数限的历史
第一章：歷史上的數學危機
1-1 什么是數學危機
??? 為了講清楚第三次數學危機的來龍去脈，我們首先要說明什么是數學危機。一
般來講，危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在
的、不可避免的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。
??? 數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理
數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例
如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對
象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在
矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。
??? 矛盾的消除，危機的解決，往往給數學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革
命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發展的歷史動力這一基本原理。整個數學
的發展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數學領域的發展。
??? 人類最早認識的是自然數。從引進零及負數就經歷過斗爭：要么引進這些數，
要么大量的數的減法就行不通；同樣，引進分數使乘法有了逆運算——除法，否則許
多實際問題也不能解決。但是接著又出現了這樣的問題，是否所有的量都能用有理
數來表示?于是發現無理數就導致了第一次數學危機，而危機的解決也就促使邏輯
的發展和幾何學的體系化。
??? 方程的解導致了虛數的出現，虛數從一開始就被認為是“不實的”。可是這種不
實的數卻能解決實數所不能解決的問題，從而為自己爭得存在的權利。
??? 幾何學的發展從歐幾里得幾何的一統天下發展到各種非歐幾何學也是如此。在
十九世紀發現了許多用傳統方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數方程不能
通過加、減、乘、除、乘方、開方求出根來；古希臘幾何三大問題，即三等分任意
角、倍立方體、化圓為方不能通過圓規、直尺作圖來解決等等。
??? 這些否定的結果表明了傳統方法的局限性，也反映了人類認識的深入。這種發
現給這些學科帶來極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如說，代數學從此
以后向抽象代數學方面發展，而求解方程的根變成了分析及計算數學的課題。在第
三次數學危機中，這種情況也多次出現，尤其是包含整數算術在內的形式系統的不
完全性、許多問題的不可判定性都大大提高了人們的認識，也促進了數理邏輯的大
發展。
??? 這種矛盾、危機引起的發展，改變面貌，甚至引起革命，在數學發展歷史上是
屢見不鮮的。第二次數學危機是由無窮小量的矛盾引起的，它反映了數學內部的有
限與無窮的矛盾。數學中也一直貫穿著計算方法、分析方法在應用與概念上清楚及
邏輯上嚴格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數學家盲目應用。而比較注意嚴密
的數學家及哲學家則提出批評。只有這兩方面取得協調一致后，矛盾才能解決。后
來算符演算及δ函數也重復了這個過程，開始是形式演算、任意應用，直到施瓦爾
茲才奠定廣義函數論的嚴整系統。
??? 對于第三次數學危機，有人認為只是數學基礎的危機，與數學無關。這種看法
是片面的。誠然，問題涉及數理邏輯和集合論，但它一開始就牽涉到無窮集合，而
現代數學如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因為如果只考慮有限集合或至多是
可數的集合，那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容，也有許
多問題要涉及無窮的方法，比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看
來，第三次數學危機是一次深刻的數學危機。
1-2 第一次數學危機
??? 從某種意義上來講，現代意義下的數學（也就是作為演繹系統的純粹數學）來
源于古希臘的畢達哥拉斯學派。這個學派興旺的時期為公元前500年左右，它是一
個唯心主義流派。他們重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文
學、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧及規律性。他們認為“萬物皆數”，認
為數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用于現實的世界。數學的知識是由于
純粹的思維而獲得，并不需要觀察、直覺及日常經驗。
??? 畢達哥拉斯的數是指整數，他們在數學上的一項重大發現是證明了勾股定理。
他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發現了一些直角三角形的三
邊比不能用整數來表達，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。這樣一來，就否
定了畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。
??? 不可通約性的發現引起第一次數學危機。有人說，這種性質是希帕索斯約在公
元前400年發現的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已
經知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發現對古希臘的數
學觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由
整數及其比來表示，反之數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，
于是幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。
??? 同時這也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希
臘人開始由“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系，這不能不
說是數學思想上一次巨大革命，這也是第一次數學危機的自然產物。
??? 回顧以前的各種數學，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數學
也是從實際出發，應用到實際問題中去的。比如泰勒斯預測日食，利用影子距離計
算金字塔高度，測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術范圍的。至于埃及、巴
比倫、中國、印度等國的數學，并沒有經歷過這樣的危機和革命，所以也就一直停
留在“算學”階段。而希臘數學則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原
本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。
1-3 第一次數學危機的產物—古典邏輯與歐氏幾何學
??? 亞里士多德的方法論對于數學方法的影響是巨大的，他指出了正確的定義原
理。亞里士多德繼承自己老師柏拉圖的觀念，把定義與存在區分，由某些屬性來定
義的東西可能未必存在(如正九面體)。另外，定義必須用已存在的定義過的東西來
定義，所以必定有些最原始的定義，如點、直線等。而證明存在的方法需要規定和
限制。
??? 亞里士多德還指出公理的必要性，因為這是演繹推理的出發點。他區別了公理
和公設，認為公理是一切科學所公有的真理，而公設則只是某一門學科特有的最基
本的原理。他把邏輯規律(矛盾律、排中律等)也列為公理。
??? 亞里士多德對邏輯推理過程進行深入研究，得出三段論法，并把它表達成一個
公理系統，這是最早的公理系統。他關于邏輯的研究不僅使邏輯形成一個獨立學
科，而且對數學證明的發展也有良好的影響。
??? 亞里士多德對于離散與連續的矛盾有一定闡述。對于潛在的無窮(大)和實在的
無窮(大)加以區別。他認為正整數是潛在無窮的，因為任何整數加上1以后總能得
到一個新的數。但是他認為所謂“無窮集合”是不存在的。他認為空間是潛在無窮
的，時間在延長上是潛在無窮的，在細分上也是潛在無窮的。
??? 歐幾里得的《幾何原本》對數學發展的作用無須在此多談。不過應該指出，歐幾
里得的貢獻在于他有史以來第一次總結了以往希臘人的數學知識，構成一個標準化
的演繹體系。這對數學乃至哲學、自然科學的影響一直延續到十九世紀。牛頓的
《自然哲學的數學原理》和斯賓諾莎的《倫理學》等都采用了歐幾里得《幾何原本》的體例。
??? 歐幾里得的平面幾何學為《幾何原本》的最初四篇與第六篇。其中有七個原始定
義，五個公理和五個公設。他規定了存在的證明依賴于構造。
??? 《幾何原本》在西方世界成為僅次于《圣經》而流傳最廣的書籍。它一直是幾何學
的標準著作。但是它還存在許多缺點并不斷受到批評，比如對于點、線、面的定義
是不嚴格的：“點是沒有部分的對象”，“線是沒有寬度的長度(線指曲線)”，“面是
只有長度和寬度的對象”。顯然，這些定義是不能起邏輯推理的作用。特別是直
線、平面的定義更是從直觀來解釋的(“直線是同其中各點看齊的線”)。
??? 另外，他的公理五是“整體大于部分”，沒有涉及無窮量的問題。在他的證明
中，原來的公理也不夠用，須加上新的公理。特別是平行公設是否可由其他公理、
公設推出更是人所矚目的問題。盡管如此，近代數學的體系特點在其中已經基本上
形成了。
1-4 非歐幾何學的誕生
??? 歐幾里得的《幾何原本》是第一次數學危機的產物。盡管它有種種缺點和毛病，
畢竟兩千多年來一直是大家公認的典范。尤其是許多哲學家，把歐幾里得幾何學擺
在絕對幾何學的地位。十八世紀時，大部分人都認為歐幾里得幾何是物質空間中圖
形性質的正確理想化。特別是康德認為關于空間的原理是先驗綜合判斷，物質世界
必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。
??? 既然是完美的，大家希望公理、公設簡單明白、直截了當。其他的公理和公設
都滿足了上面的這個條件，唯獨平行公設不夠簡明，象是一條定理。
??? 歐幾里得的平行公設是：每當一條直線與另外兩條直線相交，在它一側做成的
兩個同側內角的和小于兩直角時，這另外兩條直線就在同側內角和小于兩直角的那
一側相交。
??? 在《幾何原本》中，證明前28個命題并沒有用到這個公設，這很自然引起人們考
慮：這條啰哩啰嗦的公設是否可由其他的公理和公設推出，也就是說，平行公設可
能是多余的。
??? 之后的二千多年，許許多多人曾試圖證明這點，有些人開始以為成功了，但是
經過仔細檢查發現：所有的證明都使用了一些其他的假設，而這些假設又可以從平
行公設推出來，所以他們只不過得到一些和平行公設等價的命題罷了。
??? 到了十八世紀，有人開始想用反證法來證明，即假設平行公設不成立，企圖由
此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如“有兩條線在無窮遠點處相交，而在交點
處這兩條線有公垂線”等等。在他們看來，這些結論不合情理，因此不可能真實。
但是這些推論的含義不清楚，也很難說是導出矛盾，所以不能說由此證明了平行公設。
??? 從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。
??? 首先，要能從二千年來證明平行公設的失敗過程中看出這個證明是辦不到的
事，并且這種不可能性是可以加以證實的；其次，要選取與平行公設相矛盾的其他
公設，也能建立邏輯上沒有矛盾的幾何。這主要是羅巴切夫斯基的開創性工作。
??? 要認識到歐幾里得幾何不一定是物質空間的幾何學，歐幾里得幾何學只是許多
可能的幾何學中的一種。而幾何學要從由直覺、經驗來檢驗的空間科學要變成一門
純粹數學，也就是說，它的存在性只由無矛盾性來決定。雖說象蘭伯特等人已有這
些思想苗頭，但是真正把幾何學變成這樣一門純粹數學的是希爾伯特。
??? 這個過程是漫長的，其中最主要的一步是羅巴切夫斯基和波耶分別獨立地創立
非歐幾何學，尤其是它們所考慮的無矛盾性是歷史上的獨創。后人把羅氏幾何的無
矛盾性隱含地變成歐氏幾何無矛盾性的問題。這種利用“模型”和證明“相對無矛盾
性”的思想一直貫穿到以后的數學基礎的研究中。而且這種把非歐幾何歸結到大家
一貫相信的歐氏幾何，也使得大家在接受非歐幾何方面起到重要作用。
??? 應該指出，非歐幾何為廣大數學界接受還是經過幾番艱苦斗爭的。首先要證明
第五公設的否定并不會導致矛盾，只有這樣才能說新幾何學成立，才能說明第五公
設獨立于別的公理公設，這是一個起碼的要求。
??? 當時證明的方法是證明“相對無矛盾性”。因為當時大家都承認歐幾里得幾何學
沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾里得幾何學來解釋而且解釋得通，也就變得
沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得
幾何學中相應的東西，公理和定理也可用相應歐幾里得幾何學的公理和定理來解
釋，這種解釋叫做非歐幾何學的歐氏模型。
??? 對于羅巴切夫斯基幾何學，最著名的歐氏模型有意大利數學家貝特拉米于1869
年提出的常負曲率曲面模型；德國數學家克萊因于1871年提出的射影平面模型和彭
加勒在1882年提出的用自守函數解釋的單位圓內部模型。這些模型的確證實了非歐
幾何的相對無矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創立的橢圓幾
何學，另外還可以推廣到高維空間上。
??? 因此，從十九世紀六十年代末到八十年代初，大部分數學家接受了非歐幾何
學。盡管有的人還堅持歐幾里得幾何學的獨特性，但是許多人明確指出非歐幾何學
和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。當然也有少數頑固派，如數理邏輯的締造
者弗雷格，至死不肯承認非歐幾何學，不過這已無關大局了。
??? 非歐幾何學的創建對數學的震動很大。數學家開始關心幾何學的基礎問題，從
十九世紀八十年代起，幾何學的公理化成為大家關注的目標，并由此產生了希爾伯
特的新公理化運動。
1-5 第二次數學危機
??? 早在古代，人們就對長度、面積、體積的度量問題感興趣。古希臘的歐多克斯
引入量的觀念來考慮連續變動的東西，并完全依據幾何來嚴格處理連續量。這造成
數與量的長期脫離。古希臘的數學中除了整數之外，并沒有無理數的概念，連有理
數的運算也沒有，可是卻有量的比例。他們對于連續與離散的關系很有興趣，尤其
是芝諾提出的四個著名的悖論：
??? 第一個悖論是說運動不存在，理由是運動物體到達目的地之前必須到達半路，
而到達半路之前又必須到達半路的半路……如此下去，它必須通過無限多個點，這在
有限長時間之內是無法辦到的。
??? 第二個悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因為烏龜在他前面
時，他必須首先到達烏龜的起點，然后用第一個悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。
這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的。
??? 而第三、第四悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成。第三個悖論是說
“飛矢不動”，因為在某一時問間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因
而是靜止的。第四個悖論是游行隊伍悖論，內容大體相似。這說明希臘人已經看到
無窮小與“很小很小”的矛盾。當然他們無法解決這些矛盾。
??? 希臘人雖然沒有明確的極限概念，但他們在處理面積體積的問題時，卻有嚴格
的逼近步驟，這就是所謂“窮竭法”。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難
證的定理。
??? 到了十六、十七世紀，除了求曲線長度和曲線所包圍的面積等類問題外，還產
生了許多新問題，如求速度、求切線，以及求極大、極小值等問題。經過許多人多
年的努力，終于在十七世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科，這也就是
數學分析的開端。
??? 牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在于：1，把各種
問題的解法統一成一種方法，微分法和積分法；2，有明確的計算微分法的步驟；
3．微分法和積分法互為逆運算。
??? 由于運算的完整性和應用范圍的廣泛性，使微積分成為解決問題的重要工具。
同時關于微積分基礎的問題也越來越嚴重。以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當Δt
趨向于零時的值。Δt是零、是很小的量，還是什么東西，這個無窮小量究竟是不是
零。這引起了極大的爭論，從而引發了第二次數學危機。
??? 十八世紀的數學家成功地用微積分解決了許多實際問題，因此有些人就對這些
基礎問題的討論不感興趣。如達朗貝爾就說，現在是“把房子蓋得更高些，而不是
把基礎打得更加牢固”。更有許多人認為所謂的嚴密化就是煩瑣。
??? 但也因此，微積分的基礎問題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是
貝克萊主教在1734年的攻擊。
??? 十八世紀的數學思想的確是不嚴密的、直觀的、強調形式的計算，而不管基礎
的可靠與否，其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，因此導數、微分、積分等概念
不清楚；對無窮大的概念也不清楚；發散級數求和的任意性；符號使用的不嚴格
性；不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及可否展成冪級數等等。
??? 一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注于微積分的嚴格基礎。
它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉
斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數
學分析奠定了一個嚴格的基礎。
??? 波爾查諾不承認無窮小數和無窮大數的存在，而且給出了連續性的正確定義。
柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量開始，認識到函數不一定要有解析表
達式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，
并定義了導數和積分；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；狄里克萊給出
了函數的現代定義。
??? 在這些數學工作的基礎上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在
通用的ε - δ的極限、連續定義，并把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基
礎上，從而克服了危機和矛盾。
??? 十九世紀七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數
理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析終于
建立在實數理論的嚴格基礎之上了。
??? 同時，威爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續函數的例子。這個發現以及后
來許多病態函數的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的
概念及推理。由此，第二次數學危機使數學更深入地探討數學分析的基礎——實數論
的問題。這不僅導致集合論的誕生，并且由此把數學分析的無矛盾性問題歸結為實
數論的無矛盾性問題，而這正是二十世紀數學基礎中的首要問題。
第二章：第三次數學危機產生的背景
??? 第三次數學危機產生于十九世紀末和二十世紀初，當時正是數學空前興旺發達
的時期。首先是邏輯的數學化，促使了數理邏輯這門學科誕生。
??? 十九世紀七十年代康托爾創立的集合論是現代數學的基礎，也是產生危機的直
接來源。十九世紀末，戴德金及皮亞諾對算術及實數理論進行公理化，推動了公理
化運動。而公理化運動的最大成就則是希爾伯特在1899年對于初等幾何的公理化。
??? 公理化方法是現代數學最重要的方法之一，對于數學基礎和數理邏輯的研究也
有影響。當時也是現代數學一些新分支興起的時期，如抽象代數學、點集拓撲學和
代數拓撲學、泛函分析、測度與積分理論等學科。這些學科的發展一直與數學基礎
及數理邏輯的發展有著密切的關系。數學的更新與發展也對數學哲學有許多新的探
討，數學的陳腐哲學觀念在當時已經幾乎一掃而空了。
2-1 數學符號化的擴充：數理邏輯的興起
??? 數學的主要內容是計算和證明。在十七世紀，算術因符號化促使了代數學的產
生，代數使計算變得精確和方便，也使計算方法系統化。費爾馬和笛卡兒的解析幾
何把幾何學代數化，大大擴展了幾何的領域，而且使得少數天才的推理變成機械化
的步驟。這反映了代數學作為普遍科學方法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數
化。與笛卡兒同時代的英國哲學家霍布斯也認為推理帶有計算性質，不過他并沒有
系統地發展這種思想。
??? 現在公認的數理邏輯創始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數”，其
中把一切推理都化歸為計算。實際上這正是數理邏輯的總綱領。他希望建立一套普
遍的符號語言，其中的符號是表義的，這樣就可以象數字一樣進行演算，他的確將
某些命題形式表達為符號形式，但他的工作只是一個開頭，大部分沒有發表，因此
影響不大。
??? 真正使邏輯代數化的是英國數學家布爾，他在1847年出版了《邏輯的數學分
析》，給出了現代所謂的“布爾代數”的原型。布爾確信符號化會使邏輯變得嚴密。
他的對象是事物的類，1表示全類，0表示空類；xy表示x和y的共同分子所組成的
類，運算是邏輯乘法；x＋y表示x和y兩類所合成的類，運算是邏輯加法。
??? 所以邏輯命題可以表示如下：凡x是y可以表示成x(1－y)＝0；沒有x是y可以表
示成xy＝0。它還可以表示矛盾律 x(1－x)＝0；排中律x＋(1－x)＝1。
??? 布爾看出類的演算也可解釋為命題的演算。當x、y不是類而是命題，則x＝1表
示的是命題 x為真，x＝0表示命題x為假，1－x表示x的否定等等。顯然布爾的演算
構成一個代數系統，遵守著某些規律，這就是布爾代數。特別是它遵從德·莫爾根
定律。
??? 美國哲學家、數學家小皮爾斯推進了命題演算，他區別了命題和命題函數。一
個命題總是真的或假的，而一個命題函數包含著變元，隨著變元值選取的不同，它
可以是真也可以是假。皮爾斯還引進了兩個變元的命題函數以及量詞和謂詞的演算。
??? 對現代數理邏輯貢獻最大的是德國耶拿大學教授、數學家弗雷格。弗雷格在
1879年出版的《概念文字》一書中不僅完備地發展了命題演算，而且引進了量詞概念
以及實質蘊涵的概念，他還給出一個一階謂詞演算的公理系統，這可以說是歷史上
第一個符號邏輯的公理系統。因此在這本只有88頁的小冊子中，包含著現代數理邏
輯的一個頗為完備的基礎。
??? 1884年，弗雷格的《算術基礎》出版，后來又擴展成《算術的基本規律》。不過由
于他的符號系統煩瑣復雜，從而限制了它的普及，因此在十九世紀時，他的著作流
傳不廣。后來由于羅素的獨立工作，才使得弗雷格的工作受到重視。
??? 用符號語言對數學進行公理化的是意大利數學家皮亞諾，他在1889年用拉丁文
寫了一本小冊子《用新方法陳述的算術原理》。在這之前，皮亞諾已經把布爾和施羅
德的邏輯用在數學研究上，并且引進了一系列對于他前人工作的更新。例如對邏輯
運算和數學運算使用不同的符號，區別范疇命題和條件命題，這引導他得出量詞理論。
??? 這些改進都是對于布爾和施羅德理論的改進，而不是對弗雷格理論的改進，因
為當時皮亞諾還不知道弗雷格的工作。在《算術原理》中，他在引進邏輯概念相公式
之后，開始用符號的記法來重寫算術，在這本書中他討論了分數、實數、甚至極限
和點集論中的概念。
??? 皮亞諾引進最原始的算術概念是“數”“1”“后繼”和“等于”，并且陳述了關于這
些概念的九條公理。今天我們認為其中公理2、3、4、5都是討論恒等的，應該屬于
邏輯公理，所以就剩下了五條公理。這就是現在眾所周知的皮亞諾公理。最后一條
公理即公理9，就是所謂數學歸納法原理，他用類的詞句來表述，其中包含一個類
變元。皮亞諾承認他的公理化來自戴德金。
??? 從1開始，皮亞諾用x＋1來表示后繼函數。然后作為定義引進了加法和乘法。
這些定義是遞歸的定義。雖然在他的系統中，皮亞諾沒有象戴德金那樣有力的定理
可資利用，但皮亞諾并沒有公開地宣稱這些定義可以去掉。
??? 這本書的邏輯部分還列出命題演算的公式，類演算的公式，還有一部分量詞的
理論。皮亞諾的符號要比布爾和施羅德的符號高明得多，標志著向近代邏輯的重要
轉變。他還對于命題的演算和類演算做了某些區別。這就是我們現在的兩種不同演
算，而不是同一種演算的兩種不同解釋。它的普遍量詞記號是新的，而且是便利的。
??? 不過書里還是存在缺點，如公式只是列出來的，而不是推導出來的；因為沒有
給出推導規則，皮亞諾引進了代入規則的概念，但是也沒有給出任何規則；更嚴重
的是他沒有給出任何分離規則，結果盡管他的系統有許多優點，但他沒有可供使用
的邏輯。一直到后來，他才在一系列文章，特別是1895年發表的《數學論集》中，對
這些邏輯公式進行了證明。然而他這些證明還是缺少推演規則，在這方面他受到了
弗雷格的批評。后來皮亞諾盡力想比弗雷格的《概念文字》有更多的內容，但是他做
得并不夠。不過他的這些著作在數學界仍有很大影響，得到廣泛的傳播。
??? 2.1.1 命題演算
??? 邏輯演算是數理邏輯的基礎，命題演算是邏輯演算最基本的組成部分。命題演
算研究命題之間的關系，比如簡單命題和復雜命題之間的關系，簡單命題如何構成
復雜命題，由簡單命題的真假如何推出復雜命題的真假等等。對于具體命題，我們
不難通過機械運算來達到我們的目的，這就是命題的算術。
??? 對于命題演算最早是由美國邏輯學家波斯特在1921年給出證明的，他的證明方
法是把命題化為標準形式—合取范式。教科書中常見的證明是匈牙利數學家卡爾馬
給出的。除了這些構造性證明之外，還有用布爾代數的非構造性證明。
??? 2.1.2 一階謂詞演算
??? 在命題演算中，形式化的對象及演算的對象都是語句。但是，在數學乃至一般
推理過程中，許多常見的邏輯推理并不能建立在命題演算的基礎上。例如：1．張
三的每位朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友，所以王五不是張三的朋友。
因此，我們必須深入到語句的內部，也就是要把語句分解為主語和謂語。
??? 謂詞演算要比命題演算范圍寬廣得多，這由變元也可以反映出來。命題演算的
變元只是語句或命題，而謂詞演算的變元有三類：個體變元、命題變元、謂詞變
元。由于謂詞演算中有全稱量詞和存在量詞，在這些量詞后面的變化稱為約束變
元，其他變元稱為自由變元。最簡單的謂詞演算是狹義謂詞演算，現在通稱一階謂
詞演算。
??? 謂詞演算中的普遍有效公式與命題演算中的重言式還是有差別的。我們有行之
有效的具體方法來判定一個公式是不是重言式。這種方法每一步都有明確的規定，
并且可以在有限步內完成，這種方法我們稱為能行的。但是在謂詞演算中，并沒有
一種能行的方法來判定任何一個公式是否普遍有效的。這就需要尋找一種能行的方
法來判定某個具體公式或一類公式是否普遍有效，這就是所謂判定問題。它是數理
邏輯中最主要的問題之一。
??? 一階謂詞演算的普遍有效公式也有一個公理系統。另外，同樣也有代入規則及
推理規則。另外，還有約束變元改字規則等變形規則。在謂詞演算中也可以將每一
個公式通過變形規則化為標準形式。其中最常用的是所謂前束范式，也就是公式中
所有的量詞都放在最前面，而且還可以把前束范式進一步化成斯科蘭路范式，它不
但具有前束范式的形狀，而且每一個存在量詞都在所有全稱量詞之前。
??? 利用范式可以解決許多問題，最重要的是哥德爾證明的一階謂詞演算的公理系
統的完全性定理，即可以證明：公式A在公理系統中可以證明的當且僅當A是普遍有
效的。同樣，一階謂詞演算的公理系統也是協調(無矛盾)的、相獨立的。1936年丘
奇和圖林獨立的證明一階謂詞演算公式的一般判定問題不可解問題，可以變為去解
決具有特殊形式的范式公式的判定問題。
??? 2.1.3 其他邏輯演算
??? 邏輯演算系統很多，命題演算應該說來源于布爾，布爾的系統是非真即假的二
值系統。真值大于2的邏輯系統稱為多值邏輯。多值邏輯首先由波蘭數學家盧卡西
維茨在1920年引進，波斯特在1921年也獨立地引進。多值邏輯有著廣泛的應用，在
二十世紀七十年代，國際上就曾多次召開專門的多值邏輯會議。
??? 另一種常見的邏輯是模態邏輯，它是美國邏輯學家劉易斯在1918年引進的。他
考慮的不是實質蘊涵而是嚴格蘊涵。另外，他在邏輯中也考慮所謂必要性與可能性
等問題，引進著名的模態算子，這是直觀可能性的形式化。
??? 還有一個包括古典邏輯演算的公理系統，即直覺主義公理系統，其中否定排中
律，它是荷蘭數學家海丁于1930年引進的。它雖因直覺主義而得名，但是可以得到
其他的解釋，在現代數理邏輯的研究中十分重要。
??? 在數理邏輯的研究中，狹義謂詞演算是最重要的。狹義謂詞演算也稱一階謂詞
演算，許多人默認數學中所用的邏輯通用為一階謂詞演算。但是，許多涉及數學問
題的邏輯演算必須加進有關等號的謂詞，稱為具等式的一階謂詞演算。這是現在最
常用的一種邏輯系統，在研究算術系統中就要用到它。
??? 但是，即使象實數的算術系統，一階謂詞演算也是不夠的，更何況現代數學中
涉及集合的子集，因此一階謂詞演算是不足以表達的。這時需要二階謂詞演算乃至
高階謂詞演算，其中首先出現的是謂詞變元。
??? 不過，在現代數理邏輯的研究中，常常通過其它方式推廣一階謂詞演算。比如
一種常用的“無窮”邏輯允許無窮公式，即公式中容許可數多合取或析取，不過量詞
仍限制為有限多。這種無窮邏輯現在在集合論、遞歸論、模型論當中是必不可少
的。另外一種推廣一階謂詞演算的途徑是引進新的量詞，比如“存在許多……”。
??? 邏輯系統比數學系統更不統一，各人用的系統在細節上有許多不同，而且同一
概念也用不同的符號來表示。第一套是弗雷格自己系統運用的，但是連他的后繼者
也不用這套極不方便的符號系統。第二套是皮亞諾首先在《數學論集》提出的，后經
羅素和懷特海在《數學原理》中使用。一般文獻通用的都是這種符號系統的改進形
式，如希爾伯特和他的學生們采用的也屬于這一套。第三套是盧卡西維茨使用的，
后來也有人用，如普瑞爾在《形式邏輯》中就加以來用。
第二章：第三次數學危機產生的背景（下）
2、尋找數學的基礎：集合論的創立
2.1? 集合論的創立和傳播
??? 集合論的創立者格奧爾格·康托爾，1845年3月3日出生于俄國圣彼得堡(前蘇聯
列寧格勒)一個商人家庭。他在中學時期就對數學感興趣。1862年，他到蘇黎世上
大學，1863年轉入柏林大學。
??? 當時柏林大學正在形成一個數學教學與研究的中心，他在1867年的博土論文中
就已經反映出“離經叛道”的觀點，他認為在數學中提問的藝術比起解法來更為重
要。的確，他原來的成就并不總是在于解決間題，他對數學的獨特貢獻在于他以特
殊提問的方式開辟了廣闊的研究領域。他所提出的問題一部分被他自己解決，一部
分被他的后繼者解決，一些沒有解決的問題則始終支配著某一個方向的發展，例如
著名的連續統假設。
??? 1869年康托爾取得在哈勒大學任教的資格，不久就升為副教授，并在1879年升
為教授，他一直到去世都在哈勒大學工作。哈勒是一個小地方，而且薪金微薄。康
托爾原來希望在柏林找到一個薪金較高、聲望更大的教授職位，但是在柏林，那位
很有勢力而且又專橫跋扈的克洛耐克處處跟他為難，阻塞了他所有的道路。原因是
克洛耐克對于他的集合論，特別是他的“超窮數”觀點持根本否定的態度。由于用腦
過度和精神緊張，從1884年起，他不時犯深度精神抑郁癥，常常住在療養院里。
1918年1月6日他在哈勒大學附近的精神病院中去世。
??? 集合論的誕生可以說是在1873年年底。1873年11月，康托爾在和戴德金的通信
中提出了一個問題，這個問題使他從以前關于數學分析的研究轉到一個新方向。他
認為，有理數的集合是可以“數”的，也就是可以和自然數的集合成一對一的對應。
但是他不知道，對于實數集合這種一對一的對應是否能辦到。他相信不能有一對一
的對應，但是他“講不出什么理由”。
??? 不久之后，他承認他“沒有認真地考慮這個問題，因為它似乎沒有什么價值”。
接著他又補充一句，“要是你認為它因此不值得再花費力氣，那我就會完全贊同”。
可是，康托爾又考慮起集合的映射問題來。很快，他在1873年12月7日又寫信給戴
德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的了，這一天可以看成是集合論
的誕生日。
??? 戴德金熱烈的祝賀了康托爾取得的成功。其間，證明的意義也越來越清楚。因
為康托爾還成功地證明代數數的集合也是可數的。所謂代數數就是整系數代數方程
的根，而象π與e這樣的不能成為任何整系數代數方程的根的數，則稱為超越數。
??? 早在1847年，劉維爾就通過構造的方法（當時大家認為是唯一可接受的方法）
證明了超越數的存在，也就是具體造出超越數來。可是，康托爾1874年發表的有關
集合論的頭一篇論文《論所有實代數集合的一個性質》斷言，所有實代數數的集合是
