯堡。他一直在家鄉(xiāng)上
學(xué)，1885年取得博士學(xué)位，1886年就任哥尼斯堡大學(xué)講師。1888年因?yàn)榻鉀Q了不變
式理論中著名的“哥爾丹問(wèn)題”開(kāi)始在數(shù)學(xué)界嶄露頭角，1891年他升任副教授，1893
年升任教授。1895年，他應(yīng)克萊因之邀，任哥丁根大學(xué)教授，由此開(kāi)辟了哥丁根大
學(xué)的黃金時(shí)代。他在哥丁根大學(xué)任教至1930年退休，其間培養(yǎng)了各國(guó)數(shù)學(xué)家，單是
他指導(dǎo)的博士論文就有五、六十篇。由于他的影響，哥丁根成為世界數(shù)學(xué)的中心，
繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌權(quán)后才迅速地衰落下去。晚年學(xué)生大都離開(kāi)，
他于1948年2月14在孤寂中逝世。

??? 希爾伯特前期主要供獻(xiàn)在不變式論方面。1895年左右，他寫(xiě)了代數(shù)數(shù)論的總結(jié)
性巨著。二十世紀(jì)開(kāi)始時(shí)，他的興趣轉(zhuǎn)向分析及物理學(xué)。從十九世紀(jì)末，他對(duì)數(shù)學(xué)
基礎(chǔ)做出重大貢獻(xiàn)。為了方便起見(jiàn)，不妨把他關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯的主要著作
開(kāi)列如下：

??? 1899年，《幾何學(xué)基礎(chǔ)》，本書(shū)多次宣印及再版，生前最后一版為第七版(1930
年)。正文部分有中釋本。

??? 1900年，實(shí)數(shù)的公理化，以及“數(shù)學(xué)問(wèn)題”

??? 1904年，在海德堡國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的講演—“論邏輯和算術(shù)的基礎(chǔ)”

??? 1917年，公理化思想

??? 1922年，“數(shù)學(xué)的新基礎(chǔ)”，以及“數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)”

??? 1925年，論無(wú)窮

??? 1927年，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

??? 1928年“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題”在意大利波洛那國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上講演；《理論邏輯綱
要》(同阿克曼臺(tái)著)，本書(shū)很快成為標(biāo)準(zhǔn)著作。1938年第二版，1949年第三版，有
中譯本，莫紹接譯《數(shù)理邏輯基礎(chǔ)》，1959年第四版，阿克曼做了很大的改動(dòng)。

??? 1930年，“初等數(shù)論基礎(chǔ)”“邏輯及對(duì)自然的認(rèn)識(shí)”

??? 1931年，“排中律的證明”

??? 1934年，《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》Ⅰ；1939年，《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》Ⅱ，這兩本書(shū)與貝納斯合著

??? 從希爾伯特的著作看來(lái)，希爾伯特提出了大部分形式主義觀點(diǎn)，但他并沒(méi)有把
它們絕對(duì)化。他的觀點(diǎn)有些地方同邏輯主義、直覺(jué)主義有著共同之處。這反映出某
種矛盾，應(yīng)該說(shuō)這種矛盾是數(shù)學(xué)家的哲學(xué)思想上的矛盾。

??? 關(guān)于數(shù)學(xué)中的存在，他認(rèn)為不限于感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的存在。在物理世界中，他認(rèn)為沒(méi)
有無(wú)窮小、無(wú)窮大和無(wú)窮集合，但是在數(shù)學(xué)理論的各個(gè)分支中卻都有無(wú)窮集合，如
自然數(shù)的集合，一個(gè)線(xiàn)段里所有點(diǎn)的集合等等。這種不是經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛑苯域?yàn)證的對(duì)
象，他稱(chēng)之為“理想元素”。引進(jìn)理想元素的方法在數(shù)學(xué)中其實(shí)由來(lái)已久，比如代數(shù)
中虛數(shù)的引進(jìn)，幾何中無(wú)窮點(diǎn)的引進(jìn)，微積分中無(wú)窮小與無(wú)窮大的引進(jìn)等等。但是
理想元素的引進(jìn)必須不把矛盾帶到原來(lái)的較窄狹的領(lǐng)域內(nèi)。由于理想元素不能靠直
觀經(jīng)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，只能靠邏輯來(lái)驗(yàn)證，因此合理性的唯一判據(jù)就是無(wú)矛盾性。這種無(wú)
矛盾性的真理觀實(shí)際上是形式主義基本論點(diǎn)。