可數的，所有實數的集合是不可數的。因此，非代數數的超越數是存在的，并且其
總數要比我們熟知的實代數數多得多，也就是說超越數的集合也是不可數的。
??? 康托爾的這種證明是史無前例的。他連一個具體的超越數都沒有舉出來，就
“信口開河”的說超越數存在，而且比實代數數的“總數”多得多，這怎么能不引起當
時數學家的懷疑甚至憤怒呢？
??? 其實，康托爾的著作主要是證明了無窮之間也有差別，既存在可數的無窮，也
存在那種像實數集合那樣不可數的、具有“連續統的勢”的無窮。過去數學家認為靠
得住的只有有限，而無窮最多只是模模糊糊的一個記號。而康托爾把無窮分成許多
“層次”，這真有點太玄乎了。
??? 1878年，康托爾發表了集合論第二篇文章，其中把隱含在1847年文章中的“一
一對應”概念提出來，作為判斷兩個集合相同或不同的基礎，這就是最原始的等價
觀念。而兩個集合相互之間如果能夠一一對應就稱為等勢，勢的概念于是應運而生。
??? 從1879年到1884年，康托爾發表了題為“論無窮線性點集”的一系列文章，共有
六篇，這些文章奠定了新集合論的基礎。特別是在1883年的文章中引進生成新的超
窮數概念，并且提出了所謂連續統假設，即可數基數后面緊接著就是實數基數。他
相信這個假設正確，但沒能證明。這個假設對于二十世紀數學基礎的發展起著極其
重大的作用。
??? 康托爾最后的集合論著作是1895年和1897年發表的兩篇文章，其中最重要的是
引進“序型”的概念，并定義相應的序數。這個時期，反對集合論的勢力逐漸削弱，
但是集合論的內在矛盾已經開始暴露出來了。
??? 康托爾自己最早發現了集合論的內在矛盾。他在1895年文章中遺留下兩大問題
未解決：一個是連續統假設，另一個是所有超窮基數的可比較性。他雖然認為無窮
基數有最小數但沒有最大數，但沒有明顯敘述其矛盾之處。
??? 第一個發表集合論悖論的是意大利數學家布拉里·福蒂，他指出所有序數的集
合這個概念的內在矛盾，但是當時認為這也許能夠補救。一直到1903年羅素發表他
的著名悖論，集合論的內在矛盾才突出出來，并成為二十世紀集合論和數學基礎研
究的出發點。
??? 康托爾的集合論是數學上最具有革命性的理論，因此它的發展道路自然很不平
坦。在當時，占統治地位的觀念是：你要證明什么，你就要具體造出什么來。因
此，人們只能從具體的數或形出發，一步一步經過有限多步得出結論來。至于“無
窮”的世界，即完全是超乎人的能力之外，決不是人所能掌握和控制得了的。
??? 反對集合論最激烈的克洛耐克認為只有他研究的數論及代數才最可靠。他有一
句著名的話：“上帝創造了正整數，其余的是人的工作”。他認為除了由數經過有限
多步推出的事實，其他一概無效。他甚至認為圓周率 π都不存在，證明 π是超越數
也毫無意義。當時柏林是世界數學的中心之一，克洛耐克又是柏林學派的領袖人
物，因此他對集合論發展的阻礙作用是非常大的。克洛耐克在1891年去世之后，阻
力一下子減少了，康托爾發揮出自己的組織才能，積極籌建德國數學聯合會(1891
年成立)以及國際數學家大會(1897年第一屆大會在蘇黎世召開)，給集合論獲得承
認鋪平了道路。
??? 另—方面，許多大數學家支持康托爾的集合論。除了戴德金以外，瑞典的數學
家米太格－萊夫勒在自己創辦的國際性數學雜志“數學學報”(1882年創刊)上，把康
托爾集合論的論文譯成法文轉載，從而大大促進了集合論在國際上的傳播。柏林大
學教授威爾斯持拉斯也是集合論的同情者，為了捍衛集合論而勇敢戰斗的則是希爾
伯特。
??? 從此，圍繞集合論形成了二十世紀初關于數學基礎的大論戰。
2.2? 集合論簡介
??? 有限和無窮的這個特點可以從下面的小故事反映出來，這個故事據說是希爾伯
特說的。
??? 某一個市鎮只有一家旅館，這個旅館與通常旅館沒有不同，只是房間數不是有
限而是無窮多間，房間號碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。這個
旅館的房間可排成一列的無窮集合(1，2，3，4，…)，稱為可數無窮集。
??? 有一天開大會，所有房間都住滿了。后來來了一位客人，堅持要住房間。旅館
老板于是引用“旅館公理”說：“滿了就是滿了，非常對不起！”。正好這時候，聰明
的旅館老板的女兒來了，她看見客人和她爸爸都很著急，就說：“這好辦，請每位
顧客都搬一下，從這間房搬到下一間”。于是1號房間的客人搬到2號房間，2號房間
的客人搬到3號房間……依此類推。最后1號房間空出來，請這位遲到的客人住下了。
??? 第二天，希爾伯特旅館又來了一個龐大的代表團要求住旅館，他們聲稱有可數
無窮多位代表一定要住，這又把旅館經理難住了。老板的女兒再一次來解圍，她
說：“您讓1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號，
這樣，1號，3號，5號，……房間就都空出來了，代表團的代表都能住下了。”
??? 過一天，這個代表團每位代表又出新花招，他們想每個人占可數無窮多間房來
安排他們的親戚朋友，這回不僅把老板難住了，連女兒也被難住了。聰明的女兒想
了很久，終于也想出了辦法。（因為比較繁瑣，這里不詳細介紹了）
??? 希爾伯特旅館越來越繁榮，來多少客人都難不閱聰明的老板女兒。后來女兒進
了大學數學系。有一天，康托爾教授來上課，他問：“要是區間[0，1]上每一點都
占一個房間，是不是還能安排？”她絞盡腦汁，要想安排下，終于失敗了。康托爾
教授告訴她，用對角線方法證明一切想安排下的方案都是行不通的。
??? 由康托爾的定理，可知無窮集合除了可數集臺之外還有不可數集合，可以證
明：不可數集合的元素數目要比可數集合元素數目多得多。為了表示元素數目的多
少，我們引進“基數”也稱“勢”的概念，這個概念是自然數的自然推廣。可以與自然
數集合N一一對應的所有集合的共同性質是它們都具有相同的數目，這是最小的無
窮基數記做ω。（ω是希伯來文字母第一個，讀做阿列夫)。同樣，連續統(所有實數
或[0，1]區間內的所有實數集合)的基數是C。康托爾還進一步證明，C＝2ω。，問
題是C是否緊跟著ω。的第二個無窮基數呢？這就是所謂連續統假設。
3、數學的公理化
??? 十九世紀末到二十世紀初，數學已發展成為一門龐大的學科，經典的數學部門
已經建立起完整的體系：數論、代數學、幾何學、數學分析。數學家開始探訪一些
基礎的問題，例如什么是數？什么是曲線？什么是積分？什么是函數？……另外，怎
樣處理這些概念和體系也是問題。
??? 經典的方法一共有兩類。一類是老的公理化的方法，不過非歐幾何學的發展，
各種幾何學的發展暴露出它的許多毛病；另一類是構造方法或生成方法，這個辦法
往往有局限性，許多問題的解決不能靠構造。尤其是涉及無窮的許多問題往往靠邏
輯、靠反證法、甚至靠直觀。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是無法
斷定的。
??? 對于基礎概念的分析研究產生了一系列新領域—抽象代數學、拓撲學、泛函分
析、測度論、積分論。而在方法上的完善，則是新公理化方法的建立，這是希爾伯
特在1899年首先在《幾何學基礎》中做出的。
3.1? 初等幾何學的公理化
??? 十九世紀八十年代，非歐幾何學得到了普遍承認之后，開始了對于幾何學基礎
的探討。當時已經非常清楚，歐幾里得體系的毛病很多：首先，歐幾里得幾何學原
始定義中的點、線、面等不是定義；其次，歐幾里得幾何學運用許多直觀的概念，
如“介于……之間”等沒有嚴格的定義；另外，對于公理系統的獨立性、無矛盾性、完
備性沒有證明。
???? 在十九世紀八十年代，德國數學家巴士提出一套公理系統，提出次序公理等
重要概念，不過他的體系中有的公理不必要，有些必要的公理又沒有，因此他公理
系統不夠完美。而且他也沒有系統的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通過
理想元素的引進，把度量幾何包括在射影幾何之中。
??? 十九世紀八十年代末期起，皮亞諾和他的學生們也進行了一系列的研究。皮亞
諾的公理系統有局限性；他的學生皮埃利的“作為演繹系統的幾何學”(1899)，由于
基本概念太少(只有“點”和“運動”)而把必要的定義和公理弄得極為復雜，以致整個
系統的邏輯關系極為混亂。
??? 希爾伯特的《幾何學基礎》的出版，標志著數學公理化新時期的到來。希爾伯特
的公理系統是其后一切公理化的楷模。希爾伯特的公理化思想極深刻地影響其后數
學基礎的發展，他這部著作重版多次，已經成為一本廣為流傳的經典文獻了。
??? 希爾伯特的公理系統與歐幾里得及其后任何公理系統的不同之處，在于他沒有
原始的定義，定義通過公理反映出來。這種思想他在1891年就有所透露。他說：
“我們可以用桌子、椅子、啤酒杯來代替點、線、面”。當然，他的意思不是說幾何
學研究桌、椅、啤酒懷，而是在幾何學中，點、線、面的直觀意義要拋掉，應該研
究的只是它們之間的關系，關系由公理來體現。幾何學是對空間進行邏輯分析，而
不訴諸直觀。
??? 希爾伯特的公理系統包括二十條公理，他把它們分為五組：第一組八個公理，
為關聯公理（從屬公理）；第二組四個公理，為次序公理；第三組五個公理；第四
組是平行公理；第五組二個，為連續公理。
??? 希爾伯特在建立公理系統之后，首要任務是證明公理系統的無矛盾性。這個要
求很自然，否則如果從這個公理系統中推出相互矛盾的結果來，那么這個公理系統
就會毫無價值。希爾伯特在《幾何學基礎》第二章中證明了他的公理系統的無矛盾
性。這次，他不能象非歐幾何那樣提出歐氏模型，他提出的是算術模型。
??? 實際上，由解析幾何可以把點解釋為三數組(可以理解為坐標(x、y、z))，直
線表示為方程，這樣的模型不難證明是滿足所有20個公理的。因此，公理的推論若
出現矛盾，則必定在實數域的算術中表現出來。這就把幾何學公理的無矛盾性變成
實數算術的無矛盾性。
??? 其次，希爾伯特考慮了公理系統的獨立性，也就是說公理沒有多余的。一個公
理如果由其他公理不能推出它來，它對其他公理是獨立的。假如把它從公理系統中
刪除，那么有些結論就要受到影響。希爾伯特證明獨立性的方法是建造模型，使其
中除了要證明的公理(比如說平行公理)之外其余的公理均成立，而且該公理的否定
也成立。
??? 由于這些公理的獨立性和無矛盾性，因此可以增減公理或使其中公理變為否
定，并由此得出新的幾何學。比如平行公理換成其否定就得到非歐幾何學；阿基米
德公理（大意是一個短線段經過有限次重復之后，總可以超出任意長的線段）換成
非阿基米德的公理就得到非阿基米德幾何學。希爾伯特在書中詳盡地討論了非阿基
米德幾何學的種種性質。
??? 希爾伯特對初等幾何公理的無矛盾性是相對于實數的無矛盾性，因此自然要進
一步考慮實數系的公理化及其無矛盾性，于是首當其沖的問題是算術的公理化。
3.2? 算術的公理化
??? 數學，顧名思義是一門研究數的科學。自然數和它的計算——算術是數學最明顯
的出發點。歷史上不少人認為，所有經典數學都可以從自然數推導出來。可是，一
直到十九世紀末，卻很少有人解釋過什么是數？什么是0？什么是1？這些概念被認
為是最基本的概念，它們是不是還能進一步分析，這是一些數學家關心的問題。因
為一旦算術有一個基礎，其他數學部門也就可以安安穩穩建立在算術的基礎上。
??? 什么東西可以做為算術的基礎呢？在歷史上有三種辦法：康托爾的基數序數理
論，他把自然數建立在集合論的基礎上，并把自然數向無窮推廣；弗雷格和羅素把
數完全通過邏輯詞匯來定義，把算術建立在純邏輯的基礎上；用公理化的方法通過
數本身的性質來定義，其中最有名的是皮亞諾公理。
??? 在皮亞諾之前，有戴德金的公理化定義。他的方法是準備向有理數、實數方面
推廣，為數學分析奠定基礎。他們也都注意到邏輯是基礎，但都有非邏輯公理。
??? 1888年，戴德金發表《什么是數，什么是數的目的？》一文，闡述他的數學觀
點。他把算術(代數、分析)看成邏輯的一部分，數的概念完全不依賴人對空間、時
間的表象或直覺。他說“數是人類心靈的自由創造，它們做為一個工具，能使得許
許多多事物能更容易、更精確地板掌握”。而創造的方法正是通過邏輯。他的定義
是純邏輯概念——類(System)，類的并與交，類之間的映射，相似映射(不同元素映
到不同元素)等等。通過公理定義，戴德金證明數學歸納法。但是他沒有能夠直接
從純邏輯名詞來定義數。
??? 1889年，皮亞諾發表他的《算術原理：新的論述方法》，其中明顯地做了兩件
事：第一，把算術明顯地建立在幾條公理之上；第二，公理都用新的符號來表達。
后來皮亞諾刻劃數列也同弗雷格一樣是從0開始，但是他對數的概念也同戴德金一
樣，是考慮序數。
??? 皮亞諾的興趣主要在于清楚地表述了數學結果，他編制的數理邏輯符號（1894
年發表于《數學論集》）也主要是如此，而不是為了哲學分析。1900年羅素從皮亞諾
學習這套符號之后，才對邏輯、哲學同時也對數學產生了巨大沖擊。
??? 從1894年到1908年，皮亞諾接連五次出版了《數學論集》的續集，每一次都把他
提出的五個公理(只是用0代1)作為算術的基礎。但是皮亞諾除了邏輯符號之外，還
有其他三個基本符號，即：數、零、后繼。因此，他還不象弗雷格及羅素那樣把數
完全建立在邏輯基礎上。
??? 他的公理系統也是有毛病的,特別是第五公理涉及所有性質，因此須要對性質
或集合有所證明。有人把它改為可數條公理的序列，這樣一來，由公理系所定義的
就不單純是自然數了。斯科蘭姆在1934年證明，存在皮亞諾公理系統購非標準模
型，這樣就破壞了公理系統的范疇性。
3.3? 其他數學對象的公理化
??? 在十九世紀末到二十世紀初的公理化浪潮中，一系列數學對象進行了公理化，
這些公理化一般在數學中進行。例如由于解代數方程而引進的域及群的概念，在當
時都是十分具體的，如置換群。只有到十九世紀后半葉，才逐步有了抽象群的概念
并用公理刻劃它。群的公理由四條組成，即封閉性公理、兩個元素相加(或相乘)仍
對應唯一的元素、運算滿足結合律、有零元素及逆元素存在。
??? 群在數學中是無處不在的，但是抽象群的研究一直到十九世紀末才開始。當
然，它與數理邏輯有密切的關系。有理數集體、實數集體、復數集體構成抽象域的
具體模型，域的公理很多。另外，環、偏序集合、全序集合、格、布爾代數，都已
經公理化。
??? 另一大類結構是拓撲結構，拓撲空間在1914年到1922年也得到公理化，泛函分
析中的希爾伯特空間，巴拿赫空間也在二十年代完成公理化，成為二十世紀抽象數
學研究的出發點。在模型論中，這些數學結構成為邏輯語句構成理論的模型。
第三章：悖論及其解決方案
1、一連串悖論的出現
??? 羅素的悖論以其簡單明確震動了整個數學界，造成第三次數學危機。但是，羅
素悖論并不是頭一個悖論。老的不說，在羅素之前不久，康托爾和布拉里·福蒂已
經發現集合論中的矛盾。羅素悖論發表之后，更出現了一連串的邏輯悖論。這些悖
論使入聯想到古代的說謊者悖論。即“我正在說謊”，“這句話是謊話”等。這些悖論
合在一起，造成極大問題，促使大家都去關心如何解決這些悖論。
??? 頭一個發表的悖論是布拉里·福蒂悖論，這個悖論是說，序數按照它們的自然
順序形成一個良序集。這個良序集合根據定義也有一個序數Ω，這個序數Ω由定義應
該屬于這個良序集。可是由序數的定義，序數序列中任何一段的序數要大于這段之
內的任何序數，因此Ω應該比任何序數都大，從而又不屬于Ω。這是布拉里·福蒂
1897年3月28日在巴洛摩數學會上宣讀的一篇文章里提出的。這是頭一個發表的近
代悖論，它引起了數學界的興趣，并導致了以后許多年的熱烈討論。有幾十篇文章
討論悖論問題，極大地推動了對集合論基礎的重新審查。
??? 布拉里·福蒂本人認為這個矛盾證明了這個序數的自然順序只是一個偏序，這
與康托爾在幾個月以前證明的結果序數集合是全序相矛盾，后來布拉里·福蒂在這
方面并沒有做工作。
??? 羅素在他的《數學的原理》中認為，序數集雖然是全序，但并非良序，不過這種
說法靠不住，因為任何給定序數的初始一段都是良序的。法國邏輯學家茹爾丹找到
—條出路，他區分了相容集和不相容集。這種區分實際上康托爾已經私下用了許多
年了。不久之后，羅素在1905年一篇文章中對于序數集的存在性提出了疑問，策梅
羅也有同樣的想法，后來的許多人在這個領域都持有同樣的想法。
??? 布拉里·福蒂文章中對良序集有一個錯誤的概念，這個概念是康托爾1883年引
進來的，但—直沒有受到什么重視。1887年8月，在布拉里·福蒂的文章發表以后，
阿達馬在第一次國際數學家大會上仍然給出了一個錯誤的良序集的定義。因為布拉
里．福蒂所考慮的關于良序集的概念太弱了，他不得不引進自己的完全序。這兩個
概念并不一致，每一個良序集是完全序集，但是反過來不對。布拉里·福蒂很快就
認識到他的錯誤，他在1897年10月的一篇文章中指出這兩個概念的不同，但是他沒
有重新檢查自己的證明。一直到1906年初他給庫圖拉的—封信中，他似乎還認為：
一旦良序集和完全序集的區別被人們認識到，在他的文章中揭示的矛盾就會消除。
??? 康托爾1899年7月28日給戴德金的信中，談到布拉里·福蒂所提到的矛盾，這個
矛盾并沒有導致康托爾放棄集合的良序性，而放棄了它的集合性。他把集合分為兩
類：相容集合和不相容集合，而只把前者叫做集合。這種區分法預示了馮·諾依曼
在1925年引進的集合和類的區別。但是康托爾對于這種區分的判斷標準仍然是不精
確的。如果我們把一個集體考慮為一個對象而沒有矛盾，它是一個集合。這個想法
后來改進為：當一個集體是另一個集體的元素，它是一個集合。
??? 這種相容集體和不相容集體的區別早已被施羅德引進來。他認為如果集體的元
素彼此是相容的，它是相容的；而如果集體的元素彼此是不相容的，它是不相容
的。有趣的是施羅德引進的這種區分和悖論沒有關系，因為這種現代形式的悖論當
時還不知道。康托爾關于集體的敘述——兩個等價的集體或者都是集合，或者都是不
相容的，可以看成是取代公理的最早的表述。這個公理是弗蘭克爾和斯科蘭姆在
1922年提出的。
??? 布拉里·福蒂的悖論揭示了康托爾集合論的矛盾。其實，康托爾本人在這之前
已經意識到集合論的內在矛盾。他在1899年7月28日給戴德金的信中指出，不能談
論由一切集合構成的集合，否則就會陷入矛盾。這實際上就是羅素悖論的內容。
??? 康托爾最大基數悖論和布拉里·福蒂悖論到羅素悖論都是集合論悖論，它們直
接同康托爾樸素集合論的不嚴格性有關。毛病出在集合的定義上，也就是任何性質
就對應一個具有這種性質的集合，這就是所謂內函公理組。集合論的這種矛盾必須
通過削弱這個錯誤的公理組才能解決。
??? 羅素的悖論發表之后，接著又發現一系列悖論（后來歸入所謂語義悖論）：
??? 1、理查德悖論。法國第戎中學教師理查德在1905年發表了一個悖論，大意如
下：法語中某些片語表示實數，比如“一個圓的圓周與直徑之比”就表示實數π。法
語字母也象英語字母一樣有一定的順序，所以我們可以把所有片語按照字母順序排
列，然后按照片語中字母的多少排列，少的在前，多的在后。這樣我們把能用片語
表達的實數排成一個序列，al，a2，a：，……。于是就得到了所有能用有限多字(字
母)定義的數了。它們構成了一個可數集合E。現在我們提出一個規則把這個序列改
變一下造成一個數來：“設E中第n個數的第n位為p，我們造一個實數如下：其整數
部分為0，如果p不是8或9；其第n位小數為p＋1，要是p是8或9的話，則第n位變成
1”。這個實數顯然不屬于E，因為它和E中每個數都不一樣。但是它們卻可以由上面
有限多個字組成的話來表示，因此應該屬于E，這就出現矛盾。
??? 理查德提出的悖論是因為看到法國《純粹科學與應用科學通論》1905年3月30日
一期的編者按語而寫的。編者談到，1904年8月在德國海德爾堡召開的國際數學家
大會上，德國數學家寇尼格證明連續統是不能夠良序化的。可是一個月后，德國數
學家策梅羅卻證明了任何集合都能良序化，理查德從這段話中看到了集合論中存在
“某些矛盾”，這些矛盾和良序性和序數的概念有關系，于是他給該刊物編輯部寫了
一封信，登在1905年6月號上，編者還加了按語。
??? 2、培里悖論。培里是英國的圖書館管理員。有一天他告訴羅素下面的悖論：
英語中只有有限多個音節，只有有限多英語表達式包含少于40個音節，所以，用少
于40個音節的表達式表示的正數數目只有有限多個。假設R為不能由少于40個普的
英語表達式來表示的最小正整數(The least positive integer which is not
denotedby an? expression in the English language containing fewer than
forty? syllables)。但是，這段英語只包含三十幾個音節，肯定比40個少，而且
表示R，這自然產生了矛盾。
??? 3．格瑞林和納爾遜悖論。納爾遜是新康德主義的小流派之一弗瑞斯派的代
表。1908年他和他的學生格瑞林把下面的悖論發表在弗瑞斯派的一個文集上，通常
稱為格瑞林悖論。如果一個形容詞所表示的性質適用于這個形容詞本身，比如“黑
的”兩字的確是黑的，那么這個形容詞稱為自適用的。反之，一個形容詞如果不具
有自適用的性質，就叫做非自適用的。在英語中：“Polysyllabic”(多音節的)，
“English”(英語的)這些詞都是自適用的形容詞，而“monosyllabic”(單音節的)、
“French”(法語的)這些詞就是非自適用的。現在我們來考慮“非自適用的”這個形容
詞，它是自適用的還是非自適用的呢？如果“非自運用的”是非自適用的，那么它就
是自適用的；如果“非自適用的”是自適用的，那么按照這詞的意思，則它是非自適
用的，這就導出矛盾。
2、悖論動搖了整個數學的基礎
??? 1900年左右，數學已經發展成為一個龐大的領域了。當時純數學大致分為算術
—代數、幾何和數學分析。隨著第二次數學危機的解決，數學分析建立在極限理論
基礎上。而極限理論中，有些基本性質要由“單調有界的數列必有極限”這個定理來
證明。這個定理從直觀上看盡管很明顯，但是追求嚴密性的數學家很早就要求不靠
直觀而靠邏輯來證明，要求一切定理都從比較簡單的公理推導出來。
??? 要推導極限的性質，必須對數列有明確的概念。這里的數不只是有理數，還包
括無理數，這兩種數構成實數的集合。所以，當務之急就是建立起嚴格的“實數”理
論。戴德金在1872年發表了《這續性與無理數》這本專著，同年康托爾也發表實數理
論的文章。康托爾通過一定的有理數序列(基本序列)來定義實數。而戴德金則利用
有理數集合的分割來定義實數。他們的理論雖然邏輯上可靠，但是都不太自然，依
賴于有理數的集合概念。這樣一來，實數理論的無矛盾性就歸結為有理數論，進而
歸結成自然數論的無矛盾性了。
??? 自古以來，大家都認為自然數的算術是天經地義、不容懷疑的。不過有些數學
家如弗雷格和戴德金又進一步把自然數歸結為邏輯與集合論。這樣一來，集合論與
邏輯成為整個數學的基礎。羅素悖論一出現，集合論靠不住了，自然數的算術也成
問題，這樣一來，整個數學大廈都動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在
他剛要出版的《算術的基本法則》第二卷末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難
堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎跨掉了。當本書等待付印的時候，羅素
先生的一封信把我置于這種境地”。戴德金原來打算把《連續性及無理數》第三版付
印，這時也把稿件抽了回來。他也覺得由于羅素悖論，整個數學的基礎都靠不住了。
??? 悖論涉及的是集合、屬于、所有(全部)性質與集合的對應關系、無窮這些最基
本的概念。這些：概念在數學中是天天必須用到的。如果不加以澄清，在數學證明
的過程中，不是這里就是那里就會出毛病。
??? 有了毛病，有的人就主張把集合論全盤推倒，只考慮有限的東西，這樣不僅把
數學內容砍掉了一大半，而且無窮的問題仍會出現。另一部分人則主張限制這些概
念的使用范圍，當然限制太多了，就縮小了數學領域，而限制太少了又會出現矛
盾，所以要在這兩者之間找到一種最好的解決辦法。從二十世紀初，人們就一直在
找，雖然并沒有得到最終滿意的解決，不過給數學提供一個可靠的基礎還是可以辦
得到的。
3、羅素的類型論
??? 1901年6月羅素發現了“悖論”。他在1902年6月16日把這個悖論告訴了弗雷格。
他在1903年出版的《數學的原理》中，有一段可能是在1901年寫的，他寫道：“作為
多的類與類的項具有不同的類型”；“整個秘密的關鍵是邏輯類型的不同”。對這個
問題的解決，他只寫了不到三十行。他還考查了其他的解決辦法，覺得它們都不令
人滿意，于是得出結論：“沒有適當的哲學涉及到上述的矛盾，這些矛盾直接從常
識中得出，也只能通過拋棄掉某些常識的假定而解決”。但是在這本書出版之前，
羅素感覺到這個題目還應該更加注意，于是他寫了大約六頁的一個附錄，“嘗試性
地提出了類型論”，他要求在回答所有問題之前變成為更加精致的形式。自然，當
時羅素已經知道其他的悖論了，例如布拉里·福蒂悖論和最大基數悖論。
??? 大約1905年12月，羅素拋棄了類型論。為了克服由悖論引起的困難，他提出了
三種理論：1、曲折理論，命題函數非常簡單時才決定類，而當它們復雜時就不能
決定類；2、限制大小的理論，不存在象所有實體的類的東西；3、非類理論，類和
關系完全都禁用。這篇文章甚至投有提到類型論。1906年2月5日，羅素在這篇文章
末尾加了一個注：“通過更進一步的研究，我一點也不懷疑非類理論能夠解決本文
第一節所陳述的所有困難”。這就是說，能夠解決悖論。
??? 非類理論的中心思想是它不講滿足某種結定語句的所有對象的類，而只講語句
本身和其中的代換。于是關于指定類的討論都可以用語句和代換來表述。但是當我
們討論一般的類作為可量詞化變元的值時，這種討論德意義就不明顯了。在這篇文
章中，羅素已經承認對于大部分經典數學來說，非類理論的可能證明是不適當的。
他在1906年2月加的附注中表現出他對于剛剛拋棄的類型論又重新燃起希望。果
然，他很快就回來進一步細致地研究類型論，并于1906年7月發表論文了。
??? 羅素把悖論加以分析之后認為：一切悖論的共同特征是“自我指謂”或自指示、
自反性，它們都來源于某種“惡性循環”。這種惡性循環來源于某種不合法的集體
(或總體或全體)。這類集體的不合法之處在于，定義它的成員時，要涉及到這個集
體的整體。羅素悖論是最明顯的例子。定義不屬于自身的集合時，涉及到“自身”這
個整體，這是不合法的，這種涉及自身的定義稱為非直謂定義。所以要避免悖論，
只需遵循“(消除)惡性循環原理”，“凡是涉及一個集體的整體的對象，它本身不能
是該集體的成員”。根據這個原則，羅素提出他的分支類型論。
??? 羅素把論域分成為等級或者類型，只有當滿足某一給定條件的所有對象都屬于
同一類型時，我們才能談到他們的全體，于是一個類的所有成員必定全都具有同一
類型。同樣，任何一個量詞化的變元也必定有同一類型。這樣羅素就引導談論“所
有”和“任何”的區別。“所有”由普遍量詞的束縛變元來表示，它們跑遍一個類型；
而“任何”則由自由變元來表示，它們可以指任何不確定的事物，而不管其類型如
何。因此自由變元是沒有任何妨礙的。
??? 但是，分支類型論禁例太嚴，以致無法推出全部數學。為此羅素引進可化歸公
理：“任何公式都可以和一個直謂公式等價”。也就是都可以化為含n級變元的n＋1
級公式。這樣一來可以不必考慮約束變元的級了。這種類型論稱為簡單類型論。
??? 由于集合(類)和謂詞(命題函數)是平行的，因此我們可以用集合更簡單地解釋
一下：簡單類型論是由一系列層構成的系統，最底一層是第0級，上面各層、各級
都是同一類的型構成，最低一層的元素稱為個體，由這些個體所成的類就構成第一
級的類，由一級的類為元素所成的類就構成第二級的類，依此類推。
??? 1926年，英國年輕數學家拉姆塞把悖論區別為邏輯悖論(或謂詞悖論、集合論
悖論)及語義悖論(或認識論悖論)。他證明對于集合論悖論，簡單類型論就足以消
除。因為這種悖論只牽涉到謂詞和變元的關系，它們不同級便可以消除悖論了。但
是語義悖論要涉及到謂詞本身，非得分支類型論不可。
??? 雖然類型論可以消除悖論，但是缺點很多，非常煩瑣，特別是可化歸公理的引
進，具有很大的任意性，因此受到很多批評。不過它的歷史作用還是很大的，也借
助它，羅素才實現他的邏輯主義綱領，完成前人沒有完成的計劃。
??? 羅素和懷特海的《數學原理》出版之后，許多人對于其系統進行簡化與改進。特
別是哥德爾及塔爾斯基。1940年，丘奇給簡單類型論一個新的表述。類型論至今仍
是數理邏輯中主要的系統之一。
4、策梅羅的公理集合論
??? 1908年，策梅羅采用把集合論公理化的方法來消除羅素悖論。他的著名論文
《關于集合論基礎的研究》是這樣開始的：“集合論是這樣一個數學分支，它的任務
就是從數學上以最為簡單的方式來研究數、序和函數等基本概念，并借此建立整個
算術和分析的邏輯基礎；因此構成了數學科學的必不可少的組成部分。但是在當
前，這門學科的存在本身似乎受到某種矛盾或者悖論的威脅，而這些矛盾和悖論似
乎是從它的根本原理導出來的。而且一直到現在，還沒有找到適當的解決辦法。面
對著羅素關于‘所有不包含以自己為元素的集合的集合’的悖論，事實上，它今天似
乎不能再容許任何邏輯上可以定義的概念‘集合’或‘類’為其外延。康托爾原來把集
合定義為我們直覺或者我們思考的確定的不同的對象做為一個總體。肯定要求加上
某種限制，雖然到現在為止還沒有成功地用另外同樣簡單的定義代替它，而不引起
任何疑慮。在這種情況下，我們沒有別的辦法，而只能嘗試反其道而行之。也就是
從歷史上存在的集合論出發，來得出一些原理，而這些原理是作為這門數學學科的
基礎所要求的。這個問題必須這樣地解決，使得這些原理足夠地狹窄，足以排除掉
所有的矛盾。同時，又要足夠地寬廣，能夠保留這個理論所有有價值的東西。”
??? 在這篇文章中，策梅羅實行的計劃，是把集合論變成一個完全抽象的公理化理
論。在這樣一個公理化理論中，集合這個概念一直不加定義，而它的性質就由公理
反映出來。他不說什么是集合，而只講從數學上怎樣來處理它們，他引進七條公
理：決定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、單元素公理、對集公理)、
分離公理、冪集公理、并集公理、選擇公理、無窮公理(稍稍改變一下原來形式)。
??? 實際上策梅羅的公理系統Z(公理1至7)把集合限制得使之不要太大，從而回避
了比如說所有“對象”，所有序數等等，從而消除羅素悖論產生的條件。策梅羅不把
集合只簡單看成一些集團或集體，它是滿足七條公理的條件的“對象”，這樣排除了
某些不適當的“集合”。特別是產生悖論的原因是定義集合的所謂內函公理組，如今
已換成弱得多的分離公理組。
??? 策梅羅首次提出的集合論公理系統，意義是非常重大的。但是，其中有許多缺
點相毛病。比如：公理3的確定性質的含義并不清楚，他的公理沒有涉及邏輯基
礎，選擇公理有許多爭議等等。后來經許多人加以嚴格處理及補充，才成為嚴格的
公理系統，即ZF或ZFS系統。其中Z代表策梅羅，F代表弗蘭克爾，S代表斯科蘭姆。
這里面特別是有斯科蘭姆和弗蘭克爾進行的改進。但是一般的ZF中往往不包括選擇
公理，如果加進選擇公理則寫為ZFC(AC是Axiom of Choice的縮寫，有時簡寫為C)
??? 策梅羅的公理系統發表之后，遭到各方面的批評。特別是斯科蘭姆1922年在8
月份在赫爾辛基召開的第五屆斯堪的納維亞數學家大會上做了公理化集合論的報
告，他對策梅羅公理系統提出了八點批評：
??? 1、為了討論集合，我們必須從對象“域”開始，也就是用某種方法構成的域；
2、策梅羅關于確定的命題要有一個定義使得它精確化；3、在所有完全的公理化
中，集合論的概念不可避免地是相對的；4、策梅羅的公理系統不足以提供通常集
合論的基礎；5、當人們打算證明公理的無矛盾時，謂語句所引起的困難；6、對象
域B的不唯一性；7、數學歸納法對于抽象給出的公理系統的必要性；8、選擇公理
的問題。
??? 另一方面，許多人對策梅羅公理集合論提出許多改進意見。首先Z太狹窄不足
以滿足對集合論的合法需要，有許多集合不能由它產生出來，也不能夠由此造出序
數的一般理論和超窮歸納法。為了彌補這個缺陷，弗蘭克爾加進一個公理組即代換
公理。另外，弗蘭克爾還把公理以符號邏輯表示出來，形成了現在通用的ZF系統。
??? 一般認為經過弗蘭克爾改進的策梅羅集合論公理系統，再加上選擇公理是足夠
數學發展所需的，但是還需要加一條限制性的公理，即除了滿足這些公理的集合之
外沒有其他的集合。采取這樣一個公理是出于一個悖論的啟發，這個悖論最初是法
國數學家米里馬諾夫在1917年提出的。這個悖論涉及所謂基礎集合，為了排除這種
集合，馮·諾依曼引進公理9(基礎公理)，從而消除了上述悖論。
??? 這樣定義的集合論(ZF)中，雖說與連續統假設有關的“冪集公理”不留下疑點，
但正因為不包含有很多問題的“選擇公理(AC)”，所以純粹性很高。雖然至今還不能
給出ZF集合論的無矛盾性的證明,可是它已經沒有必須大書特書的難點了。
??? 常用的集合論公理系統除了ZF之外，還有由馮·諾依曼開創并由貝耐斯、哥德
爾加以改進、簡化的集合論公理系統—NBG系統(有時簡稱為BG系統，N代表馮·諾依
曼，B代表貝耐斯，G代表哥德爾)。
??? 大數學家馮·諾依曼在他年青的時候，開辟了公理化集合論的第二個系統。他
第一個主要的數學研究就是重新考慮策梅羅—弗蘭克爾對于集合論的公理化。在他
的博士論文中論述了一般集合論的公理構造，這篇論文是他1925年用匈牙利文寫
的。但是他后來在兩篇重要文章中用德文發表了其中主要的思想，一篇是《集合論
的一種公理化》，另二篇是《集合論的公理化》。第一篇文章中他給出了自己的公理
化體系，在第二篇文章中他詳細地證明了怎樣由他的公理系統導出集合論。
??? 馮·諾依曼的處理方法是策梅羅公理化的推廣。原來的理論基本上保持了下
來，但是形式有所變化。表面看來新公理和舊公理非常不一樣，但是主要是使用的
語言有所變化。通常表示集合論的語言有兩種，一種是集合和它的元素的語言，一
種是函數及其變項的語言，這兩種語言是等價的。
??? 策梅羅用的主要是集合的語言，不過他也隱含地用函數的語言。而在弗蘭克爾
改進的理論里，這點就更加明顯。馮·諾依曼選用的語言完全與策梅羅相反，他一
開始就用變項和函數來敘述他的公理。
??? 但是策梅羅—弗蘭克爾和馮·諾依曼兩個公理系統主要差別還不是語言的問題，
而是如何在樸素集合論中排除悖論的方式。在策梅羅—弗蘭克爾系統中，是通過限
制集合產生的方式來達到這個目的的，他們把集合只限制在對于數學必不可少的那
些集合上。但是從馮·諾依曼看來，這樣施加限制有點不必要地過分嚴格，使得數
學家在論證過程中失掉一些有時有用的論證方式，而這些論證方式似乎是沒有惡性
循環的。于是馮·諾依曼采取一個比策梅羅—弗蘭克爾更廣的概念，而同時卻消除任
何產生悖論的危險。
??? 按照馮·諾依曼的想法，悖論的產生也許是因為過大的總體所引起，更準確來
講，就相當于所有集合的集合，所以馮·諾依曼就覺得只要讓這類總體成為元素，
就可以避免悖論。
??? 在馮·諾依曼的公理系統中，悖論是通過下面的方法來避免的；承認有兩種類