??? 但是希爾伯特并不抱這種極端和絕對(duì)的看法，他看到引進(jìn)新元素往往是對(duì)于舊
元素的一種擴(kuò)張，所以很自然地要求擴(kuò)張之后增加的新元素仍能保留舊元素的大部
分基本性質(zhì)，就象數(shù)的擴(kuò)張仍能使加法交換律保持成立。當(dāng)然這樣也就在一定意義
下限制了擴(kuò)張的任意性，這也是因?yàn)閷?duì)于搞研究的數(shù)學(xué)家來(lái)講，引進(jìn)新概念是為了
需要，而不是“游戲”，所以希爾伯特還認(rèn)為“需要有相應(yīng)的成果”，而且這是“至高
無(wú)上的裁判”。把這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)弄進(jìn)來(lái)，反而使得標(biāo)準(zhǔn)變得模糊不清。

??? 但是在什么情況下，關(guān)于理想元素的命題為真呢？這個(gè)問(wèn)題，希爾伯特不認(rèn)為
每個(gè)個(gè)公式都必須得到驗(yàn)證，每一個(gè)概念都必須得到解釋，然后通過(guò)直觀驗(yàn)證。

??? 在1900年的《論數(shù)的概念中》，希爾伯特提議用公理化方法來(lái)代替“生成的”方
法。在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中，希爾伯特超過(guò)解析幾何選出的算術(shù)模型來(lái)證明他的幾何公
理的無(wú)矛盾性。這樣證明的是相對(duì)無(wú)矛盾性，也就是把幾何學(xué)的無(wú)矛盾性歸于實(shí)數(shù)
的算術(shù)公理的無(wú)矛盾性。于是他在1990年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上把算術(shù)公理的無(wú)矛盾性
列為他那著名23個(gè)問(wèn)題中的第二個(gè)。他沒(méi)有指出任何解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，而只是
強(qiáng)調(diào)相對(duì)無(wú)矛盾性的證明沒(méi)有問(wèn)題。

??? 不久，羅素悖論變得眾所周知，從而無(wú)矛盾性問(wèn)題變得更加緊迫。于是，希爾
伯特在1904年在德國(guó)海德堡召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出第一個(gè)證明算術(shù)無(wú)矛盾性
的打算。事實(shí)上，這是現(xiàn)代這方面研究的原型。他的草案是：要證明某些初等公式
具有無(wú)矛盾性，并且推演規(guī)則傳遞這個(gè)性質(zhì)。

??? 在這篇題為《論邏輯和算術(shù)的偽基礎(chǔ)》的報(bào)告開(kāi)頭，希爾伯特評(píng)論對(duì)于算術(shù)基礎(chǔ)
的不同看法。他認(rèn)為，克洛耐克是教條主義者，因?yàn)樗颈镜亟邮苷麛?shù)及其所
有重要性質(zhì)，他不再深入下去探求整數(shù)的基礎(chǔ)。德國(guó)科學(xué)家赫姆霍茨是經(jīng)驗(yàn)主義
者，按照他的說(shuō)法，任意大的數(shù)不能夠由我們的經(jīng)驗(yàn)得出，因此是不存在的。另外
有一些人，特別是德國(guó)數(shù)學(xué)家克里斯多弗張反對(duì)克洛耐克的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為，要是
沒(méi)有無(wú)理數(shù)的概念，整個(gè)數(shù)學(xué)分析就勢(shì)必要垮掉。于是他們企圖找尋正面的、肯定
的性質(zhì)來(lái)確認(rèn)無(wú)理數(shù)的存在。但是，他認(rèn)為這種觀點(diǎn)是不徹底的，因此說(shuō)他們是機(jī)
會(huì)主義的。這幾種觀點(diǎn)，希爾伯特都表示反對(duì)。