型的類，即集合和固有類。集合可以是其他類的成員，而固有類則不容許是其他類
的成員。在這個公理系統中，我們就有三個原始概念：集合，類，屬于關系。所以
NBG中的定理不一定是ZF中的定理，不過可以證明ZF中的每個合適公式在ZF中可證
明當且僅當在NBG中可證明。這樣看來NBG是ZF的一個擴充，數學家可以根據自己不
同的需要來選用自已認為方便的公理系統。比如哥德爾是在NBG公理系統中考慮選
擇公理及廣義連續統假設的相對無矛盾性，而科亨則是在ZF公理系統中考慮選擇公
理及連續統假設的獨立性。除了這兩個最重要的集合論公理系統之外，還有好幾個
公理系統，但是它們的用途遠不如ZF和NBG系統了。
??? 盡管集合論公理系統建立起來，并得到廣泛承認，但仍然存在許多問題，例
如：不可達基數和序數是不是存在？；連續統假設是否能夠證明；公理系統的協調
性和獨立性，……。從三十年代之后，為了解決這些問題，公理集合論掀開了新的一頁。
第四章：哥德爾的發現—意想不到的結果
??? 在數理邏輯的歷史上，哥德爾的工作起著承前啟后的作用。1928年希爾伯特在
意大利波倫那召開的國際數學家大會上提出的四個問題，很快就被哥德爾原則上解
決了。尤其是他的不完全性定理，把人們引向一種完全不同的境界，從此數理邏輯
開始了一個新的時代。
??? 在這之前，數學家期望數學有一個既廣闊又嚴格的基礎，在這個基礎上數學家
可以放心地去干他們愿意干的事。哥德爾的不完全性定理使這種想法破滅了。悖論
所造成的危機雖然可以暫時回避，然而想從原則上一攬子解決是毫無希望的。從此
之后，數學家只滿足于使用集合論一些最簡單的結果，而對更深入的數理邏輯與數
學基礎問題則不那么關心注意了。
??? 同時，由于哥德爾在證明中發展的一些技術，也使數理邏輯成為一門具有自己
獨立技術和方法的數學分支。現在的數理邏輯，不管是公理集合論、模型論還是證
明論、遞歸論都已經變得十分專門。就象代數拓撲學、算子代數、隨機過程等學
科，對于非本行專家來說，簡直是難以理解的。
1、哥德爾小傳
??? 庫爾特·哥德爾于1906年4月28日出生在奧匈帝國屬下的布瑞尼(今天的布爾
諾，這里出過另一位偉大人物遺傳學之父孟德爾)，他的父母是德國人。與一般人
推測不同，他并沒有猶太血統。他在家鄉上了四年國民學校和八年德國國立中學。
1924年中學畢業后，他進入維也納大學哲學系，先是攻讀物理，后于1926年轉而攻
讀數學，這恐怕是出于他對精密性和嚴格性過分偏愛的緣故。當時的維也納大學有
不少有國際聲譽的數學家，如曾解決過希爾伯特的一些猜想的數論專家費特萬格
勒，泛函分析的創始人之一哈恩與拓撲學家門格爾等。大學時他對費特萬格勒的數
論課很有興趣，這同他后來的工作有很大關系，比如他應用孫子定理來構造由加法
與乘法表出的原始遞歸函數。
??? 上大學時，哥德爾對哲學也很有興趣，實際上對哲學的探索始終貫穿著他的一
生。他聽哲學教授的講課，特別是經常參加維也納小組的活動。二十世紀最主要的
哲學流派——邏輯實證主義當時剛剛開始他們的事業，哥德爾贊成以施里克為首的這
個學派的分析方法，即用數理邏輯來對哲學及科學概念進行分析。但是他也一直不
同意他們否定客觀實在性，及認為形而上學命題是無意義命題等基本觀點。不過，
他的哲學觀點也促使他對于數理邏輯進行深入的鉆研。
??? 當時數理邏輯的經典著作是羅素和懷特海的《數學原理》，這三卷滿是符號的大
書，恐怕只有極少數人讀過。1928年，希爾伯特和阿克曼合著的《理論邏輯綱要》出
版，這是一本論述簡明、清晰，概括性強的好書，對哥德爾的啟發性很大。書中明
確提出一個尚未解決的問題——狹義謂詞演算的完全性問題。哥德爾很快解決了這個
問題，把結果寫成博士論文，成為他一生事業的開端。
??? 1929年秋天，他進行答辯。1930年2月得到批準取得博士學位。1930年夏天，
哥德爾開始研究希爾伯特計劃，他想證明分析的無矛盾性。9月，他到東普魯士哥
尼斯堡去參加科學會會議，許多著名數學家如希爾伯特、馮·諾依曼、海丁、卡爾
納普都參加了這次會議。希爾伯特在會上做了題為“邏輯和對自然的認識”的著名演
說，他樂觀地宣稱：“我們必須知道，我們將會知道”。可是，就在這個會上哥德爾
宣布了他的第一不完全性定理。不久，他又證明了第二不完全定理。這個結果毫無
疑義對希爾伯特計劃是莫大的打擊。
??? 1931年哥德爾在維也納大學當助教，這篇文章成為就職論文而受到了很高的評
價。從1933年到1938年，他在維也納大學當講師。1932年他到過哥丁根，見到過愛
米·諾特、西格爾、甘岑等人。他沒見到早逝的天才厄布朗，但他們交換過信件，
厄布朗的信中有最早的遞歸函數想法。但是厄布朗只收到哥德爾一封信。
??? 1933年到1934年，哥德爾第一次來到普林斯頓大學高等研究院。他在這里見到
丘奇、克林和羅塞爾。他在普林斯頓大學發表了《論形式數學系統的不可判定命題》
的演講，這對后來美國研究遞歸論是極大的推動。
??? 1937年，哥德爾在維也納講授“公理化集合論”，這時他開始集中力量研究這個
題目。在他秋天來到高等研究院時，他已經對選擇公理的無矛盾性有所考慮，并把
自己的思想同馮·諾依曼交談過。不過，他的可構造集的思想、廣義連續統假設和
選擇公理與NGB系統的無矛盾性，一直到1938年秋天才在高等研究院講演，并在
1938到1940年發表。這時他已經開始定居美國了。
??? 1938年3月，希特勒兼并奧地利，這時哥德爾剛剛結婚。1939年9月，二次大戰
爆發，他于1939年底橫貫蘇聯的西伯利亞太鐵路經日本到了美國，從此再也沒有回
奧地利。在美國，除了1940年春季在圣母大學任教外，一直在普林斯頓高等研究院
工作。由于研究院里有人反對和阻撓，直到1947年他才被批準為常任研究員，1953
年才成為教授。對于這樣偉大的數學家來說，得到這種稱號的時間實在是太晚了。
到這時，他在數理邏輯方面的主要工作都已經完成了，他的興趣已經轉向其他方面了。
??? 1947年到1951年，哥德爾開始注意和研究廣義相對論。他同愛因斯坦是多年老
鄰居，他們幾乎天天一起散步回家。但是哥德爾表示，他對相對論的興趣并非來自
同愛因斯坦的談話，而是來自對康德時空哲學的興趣。1950年，他在國際數學家大
會上做的報告，就是關于“旋轉宇宙”的論文。
??? 后來，哥德爾的興趣轉向哲學。他認為，健全的哲學思想對科學研究的成功有
很密切的關系。他說，數學及元數學的(特別是關于超窮推理的)客觀主義觀點，對
于他的邏輯研究是最根本的。1959年起，哥德爾開始閱讀德國哲學家胡塞爾的哲學
著作，并一直保持著強烈的興趣。他認為有些哲學家，特別是拍拉圖和笛卡爾，在
他們一生中具有一種與日常生活的世界觀完全不同的直觀的世界觀，也許胡塞爾也
曾達到過這種境界。
??? 晚年，哥德爾間或對數理邏輯作些工作。美國符號邏輯協會正在組織力量搜集
整理他的著作，準備出版他的全集。他已經出版的邏輯方面的論著不過二十余篇，
大都很簡短，不過它們在歷史上的作用是十分巨大的。
??? 1978年1月14日下午，哥德爾在普林斯頓醫院的椅子上坐著候診時去世，享年
72歲。
2、1930年數理邏輯的狀況
??? 1930年前，整個數學界是非常樂觀的：希爾伯特的思想占統治地位；數學是建
立在集合論和數理邏輯兩塊基石之上；康托爾的樸素集合論已被公理集合論所代
替，從而消除了悖論；選擇公理是一個很好的工具，數學中許多部門都要用到它；
連續統假設仍然是懸案，不過希爾伯特多次覺得自己已接近解決這個難題，看來前
景是樂觀的；大部分數學可以建立在謂詞演算的基礎上，而一階謂詞演算的公理系
統是無矛盾的，盡管其完全性仍有待證明；整個數學的基本理論是自然數的算術和
實數理論，它們都已經公理化。這些公理系統應該是無矛盾的、完全的，如果它們
能夠得證，并且集合論公理系統也能得到同樣的結果，那么整個數學就比較牢靠了。
??? 為了不使一小撮直覺主義者指手劃腳、評頭品足，希爾伯特提出他的計劃：把
理論系統形式化，然后通過有限多步證明它們沒有矛盾。他信心十足，在1930年9
月東普魯士哥尼斯堡的科學會會議上，他批判了不可知論。
??? 1928年希爾伯特提出四個問題：
??? 1、分析的無矛盾性。1924年阿克曼和1927年馮·諾依曼的工作使希爾伯特相信
只要一些純算術的初等引理即可證明。1930年夏天，哥德爾開始研究這個問題，他
不理解希爾伯特為什么要直接證明分析的無矛盾性。哥德爾認為應該把困難分解：
用有限主義的算術證明算術的無矛盾性，再用算術的無矛盾性證明分析的無矛盾
性，哥德爾由此出發去證明算術的無矛盾性而得出不完全性定理。
??? 2、更高級數學的無矛盾性，特別是選擇公理的無矛盾性。這個問題后來被哥
德爾在1938年以相對的方式解決。
??? 3、算術及分析形式系統的完全性。這個問題在1930年秋天哥尼斯堡的會議
上，哥德爾已經提出了一個否定的解決，這個問題的否定成為數理邏輯發展的轉折點。
??? 4、一階謂詞邏輯的完全性。這個問題已被哥德爾在1930年完全解決。
??? 這樣一來，哥德爾的工作把希爾伯特的方向扭轉，使數理邏輯走上全新的道路。
3、1930年哥德爾的兩項主要貢獻
??? 1、完全性定理：哥德爾的學位論文《邏輯函數演算的公理的完全性》解決了一
階謂詞演算的完全性問題。羅素與懷德海建立了邏輯演算的公理系統的無矛盾性及
完全性(也許還包括不那么重要的獨立性)。所謂完全性就是，每一個真的邏輯數學
命題都可以由這個公理系統導出，也就是可證明。
??? 命題演算的完全性已由美國數學家波斯特在1921年給出證明，而一階謂詞演算
的完全性—直到1929年才由哥德爾給出證明。但是哥德爾認為，斯柯侖在1922年的
文章中已隱含證明了命題演算的完全性，但是他沒有陳述這個結果，可能是他本人
并沒有意識到這一點。
??? 2、哥德爾的不完全性定理：這是數理邏輯最重大的成就之一，是數理邏輯發
展的一個里程碑和轉折點。哥德爾在研究過程中直接考慮悖論及解決悖論的方法，
從而把第三次數學危機引導至另外一個方向上。
??? 哥德爾證明不完全性定理是從考慮數學分析的協調性問題開始的。1930年秋在
哥尼斯堡會議上，他宣布了第一不完全性定理：一個包括初等數論的形式系統，如
果是協調的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算術系統是協調的，
則協調性在算術系統內不可證明。
??? 哥德爾的證明使用了“算術化”的方法。哥德爾說：“一個系統的公式……從外觀
上看是原始符號的有窮序列……。不難嚴格地陳述，哪些原始符號的序列是合適公
式，哪些不是；類似地，從形式觀點看來，證明也只不過是(具有某種確定性質的)
一串公式的有窮序列”。因此，研究一個形式系統實際上就是研究可數個對象的集
合。我們給每個對象配上一個數，這種把每一個對象配上一個數的方法稱為“哥德
爾配數法”。哥德爾通過這些數反過來看原來形式系統的性質。
??? 哥德爾研究了46種函數和謂詞，哥德爾證明了他的前45個函數和謂詞都是原始
遞歸的。但第46個謂詞為“X是一個可證公式的哥德爾數”。在對哥德爾配數的系統
中，可以得到一個公式，它相當于：我是不可證的。所以這個句子是不可證的且是
真的。所以系統中存在真語句而又不可證，也就是系統不完全。
??? 哥德爾的論文在1931年發表之后，立即引起邏輯學家的莫大興趣。它開始雖然
使人們感到驚異不解，不久即得到廣泛承認，并且產生巨大的影響：
??? 哥德爾的證明對希爾伯特原來的計劃是一個巨大的打擊，因此把整個數學形式
化的打算是注定要失敗的，因而邏輯主義和形式主義的原則是不能貫徹到底的；
“希爾伯特計劃”中證明論的有限主義觀點必須修正，從而使證明論的要求稍稍放
寬。1936年甘岑在容許超窮歸納的條件下證明了算術的無矛盾性，而倡導有限構造
主義的直覺主義也不能解決問題；哥德爾的工具遞歸函數促進了遞歸函數論的系統
研究，同時推動了不可判定問題的研究，開始出現遞歸論的新分支。
??? 哥德爾不完全定理的證明結束了關于數學基礎的爭論不休的時期，數學基礎的
危機不那么突出表現出來。數理邏輯形成了一個帶有強技巧性的獨立學科，而絕大
部分數學家仍然把自己的研究建立在樸素集合論或ZF公理集合論的基礎上。
??? 盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可回避。研究這些矛盾，特別是
集合論的矛盾變成數理邏輯學家的事業。另外一方面，直覺主義和構造主義數學雖
然也有發展，但終究是一小部分，半個世紀以來，在數學中始終不占統治地位。因
為矛盾也好、危機也好，根源在于無窮，但是數學中畢竟少不了無窮。歸根結蒂，
數學終究是研究無窮的科學。
第五章：數理邏輯的大發展
??? 1930年以后，數學邏輯開始成為一個專門學科，得到了蓬勃發展。哥德爾的兩
個定理證明之后，希爾伯特的有限主義綱領行不通，證明論出現新的情況，主要有
兩方面：通過放寬有限主義的限制來證明算術無矛盾性以及把證明形式化、標準
化，這些主要是在三十年代完成。同時哥德爾引進遞歸函數，發展成遞歸論的新分
支，開始研究判定問題。而哥德爾本人轉向公理集合論的研究，從此出現公理集合
論的黃金時代。五十年代模型論應運而生，它與數學有著密切聯系，并逐步產生積
極的作用。
1、證明論
??? 證明論又稱元數學，它研究數學的最基本活動—證明的合理性問題。研究這類
數學基礎的問題原來一直是哲學家的事，后來才成為數學家的事。這個轉變發生在
1893年弗雷格發表《算術基礎規則》之時，后來希爾伯特和他的許多合作者使這種思
想發展成一門學科—元數學，目的是用數學方法來研究整個數學理論。
??? 要使數學理論成為一個合適的研究對象，就必須使之形式化。自從希爾伯特和
阿克曼所著《理論邏輯綱要》第一版在1928年出版以來，在實踐中用得最多的是具有
等式的一階謂詞演算(以及高階謂詞演算)。許多理論可以用一階理論來表述，它比
較簡單方便，具有多種形式。
??? 從基礎的觀點來看，有兩個理論最為重要，因而研究也最多。這兩個理論就是
形式化的皮亞諾算術理論與形式化的集合論。因為大多數觀代數學理論都可以在這
兩個理論范圍內發展，所以這兩個理論的合理性如果得到證實，也就是向數學的可
靠性邁進了一大步。“希爾伯特計劃”無非就是要找到一個有限的證明步驟來證明算
術的無矛盾性。
??? 這里“有限”的意義是由法國年輕數學家厄布朗明確提出的，他認為下列條件必
須滿足：必須只討論確定的有限數目的對象及函數；這些對象及函數要能確定它們
的真值產生協調一致的計算結果；一個對象如不指出如何構造它就不能肯定其存
在；必須永遠不考慮一個無窮集體中所有對象的集合；一個定理對于一組對象都成
立的意思是，對于每個特殊的對象，可以重復所講的普遍論證，而這普遍論證只能
看成是結果特殊論證的原型。
??? 數學理論的無矛盾性有了這種有限的、可構造性的論證之后，任何人都可以放
心了。希爾伯特計劃提出后，幾組數學家分別為實現它而努力：一組是希爾伯特及
貝耐斯，以及阿克曼關于把數學理論形式化的研究，一組是馮·諾依曼關于算術無
矛盾性的初步研究及哥德爾的不完全性定理以及甘岑的最后解決；還有一組是厄布
朗及甘岑關于證明的標準形式等的研究。
??? 厄布朗是法國天才的青年數學家，1931年8月在登阿爾卑斯山時遇難，年僅23
歲。他對代數數論尤其是數理邏輯進行過重要的研究工作，1929年他在博士論文
《證明論研究》中提出他的基本定理。從某種意義上來講，這個定理是想把謂詞演算
歸結為命題演算。由于前一理論是不可判定的，而后一理論是可判定的，因此這種
歸結不可能是完全的。
??? 但是，由于厄布朗局限于希爾伯特有限主義立場，他應用的證明方法比較繞彎
子。而且在1963年發現，他的證明中有漏洞，他的錯誤很快就得到了彌補。厄布朗
定理可以便我們在證明中擺脫三段論法。他的許多結果，后來也為甘岑獨立地得出。
??? 甘岑的自然演繹系統是把數學中的證明加以形式化的結果。他由此得出所謂
“主定理”，即任何純粹邏輯的證明，都可以表示成為某種正規形式，雖然正規形式
不一定是唯一的。為了證明這個主定理，他又引進了所謂的式列(Sequenz)演算。
??? 在普通的數學證明中，最常用則是三段論法，即如果A→B，且若A成立，則B成
立。其實這就是甘岑推論圖中的“斷”。但是甘岑的主定理就是從任何證明圖中可以
消除掉所有的“斷”。也就是：如果在一個證明中用到三段論法，那么定理表明，它
也可以化成為不用三段論法的證明，也得到同樣的結論。
??? 這個定理乍一看來似乎不可理解，其實正如甘岑所說，一個證明圖中有三段論
法實際上是“繞了彎子”，而不用三段論法是走直路。這種沒有三段論法的證明圖稱
為“正規形式”，利用這沒有三段論法的證明圖稱為“正規形式”。利用這個主定理很
容易得出許多重要結果，其中之一就是極為簡單地證明“一階謂詞演算是無矛盾
的”，而且能夠推出許多無矛盾性的結果。后來還可以用來證明哥德爾的完全性及
不完全性定理，當然，最重要的事還是要證明算術的無矛盾性。
??? 希爾伯特引進證明論的目標是證明整個數學的無矛盾性，其中最重要的是集合
論的無矛盾性(至少ZF系統無矛盾)、數學分析的無矛盾性，最基本的當然是算術的
無矛盾性。哥德爾的不完全性定理說明，用有限的辦法這個目標是達不到的。由于
哥德爾不完全定理的沖擊，希爾伯特計劃需要修改。
??? 有限主義行不通就要用非有限的超窮步驟。1935年，甘岑用超窮歸納法證明自
然數算術形式系統的無矛盾性。其后幾年，他和其他人又給出了其他的證明。這種
放寬了的希爾伯特計劃在第二次世界大戰之后發展成為證明論的分支，這些證明也
推廣到分支類型論及其他理論。
??? 甘岑在第二次大戰行將結束時去世，他的結果代表當時證明論的最高成就，希
爾伯特和貝納斯的《數學基礎》第二卷中總結了他的工作，但是證明論遠遠未能完成
它的最初目標。戰后隨著模型論和遞歸論乃至六十年代以來公理集合論的發展，證
明論一直進展不大。
??? 五十年代中，日本數學家竹內外史等人開始對于實數理論(或數學分析)的無矛
盾性進行探索。因為實數一開始就同有理數的無窮集和有關，描述它的語言用一階
謂詞演算就不夠了，所以第一步就要先把甘岑的工作推廣到高階謂詞演算中去。
??? 1967年，日本年輕數學家高橋元男用非構造的方法證明，單純類型論中也可以
消去三段論法。由此可以推出數學分析子系統的無矛盾性。但是，由于證明不是構
造的，數學分析的無矛盾性至今仍然有待解決。
??? 厄布朗及甘岑的結果雖然不可能完成希爾伯特計劃的最初目標，但是由于其有
限性、可構造性的特點，現在已廣泛地應用于機械化證明，成為這門學科的理論基礎。
??? 證明論的方法對于數理邏輯本身有很大的推動，特別是得出新的不可判定命
題。最近，英國年輕數學家巴黎斯等人有了一項驚人的發現。他們發現了一個在皮
亞諾算術中既不能證明也不能否證的純粹組合問題，這不僅給哥德爾不完全性定理
一個具體的實例，而且使人懷疑要解決許多至今尚未解決的數論難題可能都是白費
力氣。這無疑開辟了證明論一個完全新的方向。
2、遞歸論
??? 遞歸論討論的是從形式上刻劃一個運算或一個進程的“能行”性這種直觀的觀
念，也就是從原則上講，它們能機械地進行而產生一個確定的結果。“能行”的這個
概念含有可具體實現的、有效的、有實效的等等意思。法國數學家保萊爾首先在
1898年他的函數論教科書中引進了這個詞，他把數學的對象局限于能行的對象，這
種主張實際上就是“法國經驗主義”。因為函數論主要討論集合、函數、積分等等，
從這種觀點產生出描述集合論、拜爾函數等概念。
??? 遞歸論中所討論的函數是比較簡單的。它討論有效可計算的函數，也就是遞歸
函數。遞歸函數在歷史上曾從不同角度提出來，后來證明它們都是等價的。
??? 1931年秋天，丘奇在普林斯頓開了一門邏輯課，克林和羅塞爾當時作為學生記
了筆記。丘奇在講課中引進了他的系統，并且在其中定義自然數。這就很自然引起
一個問題，在丘奇系統中如何發展一個自然數理論。于是克林開始進行研究，結果
克林和丘奇得到一類可計算的函數，他們稱之為A可定義函數。
??? 1934年春天，哥德爾在普林斯頓做了一系列講演(克林和羅塞爾記了筆記)。在
講演中，哥德爾引進了另外一套可以精確定義的可計算函數類，他稱為一般遞歸函
數。據他講，他是受了厄布朗的啟發得到的。
??? 這時自然出現了一個問題。一般遞歸函數類是否包括所有能行可計算的函數，
它是否與克林與丘奇研究的 A可定義函數類重合。1934年春末，丘奇和哥德爾討論
一般遞歸函數問題，結果丘奇明確提出他的“論點”，所有直覺上可看成能行可計算
函數都是 λ可定義函數，于是丘奇花了好幾個月反復思考。當時克林表示懷疑，他
認為這論點不太可能是對的，他想如果從A可定義函數類用對角化方法可以得出另
外一個能行可計算函數，那么它就不是A可定義的。但他又想到這事行不通。不久
之后，丘奇和克林在1936年分別發表論文，證明A可定義函數類正好就是一般遞歸
函數類。有了這個有力的證據，丘奇于是公開發表他的“論點”。
??? 也是在1936年，英國年輕數學家圖林發表了另外一篇重要文章，這標志著所謂
圖林機的產生。在這篇文章中，圖林也定義了一類可計算函數，也就是用圖林機可
以計算的函數。同時，他也提出他的一個論點：“能行可計算的函數”與“用圖林機
可計算的函數”是一回事。1937年圖林證明了用圖林機可計算的函數類與可定義函
數類是一致的，當然，也就和一般遞歸函數類相重合。這樣一來，丘奇的論點與圖
林的論點就是一回事。當時許多人對于丘奇的論點表示懷疑，由于圖林的思想表述
得如此清楚，從而消除了許多人的疑慮，哥德爾就是其中一位。從這時起大家對于
丘奇—圖林論點一般都抱支持的態度了。
??? 與圖林同時，美國數學家波斯特也發表了一篇文章，類似于圖林的可計算函
數，他的文章過于簡短，一直到1943年波斯特才發表了第四個表述，結果證明他的
與別人的也都一樣。
??? 遞歸的概念并不難理解，它就是由前面的結果可以遞推得到后面的結果。哥德
爾等人引進的實際上是一般遞歸函數，一股遞歸函數都可以由原始遞歸函數算出來。
??? 另一個復雜一些的概念稱為遞歸集合S，它的定義是存在一種能行的辦法來判
斷任何正整數n是否屬于S。正數數集合是遞歸的當且僅當它與它在N中的補集都是
遞歸可枚舉的。任何無窮遞歸可枚舉集都包含一個無窮遞歸集。但是，存在正整數
的遞歸可枚舉集而不是遞歸集。
??? 于是波斯特提出問題：是否存在兩個遞歸可按舉但是非遞歸的集合，使得第一
個集合相對于第二個是遞歸的，但第二個相對于第一個卻不是遞歸的。一直到十二
年后的1956年，蘇聯人穆其尼克及美國人弗里德伯格才獨立地肯定地解決了這個問題。
??? 蘇聯數學家馬爾科夫在1947年發表《算法論》，首先明確提出算法的概念。但是
它同以前定義的遞歸函數及可計算函數的計算過程都是等價的。這幾個定義表面上
很不相同，并有著十分不同的邏輯出發點，卻全都證明是等價的。這件事看來決非
巧合。它表明：所有這些定義都是同一個概念，而且這個概念是自然的、基本的、
有用的。這就是“算法”概念的精確的數學定義。大家都接受了這個定義之后，判定
問題從我們平時直觀的概念也上升為精確的數學概念，判定問題也成為一門數理邏
輯的重要分支了。從這時起，判定問題有突飛猛進的發展。
??? 判定問題有了精確的數學表述之后，立即在數學基礎乃至整個數學中產生了巨
大的影響。因為這時一些不可判定命題的出現，標志著人們在數學歷史上第一次認
識到：有一些問題是不可能找到算法解的。在過去，人們一直模模糊糊地覺得，任
何一個精確表述的數學問題總可以通過有限步驟來判定它是對還是錯，是有解還是
沒有解。找到不可判定問題再一次說明用有限過程對付無窮的局限性，它從另外一
個角度反映了數學的內在固有矛盾。
??? 怎樣得到這些結果的呢？丘奇的論點發表之后，不難看出存在不可計算的函
數，也就是非一般遞歸的函數。因為所有可能不同的算法共有可數無窮多(粗淺來
講，算法都是用有限多個字來描述的)，可是所有數論函數的集合卻是不可數的。
??? 不過，頭一個明顯的不可判定的結果是1936年丘奇得到的。他首先得到與λ可
定義性有關的不可判定結果。然后，他把這個結果應用到形式系統的判定問題上，
特別他證明，形式化的一階數論N是不可判定的。也是在1936年，丘奇證明純粹的
謂詞演算也是不可判定的。當時大家的反應是：這種不完全性的范圍到底有多廣？
??? 甚至于象丘奇這樣的數學家，也想找到一條出路能避開哥德爾的結果。比如
說，可以采用伺哥德爾所用的系統完全不同的其他的特殊系統。一旦算法的精確定
義和丘奇論點出現之后，大家就認識到躲不過哥德爾不完全性定理的影響，可計算
性和不完全性這兩個概念是緊密聯系在一起的。
??? 實際上克林在1936年就證明了(作為丘奇論點的應用)：甚至在能夠能行地認出
公理和證明的形式系統中，哥德爾的定理仍然成立。消去量詞方法對許多理論行不
通。一般的判定問題是試圖找出一個能行的步驟，通過這個步驟可以決定什么東西
具有某種指定的元數學特征。
??? 在純粹邏輯演算的元理論中，有最明顯的一類判定問題：對于給定的演算和給
定類的公式，求出一個步驟，能夠在有限多步內判定這類的任何特殊公式是否可以
形式地推導出來。有些情形、問題已經得到肯定的解決，在另外一些情形，答案是
否定的，可以證明不存在這樣一個步驟。這種否定的證明，特別對于數學理論，很
大程度上依賴于遞歸論。
??? 最早明確提出的數學判定問題是希爾伯特第十問題。他在1900年國際數學家大
會上提出了著名的二十三個問題，其中第十個問題是：給定一個有任意多未知數
的、系數為有理整數的丟番圖方程，設計一個步驟，通過它可以經有限步運算判定
該方程是否有有理整數解。這個到1970年才被否定解決的問題不僅解決了一個重大
問題，而且解決問題過程中所得到的工具和結果對數理邏輯和數學發展有著極大影
響，比如表示素數的多項式，尤其與整個數理邏輯有關的是得出了一個更確切的哥
德爾不完全性定理。
??? 現在我們來看希爾伯特第十問題，為了清楚起見，我們考慮多項式方程，看看
一般的多項式丟番圖方程的次數和未定元的數目是否可以降低。
??? 1938年斯科蘭姆證明，任何丟番圖方程的次數可約化成次數小于等于4的方
程；1974年馬蒂亞謝維奇和羅濱遜證明未定元的數目可約化成小于等于3。對于齊
次方程，阿德勒在1971年證明，任何齊次方程可以能行地約化為二次齊次方程組，
從而等價于一個四次齊次方程。對于一次方程早就有具體方法解丟番圖方程了。對
于任意多未定元的二次方程，1972年西格爾也找到一個算法。四次方程不能判定，
三次方程尚不知道。
??? 解決丟番圖方程解是否存在的判定問題的方法是引進丟番圖集。我們把丟番圖
方程的變元分成兩有一組解。每個丟番圖集合是遞歸可枚舉集。1970年，蘇聯大學
生馬蒂亞謝維奇證明了每個遞歸可枚舉集也是丟番圖集合。這樣一來，由于存在不
可判定的遞歸可枚舉集，所以存在一些特殊的丟番圖方程，使得對是否有解的判定
問題不可解。當然對一般丟番圖方程的判定問題就更不可解了。
??? 另一個判定問題是半群和群論中字的問題，半解問題是挪威數學家圖埃在1907
年首先提出來的。問題是對于一個半群，如果給定它的有限多生成元和有限多關
系，那么能否找到一個方法來判定任何一個特殊的字是否等于單位元素。1947年，
波斯特否定地解決了這個問題。
??? 群論中字的問題更為重要，它是在1911年由德恩首先研究的，一直到1955年才
由蘇聯數學家諾維科夫否定解決。這些結果給數學家指明了新的方向：不要妄圖去
解決一大類問題。不過對于更窄的一類的對象比如一類特殊的群，群的字問題是可
解的。
第五章：數理邏輯的大發展
3、模型論
??? 模型論是數理邏輯的一個分支，討論形式語言與其解釋或者模型之間的關系。
如語言是一階謂詞邏輯，則這種模型論就稱為“古典模型論”。最簡單的模型是數學
中的一些結構，例如 5階循環群，有理數域，以及所有按照包含關系歷形成的偏序
結構由整數構成的集合等等。在數學里我們直接研究這類模型，而不管形式語言。
這個理論可以說是泛代數(當然也包含通常代數中的群論、環論、域論等等)，它們
研究同態、同構、子結構、直積等等。可是關于這些模型的性質，都要表示成為語
言。反過來，一個語句可以真也可以假，看你是說哪一個模型。
??? 這樣看來，模型論和代數學是有區別的，有人把模型論看成是邏輯加上泛代
數，這也是十分形象的。模型論一定要明顯地涉及語句，并且以語句為出發點，這
是它同一般代數學有區別的地方。另外模型論的語言是形式語言，它與模型的關系
是語法和語義的關系。對于形式語言，我們只是按照一定的規則(文法規則)去造出
一些語句，至于這些語句含義如何、是真是假，就不是語法所能管得了的。
??? 語法只考慮形式的結構，比如構成語句的符號是哪些，符號之間的關系如何
(誰在誰的前面而不能在后面)等等，而語義則提供解釋或者意義，只有意義才能確
認語句的真假(除了重言式或恒真語句或同語反復之外)。因此可以說，模型論是研
究形式語言的語法和語義之間關系的學科。
??? 在數學中，我們對模型還不是很陌生，在非歐幾何中就是靠引進模型才論證了
非歐幾何公理系統是不矛盾的。但一直到195年左右，模型論才正式成為一門新學
科。主要標志就是1949年亨肯發表的完全性定理的新證明，以及1950年國際數學家
大會上塔爾斯基與羅濱遜的的報告，以及1951年羅濱遜《代數的元數學》的發表。
??? 自此之后，模型論大致可分為兩條路線，一條是美國西海岸的斯科蘭姆一塔爾
斯基路線，他們從四十年代起就由數論、分析、集合論的問題所推動，強調研究一
階邏輯所有公式的集合模型。另一條是美國東海岸的羅濱遜路線，他們的問題由抽
象代表的問題所推動，它強調無量詞公式集與存在公式集。關于兩塊量詞的理論很
多，它們有許多應用。羅濱遜主要用于域論，前蘇聯馬力茨夫等人主要用于群論。
??? 屬于純粹模型論主題的最早的定理有兩個，一個是羅文漢姆的定理。他在1915
年證明每一組有限多公理如果有模型的話，則它也有一個可數模型。把這個定理推
廣到有可數個公理的情況。另一個定理是緊性定理。
??? 三十年代，哥德爾對可數語言證明緊性定理，1936年蘇聯馬力茨夫推廣到不可
數語言。緊性定理在代數學方面有許多應用。
??? 這兩個定理都肯定某種模型的存在性，特別是羅文漢姆—斯科蘭姆定理及緊性
定理指出有想不到的特別大的模型存在。最明顯的就是自然數集合的皮亞諾公理
(其中歸納公理加以改變)，不僅有通常自然集N為其標準模型(即包括可數多個元
素)，還有包括不可數多個元素的模型，這就是所謂非標準算術模型。第一個非標
準算術模型是由斯科蘭姆在1934年首先造出的。這兩個定理的證明都依賴于造模型
的方法。
??? 模型論中常用的構造模型方法與工具有：初等鏈方法、圖式、緊性定理、下行
羅文海姆—斯科蘭姆定理、省略類型定理、力迫法、超積、齊性集合等8種，這些方
法都是相當專門的。
??? 圖式方法是亨金及羅濱遜首創的，它有許多用處，不僅能證明緊性定理、羅文
海姆—斯科蘭姆定理、哥德爾完全性定理等等，而且可以得出許多新定理。
??? 初等鏈是塔爾斯基及沃特在1957年提出的。超積是最常用的構造模型的方法，
超積和超冪的用處表現在同構定理上。超冪的另一個很大的用處是構造非標準分析
的模型。
??? 對于數學理論最重要的事是公理化。在模型論中，公理數目可以有限多，稱為
有限可公理化的理論。這類理論有；群、交換群、環、整域、域、有序域、全序
集、格、布爾代數、貝納斯—哥德爾集合論等等。許多重要理論是不能有限公理化
的，其中一部分是遞歸可公理化的。如可分群、無撓群、特征0的域、代數封閉
域、實封閉域、有限域、尤其重要的是皮亞諾算術和ZF集合論，而有限群論甚至連
遞歸可公理化都不行。
??? 一個理論是遞歸可公理化的充分必要條件是：它的所有推論集合是遞歸可枚舉
的。通常它不一定是遞歸的，如果是遞歸的，則稱為可判定的。可以證明，每個完
全、遞歸可公理化理論是可判定的。因此利用模型論的有力工具可以得出判定理論
的一些結果，如早在1948年塔爾斯基等人證明，實閉域理論是完全的，因此是可判
定的。
??? 早在十九世紀，數學家利用造模型的方法來肯定非歐幾何的真實性，他們造過
許多模型，但這些模型本質上沒有區別，也就是“同構”。在二十世紀初，數學家一
般認為，一個理論的模型都是同構的，如自然數理論就是皮亞諾公理所刻劃的一種。
??? 但是這種想法很快就由于自然數非標準模型的存在而被打破，所以人們又在模
型論當中引進重要的概念—范疇性：一個理論或一組公式如果其所有模型均同構，
它就稱為范疇的。實際上，這對于形式系統(或公理系統)是僅次于協調性(無矛盾
性)、完全性、獨立性之后的第四個重要要求。但是這個要求實在太強了，實際
上，只要一個理論有一個無窮模型，那么它就不是范疇的，所以我們把范疇性的要
求降低。
??? 模型論給數學帶來許多新結果，我們大致可以分成三大部分：在代數方面的應
用主要是在群論和域論方面；在分析方面的應用主要是非標準分析；在拓樸學、代
數幾何學方面的應用主要是拓撲斯理論。
??? 模型論在代數學中最早的應用是量詞的消去，早在三十年代，就由此得到了整
數加法群的判定步驟，塔爾斯基得到實數的可定義集和實數域的判定步驟。
??? 1965年以后，數理邏輯的發展逐步影響到數學本身，因而重新引起數學家們的
注意，特別是集合論與模型論的結果不斷沖擊數學本身。模型論在解決代數問題方
面顯示巨大威力，特別是艾柯斯及柯辰解決了著名的阿廷猜想，這個問題曾使代數
學家為難了幾十年。
??? 非標準分析是羅濱遜在1960年創造的。1961年1月，在美國數學大會上，羅濱
遜宣布了他的非標準分析，其實這就是邏輯學家所謂的實數的非標準模型。在這篇
報告中，他總結了新方法的所有重要方面，因此無可爭辯地成為這個新領域的獨一
無二的創造者。他指出，實數系統是全序域，具有阿基米德性質，也就是任何一個
正實數經過有限次自己加自己之后可以超過任何一個實數。但是非標準實數一般并
不滿足這個條件，比如說一個無窮小量的一千倍，一萬倍、一億倍甚至更多，也大
不過 1，這個性質稱為非阿基米德性質。
??? 最近，非標準分析在分析、微分幾何學、代數幾何學、拓撲學有一系列的應
用，使數學家對非標準分析也不得不另眼相看了，特別是非標準拓撲和非標推測度
論近來更是有重要的突破。
??? 非標難測度論已經得出許多新的“標準”結果，如關于測度的擴張、位勢理論、
布朗運動理論、隨機微分方程、最優控制理論，甚至運用到數理經濟學及高分子物
理化學當中。其中關鍵來自1975年洛布的工作。他從非標準測度空間能造出豐富的
標準測度空間，使得非標準分析真正能對標準數學作出自己的貢獻。
??? 拓撲斯是統—現代數學的最新基礎，它反映了數理邏輯與范演論的結合。范疇
論大約在六十年代初由同調代數學脫胎而出，而同調代數則在四十年代末到六十年
代初由代數拓撲學發展而來。代數拓撲學則是用群、環、域、模等代數結構來刻化
幾何圖形的拓撲結構。同調代數學則用代數結構來刻化代數結構，比如說一組群與
另一組的對應關系。把這個組發展到集合或其它任何結構，研究范躊與范躊之間的
關系就是范疇論。
??? 我們可以考慮幾何的范躊和范躊的范躊。1963年出現了層的范疇，這就是拓撲
斯。托普斯使范疇方法迅速推廣到其他數學分支中去。1970年，勞威爾等人引進一
種特殊的范疇—初等拓撲斯。幾年之后，證明了一個重要結果，一個初等拓撲斯正
好是高階直覺主義集合論的模型。因此，初等拓撲斯就象集合一樣成為數學的基
礎，而且更接近數學的內容。
4、公理集合論
??? 1930年以后，迎來了公理集合論的黃金時代。對于數學家們來說，策梅羅的公
理系統ZF大致夠用。他們仍不太關心集合論的細微未節，以及一層一層的無窮大，
這些在他們的數學中難得碰到。不過除了九條可靠的ZF公理之外，他們也往往需要
選擇公理(AC)，有時也要考慮連續統假設(CH)。他們希望這兩個公理是真的，這樣
似乎就可以天下太平了。誰知事情越來越麻煩，現在居然找出一大堆玄妙的公理和
假設，它們能推出一些我們想要的結果來，同時又出現許多荒唐矛盾的現象。這些
現象十分有趣，但是從外行看來實在亂七八糟。這里還是簡單歸納介紹一下:
??? 4.1 選擇公理
??? 選擇公理是現代數學中最常用的假設，過去許多人曾不自覺地使用。對這個問
題引起注意，是因為康托爾在1883年提出任意集合是否都可良序化的問題。希爾伯
特也曾把這個問題引入其23問題頭一問題的后半部分。1904年，策梅羅提出選擇公
理，并通過選擇公理證明了良序定理。這個公理有極多的等價形式，其中有在代數
中常用的造恩引理。這個應用極廣、看來正確的選擇公理，卻可以證明出一些看來
荒唐的結果。如1914年的豪斯道夫的分球面定理和U23年的巴拿赫—塔爾斯基悖論。
??? 可是選擇公理的用途太大，不能忽視，許多學科的基本定理少不了它：泛函分
析中的哈恩—巴拿赫定理(關于巴拿赫空間上的線性泛函的可擴張性)；拓撲學的吉
洪諾夫定理(關于任意多緊空間的直積為緊)；布爾代數的斯通表示定理，每個布爾
代數皆同構于集代數；自由群論的尼爾森定理，自由群的子群也是自由的。
??? 其他還有許多定理，如果沒有選擇公理也不行。
??? 4.2連續統假設
??? 連續統假設的歷史最久，它可以說是隨著集合論一起產生的。1883年康托爾就
提出了這個假設，可數無窮集的基數的后面就是連續統的基。康托爾花了畢生精力
去證明，但沒有成功。希爾伯特把它列入自己著名的23個問題的頭一個。希爾伯特
本人也曾經用了許多精力證明它，并且在192～—1926年宣布過證明的大綱，但終究
未能成功。這個問題終究懸而未決。
??? 1930年哥德爾完成了他的兩大貢獻以后，曾說過“現在該輪到集合論了”。他從
1935年起就開始研究連續統假設及廣義連續統假設。這一次他又出人意料地證明了
ZF和GCH是協調一致的，不過當然要假設ZF本身也是協調的，雖然這一點一直沒有
得到證明。
??? 哥德爾應用可構造性公理證明ZFC和ZFC＋GCH的相對無矛盾性，他用可構造集
的類L作為ZFC的模型。1963年7月，美國年輕數學家科恩發明了影響極為重大的力
迫法，并證明連續統假設的否定命題成立，這樣一來CH在ZF中既不能證明也不能否定。
??? 4.3可構成性公理
??? 哥德爾證明選擇公理和連續統假設協調性的方法是定義一種類型的集合，叫做
可構成集。假如把集合論中集合的概念完全用可構成集合的概念來理解，那么集合
論中的一些概念就會有相應的改變。但是有一些概念不會改變，這種概念我們稱為
絕對的，特別是可構成性這個概念是絕對的。所以“一切集合是可構成的”，這稱為
可構成性公理。
??? 可構成性的概念非常重要，表現在：1、可構成性公理與ZF的其他公理是協調
的；2、可構成性公理蘊涵連續統假設和選擇公理；3、如果可測基數存在，則不可
構成集合存在，這是斯科特1961年證明的。隨后，羅巴通在他1964年的博土論文中
證明可測基數的存在，蘊涵整數不可構成集合的存在性，后來他又證明可測基數的
存在蘊涵只有可數無窮多個整數的可構成集合。
??? 4.4 馬丁公理
??? 馬丁公理是1970年由馬丁等人提出來的，它與ZFC的其他公理完全不同，不象
一個“真”的公理，但是由它可以推出數學上重要的結果。馬丁公理是連續統假設的
推論，因此可以看成是弱連續統假設。
??? 馬丁公理在數學上有一系列的重要應用。特別重要的是，舍拉在1974年證明懷
特海猜想在ZFC下是不可判定的。同樣，許多拓撲學問題也有類似情況。
??? 4.6 大基數公理
??? 連續統假設及廣義連續統假設反映了最理想的大基數產生的方法，也就是一個
接一個由冪集的基數產生出來。但是，這種理想的情況現在還無法證明，而與它不
同或矛盾的情形也不可能得到否定。因此，這種種特殊大基數的存在性能得到更加
特殊的結果，而且對數學本身產生了不可忽視的影響。
??? 雖然這些大基數極為玄乎，可是由它們可以推出許多重要的數學結果。因此我
們不得不重視它，而它們的存在性作為公理就是大基數公理。可以料到這些大基數
公理同原來的一些公理是矛盾的。比如，可構造公理就蘊涵可測基數不存在。
??? 大基數公理對數學問題的重要性可以由下面問題的解決看出：拓撲學中一個著
名的幾十年末解決的正規莫爾空間猜想歸結為可測基數的存在問題，而象過去局限
于ZFC系統的證明是沒有希望的。
??? 4.6決定性公理
??? 決定性公理是與描述集合論密切相關的公理，它涉及到自然數列的集合是否能
夠通過某種方法決定。
??? 決定性公里的基本問題是：什么集合是可決定的？經過許多人的努力，馬丁在
1975年證明，數學中最常用的保萊爾集合是可決定的。下一個猜想是證明所有解析
集合(即二維保萊爾集合的射影集合)是可決定的，但這個猜想與哥德爾的可構成性
公理相矛盾。上面講過，可構成性公理是與ZFC是相容的，因此這個猜想無法在集
合論中證明。這樣一來，它本身可以成為一個新公理。
??? 比這個公理更加激進的公理是：R的所有子集合都是決定的。這個公理太過激
烈了，以致很難為“真”，因為它首先同選擇公理有矛盾。不過，由這個決定性公理
卻能推出一系列有趣的數學事實；其中最突出的是，由它可推出所有實數集合都是
勒貝格可測的。這樣一來，許多數學成為沒有意思的了。因此，數學家還是不太想
要這個太強的公理。可是，它帶來的一系列問題仍有待解決。
第六章：數學與哲學(上)
??? 從1900年到1930年左右，數學的危機使許多數學家都卷入到一場大辯論當中。
他們看到這次危機涉及數學的根本，必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這
場大辯論中，原來的不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論，以羅素為代表的邏輯
主義，以布勞威爾為代表的直覺主義，以希爾伯特為代表的形式主義三大學派應運
而生。他們在爭論過程中盡管言語尖刻，好象勢不兩立，其實他們各自的觀點在爭
論過程中都吸收了對立面的看法而有很多變化。
??? 1930年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點，哲學的爭論冷淡了下
去。此后各派力量沿著自己的道路發展演化。盡管爭論的問題遠未解決，但大部分
數學家并不太關心哲學問題。近年來數學哲學問題又激起人們的興趣，因此我們有
必要了解一下數學哲學的來龍去脈。
1、邏輯主義
??? 羅素在1903年出版的《數學的原理》中對于數學的本性發表了自己的見解。他
說：“純粹數學是所有形如‘p蘊涵q’的所有命題類，其中p和q都包含數目相同的一
個或多個變元的命題，且p和q除了邏輯常項之外，不包含任何常項。所謂邏輯常項
是可由下面這些對象定義的概念：蘊涵，一個項與它所屬類的關系，如此這般的概
念，關系的概念，以及象涉及上述形式一般命題概念的其他概念。除此之外，數學
使用一個不是它所考慮的命題組成部分的概念，即真假的概念。”
??? 這種看法是羅素自己最早發表的關于邏輯主義的論點。這種看法在以前也不同
程度被戴德金、弗雷格、皮亞諾、懷特海等人表達過。戴德金在1872年出版了《連
續性及無理數》一文，在這篇文章中，他把有理數做為已知，進而分析連續性這個
概念。為了要徹底解決這個問題，必須考慮有理數乃至自然數產生的問題。他認為
應該建立在邏輯基礎上，但沒有實行。
??? 弗雷格在1884年《算術基礎》中認為每個數是一個獨立的對象。他認為算術規則
是分析判斷，因此是先驗的。根據這點，算術只是邏輯進一步發展的形式，每個算
術定理是一個邏輯規律。把算術應用到自然現象上的解釋只是對所觀察到的事實的
邏輯加工，計算就是推理。數字規律無須實踐檢驗即可應用于外在世界，而在外在
世界、空間總體及其內容物，并沒有概念、沒有數。因此，數字規律實際上不能應
用于外在世界，這些規律并不是自然規律。不過它們可以應用于對外在世界中的事
物為真的判斷上，這些判斷即是自然規律。它們反映的不是自然現象之間的關系，
而是關于自然現象的判斷之間的關系。
??? 早在羅素發現悖論之前，他在寫作《數學的原理》時就企圖把數學還原為邏輯，
由于發現悖論，這個計劃遭到了困難。他發現消除悖論的方法之后，又開始具體實
現他的計劃，這就是他和懷特海合著的《數學原理》。
??? 既然羅素、懷特海的《數學原理》原來的目的是企圖把數學建立在邏輯的基礎
上，因此，書一開始就提出幾個不加定義的概念和一些邏輯的公理，由此推出邏輯
規則以及數學定性。
??? 不加定義的概念有基本命題、命題函數、斷言、或、否(非)；這里講的命題是
指陳述一件事實或描述一種關系的一個語句，如“張三是人”，“蘋果是紅的”等等，
由這些概念可定義邏輯上最重要的概念“蘊涵”。
??? 要想由邏輯推出數學，第一步是推出“數”來，這件事皮亞諾及弗雷格都做了。
羅素在消除悖論之后，成功地用“類”來定義1。這個過程極為繁瑣費力，一直到《數
學原理》第一卷的363頁才推出“1”的定義，而第二卷費了很大力氣證明了n×m＝m×n。
??? 在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在于證明“數學和邏輯是全等的”
這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
??? 1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即
每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
??? 2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
??? 3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則
推導出來。
??? 這三方面不完全一樣，羅素只是分別在各處用一條或兩條表示過邏輯主義。由
于哥德爾的不完全定理，3是錯的，但是還可以堅持1和2。
??? 羅素認為邏輯主義的許多主要論點不是來自他本人，弗雷格就曾明確地表示過
一些邏輯主義的觀點。但是，邏輯主義觀點盡管受到批判，羅素本人還一直堅持。
在三十年代以后，還是有許多人發展邏輯主義。
??? 邏輯主義從—開始就遭到批評，“因為如果數學只是一套邏輯演繹系統，那么它
怎么可能反映廣泛的自然現象呢？它又怎樣能夠有創造力呢？它又怎樣能夠產生新
觀念呢？”用維特根斯坦的話說，數學就是同語反復(重言式)，結不出任何新知識。
??? 羅素悖論的出現，使得這一派遭到的攻擊更大。彭加勒挖苦他們“邏輯主義的
理論倒不是不毛之地，什么也不長，它滋長矛盾，這就更加讓人受不了”。羅素—懷
特海用了幾年時間寫出了《數學原理》論證了自己的觀點，仍不免遭到譏諷。彭加勒
挖苦他們費很大力氣去定義1，說“這是一個可欽可佩的定義，它獻給那些從來不知
道1的人”，別人也說這一套完全是中世紀的教條。更有人指出這種方法的人為性、
煩瑣性。尤其是可化歸公理，顯然是硬加上的，沒有任何自然之處。盡管如此，邏
輯主義總算還能自圓其說。
??? 對邏輯主義致命打擊的是哥德爾的不完全性定理，它證明了從邏輯并不能推出
算術的正確性來，顯然把數學全部化歸為邏輯徹底失敗了。但是，羅素等人的歷史
功績是不可磨滅的，他們為數學奠定了邏輯基礎。在一段時期內，《數學原理》是一
部引導數學邏輯家的經典，至今它還有一定的意義。
??? 邏輯主義也不是后繼無人，英國的拉姆塞、美國的奎因都對邏輯主義作了進一
步的發展。
2、直覺主義
??? 直覺主義有著長遠的歷史，它植根于數學的構造性當中。古代數學大多是算，
只是在歐幾里得幾何學中邏輯才起一定作用。到了十七世紀解析幾何和微積分發明
之后，計算的傾向大大超過了邏輯傾向。十七、十八世紀的創造，并不考慮邏輯的
嚴格，而只是醉心于計算。
??? 十九世紀初，三個力量出現了，一個是解五次代數方程碰釘子，需要考慮存在
性定理。一個是非歐幾何不矛盾，是邏輯而不是直覺在起作用。一個是數學分析不
嚴格，產生荒謬的結果。在新的矛盾面前出現一些非構造性結果，也考慮一些無窮
的問題。這時追求嚴密與追求實用構造兩種傾向都有增長，不過一般數學家維持著
微妙的平衡。
??? 到了十九世紀末，集合論的出現激起這兩方面的尖銳斗爭。于是出現極端的構
造主義者，象克洛耐克否認無理數存在，否認連續函數，他認為任何東西部要有構
造步驟或判斷準則，但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。
??? 法國數學家彭加勒等人是半直覺主義者，有人稱為法國經驗主義者。他們反對
實無窮，反對實數集合，反對選擇公理，主要因為他們認為根本不能進行無窮的構造。
??? 現代直覺主義真正的奠基人是布勞威爾，他于1881年2月27日生于荷蘭奧弗
西。1897年進入阿姆斯待丹大學學習，一直到1904年，他很快掌握了當時的數學并
且發表關于幾何第一個結果。他多少受曼諾利的影響，關心當時的基礎問題，在
1907年博士論文中闡述自己對數學基礎問題的觀點。
??? 布勞威爾是從哲學中得出自己觀點的，基本的直覺是按照時間順序出現的感
覺，而這形成自然數的概念。這倒不是新鮮的，他認為數學思維是頭腦中的自由構
造，與經驗世界無關，只受基本數學直覺為基礎的限制，在這方面他是不同于法國
經驗主義者的。數學概念進入人腦是先于語言、邏輯和經驗的，決定概念的正確性
是直覺，而不是經驗及邏輯。這些充分暴露了他唯心主義和神秘主義的思想傾向。
??? 布勞威爾認為數學直覺的世界和感覺的世界是互相對立的，日常的語言屬于感
覺世界，不屬于數學。數學獨立于語言存在，而邏輯是從屬于語言的，它不是揭露
真理的工具，而是運用語言的手段。正因為如此，數學中最主要的進展不是靠邏輯
形式完美化而得到，而是靠基本理論本身的變革。
??? 布勞威爾認為邏輯規律并不對數學有什么約束作用，數學是自由的，不一定遵
守什么邏輯規則。他認為經典邏輯是從有限集合的數學抽象出來，沒有理由運用到
無窮集合。1908年，他反對把排中律運用于無窮集合上，因為有窮集合可以逐個檢
查，而無窮集合則辦不到，因此存在不可斷定真假的第三種情況，就是說有既不可
證明，又非得要證明的命題。
??? 1908年到1913年，布勞威爾主要從事拓撲學的研究，他運用單形逼近的方法證
明了維數的拓撲不變性，這在數學上是個了不起的成就，是極重要的拓撲方法。他
在李群、幾何等方面也有出色的工作，不過很快他又轉向基礎研究。
??? 布勞威爾象康德和彭加勒一樣，認為數學定理是先驗綜合真理。他在1912年的
阿姆斯特丹大學就職演說中，他承認由于非歐幾何的發展，康德的空間學說不可
信。但他同弗雷格和羅素相反，仍然堅持康德的觀點，算術是從對時間的直覺導出
的。由于現代數學是建立在算術基礎上的，所以整個數學也是如此。正是時間單位
的序列產生序數的概念，而連續統[0，1]只是不可用新單位窮盡的居間性，他認為
幾何學也依賴于這種直覺。他認為除了可數集合之外，沒有其他集合，所以ω以上
的超窮數都是胡說八道，象 0與 1之間所有實數的集合是毫無意義的。這點他在
1908年羅馬召開的國際數學家大會上講過，數學無窮集合只有一個基數，即可數無窮。
??? 1909年他同希爾伯特通信，指出形式主義和直覺主義的爭論焦點。1912年說到
這個問題之后，他一直到1917年才又開始這方面的論戰。從這時起到二十年代末他
發表一系列的文章，開始建立一個不依靠排中律的集合論，接著又建立構造的測度
論及函數論，這是他從消極的否定轉變為積極的構造。同時他試圖使數學家相信排
中律導出矛盾。他運用了扇定理，這個定理及選擇序列、散集等是他的直覺主義數
學的獨創。
??? 三十年代初期由于哥德爾的工作，許多數學家開始重視直覺主義。外爾早在
1920年左右就表示效忠于直覺主義，從而激起希爾伯特的極大憤怒。他吸收了直覺
主義一些思想，開始用有限主義方法來完成證明論方案，企圖一勞永逸地解決基礎
問題，不料沒能成功，于是還得求助于無窮。
??? 直覺主義仍然進行他們的事業，特別是海丁建立直覺邏輯系統，它包含古典邏
輯系統。后來更有人建立直覺主義集合論及直覺主義分析。不過，仍然不能盡如人意。
??? 1967年，美國數學家畢肖普出版《構造性分析》一書，開始了構造主義的時期。
他們不象以前直覺主義者那樣偏激，而是積極采用構造的方法解決一個個具體問
題。不去單純的否定或爭論。畢肖普自信會取得大多數人的支持，不過沒有能實
現，因為他們畢竟成就有限，難于同整個數學汪洋大海相比，可是十幾年來構造主
義還是取得一定進展，如《構造性泛函分析》等書問世，說明它還有一定的市場。
第六章：數學與哲學(下)
3、形式主義
??? 一般認為形式主義的奠基人是希爾伯特，但是希爾伯特自己并不自命為形式主
義者。并且，希爾伯特的思想有一個發展變化的過程，我們簡單地介紹一下。希爾
伯特是二十世紀最有影響的數學家，他不僅是數學上一些分支的公認權威，而且恐
怕也是最后一位在幾乎所有數學領域中都做出偉大貢獻的全才。更重要的是，他對
于數學基礎問題有著長時期的持久關注，他的思想在現代數學也占有統治地位。
??? 大衛·希爾伯特，1862年1月23日出生在東普魯士的哥尼斯堡。他一直在家鄉上
學，1885年取得博士學位，1886年就任哥尼斯堡大學講師。1888年因為解決了不變
式理論中著名的“哥爾丹問題”開始在數學界嶄露頭角，1891年他升任副教授，1893
年升任教授。1895年，他應克萊因之邀，任哥丁根大學教授，由此開辟了哥丁根大
學的黃金時代。他在哥丁根大學任教至1930年退休，其間培養了各國數學家，單是
他指導的博士論文就有五、六十篇。由于他的影響，哥丁根成為世界數學的中心，
繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌權后才迅速地衰落下去。晚年學生大都離開，
他于1948年2月14在孤寂中逝世。
??? 希爾伯特前期主要供獻在不變式論方面。1895年左右，他寫了代數數論的總結
性巨著。二十世紀開始時，他的興趣轉向分析及物理學。從十九世紀末，他對數學
基礎做出重大貢獻。為了方便起見，不妨把他關于數學基礎和數理邏輯的主要著作
開列如下：
??? 1899年，《幾何學基礎》，本書多次宣印及再版，生前最后一版為第七版(1930
年)。正文部分有中釋本。
??? 1900年，實數的公理化，以及“數學問題”
??? 1904年，在海德堡國際數學家大會上的講演—“論邏輯和算術的基礎”
??? 1917年，公理化思想
??? 1922年，“數學的新基礎”，以及“數學的邏輯基礎”
??? 1925年，論無窮
??? 1927年，數學基礎
??? 1928年“數學基礎問題”在意大利波洛那國際數學家大會上講演；《理論邏輯綱
要》(同阿克曼臺著)，本書很快成為標準著作。1938年第二版，1949年第三版，有
中譯本，莫紹接譯《數理邏輯基礎》，1959年第四版，阿克曼做了很大的改動。
??? 1930年，“初等數論基礎”“邏輯及對自然的認識”
??? 1931年，“排中律的證明”
??? 1934年，《數學基礎》Ⅰ；1939年，《數學基礎》Ⅱ，這兩本書與貝納斯合著
??? 從希爾伯特的著作看來，希爾伯特提出了大部分形式主義觀點，但他并沒有把
它們絕對化。他的觀點有些地方同邏輯主義、直覺主義有著共同之處。這反映出某
種矛盾，應該說這種矛盾是數學家的哲學思想上的矛盾。
??? 關于數學中的存在，他認為不限于感覺經驗的存在。在物理世界中，他認為沒
有無窮小、無窮大和無窮集合，但是在數學理論的各個分支中卻都有無窮集合，如
自然數的集合，一個線段里所有點的集合等等。這種不是經驗能夠直接驗證的對
象，他稱之為“理想元素”。引進理想元素的方法在數學中其實由來已久，比如代數
中虛數的引進，幾何中無窮點的引進，微積分中無窮小與無窮大的引進等等。但是
理想元素的引進必須不把矛盾帶到原來的較窄狹的領域內。由于理想元素不能靠直
觀經驗來驗證，只能靠邏輯來驗證，因此合理性的唯一判據就是無矛盾性。這種無
矛盾性的真理觀實際上是形式主義基本論點。
??? 但是希爾伯特并不抱這種極端和絕對的看法，他看到引進新元素往往是對于舊
元素的一種擴張，所以很自然地要求擴張之后增加的新元素仍能保留舊元素的大部
分基本性質，就象數的擴張仍能使加法交換律保持成立。當然這樣也就在一定意義
下限制了擴張的任意性，這也是因為對于搞研究的數學家來講，引進新概念是為了
需要，而不是“游戲”，所以希爾伯特還認為“需要有相應的成果”，而且這是“至高
無上的裁判”。把這個標準弄進來，反而使得標準變得模糊不清。
??? 但是在什么情況下，關于理想元素的命題為真呢？這個問題，希爾伯特不認為
每個個公式都必須得到驗證，每一個概念都必須得到解釋，然后通過直觀驗證。
??? 在1900年的《論數的概念中》，希爾伯特提議用公理化方法來代替“生成的”方
法。在《幾何學基礎》中，希爾伯特超過解析幾何選出的算術模型來證明他的幾何公
理的無矛盾性。這樣證明的是相對無矛盾性，也就是把幾何學的無矛盾性歸于實數
的算術公理的無矛盾性。于是他在1990年國際數學家大會上把算術公理的無矛盾性
列為他那著名23個問題中的第二個。他沒有指出任何解決這個問題的途徑，而只是
強調相對無矛盾性的證明沒有問題。
??? 不久，羅素悖論變得眾所周知，從而無矛盾性問題變得更加緊迫。于是，希爾
伯特在1904年在德國海德堡召開的國際數學家大會上提出第一個證明算術無矛盾性
的打算。事實上，這是現代這方面研究的原型。他的草案是：要證明某些初等公式
具有無矛盾性，并且推演規則傳遞這個性質。
??? 在這篇題為《論邏輯和算術的偽基礎》的報告開頭，希爾伯特評論對于算術基礎
的不同看法。他認為，克洛耐克是教條主義者，因為他原原本本地接受整數及其所
有重要性質，他不再深入下去探求整數的基礎。德國科學家赫姆霍茨是經驗主義
者，按照他的說法，任意大的數不能夠由我們的經驗得出，因此是不存在的。另外
有一些人，特別是德國數學家克里斯多弗張反對克洛耐克的觀點。他們認為，要是
沒有無理數的概念，整個數學分析就勢必要垮掉。于是他們企圖找尋正面的、肯定
的性質來確認無理數的存在。但是，他認為這種觀點是不徹底的，因此說他們是機
會主義的。這幾種觀點，希爾伯特都表示反對。
??? 希爾伯特認為比較深入的觀點是下面幾種：一是弗雷格的邏輯主義，他把數學
規則建立在邏輯的基礎上；二是戴德金的先驗主義，他是根據哲學上的論證來推斷
無窮的存在，不過他對數的論述中包含著“所有對象的集合”這類矛盾了；三是康托
爾的主觀主義觀點，他清楚地區分“相容集”及“不相容集”。但是他沒有提供明顯的
判據，因此缺乏客觀的可靠性。
??? 希爾伯特認為所有困難都可以通過給數的概念建立完全而嚴格的基礎而得到克
服，這就是公理化方法。1904年以后，希爾伯特把主要精力放在研究積分方程等分
析問題以及物理學公理此等方面，沒有發表什么數學基礎方面的著作。這時，各種
流派進行的激烈斗爭，也不能不使希爾伯特關心。尤其是布勞威爾直覺主義的出
現，他感到對于整個數學的生存和發展是個極大的威脅，于是他開始投入戰斗。
??? 從1917年起的二十多年時間里，他為了挽救古典數學竭盡全力。1917年他在蘇
黎世發表一篇演說，題目是“公理思想”。這篇文章全面敘述了一些與認識論有關的
問題，如數論和集合論的無矛盾性，每個數學問題的原則上可解性，找出數學說明
的單純性，的標準數學中內容與形式表示的關系，數學問題通過有限步驟的可判定
性問題。這些問題預示著后來數理邏輯的發展。他認為，要想深入研究就必須對數
學證明的概念進行深入的研究。既然邏輯推理可以符號化，進行數學的研究，為什
么證明不行呢？他提出了證明論的一般思想和目標，但是沒有具體化。
??? 希爾伯特他第一篇證明論的工作是1922年發表的，在《數學的新基礎：第一篇》
中，他論述如何把數論用有限方法討論，而數學本身卻一般須用超窮方法。他指出
用符號邏輯方法可以把命題和證明加以形式化，而把這些形式化的公式及證明直接
當做研究對象。在1922年在德國自然科學家協會萊比錫會議上，他做了《數學的邏
輯基礎》的演講，更進一步提出了證明方法。要求有限主義，即經過有限步不推出
矛盾來即為證明可靠，這稱為希爾伯特計劃。
??? 其實早先弗雷格已經堅持認為需要有明顯的符號系統，明顯的公理及推演規
則，明顯的證明。希爾伯特定走的更遠，他提出這樣一種明顯理論本身也做為一種
數學研究的對象，且應用適當的方法來判定它是否無矛盾，這種做法一般稱為元數學。
??? 希爾伯特建議兩條最基本的原則：一、形式主義原則：所有符號完全看做沒有
意義的內容，即使將符號、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而
只是把它們看作純粹的形式對象，研究它們的結構性質；二、有限主義原則，即總
能在有限機械步驟之內驗證形式理論之內一串公式是否一個證明。應用數學方法于
這樣一個形式理論，避免涉及無窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法。這個
思想是只應用靠得住的方法，因為要證明數學或其一部分無矛盾的方法是大家公認
可靠的，整個數學才有牢固的基礎。
4、數學與哲學
??? 現代的數學家大都很少關心哲學文題，甚至對基礎問題一般都不聞不問。從二
十世紀三十年代之后，數理邏輯成為一門極為專門的學科，象幾何、拓撲、分析、
代數、數論一樣，成為專家研究的對象，外行簡直難于理解。
??? 這樣一來，數學家與數學基礎、數理邏輯，乃至數學哲學脫離的越來越遠，這
可以從當代一位有影響的數學家的說法看出來。布爾巴基學派主要成員丟東涅談
到：“眾所周知，從十九世紀后半葉以來，數理邏輯和集合論的發展引起當時許多
數學家的興趣乃至極大的熱情，他們甚至并非邏輯專家，也毫不遲疑地參與由這些
問題所引起的論戰。到今天，這種局面完全兩樣。我覺察不到當代數學界的年輕的
領袖人物對于基礎問題表示過程何興趣，除非他們專搞這一行”。當然，他們也不
能說沒有自己的哲學。拿布爾巴基學派來說，他們就是形式主義派的極端代表。不
過，他們對哲學論戰不那么感興趣罷了。
??? 在十九世紀末，這種情況則完全不一樣。哲學的論戰與基礎問題緊密結合在一
起，成為幾乎每位重要數學家的關注對象。到了二十世紀，更是有著所謂三大派——
邏輯主義、直覺主義和形式主義的爭論。不過這些爭論問題并沒有得到解決，更重
要的是，它們似乎離數學問題越來越遠，因此越來越失掉了指導意義。
??? 三十年代以后，討論數學哲學的不多論著大都是數理邏輯專家或哲學家寫的。
因此，他們討論的哲學問題大都偏重于數理邏輯，而較少涉及數學本身的哲學問
題。王浩在他的《從數學到哲學》—書中，談到數學哲學討論的主要問題：1、純粹邏
輯的本性及其在人類知識中的地位；2、數學概念的刻劃；3、直覺及形式化在數學
中的地位；4、邏輯與數學的關系；5、數學的本性及其與下列諸概念的關系，必然
性、分析性、真理性、先驗性、自明性；6、數學在人類知識中的地位；7、數學活
動及實際。
??? 顯然這些問題都是數理邏輯專家感興趣的題目。但是在過去，數學哲學的題目
比這更廣泛、更一般。我們列舉幾條：1、數學的對象以及它們與現實世界(或實
在)的關系；2、(由此產生的)數學中的“存在”，乃至無窮的意義；3、數學活動的
本質是發現還是發明；4、數學的真理性、絕對性、相對性、約定性；5、真理的判
斷標準；6、數學與邏輯的關系；7、數學的方法論，公理化與形式化。
??? 數學作為人類知識體系的一部分，不能不直接或間接和人類社會實踐活動有
關。在長期實踐過程中，人們進行計數、計算、測量、造型(建筑)、產生出算術、
代數、幾何等方面數學知識。隨著人類認識的深入，形成了數學的體系，它的內容
主要是符號化、計算方法、概念與規律性、證明推理。
??? 到了十九世紀七十年代，數學內容進一步發生變化：集合論成為統一數學的新
基礎，數理邏輯的形成、公理化運動、數學結構、抽象數學概念指數增長。在這種
情況下數學內容與其實際背景脫離越來超遠，從局部看來仿佛是從天上掉下來的，
這就導致數學對象的唯心主義理解。
??? 關于數學的對象有三種觀點：實在論、觀念論、形式主義，實在論觀點是說數
學命題反映我們物理世界最普遍的性質。這種觀點比較古老，很長時期占統治地
位。按照這種觀點，數學是物理科學的一部分。
??? 觀念論的數學觀認為數學的對象是某種精神或思想對象。觀念論按照對象的性
質又可以區分為各種觀點：一個極端是柏拉圖主義，它把經典數學的對象無窮擴張
也有其現實性；另一個極端是直覺主義，數學對象是先驗的一時的直覺過程。
??? 這種觀念論的數學觀也遭到批評，一是不確切，二是另有形而上學的假定，而
數學應該除掉形而上學前提條件。拿直覺主義來講什么是“直覺”呢？很難講清。不
過，它們有這樣的性質：1、它本質上是一種思維活動；2、它是先驗的；3、它不
依賴于語言；4、它是客觀的，也就是對于所有思想者都是同樣的。
??? 形式主義的數學對象是形式系統，形式系統與以上兩種數學觀的對象不同，它
只是一個架子，指定一些對象而不管其意義如何，然后由對象按照一定規則組成
項，并規定由項組成的一些原始話題的方式，再指定一些原始命題稱為公理及推演
規則。數學的對象就是這樣構成的形式系統，其主要任務就是由這些對象推出定理
來。從某種意義上來講，形式主義的數學就是符號游戲。
??? 從上述幾種觀點看來，持實在論及柏拉圖主義觀點的人認為數學是不依賴于人
們對它的認識而存在，因而具有絕對真理的性質，所以數學家的工作就在于發現這
種真理。但是直覺主義者和形式主義者則認為數學家的工作在于發明。當然，人們
是不可能憑空發明任何東西的。對于直覺主義者來講，總是承認自然數是給定的，
至于別的就是人們從自然數出發的發明。
??? 形式主義者的形式系統雖說可以任意選出，但是終究在發明過程中也仰賴于經
驗及過去的知識，或者說是從客觀世界中歸納出來的。要不然，那就的的確確是游
戲了。
??? 不過直覺主義的發明和形式主義的發明完全不同。直覺主義的發明不是任意
的，而是必須能夠具體選出來，也就是從自然數經過有限多步寫出來。他們主張，
要證明一個數學對象存在，必須指出這個對象是怎樣造出來的。這種觀點可以遠溯
到德國著名哲學家康德，他認為數學最終的真理性在于數學概念可以通過人的智慧
來構造。
??? 由于對數學對象的觀點不同，所以對于數學命題的真假以及數學的可接受性也
有不同的看法。一門數學是否被大家接受往往不只是靠真、假，而且還有許多其他
因素，特別是是否有直觀或經驗的依據，以及實用性。當然最重要的是真假，不過
各派的真理觀距離實在太遠。
??? 對于實在論者，數學命題的真假靠實踐檢驗。它正如物理學及生物學命題一
樣，靠觀察實驗。比如高斯的確實實在在地在地球上找三點，具體測量三角形內角
之和是否為180°。對于觀念論者，數學命題的真假要靠先驗的假定。
??? 對于形式主義者，數學命題無所謂絕對真假，而是相對于某一個系統，但是這
個系統必須是無矛盾的，無矛盾性是真理的判斷標準。
??? 產生最大矛盾之處是關于無窮的概念。在有窮的問題上，各派的對立沒有那么
尖銳，它主要是數學中到處出現的無窮造成的。在古希臘，關于無窮可分性沒連續
性的芝諾悖論使數學家對無窮特別小心。歐幾里得的無窮是潛在的無窮，他不討論
無窮長的直線而只討論可以延伸到任意長度的線段。他對無窮觀念表現在“素數無
窮多”是指任何有限多素數集臺之外還有素數，而不考慮所有素數的無窮整體。數
學家一直回避這種實在的無窮。一直到康托爾集合論之前，他們都局限于潛在的無
窮，這就是超越過所有有限的變化著的有限。
??? 而實在的無窮則分為三類：1、絕對的實在無限，完全獨立的、超越世界而存
在的，在神中實現的絕對的實無窮；2、超窮，現存世界或被造世界中具體化的無
窮；3、超窮數，人仍所認識的抽象的實在的無窮。
??? 依據對超窮和超窮數的見解，可以區分為下面四種觀點：1、完全否認超窮和
超窮數，如柯西；2、承認具體的實在無窮，但否認抽象的實在無窮，例如笛卡
爾、萊布尼茲、洛克、斯賓諾莎都持這種看法；3、神學的觀點，承認抽象的實在
無窮而否認具體的實在無窮，也就是顯示上帝的偉大，只有上帝才是無窮的，而他
所創造的世界只能是有限的；4、康托爾的觀點是既承認抽象的實在無窮，也承認
具體的實在無窮，康托爾的觀點中有柏拉圖 主義的成份，他不是形式主義者。
結束語
??? 數學素以精確嚴密的科學著稱，可是在數學發展的歷史長河中，仍然不斷地出
現矛盾以及解決矛盾的斗爭。從某種意義下講，數學就是要解決一些問題，問題不
過矛盾的一種形式。
??? 有些問題得到了解決，比如任何正整數都可以表示為四個平方數之和；有些問
題至今沒有得到解決，如哥德巴赫猜想：任何大偶數都再可以表表示為兩個素數之
和。我們還很難說這個命題是對還是不對，因為隨便給一個偶數，經過有很多次試
驗總可以得出結論，但是偶數有無窮多個，你窮畢生精力也不會驗證完。也許你能
碰到到一個很大的偶數，找不到兩個素數之和等于它，不過即使這樣，你也難以斷
言這種例外偶數是否有限多個，也就是某一個大偶數之后，上述歌德巴赫猜想成
立。這就需要證明，而證明則要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。借助于計算機
完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結成有限的情形，沒有
有限，計算機也是無能為力的。因此看出數學永遠回避不了有限與無窮這對矛盾。
只要無窮存在，你就要應付它。這可以說是數學矛盾的根源之一。
??? 在處理出現矛盾的過程中，數學家不可能不進行“創造”，這首先表現在產生新
概念上，我們不妨先不管自然數。為了解決實際問題、人們必須發明出“零”來，然
后要造出負數、有理數、無理數乃至虛數。所謂虛，就是不實，憑空想象出來的意
思，不過解代數方程有必要把它請進來，請進來后又覺得它不實在、不太放心。后
來它用處很大，能解決非它不可的問題，于是轟也轟不走了。
??? 復數擠進數學王國之后，跟著四元數、八元數、超復數……都來了，它們可沒有
復數都么大的用處，甚至根本沒用。要還是不要呢？這也使數學家處于為難的境
地。數學家經常處于這種矛盾的過程中。
??? “什么是存在？”，這是數學的一個基本問題。什么東西可以擠進數學王國？直
覺主義者規定一個較窄的限制：必須能夠一步一步構造出來；而形式主義者規定一
個較寬的限制：只要沒有矛盾就行了。不過什么叫沒有矛盾？當然邏輯沒有矛盾，
其實就是遵守形式邏輯規律。可是形式邏輯是從人類有限經驗推出來的，對于無窮
情形還靈不靈？這當然存在問題，可是不許推廣，那數學還能剩下多少靠得住的東
西呢？
??? 在數學史上這種矛盾也是屢見不鮮的。無窮小量剛出現時，漏洞百出、無法自
圓其說，可是行之有效、解決問題。所以達朗貝爾說：“前進，你就能恢復信