??? 希爾伯特認(rèn)為比較深入的觀點(diǎn)是下面幾種：一是弗雷格的邏輯主義，他把數(shù)學(xué)
規(guī)則建立在邏輯的基礎(chǔ)上；二是戴德金的先驗(yàn)主義，他是根據(jù)哲學(xué)上的論證來(lái)推斷
無(wú)窮的存在，不過(guò)他對(duì)數(shù)的論述中包含著“所有對(duì)象的集合”這類(lèi)矛盾了；三是康托
爾的主觀主義觀點(diǎn)，他清楚地區(qū)分“相容集”及“不相容集”。但是他沒(méi)有提供明顯的
判據(jù)，因此缺乏客觀的可靠性。

??? 希爾伯特認(rèn)為所有困難都可以通過(guò)給數(shù)的概念建立完全而嚴(yán)格的基礎(chǔ)而得到克
服，這就是公理化方法。1904年以后，希爾伯特把主要精力放在研究積分方程等分
析問(wèn)題以及物理學(xué)公理此等方面，沒(méi)有發(fā)表什么數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的著作。這時(shí)，各種
流派進(jìn)行的激烈斗爭(zhēng)，也不能不使希爾伯特關(guān)心。尤其是布勞威爾直覺(jué)主義的出
現(xiàn)，他感到對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)的生存和發(fā)展是個(gè)極大的威脅，于是他開(kāi)始投入戰(zhàn)斗。

??? 從1917年起的二十多年時(shí)間里，他為了挽救古典數(shù)學(xué)竭盡全力。1917年他在蘇
黎世發(fā)表一篇演說(shuō)，題目是“公理思想”。這篇文章全面敘述了一些與認(rèn)識(shí)論有關(guān)的
問(wèn)題，如數(shù)論和集合論的無(wú)矛盾性，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的原則上可解性，找出數(shù)學(xué)說(shuō)明
的單純性，的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)中內(nèi)容與形式表示的關(guān)系，數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)有限步驟的可判定
性問(wèn)題。這些問(wèn)題預(yù)示著后來(lái)數(shù)理邏輯的發(fā)展。他認(rèn)為，要想深入研究就必須對(duì)數(shù)
學(xué)證明的概念進(jìn)行深入的研究。既然邏輯推理可以符號(hào)化，進(jìn)行數(shù)學(xué)的研究，為什
么證明不行呢？他提出了證明論的一般思想和目標(biāo)，但是沒(méi)有具體化。

??? 希爾伯特他第一篇證明論的工作是1922年發(fā)表的，在《數(shù)學(xué)的新基礎(chǔ)：第一篇》
中，他論述如何把數(shù)論用有限方法討論，而數(shù)學(xué)本身卻一般須用超窮方法。他指出
用符號(hào)邏輯方法可以把命題和證明加以形式化，而把這些形式化的公式及證明直接
當(dāng)做研究對(duì)象。在1922年在德國(guó)自然科學(xué)家協(xié)會(huì)萊比錫會(huì)議上，他做了《數(shù)學(xué)的邏
輯基礎(chǔ)》的演講，更進(jìn)一步提出了證明方法。要求有限主義，即經(jīng)過(guò)有限步不推出
矛盾來(lái)即為證明可靠，這稱(chēng)為希爾伯特計(jì)劃。

??? 其實(shí)早先弗雷格已經(jīng)堅(jiān)持認(rèn)為需要有明顯的符號(hào)系統(tǒng)，明顯的公理及推演規(guī)
則，明顯的證明。希爾伯特定走的更遠(yuǎn)，他提出這樣一種明顯理論本身也做為一種
數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，且應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)判定它是否無(wú)矛盾，這種做法一般稱(chēng)為元數(shù)學(xué)。

??? 希爾伯特建議兩條最基本的原則：一、形式主義原則：所有符號(hào)完全看做沒(méi)有
意義的內(nèi)容，即使將符號(hào)、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而
只是把它們看作純粹的形式對(duì)象，研究它們的結(jié)構(gòu)性質(zhì)；二、有限主義原則，即總
能在有限機(jī)械步驟之內(nèi)驗(yàn)證形式理論之內(nèi)一串公式是否一個(gè)證明。應(yīng)用數(shù)學(xué)方法于
這樣一個(gè)形式理論，避免涉及無(wú)窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法。這個(gè)
思想是只應(yīng)用靠得住的方法，因?yàn)橐C明數(shù)學(xué)或其一部分無(wú)矛盾的方法是大家公認(rèn)
可靠的，整個(gè)數(shù)學(xué)才有牢固的基礎(chǔ)。