心!”，這可以說是一種實用主義態度。
??? 十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯用極限概念解決了矛盾，同時也扔掉了無窮
小，這里無矛盾性占了上風。1961年，羅濱遜發明非標準分析，又把無窮小量請了
回來，仍然沒有矛盾。不過它是建立在模型論基礎上，要承認非可數無窮基數的存在。
??? 承認無窮集合，承認無窮基數，就好象打開潘朵拉的盒子，一切災難都出來
了。這就是第三次數學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以回避，數學的確
定性卻在一步一步喪失。最近莫利斯·克萊因寫了一本《數學—確定性的喪失》一書，
就是講的這件事。
??? 現代公理集合論的一大堆公理簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦兒
消除掉，它們跟整個數學可是血肉相連的。所以第三次危機表面上解決了，實質上
更深刻地以其它形式延續看。矛盾既然是固有的，它的激烈沖突—危機也會給數學
帶來許多新內容，新認識，有時也帶來革命性的變化。
??? 把二十世紀的數學同前整個數學相比，內容不知豐富了多少，認識也不知深入
了多少。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論。數
理邏輯也興旺發達，成為數學有機整體的—部分。古代的代數幾何、微分幾何、復
分析現在已經推廣到高維，代數數論的面貌也多次改變，變得越來越優美、完整。
一系列經典問題完滿地得到解決，同時又產生更多的新問題。特別是二次大戰之
后，新成果層出不窮，從未間斷。教學呈現無比興旺發達的景象，而這正是人們在
同數學中矛盾斗爭的產物。
(完)
1-1 什么是數學危機
??? 為了講清楚第三次數學危機的來龍去脈，我們首先要說明什么是數學危機。一
般來講，危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在
的、不可避免的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。
??? 數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理
數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例
如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對
象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在
矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。
??? 矛盾的消除，危機的解決，往往給數學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革
命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發展的歷史動力這一基本原理。整個數學
的發展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數學領域的發展。
??? 人類最早認識的是自然數。從引進零及負數就經歷過斗爭：要么引進這些數，
要么大量的數的減法就行不通；同樣，引進分數使乘法有了逆運算——除法，否則許
多實際問題也不能解決。但是接著又出現了這樣的問題，是否所有的量都能用有理
數來表示?于是發現無理數就導致了第一次數學危機，而危機的解決也就促使邏輯
的發展和幾何學的體系化。
??? 方程的解導致了虛數的出現，虛數從一開始就被認為是“不實的”。可是這種不
實的數卻能解決實數所不能解決的問題，從而為自己爭得存在的權利。
??? 幾何學的發展從歐幾里得幾何的一統天下發展到各種非歐幾何學也是如此。在
十九世紀發現了許多用傳統方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數方程不能
通過加、減、乘、除、乘方、開方求出根來；古希臘幾何三大問題，即三等分任意
角、倍立方體、化圓為方不能通過圓規、直尺作圖來解決等等。
??? 這些否定的結果表明了傳統方法的局限性，也反映了人類認識的深入。這種發
現給這些學科帶來極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如說，代數學從此
以后向抽象代數學方面發展，而求解方程的根變成了分析及計算數學的課題。在第
三次數學危機中，這種情況也多次出現，尤其是包含整數算術在內的形式系統的不
完全性、許多問題的不可判定性都大大提高了人們的認識，也促進了數理邏輯的大
發展。
??? 這種矛盾、危機引起的發展，改變面貌，甚至引起革命，在數學發展歷史上是
屢見不鮮的。第二次數學危機是由無窮小量的矛盾引起的，它反映了數學內部的有
限與無窮的矛盾。數學中也一直貫穿著計算方法、分析方法在應用與概念上清楚及
邏輯上嚴格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數學家盲目應用。而比較注意嚴密
的數學家及哲學家則提出批評。只有這兩方面取得協調一致后，矛盾才能解決。后
來算符演算及δ函數也重復了這個過程，開始是形式演算、任意應用，直到施瓦爾
茲才奠定廣義函數論的嚴整系統。
??? 對于第三次數學危機，有人認為只是數學基礎的危機，與數學無關。這種看法
是片面的。誠然，問題涉及數理邏輯和集合論，但它一開始就牽涉到無窮集合，而
現代數學如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因為如果只考慮有限集合或至多是
可數的集合，那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容，也有許
多問題要涉及無窮的方法，比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看
來，第三次數學危機是一次深刻的數學危機。
1-2 第一次數學危機
??? 從某種意義上來講，現代意義下的數學（也就是作為演繹系統的純粹數學）來
源于古希臘的畢達哥拉斯學派。這個學派興旺的時期為公元前500年左右，它是一
個唯心主義流派。他們重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文
學、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧及規律性。他們認為“萬物皆數”，認
為數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用于現實的世界。數學的知識是由于
純粹的思維而獲得，并不需要觀察、直覺及日常經驗。
??? 畢達哥拉斯的數是指整數，他們在數學上的一項重大發現是證明了勾股定理。
他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發現了一些直角三角形的三
邊比不能用整數來表達，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。這樣一來，就否
定了畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。
??? 不可通約性的發現引起第一次數學危機。有人說，這種性質是希帕索斯約在公
元前400年發現的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已
經知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發現對古希臘的數
學觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由
整數及其比來表示，反之數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，
于是幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。
??? 同時這也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希
臘人開始由“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系，這不能不
說是數學思想上一次巨大革命，這也是第一次數學危機的自然產物。
??? 回顧以前的各種數學，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數學
也是從實際出發，應用到實際問題中去的。比如泰勒斯預測日食，利用影子距離計
算金字塔高度，測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術范圍的。至于埃及、巴
比倫、中國、印度等國的數學，并沒有經歷過這樣的危機和革命，所以也就一直停
留在“算學”階段。而希臘數學則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原
本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。
1-3 第一次數學危機的產物—古典邏輯與歐氏幾何學
??? 亞里士多德的方法論對于數學方法的影響是巨大的，他指出了正確的定義原
理。亞里士多德繼承自己老師柏拉圖的觀念，把定義與存在區分，由某些屬性來定
義的東西可能未必存在(如正九面體)。另外，定義必須用已存在的定義過的東西來
定義，所以必定有些最原始的定義，如點、直線等。而證明存在的方法需要規定和
限制。
??? 亞里士多德還指出公理的必要性，因為這是演繹推理的出發點。他區別了公理
和公設，認為公理是一切科學所公有的真理，而公設則只是某一門學科特有的最基
本的原理。他把邏輯規律(矛盾律、排中律等)也列為公理。
??? 亞里士多德對邏輯推理過程進行深入研究，得出三段論法，并把它表達成一個
公理系統，這是最早的公理系統。他關于邏輯的研究不僅使邏輯形成一個獨立學
科，而且對數學證明的發展也有良好的影響。
??? 亞里士多德對于離散與連續的矛盾有一定闡述。對于潛在的無窮(大)和實在的
無窮(大)加以區別。他認為正整數是潛在無窮的，因為任何整數加上1以后總能得
到一個新的數。但是他認為所謂“無窮集合”是不存在的。他認為空間是潛在無窮
的，時間在延長上是潛在無窮的，在細分上也是潛在無窮的。
??? 歐幾里得的《幾何原本》對數學發展的作用無須在此多談。不過應該指出，歐幾
里得的貢獻在于他有史以來第一次總結了以往希臘人的數學知識，構成一個標準化
的演繹體系。這對數學乃至哲學、自然科學的影響一直延續到十九世紀。牛頓的
《自然哲學的數學原理》和斯賓諾莎的《倫理學》等都采用了歐幾里得《幾何原本》的體例。
??? 歐幾里得的平面幾何學為《幾何原本》的最初四篇與第六篇。其中有七個原始定
義，五個公理和五個公設。他規定了存在的證明依賴于構造。
??? 《幾何原本》在西方世界成為僅次于《圣經》而流傳最廣的書籍。它一直是幾何學
的標準著作。但是它還存在許多缺點并不斷受到批評，比如對于點、線、面的定義
是不嚴格的：“點是沒有部分的對象”，“線是沒有寬度的長度(線指曲線)”，“面是
只有長度和寬度的對象”。顯然，這些定義是不能起邏輯推理的作用。特別是直
線、平面的定義更是從直觀來解釋的(“直線是同其中各點看齊的線”)。
??? 另外，他的公理五是“整體大于部分”，沒有涉及無窮量的問題。在他的證明
中，原來的公理也不夠用，須加上新的公理。特別是平行公設是否可由其他公理、
公設推出更是人所矚目的問題。盡管如此，近代數學的體系特點在其中已經基本上
形成了。
1-4 非歐幾何學的誕生
??? 歐幾里得的《幾何原本》是第一次數學危機的產物。盡管它有種種缺點和毛病，
畢竟兩千多年來一直是大家公認的典范。尤其是許多哲學家，把歐幾里得幾何學擺
在絕對幾何學的地位。十八世紀時，大部分人都認為歐幾里得幾何是物質空間中圖
形性質的正確理想化。特別是康德認為關于空間的原理是先驗綜合判斷，物質世界
必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。
??? 既然是完美的，大家希望公理、公設簡單明白、直截了當。其他的公理和公設
都滿足了上面的這個條件，唯獨平行公設不夠簡明，象是一條定理。
??? 歐幾里得的平行公設是：每當一條直線與另外兩條直線相交，在它一側做成的
兩個同側內角的和小于兩直角時，這另外兩條直線就在同側內角和小于兩直角的那
一側相交。
??? 在《幾何原本》中，證明前28個命題并沒有用到這個公設，這很自然引起人們考
慮：這條啰哩啰嗦的公設是否可由其他的公理和公設推出，也就是說，平行公設可
能是多余的。
??? 之后的二千多年，許許多多人曾試圖證明這點，有些人開始以為成功了，但是
經過仔細檢查發現：所有的證明都使用了一些其他的假設，而這些假設又可以從平
行公設推出來，所以他們只不過得到一些和平行公設等價的命題罷了。
??? 到了十八世紀，有人開始想用反證法來證明，即假設平行公設不成立，企圖由
此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如“有兩條線在無窮遠點處相交，而在交點
處這兩條線有公垂線”等等。在他們看來，這些結論不合情理，因此不可能真實。
但是這些推論的含義不清楚，也很難說是導出矛盾，所以不能說由此證明了平行公設。
??? 從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。
??? 首先，要能從二千年來證明平行公設的失敗過程中看出這個證明是辦不到的
事，并且這種不可能性是可以加以證實的；其次，要選取與平行公設相矛盾的其他
公設，也能建立邏輯上沒有矛盾的幾何。這主要是羅巴切夫斯基的開創性工作。
??? 要認識到歐幾里得幾何不一定是物質空間的幾何學，歐幾里得幾何學只是許多
可能的幾何學中的一種。而幾何學要從由直覺、經驗來檢驗的空間科學要變成一門
純粹數學，也就是說，它的存在性只由無矛盾性來決定。雖說象蘭伯特等人已有這
些思想苗頭，但是真正把幾何學變成這樣一門純粹數學的是希爾伯特。
??? 這個過程是漫長的，其中最主要的一步是羅巴切夫斯基和波耶分別獨立地創立
非歐幾何學，尤其是它們所考慮的無矛盾性是歷史上的獨創。后人把羅氏幾何的無
矛盾性隱含地變成歐氏幾何無矛盾性的問題。這種利用“模型”和證明“相對無矛盾
性”的思想一直貫穿到以后的數學基礎的研究中。而且這種把非歐幾何歸結到大家
一貫相信的歐氏幾何，也使得大家在接受非歐幾何方面起到重要作用。
??? 應該指出，非歐幾何為廣大數學界接受還是經過幾番艱苦斗爭的。首先要證明
第五公設的否定并不會導致矛盾，只有這樣才能說新幾何學成立，才能說明第五公
設獨立于別的公理公設，這是一個起碼的要求。
??? 當時證明的方法是證明“相對無矛盾性”。因為當時大家都承認歐幾里得幾何學
沒有矛盾，如果能把非歐幾何學用歐幾里得幾何學來解釋而且解釋得通，也就變得
沒有矛盾。而這就要把非歐幾何中的點、直線、平面、角、平行等翻譯成歐幾里得
幾何學中相應的東西，公理和定理也可用相應歐幾里得幾何學的公理和定理來解
釋，這種解釋叫做非歐幾何學的歐氏模型。
??? 對于羅巴切夫斯基幾何學，最著名的歐氏模型有意大利數學家貝特拉米于1869
年提出的常負曲率曲面模型；德國數學家克萊因于1871年提出的射影平面模型和彭
加勒在1882年提出的用自守函數解釋的單位圓內部模型。這些模型的確證實了非歐
幾何的相對無矛盾性，而且有的可以推廣到更一般非歐幾何，即黎曼創立的橢圓幾
何學，另外還可以推廣到高維空間上。
??? 因此，從十九世紀六十年代末到八十年代初，大部分數學家接受了非歐幾何
學。盡管有的人還堅持歐幾里得幾何學的獨特性，但是許多人明確指出非歐幾何學
和歐氏幾何學平起平坐的時代已經到來。當然也有少數頑固派，如數理邏輯的締造
者弗雷格，至死不肯承認非歐幾何學，不過這已無關大局了。
??? 非歐幾何學的創建對數學的震動很大。數學家開始關心幾何學的基礎問題，從
十九世紀八十年代起，幾何學的公理化成為大家關注的目標，并由此產生了希爾伯
特的新公理化運動。
1-5 第二次數學危機
??? 早在古代，人們就對長度、面積、體積的度量問題感興趣。古希臘的歐多克斯
引入量的觀念來考慮連續變動的東西，并完全依據幾何來嚴格處理連續量。這造成
數與量的長期脫離。古希臘的數學中除了整數之外，并沒有無理數的概念，連有理
數的運算也沒有，可是卻有量的比例。他們對于連續與離散的關系很有興趣，尤其
是芝諾提出的四個著名的悖論：
??? 第一個悖論是說運動不存在，理由是運動物體到達目的地之前必須到達半路，
而到達半路之前又必須到達半路的半路……如此下去，它必須通過無限多個點，這在
有限長時間之內是無法辦到的。
??? 第二個悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因為烏龜在他前面
時，他必須首先到達烏龜的起點，然后用第一個悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。
這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的。
??? 而第三、第四悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成。第三個悖論是說
“飛矢不動”，因為在某一時問間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因
而是靜止的。第四個悖論是游行隊伍悖論，內容大體相似。這說明希臘人已經看到
無窮小與“很小很小”的矛盾。當然他們無法解決這些矛盾。
??? 希臘人雖然沒有明確的極限概念，但他們在處理面積體積的問題時，卻有嚴格
的逼近步驟，這就是所謂“窮竭法”。它依靠間接的證明方法，證明了許多重要而難
證的定理。
??? 到了十六、十七世紀，除了求曲線長度和曲線所包圍的面積等類問題外，還產
生了許多新問題，如求速度、求切線，以及求極大、極小值等問題。經過許多人多
年的努力，終于在十七世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科，這也就是
數學分析的開端。
??? 牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在于：1，把各種
問題的解法統一成一種方法，微分法和積分法；2，有明確的計算微分法的步驟；
3．微分法和積分法互為逆運算。
??? 由于運算的完整性和應用范圍的廣泛性，使微積分成為解決問題的重要工具。
同時關于微積分基礎的問題也越來越嚴重。以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當Δt
趨向于零時的值。Δt是零、是很小的量，還是什么東西，這個無窮小量究竟是不是
零。這引起了極大的爭論，從而引發了第二次數學危機。
??? 十八世紀的數學家成功地用微積分解決了許多實際問題，因此有些人就對這些
基礎問題的討論不感興趣。如達朗貝爾就說，現在是“把房子蓋得更高些，而不是
把基礎打得更加牢固”。更有許多人認為所謂的嚴密化就是煩瑣。
??? 但也因此，微積分的基礎問題一直受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是
貝克萊主教在1734年的攻擊。
??? 十八世紀的數學思想的確是不嚴密的、直觀的、強調形式的計算，而不管基礎
的可靠與否，其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，因此導數、微分、積分等概念
不清楚；對無窮大的概念也不清楚；發散級數求和的任意性；符號使用的不嚴格
性；不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及可否展成冪級數等等。
??? 一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注于微積分的嚴格基礎。
它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉
斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數
學分析奠定了一個嚴格的基礎。
??? 波爾查諾不承認無窮小數和無窮大數的存在，而且給出了連續性的正確定義。
柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量開始，認識到函數不一定要有解析表
達式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，
并定義了導數和積分；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；狄里克萊給出
了函數的現代定義。
??? 在這些數學工作的基礎上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在
通用的ε - δ的極限、連續定義，并把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基
礎上，從而克服了危機和矛盾。
??? 十九世紀七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數
理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析終于
建立在實數理論的嚴格基礎之上了。
??? 同時，威爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續函數的例子。這個發現以及后
來許多病態函數的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的
概念及推理。由此，第二次數學危機使數學更深入地探討數學分析的基礎——實數論
的問題。這不僅導致集合論的誕生，并且由此把數學分析的無矛盾性問題歸結為實
數論的無矛盾性問題，而這正是二十世紀數學基礎中的首要問題。
第二章：第三次數學危機產生的背景
??? 第三次數學危機產生于十九世紀末和二十世紀初，當時正是數學空前興旺發達
的時期。首先是邏輯的數學化，促使了數理邏輯這門學科誕生。
??? 十九世紀七十年代康托爾創立的集合論是現代數學的基礎，也是產生危機的直
接來源。十九世紀末，戴德金及皮亞諾對算術及實數理論進行公理化，推動了公理
化運動。而公理化運動的最大成就則是希爾伯特在1899年對于初等幾何的公理化。
??? 公理化方法是現代數學最重要的方法之一，對于數學基礎和數理邏輯的研究也
有影響。當時也是現代數學一些新分支興起的時期，如抽象代數學、點集拓撲學和
代數拓撲學、泛函分析、測度與積分理論等學科。這些學科的發展一直與數學基礎
及數理邏輯的發展有著密切的關系。數學的更新與發展也對數學哲學有許多新的探
討，數學的陳腐哲學觀念在當時已經幾乎一掃而空了。
2-1 數學符號化的擴充：數理邏輯的興起
??? 數學的主要內容是計算和證明。在十七世紀，算術因符號化促使了代數學的產
生，代數使計算變得精確和方便，也使計算方法系統化。費爾馬和笛卡兒的解析幾
何把幾何學代數化，大大擴展了幾何的領域，而且使得少數天才的推理變成機械化
的步驟。這反映了代數學作為普遍科學方法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數
化。與笛卡兒同時代的英國哲學家霍布斯也認為推理帶有計算性質，不過他并沒有
系統地發展這種思想。
??? 現在公認的數理邏輯創始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數”，其
中把一切推理都化歸為計算。實際上這正是數理邏輯的總綱領。他希望建立一套普
遍的符號語言，其中的符號是表義的，這樣就可以象數字一樣進行演算，他的確將
某些命題形式表達為符號形式，但他的工作只是一個開頭，大部分沒有發表，因此
影響不大。
??? 真正使邏輯代數化的是英國數學家布爾，他在1847年出版了《邏輯的數學分
析》，給出了現代所謂的“布爾代數”的原型。布爾確信符號化會使邏輯變得嚴密。
他的對象是事物的類，1表示全類，0表示空類；xy表示x和y的共同分子所組成的
類，運算是邏輯乘法；x＋y表示x和y兩類所合成的類，運算是邏輯加法。
??? 所以邏輯命題可以表示如下：凡x是y可以表示成x(1－y)＝0；沒有x是y可以表
示成xy＝0。它還可以表示矛盾律 x(1－x)＝0；排中律x＋(1－x)＝1。
??? 布爾看出類的演算也可解釋為命題的演算。當x、y不是類而是命題，則x＝1表
示的是命題 x為真，x＝0表示命題x為假，1－x表示x的否定等等。顯然布爾的演算
構成一個代數系統，遵守著某些規律，這就是布爾代數。特別是它遵從德·莫爾根
定律。
??? 美國哲學家、數學家小皮爾斯推進了命題演算，他區別了命題和命題函數。一
個命題總是真的或假的，而一個命題函數包含著變元，隨著變元值選取的不同，它
可以是真也可以是假。皮爾斯還引進了兩個變元的命題函數以及量詞和謂詞的演算。
??? 對現代數理邏輯貢獻最大的是德國耶拿大學教授、數學家弗雷格。弗雷格在
1879年出版的《概念文字》一書中不僅完備地發展了命題演算，而且引進了量詞概念
以及實質蘊涵的概念，他還給出一個一階謂詞演算的公理系統，這可以說是歷史上
第一個符號邏輯的公理系統。因此在這本只有88頁的小冊子中，包含著現代數理邏
輯的一個頗為完備的基礎。
??? 1884年，弗雷格的《算術基礎》出版，后來又擴展成《算術的基本規律》。不過由
于他的符號系統煩瑣復雜，從而限制了它的普及，因此在十九世紀時，他的著作流
傳不廣。后來由于羅素的獨立工作，才使得弗雷格的工作受到重視。
??? 用符號語言對數學進行公理化的是意大利數學家皮亞諾，他在1889年用拉丁文
寫了一本小冊子《用新方法陳述的算術原理》。在這之前，皮亞諾已經把布爾和施羅
德的邏輯用在數學研究上，并且引進了一系列對于他前人工作的更新。例如對邏輯
運算和數學運算使用不同的符號，區別范疇命題和條件命題，這引導他得出量詞理論。
??? 這些改進都是對于布爾和施羅德理論的改進，而不是對弗雷格理論的改進，因
為當時皮亞諾還不知道弗雷格的工作。在《算術原理》中，他在引進邏輯概念相公式
之后，開始用符號的記法來重寫算術，在這本書中他討論了分數、實數、甚至極限
和點集論中的概念。
??? 皮亞諾引進最原始的算術概念是“數”“1”“后繼”和“等于”，并且陳述了關于這
些概念的九條公理。今天我們認為其中公理2、3、4、5都是討論恒等的，應該屬于
邏輯公理，所以就剩下了五條公理。這就是現在眾所周知的皮亞諾公理。最后一條
公理即公理9，就是所謂數學歸納法原理，他用類的詞句來表述，其中包含一個類
變元。皮亞諾承認他的公理化來自戴德金。
??? 從1開始，皮亞諾用x＋1來表示后繼函數。然后作為定義引進了加法和乘法。
這些定義是遞歸的定義。雖然在他的系統中，皮亞諾沒有象戴德金那樣有力的定理
可資利用，但皮亞諾并沒有公開地宣稱這些定義可以去掉。
??? 這本書的邏輯部分還列出命題演算的公式，類演算的公式，還有一部分量詞的
理論。皮亞諾的符號要比布爾和施羅德的符號高明得多，標志著向近代邏輯的重要
轉變。他還對于命題的演算和類演算做了某些區別。這就是我們現在的兩種不同演
算，而不是同一種演算的兩種不同解釋。它的普遍量詞記號是新的，而且是便利的。
??? 不過書里還是存在缺點，如公式只是列出來的，而不是推導出來的；因為沒有
給出推導規則，皮亞諾引進了代入規則的概念，但是也沒有給出任何規則；更嚴重
的是他沒有給出任何分離規則，結果盡管他的系統有許多優點，但他沒有可供使用
的邏輯。一直到后來，他才在一系列文章，特別是1895年發表的《數學論集》中，對
這些邏輯公式進行了證明。然而他這些證明還是缺少推演規則，在這方面他受到了
弗雷格的批評。后來皮亞諾盡力想比弗雷格的《概念文字》有更多的內容，但是他做
得并不夠。不過他的這些著作在數學界仍有很大影響，得到廣泛的傳播。
??? 2.1.1 命題演算
??? 邏輯演算是數理邏輯的基礎，命題演算是邏輯演算最基本的組成部分。命題演
算研究命題之間的關系，比如簡單命題和復雜命題之間的關系，簡單命題如何構成
復雜命題，由簡單命題的真假如何推出復雜命題的真假等等。對于具體命題，我們
不難通過機械運算來達到我們的目的，這就是命題的算術。
??? 對于命題演算最早是由美國邏輯學家波斯特在1921年給出證明的，他的證明方
法是把命題化為標準形式—合取范式。教科書中常見的證明是匈牙利數學家卡爾馬
給出的。除了這些構造性證明之外，還有用布爾代數的非構造性證明。
??? 2.1.2 一階謂詞演算
??? 在命題演算中，形式化的對象及演算的對象都是語句。但是，在數學乃至一般
推理過程中，許多常見的邏輯推理并不能建立在命題演算的基礎上。例如：1．張
三的每位朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友，所以王五不是張三的朋友。
因此，我們必須深入到語句的內部，也就是要把語句分解為主語和謂語。
??? 謂詞演算要比命題演算范圍寬廣得多，這由變元也可以反映出來。命題演算的
變元只是語句或命題，而謂詞演算的變元有三類：個體變元、命題變元、謂詞變
元。由于謂詞演算中有全稱量詞和存在量詞，在這些量詞后面的變化稱為約束變
元，其他變元稱為自由變元。最簡單的謂詞演算是狹義謂詞演算，現在通稱一階謂
詞演算。
??? 謂詞演算中的普遍有效公式與命題演算中的重言式還是有差別的。我們有行之
有效的具體方法來判定一個公式是不是重言式。這種方法每一步都有明確的規定，
并且可以在有限步內完成，這種方法我們稱為能行的。但是在謂詞演算中，并沒有
一種能行的方法來判定任何一個公式是否普遍有效的。這就需要尋找一種能行的方
法來判定某個具體公式或一類公式是否普遍有效，這就是所謂判定問題。它是數理
邏輯中最主要的問題之一。
??? 一階謂詞演算的普遍有效公式也有一個公理系統。另外，同樣也有代入規則及
推理規則。另外，還有約束變元改字規則等變形規則。在謂詞演算中也可以將每一
個公式通過變形規則化為標準形式。其中最常用的是所謂前束范式，也就是公式中
所有的量詞都放在最前面，而且還可以把前束范式進一步化成斯科蘭路范式，它不
但具有前束范式的形狀，而且每一個存在量詞都在所有全稱量詞之前。
??? 利用范式可以解決許多問題，最重要的是哥德爾證明的一階謂詞演算的公理系
統的完全性定理，即可以證明：公式A在公理系統中可以證明的當且僅當A是普遍有
效的。同樣，一階謂詞演算的公理系統也是協調(無矛盾)的、相獨立的。1936年丘
奇和圖林獨立的證明一階謂詞演算公式的一般判定問題不可解問題，可以變為去解
決具有特殊形式的范式公式的判定問題。
??? 2.1.3 其他邏輯演算
??? 邏輯演算系統很多，命題演算應該說來源于布爾，布爾的系統是非真即假的二
值系統。真值大于2的邏輯系統稱為多值邏輯。多值邏輯首先由波蘭數學家盧卡西
維茨在1920年引進，波斯特在1921年也獨立地引進。多值邏輯有著廣泛的應用，在
二十世紀七十年代，國際上就曾多次召開專門的多值邏輯會議。
??? 另一種常見的邏輯是模態邏輯，它是美國邏輯學家劉易斯在1918年引進的。他
考慮的不是實質蘊涵而是嚴格蘊涵。另外，他在邏輯中也考慮所謂必要性與可能性
等問題，引進著名的模態算子，這是直觀可能性的形式化。
??? 還有一個包括古典邏輯演算的公理系統，即直覺主義公理系統，其中否定排中
律，它是荷蘭數學家海丁于1930年引進的。它雖因直覺主義而得名，但是可以得到
其他的解釋，在現代數理邏輯的研究中十分重要。
??? 在數理邏輯的研究中，狹義謂詞演算是最重要的。狹義謂詞演算也稱一階謂詞
演算，許多人默認數學中所用的邏輯通用為一階謂詞演算。但是，許多涉及數學問
題的邏輯演算必須加進有關等號的謂詞，稱為具等式的一階謂詞演算。這是現在最
常用的一種邏輯系統，在研究算術系統中就要用到它。
??? 但是，即使象實數的算術系統，一階謂詞演算也是不夠的，更何況現代數學中
涉及集合的子集，因此一階謂詞演算是不足以表達的。這時需要二階謂詞演算乃至
高階謂詞演算，其中首先出現的是謂詞變元。
??? 不過，在現代數理邏輯的研究中，常常通過其它方式推廣一階謂詞演算。比如
一種常用的“無窮”邏輯允許無窮公式，即公式中容許可數多合取或析取，不過量詞
仍限制為有限多。這種無窮邏輯現在在集合論、遞歸論、模型論當中是必不可少
的。另外一種推廣一階謂詞演算的途徑是引進新的量詞，比如“存在許多……”。
??? 邏輯系統比數學系統更不統一，各人用的系統在細節上有許多不同，而且同一
概念也用不同的符號來表示。第一套是弗雷格自己系統運用的，但是連他的后繼者
也不用這套極不方便的符號系統。第二套是皮亞諾首先在《數學論集》提出的，后經
羅素和懷特海在《數學原理》中使用。一般文獻通用的都是這種符號系統的改進形
式，如希爾伯特和他的學生們采用的也屬于這一套。第三套是盧卡西維茨使用的，
后來也有人用，如普瑞爾在《形式邏輯》中就加以來用。
第二章：第三次數學危機產生的背景（下）
2、尋找數學的基礎：集合論的創立
2.1? 集合論的創立和傳播
??? 集合論的創立者格奧爾格·康托爾，1845年3月3日出生于俄國圣彼得堡(前蘇聯
列寧格勒)一個商人家庭。他在中學時期就對數學感興趣。1862年，他到蘇黎世上
大學，1863年轉入柏林大學。
??? 當時柏林大學正在形成一個數學教學與研究的中心，他在1867年的博土論文中
就已經反映出“離經叛道”的觀點，他認為在數學中提問的藝術比起解法來更為重
要。的確，他原來的成就并不總是在于解決間題，他對數學的獨特貢獻在于他以特
殊提問的方式開辟了廣闊的研究領域。他所提出的問題一部分被他自己解決，一部
分被他的后繼者解決，一些沒有解決的問題則始終支配著某一個方向的發展，例如
著名的連續統假設。
??? 1869年康托爾取得在哈勒大學任教的資格，不久就升為副教授，并在1879年升
為教授，他一直到去世都在哈勒大學工作。哈勒是一個小地方，而且薪金微薄。康
托爾原來希望在柏林找到一個薪金較高、聲望更大的教授職位，但是在柏林，那位
很有勢力而且又專橫跋扈的克洛耐克處處跟他為難，阻塞了他所有的道路。原因是
克洛耐克對于他的集合論，特別是他的“超窮數”觀點持根本否定的態度。由于用腦
過度和精神緊張，從1884年起，他不時犯深度精神抑郁癥，常常住在療養院里。
1918年1月6日他在哈勒大學附近的精神病院中去世。
??? 集合論的誕生可以說是在1873年年底。1873年11月，康托爾在和戴德金的通信
中提出了一個問題，這個問題使他從以前關于數學分析的研究轉到一個新方向。他
認為，有理數的集合是可以“數”的，也就是可以和自然數的集合成一對一的對應。
但是他不知道，對于實數集合這種一對一的對應是否能辦到。他相信不能有一對一
的對應，但是他“講不出什么理由”。
??? 不久之后，他承認他“沒有認真地考慮這個問題，因為它似乎沒有什么價值”。
接著他又補充一句，“要是你認為它因此不值得再花費力氣，那我就會完全贊同”。
可是，康托爾又考慮起集合的映射問題來。很快，他在1873年12月7日又寫信給戴
德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的了，這一天可以看成是集合論
的誕生日。
??? 戴德金熱烈的祝賀了康托爾取得的成功。其間，證明的意義也越來越清楚。因
為康托爾還成功地證明代數數的集合也是可數的。所謂代數數就是整系數代數方程
的根，而象π與e這樣的不能成為任何整系數代數方程的根的數，則稱為超越數。
??? 早在1847年，劉維爾就通過構造的方法（當時大家認為是唯一可接受的方法）
證明了超越數的存在，也就是具體造出超越數來。可是，康托爾1874年發表的有關
集合論的頭一篇論文《論所有實代數集合的一個性質》斷言，所有實代數數的集合是
可數的，所有實數的集合是不可數的。因此，非代數數的超越數是存在的，并且其
總數要比我們熟知的實代數數多得多，也就是說超越數的集合也是不可數的。
??? 康托爾的這種證明是史無前例的。他連一個具體的超越數都沒有舉出來，就
“信口開河”的說超越數存在，而且比實代數數的“總數”多得多，這怎么能不引起當
時數學家的懷疑甚至憤怒呢？
??? 其實，康托爾的著作主要是證明了無窮之間也有差別，既存在可數的無窮，也
存在那種像實數集合那樣不可數的、具有“連續統的勢”的無窮。過去數學家認為靠
得住的只有有限，而無窮最多只是模模糊糊的一個記號。而康托爾把無窮分成許多
“層次”，這真有點太玄乎了。
??? 1878年，康托爾發表了集合論第二篇文章，其中把隱含在1847年文章中的“一
一對應”概念提出來，作為判斷兩個集合相同或不同的基礎，這就是最原始的等價
觀念。而兩個集合相互之間如果能夠一一對應就稱為等勢，勢的概念于是應運而生。
??? 從1879年到1884年，康托爾發表了題為“論無窮線性點集”的一系列文章，共有
六篇，這些文章奠定了新集合論的基礎。特別是在1883年的文章中引進生成新的超
窮數概念，并且提出了所謂連續統假設，即可數基數后面緊接著就是實數基數。他
相信這個假設正確，但沒能證明。這個假設對于二十世紀數學基礎的發展起著極其
重大的作用。
??? 康托爾最后的集合論著作是1895年和1897年發表的兩篇文章，其中最重要的是
引進“序型”的概念，并定義相應的序數。這個時期，反對集合論的勢力逐漸削弱，
但是集合論的內在矛盾已經開始暴露出來了。
??? 康托爾自己最早發現了集合論的內在矛盾。他在1895年文章中遺留下兩大問題
未解決：一個是連續統假設，另一個是所有超窮基數的可比較性。他雖然認為無窮
基數有最小數但沒有最大數，但沒有明顯敘述其矛盾之處。
??? 第一個發表集合論悖論的是意大利數學家布拉里·福蒂，他指出所有序數的集
合這個概念的內在矛盾，但是當時認為這也許能夠補救。一直到1903年羅素發表他
的著名悖論，集合論的內在矛盾才突出出來，并成為二十世紀集合論和數學基礎研
究的出發點。
??? 康托爾的集合論是數學上最具有革命性的理論，因此它的發展道路自然很不平
坦。在當時，占統治地位的觀念是：你要證明什么，你就要具體造出什么來。因
此，人們只能從具體的數或形出發，一步一步經過有限多步得出結論來。至于“無
窮”的世界，即完全是超乎人的能力之外，決不是人所能掌握和控制得了的。
??? 反對集合論最激烈的克洛耐克認為只有他研究的數論及代數才最可靠。他有一
句著名的話：“上帝創造了正整數，其余的是人的工作”。他認為除了由數經過有限
多步推出的事實，其他一概無效。他甚至認為圓周率 π都不存在，證明 π是超越數
也毫無意義。當時柏林是世界數學的中心之一，克洛耐克又是柏林學派的領袖人
物，因此他對集合論發展的阻礙作用是非常大的。克洛耐克在1891年去世之后，阻
力一下子減少了，康托爾發揮出自己的組織才能，積極籌建德國數學聯合會(1891
年成立)以及國際數學家大會(1897年第一屆大會在蘇黎世召開)，給集合論獲得承
認鋪平了道路。
??? 另—方面，許多大數學家支持康托爾的集合論。除了戴德金以外，瑞典的數學
家米太格－萊夫勒在自己創辦的國際性數學雜志“數學學報”(1882年創刊)上，把康
托爾集合論的論文譯成法文轉載，從而大大促進了集合論在國際上的傳播。柏林大
學教授威爾斯持拉斯也是集合論的同情者，為了捍衛集合論而勇敢戰斗的則是希爾
伯特。
??? 從此，圍繞集合論形成了二十世紀初關于數學基礎的大論戰。
2.2? 集合論簡介
??? 有限和無窮的這個特點可以從下面的小故事反映出來，這個故事據說是希爾伯
特說的。
??? 某一個市鎮只有一家旅館，這個旅館與通常旅館沒有不同，只是房間數不是有
限而是無窮多間，房間號碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。這個
旅館的房間可排成一列的無窮集合(1，2，3，4，…)，稱為可數無窮集。
??? 有一天開大會，所有房間都住滿了。后來來了一位客人，堅持要住房間。旅館
老板于是引用“旅館公理”說：“滿了就是滿了，非常對不起！”。正好這時候，聰明
的旅館老板的女兒來了，她看見客人和她爸爸都很著急，就說：“這好辦，請每位
顧客都搬一下，從這間房搬到下一間”。于是1號房間的客人搬到2號房間，2號房間
的客人搬到3號房間……依此類推。最后1號房間空出來，請這位遲到的客人住下了。
??? 第二天，希爾伯特旅館又來了一個龐大的代表團要求住旅館，他們聲稱有可數
無窮多位代表一定要住，這又把旅館經理難住了。老板的女兒再一次來解圍，她
說：“您讓1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號，
這樣，1號，3號，5號，……房間就都空出來了，代表團的代表都能住下了。”
??? 過一天，這個代表團每位代表又出新花招，他們想每個人占可數無窮多間房來
安排他們的親戚朋友，這回不僅把老板難住了，連女兒也被難住了。聰明的女兒想
了很久，終于也想出了辦法。（因為比較繁瑣，這里不詳細介紹了）
??? 希爾伯特旅館越來越繁榮，來多少客人都難不閱聰明的老板女兒。后來女兒進
了大學數學系。有一天，康托爾教授來上課，他問：“要是區間[0，1]上每一點都
占一個房間，是不是還能安排？”她絞盡腦汁，要想安排下，終于失敗了。康托爾
教授告訴她，用對角線方法證明一切想安排下的方案都是行不通的。
??? 由康托爾的定理，可知無窮集合除了可數集臺之外還有不可數集合，可以證
明：不可數集合的元素數目要比可數集合元素數目多得多。為了表示元素數目的多
少，我們引進“基數”也稱“勢”的概念，這個概念是自然數的自然推廣。可以與自然
數集合N一一對應的所有集合的共同性質是它們都具有相同的數目，這是最小的無
窮基數記做ω。（ω是希伯來文字母第一個，讀做阿列夫)。同樣，連續統(所有實數
或[0，1]區間內的所有實數集合)的基數是C。康托爾還進一步證明，C＝2ω。，問
題是C是否緊跟著ω。的第二個無窮基數呢？這就是所謂連續統假設。
3、數學的公理化
??? 十九世紀末到二十世紀初，數學已發展成為一門龐大的學科，經典的數學部門
已經建立起完整的體系：數論、代數學、幾何學、數學分析。數學家開始探訪一些
基礎的問題，例如什么是數？什么是曲線？什么是積分？什么是函數？……另外，怎
樣處理這些概念和體系也是問題。
??? 經典的方法一共有兩類。一類是老的公理化的方法，不過非歐幾何學的發展，
各種幾何學的發展暴露出它的許多毛病；另一類是構造方法或生成方法，這個辦法
往往有局限性，許多問題的解決不能靠構造。尤其是涉及無窮的許多問題往往靠邏
輯、靠反證法、甚至靠直觀。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是無法
斷定的。
??? 對于基礎概念的分析研究產生了一系列新領域—抽象代數學、拓撲學、泛函分
析、測度論、積分論。而在方法上的完善，則是新公理化方法的建立，這是希爾伯
特在1899年首先在《幾何學基礎》中做出的。
3.1? 初等幾何學的公理化
??? 十九世紀八十年代，非歐幾何學得到了普遍承認之后，開始了對于幾何學基礎
的探討。當時已經非常清楚，歐幾里得體系的毛病很多：首先，歐幾里得幾何學原
始定義中的點、線、面等不是定義；其次，歐幾里得幾何學運用許多直觀的概念，
如“介于……之間”等沒有嚴格的定義；另外，對于公理系統的獨立性、無矛盾性、完
備性沒有證明。
???? 在十九世紀八十年代，德國數學家巴士提出一套公理系統，提出次序公理等
重要概念，不過他的體系中有的公理不必要，有些必要的公理又沒有，因此他公理
系統不夠完美。而且他也沒有系統的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通過
理想元素的引進，把度量幾何包括在射影幾何之中。
??? 十九世紀八十年代末期起，皮亞諾和他的學生們也進行了一系列的研究。皮亞
諾的公理系統有局限性；他的學生皮埃利的“作為演繹系統的幾何學”(1899)，由于
基本概念太少(只有“點”和“運動”)而把必要的定義和公理弄得極為復雜，以致整個
系統的邏輯關系極為混亂。
??? 希爾伯特的《幾何學基礎》的出版，標志著數學公理化新時期的到來。希爾伯特
的公理系統是其后一切公理化的楷模。希爾伯特的公理化思想極深刻地影響其后數
學基礎的發展，他這部著作重版多次，已經成為一本廣為流傳的經典文獻了。
??? 希爾伯特的公理系統與歐幾里得及其后任何公理系統的不同之處，在于他沒有
原始的定義，定義通過公理反映出來。這種思想他在1891年就有所透露。他說：
“我們可以用桌子、椅子、啤酒杯來代替點、線、面”。當然，他的意思不是說幾何
學研究桌、椅、啤酒懷，而是在幾何學中，點、線、面的直觀意義要拋掉，應該研
究的只是它們之間的關系，關系由公理來體現。幾何學是對空間進行邏輯分析，而
不訴諸直觀。
??? 希爾伯特的公理系統包括二十條公理，他把它們分為五組：第一組八個公理，
為關聯公理（從屬公理）；第二組四個公理，為次序公理；第三組五個公理；第四
組是平行公理；第五組二個，為連續公理。
??? 希爾伯特在建立公理系統之后，首要任務是證明公理系統的無矛盾性。這個要
求很自然，否則如果從這個公理系統中推出相互矛盾的結果來，那么這個公理系統
就會毫無價值。希爾伯特在《幾何學基礎》第二章中證明了他的公理系統的無矛盾
性。這次，他不能象非歐幾何那樣提出歐氏模型，他提出的是算術模型。
??? 實際上，由解析幾何可以把點解釋為三數組(可以理解為坐標(x、y、z))，直
線表示為方程，這樣的模型不難證明是滿足所有20個公理的。因此，公理的推論若
出現矛盾，則必定在實數域的算術中表現出來。這就把幾何學公理的無矛盾性變成
實數算術的無矛盾性。
??? 其次，希爾伯特考慮了公理系統的獨立性，也就是說公理沒有多余的。一個公
理如果由其他公理不能推出它來，它對其他公理是獨立的。假如把它從公理系統中
刪除，那么有些結論就要受到影響。希爾伯特證明獨立性的方法是建造模型，使其
中除了要證明的公理(比如說平行公理)之外其余的公理均成立，而且該公理的否定
也成立。
??? 由于這些公理的獨立性和無矛盾性，因此可以增減公理或使其中公理變為否
定，并由此得出新的幾何學。比如平行公理換成其否定就得到非歐幾何學；阿基米
德公理（大意是一個短線段經過有限次重復之后，總可以超出任意長的線段）換成
非阿基米德的公理就得到非阿基米德幾何學。希爾伯特在書中詳盡地討論了非阿基
米德幾何學的種種性質。
??? 希爾伯特對初等幾何公理的無矛盾性是相對于實數的無矛盾性，因此自然要進
一步考慮實數系的公理化及其無矛盾性，于是首當其沖的問題是算術的公理化。
3.2? 算術的公理化
??? 數學，顧名思義是一門研究數的科學。自然數和它的計算——算術是數學最明顯
的出發點。歷史上不少人認為，所有經典數學都可以從自然數推導出來。可是，一
直到十九世紀末，卻很少有人解釋過什么是數？什么是0？什么是1？這些概念被認
為是最基本的概念，它們是不是還能進一步分析，這是一些數學家關心的問題。因
為一旦算術有一個基礎，其他數學部門也就可以安安穩穩建立在算術的基礎上。
??? 什么東西可以做為算術的基礎呢？在歷史上有三種辦法：康托爾的基數序數理
論，他把自然數建立在集合論的基礎上，并把自然數向無窮推廣；弗雷格和羅素把
數完全通過邏輯詞匯來定義，把算術建立在純邏輯的基礎上；用公理化的方法通過
數本身的性質來定義，其中最有名的是皮亞諾公理。
??? 在皮亞諾之前，有戴德金的公理化定義。他的方法是準備向有理數、實數方面
推廣，為數學分析奠定基礎。他們也都注意到邏輯是基礎，但都有非邏輯公理。
??? 1888年，戴德金發表《什么是數，什么是數的目的？》一文，闡述他的數學觀
點。他把算術(代數、分析)看成邏輯的一部分，數的概念完全不依賴人對空間、時
間的表象或直覺。他說“數是人類心靈的自由創造，它們做為一個工具，能使得許
許多多事物能更容易、更精確地板掌握”。而創造的方法正是通過邏輯。他的定義
是純邏輯概念——類(System)，類的并與交，類之間的映射，相似映射(不同元素映
到不同元素)等等。通過公理定義，戴德金證明數學歸納法。但是他沒有能夠直接
從純邏輯名詞來定義數。
??? 1889年，皮亞諾發表他的《算術原理：新的論述方法》，其中明顯地做了兩件
事：第一，把算術明顯地建立在幾條公理之上；第二，公理都用新的符號來表達。
后來皮亞諾刻劃數列也同弗雷格一樣是從0開始，但是他對數的概念也同戴德金一
樣，是考慮序數。
??? 皮亞諾的興趣主要在于清楚地表述了數學結果，他編制的數理邏輯符號（1894
年發表于《數學論集》）也主要是如此，而不是為了哲學分析。1900年羅素從皮亞諾
學習這套符號之后，才對邏輯、哲學同時也對數學產生了巨大沖擊。
??? 從1894年到1908年，皮亞諾接連五次出版了《數學論集》的續集，每一次都把他
提出的五個公理(只是用0代1)作為算術的基礎。但是皮亞諾除了邏輯符號之外，還
有其他三個基本符號，即：數、零、后繼。因此，他還不象弗雷格及羅素那樣把數
完全建立在邏輯基礎上。
??? 他的公理系統也是有毛病的,特別是第五公理涉及所有性質，因此須要對性質
或集合有所證明。有人把它改為可數條公理的序列，這樣一來，由公理系所定義的
就不單純是自然數了。斯科蘭姆在1934年證明，存在皮亞諾公理系統購非標準模
型，這樣就破壞了公理系統的范疇性。
3.3? 其他數學對象的公理化
??? 在十九世紀末到二十世紀初的公理化浪潮中，一系列數學對象進行了公理化，
這些公理化一般在數學中進行。例如由于解代數方程而引進的域及群的概念，在當
時都是十分具體的，如置換群。只有到十九世紀后半葉，才逐步有了抽象群的概念
并用公理刻劃它。群的公理由四條組成，即封閉性公理、兩個元素相加(或相乘)仍
對應唯一的元素、運算滿足結合律、有零元素及逆元素存在。
??? 群在數學中是無處不在的，但是抽象群的研究一直到十九世紀末才開始。當
然，它與數理邏輯有密切的關系。有理數集體、實數集體、復數集體構成抽象域的
具體模型，域的公理很多。另外，環、偏序集合、全序集合、格、布爾代數，都已
經公理化。
??? 另一大類結構是拓撲結構，拓撲空間在1914年到1922年也得到公理化，泛函分
析中的希爾伯特空間，巴拿赫空間也在二十年代完成公理化，成為二十世紀抽象數
學研究的出發點。在模型論中，這些數學結構成為邏輯語句構成理論的模型。
第三章：悖論及其解決方案
1、一連串悖論的出現
??? 羅素的悖論以其簡單明確震動了整個數學界，造成第三次數學危機。但是，羅
素悖論并不是頭一個悖論。老的不說，在羅素之前不久，康托爾和布拉里·福蒂已
經發現集合論中的矛盾。羅素悖論發表之后，更出現了一連串的邏輯悖論。這些悖
論使入聯想到古代的說謊者悖論。即“我正在說謊”，“這句話是謊話”等。這些悖論
合在一起，造成極大問題，促使大家都去關心如何解決這些悖論。
??? 頭一個發表的悖論是布拉里·福蒂悖論，這個悖論是說，序數按照它們的自然
順序形成一個良序集。這個良序集合根據定義也有一個序數Ω，這個序數Ω由定義應
該屬于這個良序集。可是由序數的定義，序數序列中任何一段的序數要大于這段之
內的任何序數，因此Ω應該比任何序數都大，從而又不屬于Ω。這是布拉里·福蒂
1897年3月28日在巴洛摩數學會上宣讀的一篇文章里提出的。這是頭一個發表的近
代悖論，它引起了數學界的興趣，并導致了以后許多年的熱烈討論。有幾十篇文章
討論悖論問題，極大地推動了對集合論基礎的重新審查。
??? 布拉里·福蒂本人認為這個矛盾證明了這個序數的自然順序只是一個偏序，這
與康托爾在幾個月以前證明的結果序數集合是全序相矛盾，后來布拉里·福蒂在這
方面并沒有做工作。
??? 羅素在他的《數學的原理》中認為，序數集雖然是全序，但并非良序，不過這種
說法靠不住，因為任何給定序數的初始一段都是良序的。法國邏輯學家茹爾丹找到
—條出路，他區分了相容集和不相容集。這種區分實際上康托爾已經私下用了許多
年了。不久之后，羅素在1905年一篇文章中對于序數集的存在性提出了疑問，策梅
羅也有同樣的想法，后來的許多人在這個領域都持有同樣的想法。
??? 布拉里·福蒂文章中對良序集有一個錯誤的概念，這個概念是康托爾1883年引
進來的，但—直沒有受到什么重視。1887年8月，在布拉里·福蒂的文章發表以后，
阿達馬在第一次國際數學家大會上仍然給出了一個錯誤的良序集的定義。因為布拉
里．福蒂所考慮的關于良序集的概念太弱了，他不得不引進自己的完全序。這兩個
概念并不一致，每一個良序集是完全序集，但是反過來不對。布拉里·福蒂很快就
認識到他的錯誤，他在1897年10月的一篇文章中指出這兩個概念的不同，但是他沒
有重新檢查自己的證明。一直到1906年初他給庫圖拉的—封信中，他似乎還認為：
一旦良序集和完全序集的區別被人們認識到，在他的文章中揭示的矛盾就會消除。
??? 康托爾1899年7月28日給戴德金的信中，談到布拉里·福蒂所提到的矛盾，這個
矛盾并沒有導致康托爾放棄集合的良序性，而放棄了它的集合性。他把集合分為兩
類：相容集合和不相容集合，而只把前者叫做集合。這種區分法預示了馮·諾依曼
在1925年引進的集合和類的區別。但是康托爾對于這種區分的判斷標準仍然是不精
確的。如果我們把一個集體考慮為一個對象而沒有矛盾，它是一個集合。這個想法
后來改進為：當一個集體是另一個集體的元素，它是一個集合。
??? 這種相容集體和不相容集體的區別早已被施羅德引進來。他認為如果集體的元
素彼此是相容的，它是相容的；而如果集體的元素彼此是不相容的，它是不相容
的。有趣的是施羅德引進的這種區分和悖論沒有關系，因為這種現代形式的悖論當
時還不知道。康托爾關于集體的敘述——兩個等價的集體或者都是集合，或者都是不
相容的，可以看成是取代公理的最早的表述。這個公理是弗蘭克爾和斯科蘭姆在
1922年提出的。
??? 布拉里·福蒂的悖論揭示了康托爾集合論的矛盾。其實，康托爾本人在這之前
已經意識到集合論的內在矛盾。他在1899年7月28日給戴德金的信中指出，不能談
論由一切集合構成的集合，否則就會陷入矛盾。這實際上就是羅素悖論的內容。
??? 康托爾最大基數悖論和布拉里·福蒂悖論到羅素悖論都是集合論悖論，它們直
接同康托爾樸素集合論的不嚴格性有關。毛病出在集合的定義上，也就是任何性質
就對應一個具有這種性質的集合，這就是所謂內函公理組。集合論的這種矛盾必須
通過削弱這個錯誤的公理組才能解決。
??? 羅素的悖論發表之后，接著又發現一系列悖論（后來歸入所謂語義悖論）：
??? 1、理查德悖論。法國第戎中學教師理查德在1905年發表了一個悖論，大意如
下：法語中某些片語表示實數，比如“一個圓的圓周與直徑之比”就表示實數π。法
語字母也象英語字母一樣有一定的順序，所以我們可以把所有片語按照字母順序排
列，然后按照片語中字母的多少排列，少的在前，多的在后。這樣我們把能用片語
表達的實數排成一個序列，al，a2，a：，……。于是就得到了所有能用有限多字(字
母)定義的數了。它們構成了一個可數集合E。現在我們提出一個規則把這個序列改
變一下造成一個數來：“設E中第n個數的第n位為p，我們造一個實數如下：其整數
部分為0，如果p不是8或9；其第n位小數為p＋1，要是p是8或9的話，則第n位變成
1”。這個實數顯然不屬于E，因為它和E中每個數都不一樣。但是它們卻可以由上面
有限多個字組成的話來表示，因此應該屬于E，這就出現矛盾。
??? 理查德提出的悖論是因為看到法國《純粹科學與應用科學通論》1905年3月30日
一期的編者按語而寫的。編者談到，1904年8月在德國海德爾堡召開的國際數學家
大會上，德國數學家寇尼格證明連續統是不能夠良序化的。可是一個月后，德國數
學家策梅羅卻證明了任何集合都能良序化，理查德從這段話中看到了集合論中存在
“某些矛盾”，這些矛盾和良序性和序數的概念有關系，于是他給該刊物編輯部寫了
一封信，登在1905年6月號上，編者還加了按語。
??? 2、培里悖論。培里是英國的圖書館管理員。有一天他告訴羅素下面的悖論：
英語中只有有限多個音節，只有有限多英語表達式包含少于40個音節，所以，用少
于40個音節的表達式表示的正數數目只有有限多個。假設R為不能由少于40個普的
英語表達式來表示的最小正整數(The least positive integer which is not
denotedby an? expression in the English language containing fewer than
forty? syllables)。但是，這段英語只包含三十幾個音節，肯定比40個少，而且
表示R，這自然產生了矛盾。
??? 3．格瑞林和納爾遜悖論。納爾遜是新康德主義的小流派之一弗瑞斯派的代
表。1908年他和他的學生格瑞林把下面的悖論發表在弗瑞斯派的一個文集上，通常
稱為格瑞林悖論。如果一個形容詞所表示的性質適用于這個形容詞本身，比如“黑
的”兩字的確是黑的，那么這個形容詞稱為自適用的。反之，一個形容詞如果不具
有自適用的性質，就叫做非自適用的。在英語中：“Polysyllabic”(多音節的)，
“English”(英語的)這些詞都是自適用的形容詞，而“monosyllabic”(單音節的)、
“French”(法語的)這些詞就是非自適用的。現在我們來考慮“非自適用的”這個形容
詞，它是自適用的還是非自適用的呢？如果“非自運用的”是非自適用的，那么它就
是自適用的；如果“非自適用的”是自適用的，那么按照這詞的意思，則它是非自適
用的，這就導出矛盾。
2、悖論動搖了整個數學的基礎
??? 1900年左右，數學已經發展成為一個龐大的領域了。當時純數學大致分為算術
—代數、幾何和數學分析。隨著第二次數學危機的解決，數學分析建立在極限理論
基礎上。而極限理論中，有些基本性質要由“單調有界的數列必有極限”這個定理來
證明。這個定理從直觀上看盡管很明顯，但是追求嚴密性的數學家很早就要求不靠
直觀而靠邏輯來證明，要求一切定理都從比較簡單的公理推導出來。
??? 要推導極限的性質，必須對數列有明確的概念。這里的數不只是有理數，還包
括無理數，這兩種數構成實數的集合。所以，當務之急就是建立起嚴格的“實數”理
論。戴德金在1872年發表了《這續性與無理數》這本專著，同年康托爾也發表實數理
論的文章。康托爾通過一定的有理數序列(基本序列)來定義實數。而戴德金則利用
有理數集合的分割來定義實數。他們的理論雖然邏輯上可靠，但是都不太自然，依
賴于有理數的集合概念。這樣一來，實數理論的無矛盾性就歸結為有理數論，進而
歸結成自然數論的無矛盾性了。
??? 自古以來，大家都認為自然數的算術是天經地義、不容懷疑的。不過有些數學
家如弗雷格和戴德金又進一步把自然數歸結為邏輯與集合論。這樣一來，集合論與
邏輯成為整個數學的基礎。羅素悖論一出現，集合論靠不住了，自然數的算術也成
問題，這樣一來，整個數學大廈都動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在
他剛要出版的《算術的基本法則》第二卷末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難
堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎跨掉了。當本書等待付印的時候，羅素
先生的一封信把我置于這種境地”。戴德金原來打算把《連續性及無理數》第三版付
印，這時也把稿件抽了回來。他也覺得由于羅素悖論，整個數學的基礎都靠不住了。
??? 悖論涉及的是集合、屬于、所有(全部)性質與集合的對應關系、無窮這些最基
本的概念。這些：概念在數學中是天天必須用到的。如果不加以澄清，在數學證明
的過程中，不是這里就是那里就會出毛病。
??? 有了毛病，有的人就主張把集合論全盤推倒，只考慮有限的東西，這樣不僅把
數學內容砍掉了一大半，而且無窮的問題仍會出現。另一部分人則主張限制這些概
念的使用范圍，當然限制太多了，就縮小了數學領域，而限制太少了又會出現矛
盾，所以要在這兩者之間找到一種最好的解決辦法。從二十世紀初，人們就一直在
找，雖然并沒有得到最終滿意的解決，不過給數學提供一個可靠的基礎還是可以辦
得到的。
3、羅素的類型論
??? 1901年6月羅素發現了“悖論”。他在1902年6月16日把這個悖論告訴了弗雷格。
他在1903年出版的《數學的原理》中，有一段可能是在1901年寫的，他寫道：“作為
多的類與類的項具有不同的類型”；“整個秘密的關鍵是邏輯類型的不同”。對這個
問題的解決，他只寫了不到三十行。他還考查了其他的解決辦法，覺得它們都不令
人滿意，于是得出結論：“沒有適當的哲學涉及到上述的矛盾，這些矛盾直接從常
識中得出，也只能通過拋棄掉某些常識的假定而解決”。但是在這本書出版之前，
羅素感覺到這個題目還應該更加注意，于是他寫了大約六頁的一個附錄，“嘗試性
地提出了類型論”，他要求在回答所有問題之前變成為更加精致的形式。自然，當
時羅素已經知道其他的悖論了，例如布拉里·福蒂悖論和最大基數悖論。
??? 大約1905年12月，羅素拋棄了類型論。為了克服由悖論引起的困難，他提出了
三種理論：1、曲折理論，命題函數非常簡單時才決定類，而當它們復雜時就不能
決定類；2、限制大小的理論，不存在象所有實體的類的東西；3、非類理論，類和
關系完全都禁用。這篇文章甚至投有提到類型論。1906年2月5日，羅素在這篇文章
末尾加了一個注：“通過更進一步的研究，我一點也不懷疑非類理論能夠解決本文
第一節所陳述的所有困難”。這就是說，能夠解決悖論。
??? 非類理論的中心思想是它不講滿足某種結定語句的所有對象的類，而只講語句
本身和其中的代換。于是關于指定類的討論都可以用語句和代換來表述。但是當我
們討論一般的類作為可量詞化變元的值時，這種討論德意義就不明顯了。在這篇文
章中，羅素已經承認對于大部分經典數學來說，非類理論的可能證明是不適當的。
他在1906年2月加的附注中表現出他對于剛剛拋棄的類型論又重新燃起希望。果
然，他很快就回來進一步細致地研究類型論，并于1906年7月發表論文了。
??? 羅素把悖論加以分析之后認為：一切悖論的共同特征是“自我指謂”或自指示、
自反性，它們都來源于某種“惡性循環”。這種惡性循環來源于某種不合法的集體
(或總體或全體)。這類集體的不合法之處在于，定義它的成員時，要涉及到這個集
體的整體。羅素悖論是最明顯的例子。定義不屬于自身的集合時，涉及到“自身”這
個整體，這是不合法的，這種涉及自身的定義稱為非直謂定義。所以要避免悖論，
只需遵循“(消除)惡性循環原理”，“凡是涉及一個集體的整體的對象，它本身不能
是該集體的成員”。根據這個原則，羅素提出他的分支類型論。
??? 羅素把論域分成為等級或者類型，只有當滿足某一給定條件的所有對象都屬于
同一類型時，我們才能談到他們的全體，于是一個類的所有成員必定全都具有同一
類型。同樣，任何一個量詞化的變元也必定有同一類型。這樣羅素就引導談論“所
有”和“任何”的區別。“所有”由普遍量詞的束縛變元來表示，它們跑遍一個類型；
而“任何”則由自由變元來表示，它們可以指任何不確定的事物，而不管其類型如
何。因此自由變元是沒有任何妨礙的。
??? 但是，分支類型論禁例太嚴，以致無法推出全部數學。為此羅素引進可化歸公
理：“任何公式都可以和一個直謂公式等價”。也就是都可以化為含n級變元的n＋1
級公式。這樣一來可以不必考慮約束變元的級了。這種類型論稱為簡單類型論。
??? 由于集合(類)和謂詞(命題函數)是平行的，因此我們可以用集合更簡單地解釋
一下：簡單類型論是由一系列層構成的系統，最底一層是第0級，上面各層、各級
都是同一類的型構成，最低一層的元素稱為個體，由這些個體所成的類就構成第一
級的類，由一級的類為元素所成的類就構成第二級的類，依此類推。
??? 1926年，英國年輕數學家拉姆塞把悖論區別為邏輯悖論(或謂詞悖論、集合論
悖論)及語義悖論(或認識論悖論)。他證明對于集合論悖論，簡單類型論就足以消
除。因為這種悖論只牽涉到謂詞和變元的關系，它們不同級便可以消除悖論了。但
是語義悖論要涉及到謂詞本身，非得分支類型論不可。
??? 雖然類型論可以消除悖論，但是缺點很多，非常煩瑣，特別是可化歸公理的引
進，具有很大的任意性，因此受到很多批評。不過它的歷史作用還是很大的，也借
助它，羅素才實現他的邏輯主義綱領，完成前人沒有完成的計劃。
??? 羅素和懷特海的《數學原理》出版之后，許多人對于其系統進行簡化與改進。特
別是哥德爾及塔爾斯基。1940年，丘奇給簡單類型論一個新的表述。類型論至今仍
是數理邏輯中主要的系統之一。
4、策梅羅的公理集合論
??? 1908年，策梅羅采用把集合論公理化的方法來消除羅素悖論。他的著名論文
《關于集合論基礎的研究》是這樣開始的：“集合論是這樣一個數學分支，它的任務
就是從數學上以最為簡單的方式來研究數、序和函數等基本概念，并借此建立整個
算術和分析的邏輯基礎；因此構成了數學科學的必不可少的組成部分。但是在當
前，這門學科的存在本身似乎受到某種矛盾或者悖論的威脅，而這些矛盾和悖論似
乎是從它的根本原理導出來的。而且一直到現在，還沒有找到適當的解決辦法。面
對著羅素關于‘所有不包含以自己為元素的集合的集合’的悖論，事實上，它今天似
乎不能再容許任何邏輯上可以定義的概念‘集合’或‘類’為其外延。康托爾原來把集
合定義為我們直覺或者我們思考的確定的不同的對象做為一個總體。肯定要求加上
某種限制，雖然到現在為止還沒有成功地用另外同樣簡單的定義代替它，而不引起
任何疑慮。在這種情況下，我們沒有別的辦法，而只能嘗試反其道而行之。也就是
從歷史上存在的集合論出發，來得出一些原理，而這些原理是作為這門數學學科的
基礎所要求的。這個問題必須這樣地解決，使得這些原理足夠地狹窄，足以排除掉
所有的矛盾。同時，又要足夠地寬廣，能夠保留這個理論所有有價值的東西。”
??? 在這篇文章中，策梅羅實行的計劃，是把集合論變成一個完全抽象的公理化理
論。在這樣一個公理化理論中，集合這個概念一直不加定義，而它的性質就由公理
反映出來。他不說什么是集合，而只講從數學上怎樣來處理它們，他引進七條公
理：決定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、單元素公理、對集公理)、
分離公理、冪集公理、并集公理、選擇公理、無窮公理(稍稍改變一下原來形式)。
??? 實際上策梅羅的公理系統Z(公理1至7)把集合限制得使之不要太大，從而回避
了比如說所有“對象”，所有序數等等，從而消除羅素悖論產生的條件。策梅羅不把
集合只簡單看成一些集團或集體，它是滿足七條公理的條件的“對象”，這樣排除了
某些不適當的“集合”。特別是產生悖論的原因是定義集合的所謂內函公理組，如今
已換成弱得多的分離公理組。
??? 策梅羅首次提出的集合論公理系統，意義是非常重大的。但是，其中有許多缺
點相毛病。比如：公理3的確定性質的含義并不清楚，他的公理沒有涉及邏輯基
礎，選擇公理有許多爭議等等。后來經許多人加以嚴格處理及補充，才成為嚴格的
公理系統，即ZF或ZFS系統。其中Z代表策梅羅，F代表弗蘭克爾，S代表斯科蘭姆。
這里面特別是有斯科蘭姆和弗蘭克爾進行的改進。但是一般的ZF中往往不包括選擇
公理，如果加進選擇公理則寫為ZFC(AC是Axiom of Choice的縮寫，有時簡寫為C)
??? 策梅羅的公理系統發表之后，遭到各方面的批評。特別是斯科蘭姆1922年在8
月份在赫爾辛基召開的第五屆斯堪的納維亞數學家大會上做了公理化集合論的報
告，他對策梅羅公理系統提出了八點批評：
??? 1、為了討論集合，我們必須從對象“域”開始，也就是用某種方法構成的域；
2、策梅羅關于確定的命題要有一個定義使得它精確化；3、在所有完全的公理化
中，集合論的概念不可避免地是相對的；4、策梅羅的公理系統不足以提供通常集
合論的基礎；5、當人們打算證明公理的無矛盾時，謂語句所引起的困難；6、對象
域B的不唯一性；7、數學歸納法對于抽象給出的公理系統的必要性；8、選擇公理
的問題。
??? 另一方面，許多人對策梅羅公理集合論提出許多改進意見。首先Z太狹窄不足
以滿足對集合論的合法需要，有許多集合不能由它產生出來，也不能夠由此造出序
數的一般理論和超窮歸納法。為了彌補這個缺陷，弗蘭克爾加進一個公理組即代換
公理。另外，弗蘭克爾還把公理以符號邏輯表示出來，形成了現在通用的ZF系統。
??? 一般認為經過弗蘭克爾改進的策梅羅集合論公理系統，再加上選擇公理是足夠
數學發展所需的，但是還需要加一條限制性的公理，即除了滿足這些公理的集合之
外沒有其他的集合。采取這樣一個公理是出于一個悖論的啟發，這個悖論最初是法
國數學家米里馬諾夫在1917年提出的。這個悖論涉及所謂基礎集合，為了排除這種
集合，馮·諾依曼引進公理9(基礎公理)，從而消除了上述悖論。
??? 這樣定義的集合論(ZF)中，雖說與連續統假設有關的“冪集公理”不留下疑點，
但正因為不包含有很多問題的“選擇公理(AC)”，所以純粹性很高。雖然至今還不能
給出ZF集合論的無矛盾性的證明,可是它已經沒有必須大書特書的難點了。
??? 常用的集合論公理系統除了ZF之外，還有由馮·諾依曼開創并由貝耐斯、哥德
爾加以改進、簡化的集合論公理系統—NBG系統(有時簡稱為BG系統，N代表馮·諾依
曼，B代表貝耐斯，G代表哥德爾)。
??? 大數學家馮·諾依曼在他年青的時候，開辟了公理化集合論的第二個系統。他
第一個主要的數學研究就是重新考慮策梅羅—弗蘭克爾對于集合論的公理化。在他
的博士論文中論述了一般集合論的公理構造，這篇論文是他1925年用匈牙利文寫
的。但是他后來在兩篇重要文章中用德文發表了其中主要的思想，一篇是《集合論
的一種公理化》，另二篇是《集合論的公理化》。第一篇文章中他給出了自己的公理