　

4、數(shù)學(xué)與哲學(xué)

??? 現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家大都很少關(guān)心哲學(xué)文題，甚至對(duì)基礎(chǔ)問(wèn)題一般都不聞不問(wèn)。從二
十世紀(jì)三十年代之后，數(shù)理邏輯成為一門(mén)極為專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，象幾何、拓?fù)洹⒎治觥?
代數(shù)、數(shù)論一樣，成為專(zhuān)家研究的對(duì)象，外行簡(jiǎn)直難于理解。

??? 這樣一來(lái)，數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)理邏輯，乃至數(shù)學(xué)哲學(xué)脫離的越來(lái)越遠(yuǎn)，這
可以從當(dāng)代一位有影響的數(shù)學(xué)家的說(shuō)法看出來(lái)。布爾巴基學(xué)派主要成員丟東涅談
到：“眾所周知，從十九世紀(jì)后半葉以來(lái)，數(shù)理邏輯和集合論的發(fā)展引起當(dāng)時(shí)許多
數(shù)學(xué)家的興趣乃至極大的熱情，他們甚至并非邏輯專(zhuān)家，也毫不遲疑地參與由這些
問(wèn)題所引起的論戰(zhàn)。到今天，這種局面完全兩樣。我覺(jué)察不到當(dāng)代數(shù)學(xué)界的年輕的
領(lǐng)袖人物對(duì)于基礎(chǔ)問(wèn)題表示過(guò)程何興趣，除非他們專(zhuān)搞這一行”。當(dāng)然，他們也不
能說(shuō)沒(méi)有自己的哲學(xué)。拿布爾巴基學(xué)派來(lái)說(shuō)，他們就是形式主義派的極端代表。不
過(guò)，他們對(duì)哲學(xué)論戰(zhàn)不那么感興趣罷了。

??? 在十九世紀(jì)末，這種情況則完全不一樣。哲學(xué)的論戰(zhàn)與基礎(chǔ)問(wèn)題緊密結(jié)合在一
起，成為幾乎每位重要數(shù)學(xué)家的關(guān)注對(duì)象。到了二十世紀(jì)，更是有著所謂三大派——
邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義的爭(zhēng)論。不過(guò)這些爭(zhēng)論問(wèn)題并沒(méi)有得到解決，更重
要的是，它們似乎離數(shù)學(xué)問(wèn)題越來(lái)越遠(yuǎn)，因此越來(lái)越失掉了指導(dǎo)意義。

??? 三十年代以后，討論數(shù)學(xué)哲學(xué)的不多論著大都是數(shù)理邏輯專(zhuān)家或哲學(xué)家寫(xiě)的。
因此，他們討論的哲學(xué)問(wèn)題大都偏重于數(shù)理邏輯，而較少涉及數(shù)學(xué)本身的哲學(xué)問(wèn)
題。王浩在他的《從數(shù)學(xué)到哲學(xué)》—書(shū)中，談到數(shù)學(xué)哲學(xué)討論的主要問(wèn)題：1、純粹邏
輯的本性及其在人類(lèi)知識(shí)中的地位；2、數(shù)學(xué)概念的刻劃；3、直覺(jué)及形式化在數(shù)學(xué)
中的地位；4、邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系；5、數(shù)學(xué)的本性及其與下列諸概念的關(guān)系，必然
性、分析性、真理性、先驗(yàn)性、自明性；6、數(shù)學(xué)在人類(lèi)知識(shí)中的地位；7、數(shù)學(xué)活
動(dòng)及實(shí)際。

??? 顯然這些問(wèn)題都是數(shù)理邏輯專(zhuān)家感興趣的題目。但是在過(guò)去，數(shù)學(xué)哲學(xué)的題目
比這更廣泛、更一般。我們列舉幾條：1、數(shù)學(xué)的對(duì)象以及它們與現(xiàn)實(shí)世界(或?qū)?
在)的關(guān)系；2、(由此產(chǎn)生的)數(shù)學(xué)中的“存在”，乃至無(wú)窮的意義；3、數(shù)學(xué)活動(dòng)的
本質(zhì)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明；4、數(shù)學(xué)的真理性、絕對(duì)性、相對(duì)性、約定性；5、真理的判
斷標(biāo)準(zhǔn)；6、數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系；7、數(shù)學(xué)的方法論，公理化與形式化。