化體系，在第二篇文章中他詳細地證明了怎樣由他的公理系統導出集合論。
??? 馮·諾依曼的處理方法是策梅羅公理化的推廣。原來的理論基本上保持了下
來，但是形式有所變化。表面看來新公理和舊公理非常不一樣，但是主要是使用的
語言有所變化。通常表示集合論的語言有兩種，一種是集合和它的元素的語言，一
種是函數及其變項的語言，這兩種語言是等價的。
??? 策梅羅用的主要是集合的語言，不過他也隱含地用函數的語言。而在弗蘭克爾
改進的理論里，這點就更加明顯。馮·諾依曼選用的語言完全與策梅羅相反，他一
開始就用變項和函數來敘述他的公理。
??? 但是策梅羅—弗蘭克爾和馮·諾依曼兩個公理系統主要差別還不是語言的問題，
而是如何在樸素集合論中排除悖論的方式。在策梅羅—弗蘭克爾系統中，是通過限
制集合產生的方式來達到這個目的的，他們把集合只限制在對于數學必不可少的那
些集合上。但是從馮·諾依曼看來，這樣施加限制有點不必要地過分嚴格，使得數
學家在論證過程中失掉一些有時有用的論證方式，而這些論證方式似乎是沒有惡性
循環的。于是馮·諾依曼采取一個比策梅羅—弗蘭克爾更廣的概念，而同時卻消除任
何產生悖論的危險。
??? 按照馮·諾依曼的想法，悖論的產生也許是因為過大的總體所引起，更準確來
講，就相當于所有集合的集合，所以馮·諾依曼就覺得只要讓這類總體成為元素，
就可以避免悖論。
??? 在馮·諾依曼的公理系統中，悖論是通過下面的方法來避免的；承認有兩種類
型的類，即集合和固有類。集合可以是其他類的成員，而固有類則不容許是其他類
的成員。在這個公理系統中，我們就有三個原始概念：集合，類，屬于關系。所以
NBG中的定理不一定是ZF中的定理，不過可以證明ZF中的每個合適公式在ZF中可證
明當且僅當在NBG中可證明。這樣看來NBG是ZF的一個擴充，數學家可以根據自己不
同的需要來選用自已認為方便的公理系統。比如哥德爾是在NBG公理系統中考慮選
擇公理及廣義連續統假設的相對無矛盾性，而科亨則是在ZF公理系統中考慮選擇公
理及連續統假設的獨立性。除了這兩個最重要的集合論公理系統之外，還有好幾個
公理系統，但是它們的用途遠不如ZF和NBG系統了。
??? 盡管集合論公理系統建立起來，并得到廣泛承認，但仍然存在許多問題，例
如：不可達基數和序數是不是存在？；連續統假設是否能夠證明；公理系統的協調
性和獨立性，……。從三十年代之后，為了解決這些問題，公理集合論掀開了新的一頁。
第四章：哥德爾的發現—意想不到的結果
??? 在數理邏輯的歷史上，哥德爾的工作起著承前啟后的作用。1928年希爾伯特在
意大利波倫那召開的國際數學家大會上提出的四個問題，很快就被哥德爾原則上解
決了。尤其是他的不完全性定理，把人們引向一種完全不同的境界，從此數理邏輯
開始了一個新的時代。
??? 在這之前，數學家期望數學有一個既廣闊又嚴格的基礎，在這個基礎上數學家
可以放心地去干他們愿意干的事。哥德爾的不完全性定理使這種想法破滅了。悖論
所造成的危機雖然可以暫時回避，然而想從原則上一攬子解決是毫無希望的。從此
之后，數學家只滿足于使用集合論一些最簡單的結果，而對更深入的數理邏輯與數
學基礎問題則不那么關心注意了。
??? 同時，由于哥德爾在證明中發展的一些技術，也使數理邏輯成為一門具有自己
獨立技術和方法的數學分支。現在的數理邏輯，不管是公理集合論、模型論還是證
明論、遞歸論都已經變得十分專門。就象代數拓撲學、算子代數、隨機過程等學
科，對于非本行專家來說，簡直是難以理解的。
1、哥德爾小傳
??? 庫爾特·哥德爾于1906年4月28日出生在奧匈帝國屬下的布瑞尼(今天的布爾
諾，這里出過另一位偉大人物遺傳學之父孟德爾)，他的父母是德國人。與一般人
推測不同，他并沒有猶太血統。他在家鄉上了四年國民學校和八年德國國立中學。
1924年中學畢業后，他進入維也納大學哲學系，先是攻讀物理，后于1926年轉而攻
讀數學，這恐怕是出于他對精密性和嚴格性過分偏愛的緣故。當時的維也納大學有
不少有國際聲譽的數學家，如曾解決過希爾伯特的一些猜想的數論專家費特萬格
勒，泛函分析的創始人之一哈恩與拓撲學家門格爾等。大學時他對費特萬格勒的數
論課很有興趣，這同他后來的工作有很大關系，比如他應用孫子定理來構造由加法
與乘法表出的原始遞歸函數。
??? 上大學時，哥德爾對哲學也很有興趣，實際上對哲學的探索始終貫穿著他的一
生。他聽哲學教授的講課，特別是經常參加維也納小組的活動。二十世紀最主要的
哲學流派——邏輯實證主義當時剛剛開始他們的事業，哥德爾贊成以施里克為首的這
個學派的分析方法，即用數理邏輯來對哲學及科學概念進行分析。但是他也一直不
同意他們否定客觀實在性，及認為形而上學命題是無意義命題等基本觀點。不過，
他的哲學觀點也促使他對于數理邏輯進行深入的鉆研。
??? 當時數理邏輯的經典著作是羅素和懷特海的《數學原理》，這三卷滿是符號的大
書，恐怕只有極少數人讀過。1928年，希爾伯特和阿克曼合著的《理論邏輯綱要》出
版，這是一本論述簡明、清晰，概括性強的好書，對哥德爾的啟發性很大。書中明
確提出一個尚未解決的問題——狹義謂詞演算的完全性問題。哥德爾很快解決了這個
問題，把結果寫成博士論文，成為他一生事業的開端。
??? 1929年秋天，他進行答辯。1930年2月得到批準取得博士學位。1930年夏天，
哥德爾開始研究希爾伯特計劃，他想證明分析的無矛盾性。9月，他到東普魯士哥
尼斯堡去參加科學會會議，許多著名數學家如希爾伯特、馮·諾依曼、海丁、卡爾
納普都參加了這次會議。希爾伯特在會上做了題為“邏輯和對自然的認識”的著名演
說，他樂觀地宣稱：“我們必須知道，我們將會知道”。可是，就在這個會上哥德爾
宣布了他的第一不完全性定理。不久，他又證明了第二不完全定理。這個結果毫無
疑義對希爾伯特計劃是莫大的打擊。
??? 1931年哥德爾在維也納大學當助教，這篇文章成為就職論文而受到了很高的評
價。從1933年到1938年，他在維也納大學當講師。1932年他到過哥丁根，見到過愛
米·諾特、西格爾、甘岑等人。他沒見到早逝的天才厄布朗，但他們交換過信件，
厄布朗的信中有最早的遞歸函數想法。但是厄布朗只收到哥德爾一封信。
??? 1933年到1934年，哥德爾第一次來到普林斯頓大學高等研究院。他在這里見到
丘奇、克林和羅塞爾。他在普林斯頓大學發表了《論形式數學系統的不可判定命題》
的演講，這對后來美國研究遞歸論是極大的推動。
??? 1937年，哥德爾在維也納講授“公理化集合論”，這時他開始集中力量研究這個
題目。在他秋天來到高等研究院時，他已經對選擇公理的無矛盾性有所考慮，并把
自己的思想同馮·諾依曼交談過。不過，他的可構造集的思想、廣義連續統假設和
選擇公理與NGB系統的無矛盾性，一直到1938年秋天才在高等研究院講演，并在
1938到1940年發表。這時他已經開始定居美國了。
??? 1938年3月，希特勒兼并奧地利，這時哥德爾剛剛結婚。1939年9月，二次大戰
爆發，他于1939年底橫貫蘇聯的西伯利亞太鐵路經日本到了美國，從此再也沒有回
奧地利。在美國，除了1940年春季在圣母大學任教外，一直在普林斯頓高等研究院
工作。由于研究院里有人反對和阻撓，直到1947年他才被批準為常任研究員，1953
年才成為教授。對于這樣偉大的數學家來說，得到這種稱號的時間實在是太晚了。
到這時，他在數理邏輯方面的主要工作都已經完成了，他的興趣已經轉向其他方面了。
??? 1947年到1951年，哥德爾開始注意和研究廣義相對論。他同愛因斯坦是多年老
鄰居，他們幾乎天天一起散步回家。但是哥德爾表示，他對相對論的興趣并非來自
同愛因斯坦的談話，而是來自對康德時空哲學的興趣。1950年，他在國際數學家大
會上做的報告，就是關于“旋轉宇宙”的論文。
??? 后來，哥德爾的興趣轉向哲學。他認為，健全的哲學思想對科學研究的成功有
很密切的關系。他說，數學及元數學的(特別是關于超窮推理的)客觀主義觀點，對
于他的邏輯研究是最根本的。1959年起，哥德爾開始閱讀德國哲學家胡塞爾的哲學
著作，并一直保持著強烈的興趣。他認為有些哲學家，特別是拍拉圖和笛卡爾，在
他們一生中具有一種與日常生活的世界觀完全不同的直觀的世界觀，也許胡塞爾也
曾達到過這種境界。
??? 晚年，哥德爾間或對數理邏輯作些工作。美國符號邏輯協會正在組織力量搜集
整理他的著作，準備出版他的全集。他已經出版的邏輯方面的論著不過二十余篇，
大都很簡短，不過它們在歷史上的作用是十分巨大的。
??? 1978年1月14日下午，哥德爾在普林斯頓醫院的椅子上坐著候診時去世，享年
72歲。
2、1930年數理邏輯的狀況
??? 1930年前，整個數學界是非常樂觀的：希爾伯特的思想占統治地位；數學是建
立在集合論和數理邏輯兩塊基石之上；康托爾的樸素集合論已被公理集合論所代
替，從而消除了悖論；選擇公理是一個很好的工具，數學中許多部門都要用到它；
連續統假設仍然是懸案，不過希爾伯特多次覺得自己已接近解決這個難題，看來前
景是樂觀的；大部分數學可以建立在謂詞演算的基礎上，而一階謂詞演算的公理系
統是無矛盾的，盡管其完全性仍有待證明；整個數學的基本理論是自然數的算術和
實數理論，它們都已經公理化。這些公理系統應該是無矛盾的、完全的，如果它們
能夠得證，并且集合論公理系統也能得到同樣的結果，那么整個數學就比較牢靠了。
??? 為了不使一小撮直覺主義者指手劃腳、評頭品足，希爾伯特提出他的計劃：把
理論系統形式化，然后通過有限多步證明它們沒有矛盾。他信心十足，在1930年9
月東普魯士哥尼斯堡的科學會會議上，他批判了不可知論。
??? 1928年希爾伯特提出四個問題：
??? 1、分析的無矛盾性。1924年阿克曼和1927年馮·諾依曼的工作使希爾伯特相信
只要一些純算術的初等引理即可證明。1930年夏天，哥德爾開始研究這個問題，他
不理解希爾伯特為什么要直接證明分析的無矛盾性。哥德爾認為應該把困難分解：
用有限主義的算術證明算術的無矛盾性，再用算術的無矛盾性證明分析的無矛盾
性，哥德爾由此出發去證明算術的無矛盾性而得出不完全性定理。
??? 2、更高級數學的無矛盾性，特別是選擇公理的無矛盾性。這個問題后來被哥
德爾在1938年以相對的方式解決。
??? 3、算術及分析形式系統的完全性。這個問題在1930年秋天哥尼斯堡的會議
上，哥德爾已經提出了一個否定的解決，這個問題的否定成為數理邏輯發展的轉折點。
??? 4、一階謂詞邏輯的完全性。這個問題已被哥德爾在1930年完全解決。
??? 這樣一來，哥德爾的工作把希爾伯特的方向扭轉，使數理邏輯走上全新的道路。
3、1930年哥德爾的兩項主要貢獻
??? 1、完全性定理：哥德爾的學位論文《邏輯函數演算的公理的完全性》解決了一
階謂詞演算的完全性問題。羅素與懷德海建立了邏輯演算的公理系統的無矛盾性及
完全性(也許還包括不那么重要的獨立性)。所謂完全性就是，每一個真的邏輯數學
命題都可以由這個公理系統導出，也就是可證明。
??? 命題演算的完全性已由美國數學家波斯特在1921年給出證明，而一階謂詞演算
的完全性—直到1929年才由哥德爾給出證明。但是哥德爾認為，斯柯侖在1922年的
文章中已隱含證明了命題演算的完全性，但是他沒有陳述這個結果，可能是他本人
并沒有意識到這一點。
??? 2、哥德爾的不完全性定理：這是數理邏輯最重大的成就之一，是數理邏輯發
展的一個里程碑和轉折點。哥德爾在研究過程中直接考慮悖論及解決悖論的方法，
從而把第三次數學危機引導至另外一個方向上。
??? 哥德爾證明不完全性定理是從考慮數學分析的協調性問題開始的。1930年秋在
哥尼斯堡會議上，他宣布了第一不完全性定理：一個包括初等數論的形式系統，如
果是協調的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算術系統是協調的，
則協調性在算術系統內不可證明。
??? 哥德爾的證明使用了“算術化”的方法。哥德爾說：“一個系統的公式……從外觀
上看是原始符號的有窮序列……。不難嚴格地陳述，哪些原始符號的序列是合適公
式，哪些不是；類似地，從形式觀點看來，證明也只不過是(具有某種確定性質的)
一串公式的有窮序列”。因此，研究一個形式系統實際上就是研究可數個對象的集
合。我們給每個對象配上一個數，這種把每一個對象配上一個數的方法稱為“哥德
爾配數法”。哥德爾通過這些數反過來看原來形式系統的性質。
??? 哥德爾研究了46種函數和謂詞，哥德爾證明了他的前45個函數和謂詞都是原始
遞歸的。但第46個謂詞為“X是一個可證公式的哥德爾數”。在對哥德爾配數的系統
中，可以得到一個公式，它相當于：我是不可證的。所以這個句子是不可證的且是
真的。所以系統中存在真語句而又不可證，也就是系統不完全。
??? 哥德爾的論文在1931年發表之后，立即引起邏輯學家的莫大興趣。它開始雖然
使人們感到驚異不解，不久即得到廣泛承認，并且產生巨大的影響：
??? 哥德爾的證明對希爾伯特原來的計劃是一個巨大的打擊，因此把整個數學形式
化的打算是注定要失敗的，因而邏輯主義和形式主義的原則是不能貫徹到底的；
“希爾伯特計劃”中證明論的有限主義觀點必須修正，從而使證明論的要求稍稍放
寬。1936年甘岑在容許超窮歸納的條件下證明了算術的無矛盾性，而倡導有限構造
主義的直覺主義也不能解決問題；哥德爾的工具遞歸函數促進了遞歸函數論的系統
研究，同時推動了不可判定問題的研究，開始出現遞歸論的新分支。
??? 哥德爾不完全定理的證明結束了關于數學基礎的爭論不休的時期，數學基礎的
危機不那么突出表現出來。數理邏輯形成了一個帶有強技巧性的獨立學科，而絕大
部分數學家仍然把自己的研究建立在樸素集合論或ZF公理集合論的基礎上。
??? 盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可回避。研究這些矛盾，特別是
集合論的矛盾變成數理邏輯學家的事業。另外一方面，直覺主義和構造主義數學雖
然也有發展，但終究是一小部分，半個世紀以來，在數學中始終不占統治地位。因
為矛盾也好、危機也好，根源在于無窮，但是數學中畢竟少不了無窮。歸根結蒂，
數學終究是研究無窮的科學。
第五章：數理邏輯的大發展
??? 1930年以后，數學邏輯開始成為一個專門學科，得到了蓬勃發展。哥德爾的兩
個定理證明之后，希爾伯特的有限主義綱領行不通，證明論出現新的情況，主要有
兩方面：通過放寬有限主義的限制來證明算術無矛盾性以及把證明形式化、標準
化，這些主要是在三十年代完成。同時哥德爾引進遞歸函數，發展成遞歸論的新分
支，開始研究判定問題。而哥德爾本人轉向公理集合論的研究，從此出現公理集合
論的黃金時代。五十年代模型論應運而生，它與數學有著密切聯系，并逐步產生積
極的作用。
1、證明論
??? 證明論又稱元數學，它研究數學的最基本活動—證明的合理性問題。研究這類
數學基礎的問題原來一直是哲學家的事，后來才成為數學家的事。這個轉變發生在
1893年弗雷格發表《算術基礎規則》之時，后來希爾伯特和他的許多合作者使這種思
想發展成一門學科—元數學，目的是用數學方法來研究整個數學理論。
??? 要使數學理論成為一個合適的研究對象，就必須使之形式化。自從希爾伯特和
阿克曼所著《理論邏輯綱要》第一版在1928年出版以來，在實踐中用得最多的是具有
等式的一階謂詞演算(以及高階謂詞演算)。許多理論可以用一階理論來表述，它比
較簡單方便，具有多種形式。
??? 從基礎的觀點來看，有兩個理論最為重要，因而研究也最多。這兩個理論就是
形式化的皮亞諾算術理論與形式化的集合論。因為大多數觀代數學理論都可以在這
兩個理論范圍內發展，所以這兩個理論的合理性如果得到證實，也就是向數學的可
靠性邁進了一大步。“希爾伯特計劃”無非就是要找到一個有限的證明步驟來證明算
術的無矛盾性。
??? 這里“有限”的意義是由法國年輕數學家厄布朗明確提出的，他認為下列條件必
須滿足：必須只討論確定的有限數目的對象及函數；這些對象及函數要能確定它們
的真值產生協調一致的計算結果；一個對象如不指出如何構造它就不能肯定其存
在；必須永遠不考慮一個無窮集體中所有對象的集合；一個定理對于一組對象都成
立的意思是，對于每個特殊的對象，可以重復所講的普遍論證，而這普遍論證只能
看成是結果特殊論證的原型。
??? 數學理論的無矛盾性有了這種有限的、可構造性的論證之后，任何人都可以放
心了。希爾伯特計劃提出后，幾組數學家分別為實現它而努力：一組是希爾伯特及
貝耐斯，以及阿克曼關于把數學理論形式化的研究，一組是馮·諾依曼關于算術無
矛盾性的初步研究及哥德爾的不完全性定理以及甘岑的最后解決；還有一組是厄布
朗及甘岑關于證明的標準形式等的研究。
??? 厄布朗是法國天才的青年數學家，1931年8月在登阿爾卑斯山時遇難，年僅23
歲。他對代數數論尤其是數理邏輯進行過重要的研究工作，1929年他在博士論文
《證明論研究》中提出他的基本定理。從某種意義上來講，這個定理是想把謂詞演算
歸結為命題演算。由于前一理論是不可判定的，而后一理論是可判定的，因此這種
歸結不可能是完全的。
??? 但是，由于厄布朗局限于希爾伯特有限主義立場，他應用的證明方法比較繞彎
子。而且在1963年發現，他的證明中有漏洞，他的錯誤很快就得到了彌補。厄布朗
定理可以便我們在證明中擺脫三段論法。他的許多結果，后來也為甘岑獨立地得出。
??? 甘岑的自然演繹系統是把數學中的證明加以形式化的結果。他由此得出所謂
“主定理”，即任何純粹邏輯的證明，都可以表示成為某種正規形式，雖然正規形式
不一定是唯一的。為了證明這個主定理，他又引進了所謂的式列(Sequenz)演算。
??? 在普通的數學證明中，最常用則是三段論法，即如果A→B，且若A成立，則B成
立。其實這就是甘岑推論圖中的“斷”。但是甘岑的主定理就是從任何證明圖中可以
消除掉所有的“斷”。也就是：如果在一個證明中用到三段論法，那么定理表明，它
也可以化成為不用三段論法的證明，也得到同樣的結論。
??? 這個定理乍一看來似乎不可理解，其實正如甘岑所說，一個證明圖中有三段論
法實際上是“繞了彎子”，而不用三段論法是走直路。這種沒有三段論法的證明圖稱
為“正規形式”，利用這沒有三段論法的證明圖稱為“正規形式”。利用這個主定理很
容易得出許多重要結果，其中之一就是極為簡單地證明“一階謂詞演算是無矛盾
的”，而且能夠推出許多無矛盾性的結果。后來還可以用來證明哥德爾的完全性及
不完全性定理，當然，最重要的事還是要證明算術的無矛盾性。
??? 希爾伯特引進證明論的目標是證明整個數學的無矛盾性，其中最重要的是集合
論的無矛盾性(至少ZF系統無矛盾)、數學分析的無矛盾性，最基本的當然是算術的
無矛盾性。哥德爾的不完全性定理說明，用有限的辦法這個目標是達不到的。由于
哥德爾不完全定理的沖擊，希爾伯特計劃需要修改。
??? 有限主義行不通就要用非有限的超窮步驟。1935年，甘岑用超窮歸納法證明自
然數算術形式系統的無矛盾性。其后幾年，他和其他人又給出了其他的證明。這種
放寬了的希爾伯特計劃在第二次世界大戰之后發展成為證明論的分支，這些證明也
推廣到分支類型論及其他理論。
??? 甘岑在第二次大戰行將結束時去世，他的結果代表當時證明論的最高成就，希
爾伯特和貝納斯的《數學基礎》第二卷中總結了他的工作，但是證明論遠遠未能完成
它的最初目標。戰后隨著模型論和遞歸論乃至六十年代以來公理集合論的發展，證
明論一直進展不大。
??? 五十年代中，日本數學家竹內外史等人開始對于實數理論(或數學分析)的無矛
盾性進行探索。因為實數一開始就同有理數的無窮集和有關，描述它的語言用一階
謂詞演算就不夠了，所以第一步就要先把甘岑的工作推廣到高階謂詞演算中去。
??? 1967年，日本年輕數學家高橋元男用非構造的方法證明，單純類型論中也可以
消去三段論法。由此可以推出數學分析子系統的無矛盾性。但是，由于證明不是構
造的，數學分析的無矛盾性至今仍然有待解決。
??? 厄布朗及甘岑的結果雖然不可能完成希爾伯特計劃的最初目標，但是由于其有
限性、可構造性的特點，現在已廣泛地應用于機械化證明，成為這門學科的理論基礎。
??? 證明論的方法對于數理邏輯本身有很大的推動，特別是得出新的不可判定命
題。最近，英國年輕數學家巴黎斯等人有了一項驚人的發現。他們發現了一個在皮
亞諾算術中既不能證明也不能否證的純粹組合問題，這不僅給哥德爾不完全性定理
一個具體的實例，而且使人懷疑要解決許多至今尚未解決的數論難題可能都是白費
力氣。這無疑開辟了證明論一個完全新的方向。
2、遞歸論
??? 遞歸論討論的是從形式上刻劃一個運算或一個進程的“能行”性這種直觀的觀
念，也就是從原則上講，它們能機械地進行而產生一個確定的結果。“能行”的這個
概念含有可具體實現的、有效的、有實效的等等意思。法國數學家保萊爾首先在
1898年他的函數論教科書中引進了這個詞，他把數學的對象局限于能行的對象，這
種主張實際上就是“法國經驗主義”。因為函數論主要討論集合、函數、積分等等，
從這種觀點產生出描述集合論、拜爾函數等概念。
??? 遞歸論中所討論的函數是比較簡單的。它討論有效可計算的函數，也就是遞歸
函數。遞歸函數在歷史上曾從不同角度提出來，后來證明它們都是等價的。
??? 1931年秋天，丘奇在普林斯頓開了一門邏輯課，克林和羅塞爾當時作為學生記
了筆記。丘奇在講課中引進了他的系統，并且在其中定義自然數。這就很自然引起
一個問題，在丘奇系統中如何發展一個自然數理論。于是克林開始進行研究，結果
克林和丘奇得到一類可計算的函數，他們稱之為A可定義函數。
??? 1934年春天，哥德爾在普林斯頓做了一系列講演(克林和羅塞爾記了筆記)。在
講演中，哥德爾引進了另外一套可以精確定義的可計算函數類，他稱為一般遞歸函
數。據他講，他是受了厄布朗的啟發得到的。
??? 這時自然出現了一個問題。一般遞歸函數類是否包括所有能行可計算的函數，
它是否與克林與丘奇研究的 A可定義函數類重合。1934年春末，丘奇和哥德爾討論
一般遞歸函數問題，結果丘奇明確提出他的“論點”，所有直覺上可看成能行可計算
函數都是 λ可定義函數，于是丘奇花了好幾個月反復思考。當時克林表示懷疑，他
認為這論點不太可能是對的，他想如果從A可定義函數類用對角化方法可以得出另
外一個能行可計算函數，那么它就不是A可定義的。但他又想到這事行不通。不久
之后，丘奇和克林在1936年分別發表論文，證明A可定義函數類正好就是一般遞歸
函數類。有了這個有力的證據，丘奇于是公開發表他的“論點”。
??? 也是在1936年，英國年輕數學家圖林發表了另外一篇重要文章，這標志著所謂
圖林機的產生。在這篇文章中，圖林也定義了一類可計算函數，也就是用圖林機可
以計算的函數。同時，他也提出他的一個論點：“能行可計算的函數”與“用圖林機
可計算的函數”是一回事。1937年圖林證明了用圖林機可計算的函數類與可定義函
數類是一致的，當然，也就和一般遞歸函數類相重合。這樣一來，丘奇的論點與圖
林的論點就是一回事。當時許多人對于丘奇的論點表示懷疑，由于圖林的思想表述
得如此清楚，從而消除了許多人的疑慮，哥德爾就是其中一位。從這時起大家對于
丘奇—圖林論點一般都抱支持的態度了。
??? 與圖林同時，美國數學家波斯特也發表了一篇文章，類似于圖林的可計算函
數，他的文章過于簡短，一直到1943年波斯特才發表了第四個表述，結果證明他的
與別人的也都一樣。
??? 遞歸的概念并不難理解，它就是由前面的結果可以遞推得到后面的結果。哥德
爾等人引進的實際上是一般遞歸函數，一股遞歸函數都可以由原始遞歸函數算出來。
??? 另一個復雜一些的概念稱為遞歸集合S，它的定義是存在一種能行的辦法來判
斷任何正整數n是否屬于S。正數數集合是遞歸的當且僅當它與它在N中的補集都是
遞歸可枚舉的。任何無窮遞歸可枚舉集都包含一個無窮遞歸集。但是，存在正整數
的遞歸可枚舉集而不是遞歸集。
??? 于是波斯特提出問題：是否存在兩個遞歸可按舉但是非遞歸的集合，使得第一
個集合相對于第二個是遞歸的，但第二個相對于第一個卻不是遞歸的。一直到十二
年后的1956年，蘇聯人穆其尼克及美國人弗里德伯格才獨立地肯定地解決了這個問題。
??? 蘇聯數學家馬爾科夫在1947年發表《算法論》，首先明確提出算法的概念。但是
它同以前定義的遞歸函數及可計算函數的計算過程都是等價的。這幾個定義表面上
很不相同，并有著十分不同的邏輯出發點，卻全都證明是等價的。這件事看來決非
巧合。它表明：所有這些定義都是同一個概念，而且這個概念是自然的、基本的、
有用的。這就是“算法”概念的精確的數學定義。大家都接受了這個定義之后，判定
問題從我們平時直觀的概念也上升為精確的數學概念，判定問題也成為一門數理邏
輯的重要分支了。從這時起，判定問題有突飛猛進的發展。
??? 判定問題有了精確的數學表述之后，立即在數學基礎乃至整個數學中產生了巨
大的影響。因為這時一些不可判定命題的出現，標志著人們在數學歷史上第一次認
識到：有一些問題是不可能找到算法解的。在過去，人們一直模模糊糊地覺得，任
何一個精確表述的數學問題總可以通過有限步驟來判定它是對還是錯，是有解還是
沒有解。找到不可判定問題再一次說明用有限過程對付無窮的局限性，它從另外一
個角度反映了數學的內在固有矛盾。
??? 怎樣得到這些結果的呢？丘奇的論點發表之后，不難看出存在不可計算的函
數，也就是非一般遞歸的函數。因為所有可能不同的算法共有可數無窮多(粗淺來
講，算法都是用有限多個字來描述的)，可是所有數論函數的集合卻是不可數的。
??? 不過，頭一個明顯的不可判定的結果是1936年丘奇得到的。他首先得到與λ可
定義性有關的不可判定結果。然后，他把這個結果應用到形式系統的判定問題上，
特別他證明，形式化的一階數論N是不可判定的。也是在1936年，丘奇證明純粹的
謂詞演算也是不可判定的。當時大家的反應是：這種不完全性的范圍到底有多廣？
??? 甚至于象丘奇這樣的數學家，也想找到一條出路能避開哥德爾的結果。比如
說，可以采用伺哥德爾所用的系統完全不同的其他的特殊系統。一旦算法的精確定
義和丘奇論點出現之后，大家就認識到躲不過哥德爾不完全性定理的影響，可計算
性和不完全性這兩個概念是緊密聯系在一起的。
??? 實際上克林在1936年就證明了(作為丘奇論點的應用)：甚至在能夠能行地認出
公理和證明的形式系統中，哥德爾的定理仍然成立。消去量詞方法對許多理論行不
通。一般的判定問題是試圖找出一個能行的步驟，通過這個步驟可以決定什么東西
具有某種指定的元數學特征。
??? 在純粹邏輯演算的元理論中，有最明顯的一類判定問題：對于給定的演算和給
定類的公式，求出一個步驟，能夠在有限多步內判定這類的任何特殊公式是否可以
形式地推導出來。有些情形、問題已經得到肯定的解決，在另外一些情形，答案是
否定的，可以證明不存在這樣一個步驟。這種否定的證明，特別對于數學理論，很
大程度上依賴于遞歸論。
??? 最早明確提出的數學判定問題是希爾伯特第十問題。他在1900年國際數學家大
會上提出了著名的二十三個問題，其中第十個問題是：給定一個有任意多未知數
的、系數為有理整數的丟番圖方程，設計一個步驟，通過它可以經有限步運算判定
該方程是否有有理整數解。這個到1970年才被否定解決的問題不僅解決了一個重大
問題，而且解決問題過程中所得到的工具和結果對數理邏輯和數學發展有著極大影
響，比如表示素數的多項式，尤其與整個數理邏輯有關的是得出了一個更確切的哥
德爾不完全性定理。
??? 現在我們來看希爾伯特第十問題，為了清楚起見，我們考慮多項式方程，看看
一般的多項式丟番圖方程的次數和未定元的數目是否可以降低。
??? 1938年斯科蘭姆證明，任何丟番圖方程的次數可約化成次數小于等于4的方
程；1974年馬蒂亞謝維奇和羅濱遜證明未定元的數目可約化成小于等于3。對于齊
次方程，阿德勒在1971年證明，任何齊次方程可以能行地約化為二次齊次方程組，
從而等價于一個四次齊次方程。對于一次方程早就有具體方法解丟番圖方程了。對
于任意多未定元的二次方程，1972年西格爾也找到一個算法。四次方程不能判定，
三次方程尚不知道。
??? 解決丟番圖方程解是否存在的判定問題的方法是引進丟番圖集。我們把丟番圖
方程的變元分成兩有一組解。每個丟番圖集合是遞歸可枚舉集。1970年，蘇聯大學
生馬蒂亞謝維奇證明了每個遞歸可枚舉集也是丟番圖集合。這樣一來，由于存在不
可判定的遞歸可枚舉集，所以存在一些特殊的丟番圖方程，使得對是否有解的判定
問題不可解。當然對一般丟番圖方程的判定問題就更不可解了。
??? 另一個判定問題是半群和群論中字的問題，半解問題是挪威數學家圖埃在1907
年首先提出來的。問題是對于一個半群，如果給定它的有限多生成元和有限多關
系，那么能否找到一個方法來判定任何一個特殊的字是否等于單位元素。1947年，
波斯特否定地解決了這個問題。
??? 群論中字的問題更為重要，它是在1911年由德恩首先研究的，一直到1955年才
由蘇聯數學家諾維科夫否定解決。這些結果給數學家指明了新的方向：不要妄圖去
解決一大類問題。不過對于更窄的一類的對象比如一類特殊的群，群的字問題是可
解的。
第五章：數理邏輯的大發展
3、模型論
??? 模型論是數理邏輯的一個分支，討論形式語言與其解釋或者模型之間的關系。
如語言是一階謂詞邏輯，則這種模型論就稱為“古典模型論”。最簡單的模型是數學
中的一些結構，例如 5階循環群，有理數域，以及所有按照包含關系歷形成的偏序
結構由整數構成的集合等等。在數學里我們直接研究這類模型，而不管形式語言。
這個理論可以說是泛代數(當然也包含通常代數中的群論、環論、域論等等)，它們
研究同態、同構、子結構、直積等等。可是關于這些模型的性質，都要表示成為語
言。反過來，一個語句可以真也可以假，看你是說哪一個模型。
??? 這樣看來，模型論和代數學是有區別的，有人把模型論看成是邏輯加上泛代
數，這也是十分形象的。模型論一定要明顯地涉及語句，并且以語句為出發點，這
是它同一般代數學有區別的地方。另外模型論的語言是形式語言，它與模型的關系
是語法和語義的關系。對于形式語言，我們只是按照一定的規則(文法規則)去造出
一些語句，至于這些語句含義如何、是真是假，就不是語法所能管得了的。
??? 語法只考慮形式的結構，比如構成語句的符號是哪些，符號之間的關系如何
(誰在誰的前面而不能在后面)等等，而語義則提供解釋或者意義，只有意義才能確
認語句的真假(除了重言式或恒真語句或同語反復之外)。因此可以說，模型論是研
究形式語言的語法和語義之間關系的學科。
??? 在數學中，我們對模型還不是很陌生，在非歐幾何中就是靠引進模型才論證了
非歐幾何公理系統是不矛盾的。但一直到195年左右，模型論才正式成為一門新學
科。主要標志就是1949年亨肯發表的完全性定理的新證明，以及1950年國際數學家
大會上塔爾斯基與羅濱遜的的報告，以及1951年羅濱遜《代數的元數學》的發表。
??? 自此之后，模型論大致可分為兩條路線，一條是美國西海岸的斯科蘭姆一塔爾
斯基路線，他們從四十年代起就由數論、分析、集合論的問題所推動，強調研究一
階邏輯所有公式的集合模型。另一條是美國東海岸的羅濱遜路線，他們的問題由抽
象代表的問題所推動，它強調無量詞公式集與存在公式集。關于兩塊量詞的理論很
多，它們有許多應用。羅濱遜主要用于域論，前蘇聯馬力茨夫等人主要用于群論。
??? 屬于純粹模型論主題的最早的定理有兩個，一個是羅文漢姆的定理。他在1915
年證明每一組有限多公理如果有模型的話，則它也有一個可數模型。把這個定理推
廣到有可數個公理的情況。另一個定理是緊性定理。
??? 三十年代，哥德爾對可數語言證明緊性定理，1936年蘇聯馬力茨夫推廣到不可
數語言。緊性定理在代數學方面有許多應用。
??? 這兩個定理都肯定某種模型的存在性，特別是羅文漢姆—斯科蘭姆定理及緊性
定理指出有想不到的特別大的模型存在。最明顯的就是自然數集合的皮亞諾公理
(其中歸納公理加以改變)，不僅有通常自然集N為其標準模型(即包括可數多個元
素)，還有包括不可數多個元素的模型，這就是所謂非標準算術模型。第一個非標
準算術模型是由斯科蘭姆在1934年首先造出的。這兩個定理的證明都依賴于造模型
的方法。
??? 模型論中常用的構造模型方法與工具有：初等鏈方法、圖式、緊性定理、下行
羅文海姆—斯科蘭姆定理、省略類型定理、力迫法、超積、齊性集合等8種，這些方
法都是相當專門的。
??? 圖式方法是亨金及羅濱遜首創的，它有許多用處，不僅能證明緊性定理、羅文
海姆—斯科蘭姆定理、哥德爾完全性定理等等，而且可以得出許多新定理。
??? 初等鏈是塔爾斯基及沃特在1957年提出的。超積是最常用的構造模型的方法，
超積和超冪的用處表現在同構定理上。超冪的另一個很大的用處是構造非標準分析
的模型。
??? 對于數學理論最重要的事是公理化。在模型論中，公理數目可以有限多，稱為
有限可公理化的理論。這類理論有；群、交換群、環、整域、域、有序域、全序
集、格、布爾代數、貝納斯—哥德爾集合論等等。許多重要理論是不能有限公理化
的，其中一部分是遞歸可公理化的。如可分群、無撓群、特征0的域、代數封閉
域、實封閉域、有限域、尤其重要的是皮亞諾算術和ZF集合論，而有限群論甚至連
遞歸可公理化都不行。
??? 一個理論是遞歸可公理化的充分必要條件是：它的所有推論集合是遞歸可枚舉
的。通常它不一定是遞歸的，如果是遞歸的，則稱為可判定的。可以證明，每個完
全、遞歸可公理化理論是可判定的。因此利用模型論的有力工具可以得出判定理論
的一些結果，如早在1948年塔爾斯基等人證明，實閉域理論是完全的，因此是可判
定的。
??? 早在十九世紀，數學家利用造模型的方法來肯定非歐幾何的真實性，他們造過
許多模型，但這些模型本質上沒有區別，也就是“同構”。在二十世紀初，數學家一
般認為，一個理論的模型都是同構的，如自然數理論就是皮亞諾公理所刻劃的一種。
??? 但是這種想法很快就由于自然數非標準模型的存在而被打破，所以人們又在模
型論當中引進重要的概念—范疇性：一個理論或一組公式如果其所有模型均同構，
它就稱為范疇的。實際上，這對于形式系統(或公理系統)是僅次于協調性(無矛盾
性)、完全性、獨立性之后的第四個重要要求。但是這個要求實在太強了，實際
上，只要一個理論有一個無窮模型，那么它就不是范疇的，所以我們把范疇性的要
求降低。
??? 模型論給數學帶來許多新結果，我們大致可以分成三大部分：在代數方面的應
用主要是在群論和域論方面；在分析方面的應用主要是非標準分析；在拓樸學、代
數幾何學方面的應用主要是拓撲斯理論。
??? 模型論在代數學中最早的應用是量詞的消去，早在三十年代，就由此得到了整
數加法群的判定步驟，塔爾斯基得到實數的可定義集和實數域的判定步驟。
??? 1965年以后，數理邏輯的發展逐步影響到數學本身，因而重新引起數學家們的
注意，特別是集合論與模型論的結果不斷沖擊數學本身。模型論在解決代數問題方
面顯示巨大威力，特別是艾柯斯及柯辰解決了著名的阿廷猜想，這個問題曾使代數
學家為難了幾十年。
??? 非標準分析是羅濱遜在1960年創造的。1961年1月，在美國數學大會上，羅濱
遜宣布了他的非標準分析，其實這就是邏輯學家所謂的實數的非標準模型。在這篇
報告中，他總結了新方法的所有重要方面，因此無可爭辯地成為這個新領域的獨一
無二的創造者。他指出，實數系統是全序域，具有阿基米德性質，也就是任何一個
正實數經過有限次自己加自己之后可以超過任何一個實數。但是非標準實數一般并
不滿足這個條件，比如說一個無窮小量的一千倍，一萬倍、一億倍甚至更多，也大