??? 數(shù)學(xué)作為人類(lèi)知識(shí)體系的一部分，不能不直接或間接和人類(lèi)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)有
關(guān)。在長(zhǎng)期實(shí)踐過(guò)程中，人們進(jìn)行計(jì)數(shù)、計(jì)算、測(cè)量、造型(建筑)、產(chǎn)生出算術(shù)、
代數(shù)、幾何等方面數(shù)學(xué)知識(shí)。隨著人類(lèi)認(rèn)識(shí)的深入，形成了數(shù)學(xué)的體系，它的內(nèi)容
主要是符號(hào)化、計(jì)算方法、概念與規(guī)律性、證明推理。

??? 到了十九世紀(jì)七十年代，數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)一步發(fā)生變化：集合論成為統(tǒng)一數(shù)學(xué)的新
基礎(chǔ)，數(shù)理邏輯的形成、公理化運(yùn)動(dòng)、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、抽象數(shù)學(xué)概念指數(shù)增長(zhǎng)。在這種
情況下數(shù)學(xué)內(nèi)容與其實(shí)際背景脫離越來(lái)超遠(yuǎn)，從局部看來(lái)仿佛是從天上掉下來(lái)的，
這就導(dǎo)致數(shù)學(xué)對(duì)象的唯心主義理解。

??? 關(guān)于數(shù)學(xué)的對(duì)象有三種觀點(diǎn)：實(shí)在論、觀念論、形式主義，實(shí)在論觀點(diǎn)是說(shuō)數(shù)
學(xué)命題反映我們物理世界最普遍的性質(zhì)。這種觀點(diǎn)比較古老，很長(zhǎng)時(shí)期占統(tǒng)治地
位。按照這種觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)是物理科學(xué)的一部分。

??? 觀念論的數(shù)學(xué)觀認(rèn)為數(shù)學(xué)的對(duì)象是某種精神或思想對(duì)象。觀念論按照對(duì)象的性
質(zhì)又可以區(qū)分為各種觀點(diǎn)：一個(gè)極端是柏拉圖主義，它把經(jīng)典數(shù)學(xué)的對(duì)象無(wú)窮擴(kuò)張
也有其現(xiàn)實(shí)性；另一個(gè)極端是直覺(jué)主義，數(shù)學(xué)對(duì)象是先驗(yàn)的一時(shí)的直覺(jué)過(guò)程。

??? 這種觀念論的數(shù)學(xué)觀也遭到批評(píng)，一是不確切，二是另有形而上學(xué)的假定，而
數(shù)學(xué)應(yīng)該除掉形而上學(xué)前提條件。拿直覺(jué)主義來(lái)講什么是“直覺(jué)”呢？很難講清。不
過(guò)，它們有這樣的性質(zhì)：1、它本質(zhì)上是一種思維活動(dòng)；2、它是先驗(yàn)的；3、它不
依賴(lài)于語(yǔ)言；4、它是客觀的，也就是對(duì)于所有思想者都是同樣的。

??? 形式主義的數(shù)學(xué)對(duì)象是形式系統(tǒng)，形式系統(tǒng)與以上兩種數(shù)學(xué)觀的對(duì)象不同，它
只是一個(gè)架子，指定一些對(duì)象而不管其意義如何，然后由對(duì)象按照一定規(guī)則組成
項(xiàng)，并規(guī)定由項(xiàng)組成的一些原始話(huà)題的方式，再指定一些原始命題稱(chēng)為公理及推演
規(guī)則。數(shù)學(xué)的對(duì)象就是這樣構(gòu)成的形式系統(tǒng)，其主要任務(wù)就是由這些對(duì)象推出定理
來(lái)。從某種意義上來(lái)講，形式主義的數(shù)學(xué)就是符號(hào)游戲。

??? 從上述幾種觀點(diǎn)看來(lái)，持實(shí)在論及柏拉圖主義觀點(diǎn)的人認(rèn)為數(shù)學(xué)是不依賴(lài)于人
們對(duì)它的認(rèn)識(shí)而存在，因而具有絕對(duì)真理的性質(zhì)，所以數(shù)學(xué)家的工作就在于發(fā)現(xiàn)這
種真理。但是直覺(jué)主義者和形式主義者則認(rèn)為數(shù)學(xué)家的工作在于發(fā)明。當(dāng)然，人們
是不可能憑空發(fā)明任何東西的。對(duì)于直覺(jué)主義者來(lái)講，總是承認(rèn)自然數(shù)是給定的，
至于別的就是人們從自然數(shù)出發(fā)的發(fā)明。

??? 形式主義者的形式系統(tǒng)雖說(shuō)可以任意選出，但是終究在發(fā)明過(guò)程中也仰賴(lài)于經(jīng)
驗(yàn)及過(guò)去的知識(shí)，或者說(shuō)是從客觀世界中歸納出來(lái)的。要不然，那就的的確確是游
戲了。

??? 不過(guò)直覺(jué)主義的發(fā)明和形式主義的發(fā)明完全不同。直覺(jué)主義的發(fā)明不是任意
的，而是必須能夠具體選出來(lái)，也就是從自然數(shù)經(jīng)過(guò)有限多步寫(xiě)出來(lái)。他們主張，
要證明一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象存在，必須指出這個(gè)對(duì)象是怎樣造出來(lái)的。這種觀點(diǎn)可以遠(yuǎn)溯
到德國(guó)著名哲學(xué)家康德，他認(rèn)為數(shù)學(xué)最終的真理性在于數(shù)學(xué)概念可以通過(guò)人的智慧
來(lái)構(gòu)造。

??? 由于對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的觀點(diǎn)不同，所以對(duì)于數(shù)學(xué)命題的真假以及數(shù)學(xué)的可接受性也
有不同的看法。一門(mén)數(shù)學(xué)是否被大家接受往往不只是靠真、假，而且還有許多其他
因素，特別是是否有直觀或經(jīng)驗(yàn)的依據(jù)，以及實(shí)用性。當(dāng)然最重要的是真假，不過(guò)
各派的真理觀距離實(shí)在太遠(yuǎn)。

??? 對(duì)于實(shí)在論者，數(shù)學(xué)命題的真假靠實(shí)踐檢驗(yàn)。它正如物理學(xué)及生物學(xué)命題一
樣，靠觀察實(shí)驗(yàn)。比如高斯的確實(shí)實(shí)在在地在地球上找三點(diǎn)，具體測(cè)量三角形內(nèi)角
之和是否為180°。對(duì)于觀念論者，數(shù)學(xué)命題的真假要靠先驗(yàn)的假定。

??? 對(duì)于形式主義者，數(shù)學(xué)命題無(wú)所謂絕對(duì)真假，而是相對(duì)于某一個(gè)系統(tǒng)，但是這
個(gè)系統(tǒng)必須是無(wú)矛盾的，無(wú)矛盾性是真理的判斷標(biāo)準(zhǔn)。

??? 產(chǎn)生最大矛盾之處是關(guān)于無(wú)窮的概念。在有窮的問(wèn)題上，各派的對(duì)立沒(méi)有那么
尖銳，它主要是數(shù)學(xué)中到處出現(xiàn)的無(wú)窮造成的。在古希臘，關(guān)于無(wú)窮可分性沒(méi)連續(xù)
性的芝諾悖論使數(shù)學(xué)家對(duì)無(wú)窮特別小心。歐幾里得的無(wú)窮是潛在的無(wú)窮，他不討論
無(wú)窮長(zhǎng)的直線(xiàn)而只討論可以延伸到任意長(zhǎng)度的線(xiàn)段。他對(duì)無(wú)窮觀念表現(xiàn)在“素?cái)?shù)無(wú)
窮多”是指任何有限多素?cái)?shù)集臺(tái)之外還有素?cái)?shù)，而不考慮所有素?cái)?shù)的無(wú)窮整體。數(shù)
學(xué)家一直回避這種實(shí)在的無(wú)窮。一直到康托爾集合論之前，他們都局限于潛在的無(wú)
窮，這就是超越過(guò)所有有限的變化著的有限。

??? 而實(shí)在的無(wú)窮則分為三類(lèi)：1、絕對(duì)的實(shí)在無(wú)限，完全獨(dú)立的、超越世界而存
在的，在神中實(shí)現(xiàn)的絕對(duì)的實(shí)無(wú)窮；2、超窮，現(xiàn)存世界或被造世界中具體化的無(wú)
窮；3、超窮數(shù)，人仍所認(rèn)識(shí)的抽象的實(shí)在的無(wú)窮。

??? 依據(jù)對(duì)超窮和超窮數(shù)的見(jiàn)解，可以區(qū)分為下面四種觀點(diǎn)：1、完全否認(rèn)超窮和
超窮數(shù)，如柯西；2、承認(rèn)具體的實(shí)在無(wú)窮，但否認(rèn)抽象的實(shí)在無(wú)窮，例如笛卡
爾、萊布尼茲、洛克、斯賓諾莎都持這種看法；3、神學(xué)的觀點(diǎn)，承認(rèn)抽象的實(shí)在
無(wú)窮而否認(rèn)具體的實(shí)在無(wú)窮，也就是顯示上帝的偉大，只有上帝才是無(wú)窮的，而他
所創(chuàng)造的世界只能是有限的；4、康托爾的觀點(diǎn)是既承認(rèn)抽象的實(shí)在無(wú)窮，也承認(rèn)
具體的實(shí)在無(wú)窮，康托爾的觀點(diǎn)中有柏拉圖 主義的成份，他不是形式主義者。

結(jié)束語(yǔ)

　

??? 數(shù)學(xué)素以精確嚴(yán)密的科學(xué)著稱(chēng)，可是在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，仍然不斷地出
現(xiàn)矛盾以及解決矛盾的斗爭(zhēng)。從某種意義下講，數(shù)學(xué)就是要解決一些問(wèn)題，問(wèn)題不
過(guò)矛盾的一種形式。

??? 有些問(wèn)題得到了解決，比如任何正整數(shù)都可以表示為四個(gè)平方數(shù)之和；有些問(wèn)
題至今沒(méi)有得到解決，如哥德巴赫猜想：任何大偶數(shù)都再可以表表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之
和。我們還很難說(shuō)這個(gè)命題是對(duì)還是不對(duì)，因?yàn)殡S便給一個(gè)偶數(shù)，經(jīng)過(guò)有很多次試
驗(yàn)總可以得出結(jié)論，但是偶數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，你窮畢生精力也不會(huì)驗(yàn)證完。也許你能
碰到到一個(gè)很大的偶數(shù)，找不到兩個(gè)素?cái)?shù)之和等于它，不過(guò)即使這樣，你也難以斷
言這種例外偶數(shù)是否有限多個(gè)，也就是某一個(gè)大偶數(shù)之后，上述歌德巴赫猜想成
立。這就需要證明，而證明則要用有限的步驟解決涉及無(wú)窮的問(wèn)題。借助于計(jì)算機(jī)
完成的四色定理的證明，首先也要把無(wú)窮多種可能的地圖歸結(jié)成有限的情形，沒(méi)有
有限，計(jì)算機(jī)也是無(wú)能為力的。因此看出數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)回避不了有限與無(wú)窮這對(duì)矛盾。
只要無(wú)窮存在，你就要應(yīng)付它。這可以說(shuō)是數(shù)學(xué)矛盾的根源之一。

??? 在處理出現(xiàn)矛盾的過(guò)程中，數(shù)學(xué)家不可能不進(jìn)行“創(chuàng)造”，這首先表現(xiàn)在產(chǎn)生新
概念上，我們不妨先不管自然數(shù)。為了解決實(shí)際問(wèn)題、人們必須發(fā)明出“零”來(lái)，然
后要造出負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)乃至虛數(shù)。所謂虛，就是不實(shí)，憑空想象出來(lái)的意
思，不過(guò)解代數(shù)方程有必要把它請(qǐng)進(jìn)來(lái)，請(qǐng)進(jìn)來(lái)后又覺(jué)得它不實(shí)在、不太放心。后
來(lái)它用處很大，能解決非它不可的問(wèn)題，于是轟也轟不走了。

??? 復(fù)數(shù)擠進(jìn)數(shù)學(xué)王國(guó)之后，跟著四元數(shù)、八元數(shù)、超復(fù)數(shù)……都來(lái)了，它們可沒(méi)有
復(fù)數(shù)都么大的用處，甚至根本沒(méi)用。要還是不要呢？這也使數(shù)學(xué)家處于為難的境
地。數(shù)學(xué)家經(jīng)常處于這種矛盾的過(guò)程中。

??? “什么是存在？”，這是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本問(wèn)題。什么東西可以擠進(jìn)數(shù)學(xué)王國(guó)？直
覺(jué)主義者規(guī)定一個(gè)較窄的限制：必須能夠一步一步構(gòu)造出來(lái)；而形式主義者規(guī)定一
個(gè)較寬的限制：只要沒(méi)有矛盾就行了。不過(guò)什么叫沒(méi)有矛盾？當(dāng)然邏輯沒(méi)有矛盾，
其實(shí)就是遵守形式邏輯規(guī)律。可是形式邏輯是從人類(lèi)有限經(jīng)驗(yàn)推出來(lái)的，對(duì)于無(wú)窮
情形還靈不靈？這當(dāng)然存在問(wèn)題，可是不許推廣，那數(shù)學(xué)還能剩下多少靠得住的東
西呢？

??? 在數(shù)學(xué)史上這種矛盾也是屢見(jiàn)不鮮的。無(wú)窮小量剛出現(xiàn)時(shí)，漏洞百出、無(wú)法自
圓其說(shuō)，可是行之有效、解決問(wèn)題。所以達(dá)朗貝爾說(shuō)：“前進(jìn)，你就能恢復(fù)信
心!”，這可以說(shuō)是一種實(shí)用主義態(tài)度。

??? 十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯用極限概念解決了矛盾，同時(shí)也扔掉了無(wú)窮
小，這里無(wú)矛盾性占了上風(fēng)。1961年，羅濱遜發(fā)明非標(biāo)準(zhǔn)分析，又把無(wú)窮小量請(qǐng)了
回來(lái)，仍然沒(méi)有矛盾。不過(guò)它是建立在模型論基礎(chǔ)上，要承認(rèn)非可數(shù)無(wú)窮基數(shù)的存在。

??? 承認(rèn)無(wú)窮集合，承認(rèn)無(wú)窮基數(shù)，就好象打開(kāi)潘朵拉的盒子，一切災(zāi)難都出來(lái)
了。這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以回避，數(shù)學(xué)的確
定性卻在一步一步喪失。最近莫利斯·克萊因?qū)懥艘槐尽稊?shù)學(xué)—確定性的喪失》一書(shū)，
就是講的這件事。

??? 現(xiàn)代公理集合論的一大堆公理簡(jiǎn)直難說(shuō)孰真孰假，可是又不能把它們一古腦兒
消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)可是血肉相連的。所以第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上
更深刻地以其它形式延續(xù)看。矛盾既然是固有的，它的激烈沖突—危機(jī)也會(huì)給數(shù)學(xué)
帶來(lái)許多新內(nèi)容，新認(rèn)識(shí)，有時(shí)也帶來(lái)革命性的變化。

??? 把二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)同前整個(gè)數(shù)學(xué)相比，內(nèi)容不知豐富了多少，認(rèn)識(shí)也不知深入
了多少。在集合論的基礎(chǔ)上，誕生了抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析與測(cè)度論。數(shù)
理邏輯也興旺發(fā)達(dá)，成為數(shù)學(xué)有機(jī)整體的—部分。古代的代數(shù)幾何、微分幾何、復(fù)
分析現(xiàn)在已經(jīng)推廣到高維，代數(shù)數(shù)論的面貌也多次改變，變得越來(lái)越優(yōu)美、完整。
一系列經(jīng)典問(wèn)題完滿(mǎn)地得到解決，同時(shí)又產(chǎn)生更多的新問(wèn)題。特別是二次大戰(zhàn)之
后，新成果層出不窮，從未間斷。教學(xué)呈現(xiàn)無(wú)比興旺發(fā)達(dá)的景象，而這正是人們?cè)?
同數(shù)學(xué)中矛盾斗爭(zhēng)的產(chǎn)物。

(完)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数限的历史的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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