不過 1，這個性質稱為非阿基米德性質。
??? 最近，非標準分析在分析、微分幾何學、代數幾何學、拓撲學有一系列的應
用，使數學家對非標準分析也不得不另眼相看了，特別是非標準拓撲和非標推測度
論近來更是有重要的突破。
??? 非標難測度論已經得出許多新的“標準”結果，如關于測度的擴張、位勢理論、
布朗運動理論、隨機微分方程、最優控制理論，甚至運用到數理經濟學及高分子物
理化學當中。其中關鍵來自1975年洛布的工作。他從非標準測度空間能造出豐富的
標準測度空間，使得非標準分析真正能對標準數學作出自己的貢獻。
??? 拓撲斯是統—現代數學的最新基礎，它反映了數理邏輯與范演論的結合。范疇
論大約在六十年代初由同調代數學脫胎而出，而同調代數則在四十年代末到六十年
代初由代數拓撲學發展而來。代數拓撲學則是用群、環、域、模等代數結構來刻化
幾何圖形的拓撲結構。同調代數學則用代數結構來刻化代數結構，比如說一組群與
另一組的對應關系。把這個組發展到集合或其它任何結構，研究范躊與范躊之間的
關系就是范疇論。
??? 我們可以考慮幾何的范躊和范躊的范躊。1963年出現了層的范疇，這就是拓撲
斯。托普斯使范疇方法迅速推廣到其他數學分支中去。1970年，勞威爾等人引進一
種特殊的范疇—初等拓撲斯。幾年之后，證明了一個重要結果，一個初等拓撲斯正
好是高階直覺主義集合論的模型。因此，初等拓撲斯就象集合一樣成為數學的基
礎，而且更接近數學的內容。
4、公理集合論
??? 1930年以后，迎來了公理集合論的黃金時代。對于數學家們來說，策梅羅的公
理系統ZF大致夠用。他們仍不太關心集合論的細微未節，以及一層一層的無窮大，
這些在他們的數學中難得碰到。不過除了九條可靠的ZF公理之外，他們也往往需要
選擇公理(AC)，有時也要考慮連續統假設(CH)。他們希望這兩個公理是真的，這樣
似乎就可以天下太平了。誰知事情越來越麻煩，現在居然找出一大堆玄妙的公理和
假設，它們能推出一些我們想要的結果來，同時又出現許多荒唐矛盾的現象。這些
現象十分有趣，但是從外行看來實在亂七八糟。這里還是簡單歸納介紹一下:
??? 4.1 選擇公理
??? 選擇公理是現代數學中最常用的假設，過去許多人曾不自覺地使用。對這個問
題引起注意，是因為康托爾在1883年提出任意集合是否都可良序化的問題。希爾伯
特也曾把這個問題引入其23問題頭一問題的后半部分。1904年，策梅羅提出選擇公
理，并通過選擇公理證明了良序定理。這個公理有極多的等價形式，其中有在代數
中常用的造恩引理。這個應用極廣、看來正確的選擇公理，卻可以證明出一些看來
荒唐的結果。如1914年的豪斯道夫的分球面定理和U23年的巴拿赫—塔爾斯基悖論。
??? 可是選擇公理的用途太大，不能忽視，許多學科的基本定理少不了它：泛函分
析中的哈恩—巴拿赫定理(關于巴拿赫空間上的線性泛函的可擴張性)；拓撲學的吉
洪諾夫定理(關于任意多緊空間的直積為緊)；布爾代數的斯通表示定理，每個布爾
代數皆同構于集代數；自由群論的尼爾森定理，自由群的子群也是自由的。
??? 其他還有許多定理，如果沒有選擇公理也不行。
??? 4.2連續統假設
??? 連續統假設的歷史最久，它可以說是隨著集合論一起產生的。1883年康托爾就
提出了這個假設，可數無窮集的基數的后面就是連續統的基。康托爾花了畢生精力
去證明，但沒有成功。希爾伯特把它列入自己著名的23個問題的頭一個。希爾伯特
本人也曾經用了許多精力證明它，并且在192～—1926年宣布過證明的大綱，但終究
未能成功。這個問題終究懸而未決。
??? 1930年哥德爾完成了他的兩大貢獻以后，曾說過“現在該輪到集合論了”。他從
1935年起就開始研究連續統假設及廣義連續統假設。這一次他又出人意料地證明了
ZF和GCH是協調一致的，不過當然要假設ZF本身也是協調的，雖然這一點一直沒有
得到證明。
??? 哥德爾應用可構造性公理證明ZFC和ZFC＋GCH的相對無矛盾性，他用可構造集
的類L作為ZFC的模型。1963年7月，美國年輕數學家科恩發明了影響極為重大的力
迫法，并證明連續統假設的否定命題成立，這樣一來CH在ZF中既不能證明也不能否定。
??? 4.3可構成性公理
??? 哥德爾證明選擇公理和連續統假設協調性的方法是定義一種類型的集合，叫做
可構成集。假如把集合論中集合的概念完全用可構成集合的概念來理解，那么集合
論中的一些概念就會有相應的改變。但是有一些概念不會改變，這種概念我們稱為
絕對的，特別是可構成性這個概念是絕對的。所以“一切集合是可構成的”，這稱為
可構成性公理。
??? 可構成性的概念非常重要，表現在：1、可構成性公理與ZF的其他公理是協調
的；2、可構成性公理蘊涵連續統假設和選擇公理；3、如果可測基數存在，則不可
構成集合存在，這是斯科特1961年證明的。隨后，羅巴通在他1964年的博土論文中
證明可測基數的存在，蘊涵整數不可構成集合的存在性，后來他又證明可測基數的
存在蘊涵只有可數無窮多個整數的可構成集合。
??? 4.4 馬丁公理
??? 馬丁公理是1970年由馬丁等人提出來的，它與ZFC的其他公理完全不同，不象
一個“真”的公理，但是由它可以推出數學上重要的結果。馬丁公理是連續統假設的
推論，因此可以看成是弱連續統假設。
??? 馬丁公理在數學上有一系列的重要應用。特別重要的是，舍拉在1974年證明懷
特海猜想在ZFC下是不可判定的。同樣，許多拓撲學問題也有類似情況。
??? 4.6 大基數公理
??? 連續統假設及廣義連續統假設反映了最理想的大基數產生的方法，也就是一個
接一個由冪集的基數產生出來。但是，這種理想的情況現在還無法證明，而與它不
同或矛盾的情形也不可能得到否定。因此，這種種特殊大基數的存在性能得到更加
特殊的結果，而且對數學本身產生了不可忽視的影響。
??? 雖然這些大基數極為玄乎，可是由它們可以推出許多重要的數學結果。因此我
們不得不重視它，而它們的存在性作為公理就是大基數公理。可以料到這些大基數
公理同原來的一些公理是矛盾的。比如，可構造公理就蘊涵可測基數不存在。
??? 大基數公理對數學問題的重要性可以由下面問題的解決看出：拓撲學中一個著
名的幾十年末解決的正規莫爾空間猜想歸結為可測基數的存在問題，而象過去局限
于ZFC系統的證明是沒有希望的。
??? 4.6決定性公理
??? 決定性公理是與描述集合論密切相關的公理，它涉及到自然數列的集合是否能
夠通過某種方法決定。
??? 決定性公里的基本問題是：什么集合是可決定的？經過許多人的努力，馬丁在
1975年證明，數學中最常用的保萊爾集合是可決定的。下一個猜想是證明所有解析
集合(即二維保萊爾集合的射影集合)是可決定的，但這個猜想與哥德爾的可構成性
公理相矛盾。上面講過，可構成性公理是與ZFC是相容的，因此這個猜想無法在集
合論中證明。這樣一來，它本身可以成為一個新公理。
??? 比這個公理更加激進的公理是：R的所有子集合都是決定的。這個公理太過激
烈了，以致很難為“真”，因為它首先同選擇公理有矛盾。不過，由這個決定性公理
卻能推出一系列有趣的數學事實；其中最突出的是，由它可推出所有實數集合都是
勒貝格可測的。這樣一來，許多數學成為沒有意思的了。因此，數學家還是不太想
要這個太強的公理。可是，它帶來的一系列問題仍有待解決。
第六章：數學與哲學(上)
??? 從1900年到1930年左右，數學的危機使許多數學家都卷入到一場大辯論當中。
他們看到這次危機涉及數學的根本，必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這
場大辯論中，原來的不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論，以羅素為代表的邏輯
主義，以布勞威爾為代表的直覺主義，以希爾伯特為代表的形式主義三大學派應運
而生。他們在爭論過程中盡管言語尖刻，好象勢不兩立，其實他們各自的觀點在爭
論過程中都吸收了對立面的看法而有很多變化。
??? 1930年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點，哲學的爭論冷淡了下
去。此后各派力量沿著自己的道路發展演化。盡管爭論的問題遠未解決，但大部分
數學家并不太關心哲學問題。近年來數學哲學問題又激起人們的興趣，因此我們有
必要了解一下數學哲學的來龍去脈。
1、邏輯主義
??? 羅素在1903年出版的《數學的原理》中對于數學的本性發表了自己的見解。他
說：“純粹數學是所有形如‘p蘊涵q’的所有命題類，其中p和q都包含數目相同的一
個或多個變元的命題，且p和q除了邏輯常項之外，不包含任何常項。所謂邏輯常項
是可由下面這些對象定義的概念：蘊涵，一個項與它所屬類的關系，如此這般的概
念，關系的概念，以及象涉及上述形式一般命題概念的其他概念。除此之外，數學
使用一個不是它所考慮的命題組成部分的概念，即真假的概念。”
??? 這種看法是羅素自己最早發表的關于邏輯主義的論點。這種看法在以前也不同
程度被戴德金、弗雷格、皮亞諾、懷特海等人表達過。戴德金在1872年出版了《連
續性及無理數》一文，在這篇文章中，他把有理數做為已知，進而分析連續性這個
概念。為了要徹底解決這個問題，必須考慮有理數乃至自然數產生的問題。他認為
應該建立在邏輯基礎上，但沒有實行。
??? 弗雷格在1884年《算術基礎》中認為每個數是一個獨立的對象。他認為算術規則
是分析判斷，因此是先驗的。根據這點，算術只是邏輯進一步發展的形式，每個算
術定理是一個邏輯規律。把算術應用到自然現象上的解釋只是對所觀察到的事實的
邏輯加工，計算就是推理。數字規律無須實踐檢驗即可應用于外在世界，而在外在
世界、空間總體及其內容物，并沒有概念、沒有數。因此，數字規律實際上不能應
用于外在世界，這些規律并不是自然規律。不過它們可以應用于對外在世界中的事
物為真的判斷上，這些判斷即是自然規律。它們反映的不是自然現象之間的關系，
而是關于自然現象的判斷之間的關系。
??? 早在羅素發現悖論之前，他在寫作《數學的原理》時就企圖把數學還原為邏輯，
由于發現悖論，這個計劃遭到了困難。他發現消除悖論的方法之后，又開始具體實
現他的計劃，這就是他和懷特海合著的《數學原理》。
??? 既然羅素、懷特海的《數學原理》原來的目的是企圖把數學建立在邏輯的基礎
上，因此，書一開始就提出幾個不加定義的概念和一些邏輯的公理，由此推出邏輯
規則以及數學定性。
??? 不加定義的概念有基本命題、命題函數、斷言、或、否(非)；這里講的命題是
指陳述一件事實或描述一種關系的一個語句，如“張三是人”，“蘋果是紅的”等等，
由這些概念可定義邏輯上最重要的概念“蘊涵”。
??? 要想由邏輯推出數學，第一步是推出“數”來，這件事皮亞諾及弗雷格都做了。
羅素在消除悖論之后，成功地用“類”來定義1。這個過程極為繁瑣費力，一直到《數
學原理》第一卷的363頁才推出“1”的定義，而第二卷費了很大力氣證明了n×m＝m×n。
??? 在《數學的原理》及《數學原理》中，羅素的目標在于證明“數學和邏輯是全等的”
這個邏輯主義論題，它可以分析為三部分內容：
??? 1、每條數學真理都能夠表示為完全用邏輯表達或表示的語言。簡單來講，即
每條數學真理都能夠表示為真正的邏輯命題。
??? 2、每一條真的邏輯命題如果是一條數學真理的翻譯，則它就是邏輯真理。
??? 3、每條數學真理一旦表示為一個邏輯命題，就可由少數邏輯公理及邏輯規則
推導出來。
??? 這三方面不完全一樣，羅素只是分別在各處用一條或兩條表示過邏輯主義。由
于哥德爾的不完全定理，3是錯的，但是還可以堅持1和2。
??? 羅素認為邏輯主義的許多主要論點不是來自他本人，弗雷格就曾明確地表示過
一些邏輯主義的觀點。但是，邏輯主義觀點盡管受到批判，羅素本人還一直堅持。
在三十年代以后，還是有許多人發展邏輯主義。
??? 邏輯主義從—開始就遭到批評，“因為如果數學只是一套邏輯演繹系統，那么它
怎么可能反映廣泛的自然現象呢？它又怎樣能夠有創造力呢？它又怎樣能夠產生新
觀念呢？”用維特根斯坦的話說，數學就是同語反復(重言式)，結不出任何新知識。
??? 羅素悖論的出現，使得這一派遭到的攻擊更大。彭加勒挖苦他們“邏輯主義的
理論倒不是不毛之地，什么也不長，它滋長矛盾，這就更加讓人受不了”。羅素—懷
特海用了幾年時間寫出了《數學原理》論證了自己的觀點，仍不免遭到譏諷。彭加勒
挖苦他們費很大力氣去定義1，說“這是一個可欽可佩的定義，它獻給那些從來不知
道1的人”，別人也說這一套完全是中世紀的教條。更有人指出這種方法的人為性、
煩瑣性。尤其是可化歸公理，顯然是硬加上的，沒有任何自然之處。盡管如此，邏
輯主義總算還能自圓其說。
??? 對邏輯主義致命打擊的是哥德爾的不完全性定理，它證明了從邏輯并不能推出
算術的正確性來，顯然把數學全部化歸為邏輯徹底失敗了。但是，羅素等人的歷史
功績是不可磨滅的，他們為數學奠定了邏輯基礎。在一段時期內，《數學原理》是一
部引導數學邏輯家的經典，至今它還有一定的意義。
??? 邏輯主義也不是后繼無人，英國的拉姆塞、美國的奎因都對邏輯主義作了進一
步的發展。
2、直覺主義
??? 直覺主義有著長遠的歷史，它植根于數學的構造性當中。古代數學大多是算，
只是在歐幾里得幾何學中邏輯才起一定作用。到了十七世紀解析幾何和微積分發明
之后，計算的傾向大大超過了邏輯傾向。十七、十八世紀的創造，并不考慮邏輯的
嚴格，而只是醉心于計算。
??? 十九世紀初，三個力量出現了，一個是解五次代數方程碰釘子，需要考慮存在
性定理。一個是非歐幾何不矛盾，是邏輯而不是直覺在起作用。一個是數學分析不
嚴格，產生荒謬的結果。在新的矛盾面前出現一些非構造性結果，也考慮一些無窮
的問題。這時追求嚴密與追求實用構造兩種傾向都有增長，不過一般數學家維持著
微妙的平衡。
??? 到了十九世紀末，集合論的出現激起這兩方面的尖銳斗爭。于是出現極端的構
造主義者，象克洛耐克否認無理數存在，否認連續函數，他認為任何東西部要有構
造步驟或判斷準則，但即使他本人的工作也不符合他自己的要求。
??? 法國數學家彭加勒等人是半直覺主義者，有人稱為法國經驗主義者。他們反對
實無窮，反對實數集合，反對選擇公理，主要因為他們認為根本不能進行無窮的構造。
??? 現代直覺主義真正的奠基人是布勞威爾，他于1881年2月27日生于荷蘭奧弗
西。1897年進入阿姆斯待丹大學學習，一直到1904年，他很快掌握了當時的數學并
且發表關于幾何第一個結果。他多少受曼諾利的影響，關心當時的基礎問題，在
1907年博士論文中闡述自己對數學基礎問題的觀點。
??? 布勞威爾是從哲學中得出自己觀點的，基本的直覺是按照時間順序出現的感
覺，而這形成自然數的概念。這倒不是新鮮的，他認為數學思維是頭腦中的自由構
造，與經驗世界無關，只受基本數學直覺為基礎的限制，在這方面他是不同于法國
經驗主義者的。數學概念進入人腦是先于語言、邏輯和經驗的，決定概念的正確性
是直覺，而不是經驗及邏輯。這些充分暴露了他唯心主義和神秘主義的思想傾向。
??? 布勞威爾認為數學直覺的世界和感覺的世界是互相對立的，日常的語言屬于感
覺世界，不屬于數學。數學獨立于語言存在，而邏輯是從屬于語言的，它不是揭露
真理的工具，而是運用語言的手段。正因為如此，數學中最主要的進展不是靠邏輯
形式完美化而得到，而是靠基本理論本身的變革。
??? 布勞威爾認為邏輯規律并不對數學有什么約束作用，數學是自由的，不一定遵
守什么邏輯規則。他認為經典邏輯是從有限集合的數學抽象出來，沒有理由運用到
無窮集合。1908年，他反對把排中律運用于無窮集合上，因為有窮集合可以逐個檢
查，而無窮集合則辦不到，因此存在不可斷定真假的第三種情況，就是說有既不可
證明，又非得要證明的命題。
??? 1908年到1913年，布勞威爾主要從事拓撲學的研究，他運用單形逼近的方法證
明了維數的拓撲不變性，這在數學上是個了不起的成就，是極重要的拓撲方法。他
在李群、幾何等方面也有出色的工作，不過很快他又轉向基礎研究。
??? 布勞威爾象康德和彭加勒一樣，認為數學定理是先驗綜合真理。他在1912年的
阿姆斯特丹大學就職演說中，他承認由于非歐幾何的發展，康德的空間學說不可
信。但他同弗雷格和羅素相反，仍然堅持康德的觀點，算術是從對時間的直覺導出
的。由于現代數學是建立在算術基礎上的，所以整個數學也是如此。正是時間單位
的序列產生序數的概念，而連續統[0，1]只是不可用新單位窮盡的居間性，他認為
幾何學也依賴于這種直覺。他認為除了可數集合之外，沒有其他集合，所以ω以上
的超窮數都是胡說八道，象 0與 1之間所有實數的集合是毫無意義的。這點他在
1908年羅馬召開的國際數學家大會上講過，數學無窮集合只有一個基數，即可數無窮。
??? 1909年他同希爾伯特通信，指出形式主義和直覺主義的爭論焦點。1912年說到
這個問題之后，他一直到1917年才又開始這方面的論戰。從這時起到二十年代末他
發表一系列的文章，開始建立一個不依靠排中律的集合論，接著又建立構造的測度
論及函數論，這是他從消極的否定轉變為積極的構造。同時他試圖使數學家相信排
中律導出矛盾。他運用了扇定理，這個定理及選擇序列、散集等是他的直覺主義數
學的獨創。
??? 三十年代初期由于哥德爾的工作，許多數學家開始重視直覺主義。外爾早在
1920年左右就表示效忠于直覺主義，從而激起希爾伯特的極大憤怒。他吸收了直覺
主義一些思想，開始用有限主義方法來完成證明論方案，企圖一勞永逸地解決基礎
問題，不料沒能成功，于是還得求助于無窮。
??? 直覺主義仍然進行他們的事業，特別是海丁建立直覺邏輯系統，它包含古典邏
輯系統。后來更有人建立直覺主義集合論及直覺主義分析。不過，仍然不能盡如人意。
??? 1967年，美國數學家畢肖普出版《構造性分析》一書，開始了構造主義的時期。
他們不象以前直覺主義者那樣偏激，而是積極采用構造的方法解決一個個具體問
題。不去單純的否定或爭論。畢肖普自信會取得大多數人的支持，不過沒有能實
現，因為他們畢竟成就有限，難于同整個數學汪洋大海相比，可是十幾年來構造主
義還是取得一定進展，如《構造性泛函分析》等書問世，說明它還有一定的市場。
第六章：數學與哲學(下)
3、形式主義
??? 一般認為形式主義的奠基人是希爾伯特，但是希爾伯特自己并不自命為形式主
義者。并且，希爾伯特的思想有一個發展變化的過程，我們簡單地介紹一下。希爾
伯特是二十世紀最有影響的數學家，他不僅是數學上一些分支的公認權威，而且恐
怕也是最后一位在幾乎所有數學領域中都做出偉大貢獻的全才。更重要的是，他對
于數學基礎問題有著長時期的持久關注，他的思想在現代數學也占有統治地位。
??? 大衛·希爾伯特，1862年1月23日出生在東普魯士的哥尼斯堡。他一直在家鄉上
學，1885年取得博士學位，1886年就任哥尼斯堡大學講師。1888年因為解決了不變
式理論中著名的“哥爾丹問題”開始在數學界嶄露頭角，1891年他升任副教授，1893
年升任教授。1895年，他應克萊因之邀，任哥丁根大學教授，由此開辟了哥丁根大
學的黃金時代。他在哥丁根大學任教至1930年退休，其間培養了各國數學家，單是
他指導的博士論文就有五、六十篇。由于他的影響，哥丁根成為世界數學的中心，
繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌權后才迅速地衰落下去。晚年學生大都離開，
他于1948年2月14在孤寂中逝世。
??? 希爾伯特前期主要供獻在不變式論方面。1895年左右，他寫了代數數論的總結
性巨著。二十世紀開始時，他的興趣轉向分析及物理學。從十九世紀末，他對數學
基礎做出重大貢獻。為了方便起見，不妨把他關于數學基礎和數理邏輯的主要著作
開列如下：
??? 1899年，《幾何學基礎》，本書多次宣印及再版，生前最后一版為第七版(1930
年)。正文部分有中釋本。
??? 1900年，實數的公理化，以及“數學問題”
??? 1904年，在海德堡國際數學家大會上的講演—“論邏輯和算術的基礎”
??? 1917年，公理化思想
??? 1922年，“數學的新基礎”，以及“數學的邏輯基礎”
??? 1925年，論無窮
??? 1927年，數學基礎
??? 1928年“數學基礎問題”在意大利波洛那國際數學家大會上講演；《理論邏輯綱
要》(同阿克曼臺著)，本書很快成為標準著作。1938年第二版，1949年第三版，有
中譯本，莫紹接譯《數理邏輯基礎》，1959年第四版，阿克曼做了很大的改動。
??? 1930年，“初等數論基礎”“邏輯及對自然的認識”
??? 1931年，“排中律的證明”
??? 1934年，《數學基礎》Ⅰ；1939年，《數學基礎》Ⅱ，這兩本書與貝納斯合著
??? 從希爾伯特的著作看來，希爾伯特提出了大部分形式主義觀點，但他并沒有把
它們絕對化。他的觀點有些地方同邏輯主義、直覺主義有著共同之處。這反映出某
種矛盾，應該說這種矛盾是數學家的哲學思想上的矛盾。
??? 關于數學中的存在，他認為不限于感覺經驗的存在。在物理世界中，他認為沒
有無窮小、無窮大和無窮集合，但是在數學理論的各個分支中卻都有無窮集合，如
自然數的集合，一個線段里所有點的集合等等。這種不是經驗能夠直接驗證的對
象，他稱之為“理想元素”。引進理想元素的方法在數學中其實由來已久，比如代數
中虛數的引進，幾何中無窮點的引進，微積分中無窮小與無窮大的引進等等。但是
理想元素的引進必須不把矛盾帶到原來的較窄狹的領域內。由于理想元素不能靠直
觀經驗來驗證，只能靠邏輯來驗證，因此合理性的唯一判據就是無矛盾性。這種無
矛盾性的真理觀實際上是形式主義基本論點。
??? 但是希爾伯特并不抱這種極端和絕對的看法，他看到引進新元素往往是對于舊
元素的一種擴張，所以很自然地要求擴張之后增加的新元素仍能保留舊元素的大部
分基本性質，就象數的擴張仍能使加法交換律保持成立。當然這樣也就在一定意義
下限制了擴張的任意性，這也是因為對于搞研究的數學家來講，引進新概念是為了
需要，而不是“游戲”，所以希爾伯特還認為“需要有相應的成果”，而且這是“至高
無上的裁判”。把這個標準弄進來，反而使得標準變得模糊不清。
??? 但是在什么情況下，關于理想元素的命題為真呢？這個問題，希爾伯特不認為
每個個公式都必須得到驗證，每一個概念都必須得到解釋，然后通過直觀驗證。
??? 在1900年的《論數的概念中》，希爾伯特提議用公理化方法來代替“生成的”方
法。在《幾何學基礎》中，希爾伯特超過解析幾何選出的算術模型來證明他的幾何公
理的無矛盾性。這樣證明的是相對無矛盾性，也就是把幾何學的無矛盾性歸于實數
的算術公理的無矛盾性。于是他在1990年國際數學家大會上把算術公理的無矛盾性
列為他那著名23個問題中的第二個。他沒有指出任何解決這個問題的途徑，而只是
強調相對無矛盾性的證明沒有問題。
??? 不久，羅素悖論變得眾所周知，從而無矛盾性問題變得更加緊迫。于是，希爾
伯特在1904年在德國海德堡召開的國際數學家大會上提出第一個證明算術無矛盾性
的打算。事實上，這是現代這方面研究的原型。他的草案是：要證明某些初等公式
具有無矛盾性，并且推演規則傳遞這個性質。
??? 在這篇題為《論邏輯和算術的偽基礎》的報告開頭，希爾伯特評論對于算術基礎
的不同看法。他認為，克洛耐克是教條主義者，因為他原原本本地接受整數及其所
有重要性質，他不再深入下去探求整數的基礎。德國科學家赫姆霍茨是經驗主義
者，按照他的說法，任意大的數不能夠由我們的經驗得出，因此是不存在的。另外
有一些人，特別是德國數學家克里斯多弗張反對克洛耐克的觀點。他們認為，要是
沒有無理數的概念，整個數學分析就勢必要垮掉。于是他們企圖找尋正面的、肯定
的性質來確認無理數的存在。但是，他認為這種觀點是不徹底的，因此說他們是機
會主義的。這幾種觀點，希爾伯特都表示反對。
??? 希爾伯特認為比較深入的觀點是下面幾種：一是弗雷格的邏輯主義，他把數學
規則建立在邏輯的基礎上；二是戴德金的先驗主義，他是根據哲學上的論證來推斷
無窮的存在，不過他對數的論述中包含著“所有對象的集合”這類矛盾了；三是康托
爾的主觀主義觀點，他清楚地區分“相容集”及“不相容集”。但是他沒有提供明顯的
判據，因此缺乏客觀的可靠性。
??? 希爾伯特認為所有困難都可以通過給數的概念建立完全而嚴格的基礎而得到克
服，這就是公理化方法。1904年以后，希爾伯特把主要精力放在研究積分方程等分
析問題以及物理學公理此等方面，沒有發表什么數學基礎方面的著作。這時，各種
流派進行的激烈斗爭，也不能不使希爾伯特關心。尤其是布勞威爾直覺主義的出
現，他感到對于整個數學的生存和發展是個極大的威脅，于是他開始投入戰斗。
??? 從1917年起的二十多年時間里，他為了挽救古典數學竭盡全力。1917年他在蘇
黎世發表一篇演說，題目是“公理思想”。這篇文章全面敘述了一些與認識論有關的
問題，如數論和集合論的無矛盾性，每個數學問題的原則上可解性，找出數學說明
的單純性，的標準數學中內容與形式表示的關系，數學問題通過有限步驟的可判定
性問題。這些問題預示著后來數理邏輯的發展。他認為，要想深入研究就必須對數
學證明的概念進行深入的研究。既然邏輯推理可以符號化，進行數學的研究，為什
么證明不行呢？他提出了證明論的一般思想和目標，但是沒有具體化。
??? 希爾伯特他第一篇證明論的工作是1922年發表的，在《數學的新基礎：第一篇》
中，他論述如何把數論用有限方法討論，而數學本身卻一般須用超窮方法。他指出
用符號邏輯方法可以把命題和證明加以形式化，而把這些形式化的公式及證明直接
當做研究對象。在1922年在德國自然科學家協會萊比錫會議上，他做了《數學的邏
輯基礎》的演講，更進一步提出了證明方法。要求有限主義，即經過有限步不推出
矛盾來即為證明可靠，這稱為希爾伯特計劃。
??? 其實早先弗雷格已經堅持認為需要有明顯的符號系統，明顯的公理及推演規
則，明顯的證明。希爾伯特定走的更遠，他提出這樣一種明顯理論本身也做為一種
數學研究的對象，且應用適當的方法來判定它是否無矛盾，這種做法一般稱為元數學。
??? 希爾伯特建議兩條最基本的原則：一、形式主義原則：所有符號完全看做沒有
意義的內容，即使將符號、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而
只是把它們看作純粹的形式對象，研究它們的結構性質；二、有限主義原則，即總
能在有限機械步驟之內驗證形式理論之內一串公式是否一個證明。應用數學方法于
這樣一個形式理論，避免涉及無窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法。這個
思想是只應用靠得住的方法，因為要證明數學或其一部分無矛盾的方法是大家公認
可靠的，整個數學才有牢固的基礎。
4、數學與哲學
??? 現代的數學家大都很少關心哲學文題，甚至對基礎問題一般都不聞不問。從二
十世紀三十年代之后，數理邏輯成為一門極為專門的學科，象幾何、拓撲、分析、
代數、數論一樣，成為專家研究的對象，外行簡直難于理解。
??? 這樣一來，數學家與數學基礎、數理邏輯，乃至數學哲學脫離的越來越遠，這
可以從當代一位有影響的數學家的說法看出來。布爾巴基學派主要成員丟東涅談
到：“眾所周知，從十九世紀后半葉以來，數理邏輯和集合論的發展引起當時許多
數學家的興趣乃至極大的熱情，他們甚至并非邏輯專家，也毫不遲疑地參與由這些
問題所引起的論戰。到今天，這種局面完全兩樣。我覺察不到當代數學界的年輕的
領袖人物對于基礎問題表示過程何興趣，除非他們專搞這一行”。當然，他們也不
能說沒有自己的哲學。拿布爾巴基學派來說，他們就是形式主義派的極端代表。不
過，他們對哲學論戰不那么感興趣罷了。
??? 在十九世紀末，這種情況則完全不一樣。哲學的論戰與基礎問題緊密結合在一
起，成為幾乎每位重要數學家的關注對象。到了二十世紀，更是有著所謂三大派——
邏輯主義、直覺主義和形式主義的爭論。不過這些爭論問題并沒有得到解決，更重
要的是，它們似乎離數學問題越來越遠，因此越來越失掉了指導意義。
??? 三十年代以后，討論數學哲學的不多論著大都是數理邏輯專家或哲學家寫的。
因此，他們討論的哲學問題大都偏重于數理邏輯，而較少涉及數學本身的哲學問
題。王浩在他的《從數學到哲學》—書中，談到數學哲學討論的主要問題：1、純粹邏
輯的本性及其在人類知識中的地位；2、數學概念的刻劃；3、直覺及形式化在數學
中的地位；4、邏輯與數學的關系；5、數學的本性及其與下列諸概念的關系，必然
性、分析性、真理性、先驗性、自明性；6、數學在人類知識中的地位；7、數學活
動及實際。
??? 顯然這些問題都是數理邏輯專家感興趣的題目。但是在過去，數學哲學的題目
比這更廣泛、更一般。我們列舉幾條：1、數學的對象以及它們與現實世界(或實
在)的關系；2、(由此產生的)數學中的“存在”，乃至無窮的意義；3、數學活動的
本質是發現還是發明；4、數學的真理性、絕對性、相對性、約定性；5、真理的判
斷標準；6、數學與邏輯的關系；7、數學的方法論，公理化與形式化。
??? 數學作為人類知識體系的一部分，不能不直接或間接和人類社會實踐活動有
關。在長期實踐過程中，人們進行計數、計算、測量、造型(建筑)、產生出算術、
代數、幾何等方面數學知識。隨著人類認識的深入，形成了數學的體系，它的內容
主要是符號化、計算方法、概念與規律性、證明推理。
??? 到了十九世紀七十年代，數學內容進一步發生變化：集合論成為統一數學的新
基礎，數理邏輯的形成、公理化運動、數學結構、抽象數學概念指數增長。在這種
情況下數學內容與其實際背景脫離越來超遠，從局部看來仿佛是從天上掉下來的，
這就導致數學對象的唯心主義理解。
??? 關于數學的對象有三種觀點：實在論、觀念論、形式主義，實在論觀點是說數
學命題反映我們物理世界最普遍的性質。這種觀點比較古老，很長時期占統治地
位。按照這種觀點，數學是物理科學的一部分。
??? 觀念論的數學觀認為數學的對象是某種精神或思想對象。觀念論按照對象的性
質又可以區分為各種觀點：一個極端是柏拉圖主義，它把經典數學的對象無窮擴張
也有其現實性；另一個極端是直覺主義，數學對象是先驗的一時的直覺過程。
??? 這種觀念論的數學觀也遭到批評，一是不確切，二是另有形而上學的假定，而
數學應該除掉形而上學前提條件。拿直覺主義來講什么是“直覺”呢？很難講清。不
過，它們有這樣的性質：1、它本質上是一種思維活動；2、它是先驗的；3、它不
依賴于語言；4、它是客觀的，也就是對于所有思想者都是同樣的。
??? 形式主義的數學對象是形式系統，形式系統與以上兩種數學觀的對象不同，它
只是一個架子，指定一些對象而不管其意義如何，然后由對象按照一定規則組成
項，并規定由項組成的一些原始話題的方式，再指定一些原始命題稱為公理及推演
規則。數學的對象就是這樣構成的形式系統，其主要任務就是由這些對象推出定理
來。從某種意義上來講，形式主義的數學就是符號游戲。
??? 從上述幾種觀點看來，持實在論及柏拉圖主義觀點的人認為數學是不依賴于人
們對它的認識而存在，因而具有絕對真理的性質，所以數學家的工作就在于發現這
種真理。但是直覺主義者和形式主義者則認為數學家的工作在于發明。當然，人們
是不可能憑空發明任何東西的。對于直覺主義者來講，總是承認自然數是給定的，
至于別的就是人們從自然數出發的發明。
??? 形式主義者的形式系統雖說可以任意選出，但是終究在發明過程中也仰賴于經
驗及過去的知識，或者說是從客觀世界中歸納出來的。要不然，那就的的確確是游
戲了。
??? 不過直覺主義的發明和形式主義的發明完全不同。直覺主義的發明不是任意
的，而是必須能夠具體選出來，也就是從自然數經過有限多步寫出來。他們主張，
要證明一個數學對象存在，必須指出這個對象是怎樣造出來的。這種觀點可以遠溯
到德國著名哲學家康德，他認為數學最終的真理性在于數學概念可以通過人的智慧
來構造。
??? 由于對數學對象的觀點不同，所以對于數學命題的真假以及數學的可接受性也
有不同的看法。一門數學是否被大家接受往往不只是靠真、假，而且還有許多其他
因素，特別是是否有直觀或經驗的依據，以及實用性。當然最重要的是真假，不過
各派的真理觀距離實在太遠。
??? 對于實在論者，數學命題的真假靠實踐檢驗。它正如物理學及生物學命題一
樣，靠觀察實驗。比如高斯的確實實在在地在地球上找三點，具體測量三角形內角
之和是否為180°。對于觀念論者，數學命題的真假要靠先驗的假定。
??? 對于形式主義者，數學命題無所謂絕對真假，而是相對于某一個系統，但是這
個系統必須是無矛盾的，無矛盾性是真理的判斷標準。
??? 產生最大矛盾之處是關于無窮的概念。在有窮的問題上，各派的對立沒有那么
尖銳，它主要是數學中到處出現的無窮造成的。在古希臘，關于無窮可分性沒連續
性的芝諾悖論使數學家對無窮特別小心。歐幾里得的無窮是潛在的無窮，他不討論
無窮長的直線而只討論可以延伸到任意長度的線段。他對無窮觀念表現在“素數無
窮多”是指任何有限多素數集臺之外還有素數，而不考慮所有素數的無窮整體。數
學家一直回避這種實在的無窮。一直到康托爾集合論之前，他們都局限于潛在的無
窮，這就是超越過所有有限的變化著的有限。
??? 而實在的無窮則分為三類：1、絕對的實在無限，完全獨立的、超越世界而存
在的，在神中實現的絕對的實無窮；2、超窮，現存世界或被造世界中具體化的無
窮；3、超窮數，人仍所認識的抽象的實在的無窮。
??? 依據對超窮和超窮數的見解，可以區分為下面四種觀點：1、完全否認超窮和
超窮數，如柯西；2、承認具體的實在無窮，但否認抽象的實在無窮，例如笛卡
爾、萊布尼茲、洛克、斯賓諾莎都持這種看法；3、神學的觀點，承認抽象的實在
無窮而否認具體的實在無窮，也就是顯示上帝的偉大，只有上帝才是無窮的，而他
所創造的世界只能是有限的；4、康托爾的觀點是既承認抽象的實在無窮，也承認
具體的實在無窮，康托爾的觀點中有柏拉圖 主義的成份，他不是形式主義者。
結束語
??? 數學素以精確嚴密的科學著稱，可是在數學發展的歷史長河中，仍然不斷地出
現矛盾以及解決矛盾的斗爭。從某種意義下講，數學就是要解決一些問題，問題不
過矛盾的一種形式。
??? 有些問題得到了解決，比如任何正整數都可以表示為四個平方數之和；有些問
題至今沒有得到解決，如哥德巴赫猜想：任何大偶數都再可以表表示為兩個素數之
和。我們還很難說這個命題是對還是不對，因為隨便給一個偶數，經過有很多次試
驗總可以得出結論，但是偶數有無窮多個，你窮畢生精力也不會驗證完。也許你能
碰到到一個很大的偶數，找不到兩個素數之和等于它，不過即使這樣，你也難以斷
言這種例外偶數是否有限多個，也就是某一個大偶數之后，上述歌德巴赫猜想成
立。這就需要證明，而證明則要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。借助于計算機
完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結成有限的情形，沒有
有限，計算機也是無能為力的。因此看出數學永遠回避不了有限與無窮這對矛盾。
只要無窮存在，你就要應付它。這可以說是數學矛盾的根源之一。
??? 在處理出現矛盾的過程中，數學家不可能不進行“創造”，這首先表現在產生新
概念上，我們不妨先不管自然數。為了解決實際問題、人們必須發明出“零”來，然
后要造出負數、有理數、無理數乃至虛數。所謂虛，就是不實，憑空想象出來的意
思，不過解代數方程有必要把它請進來，請進來后又覺得它不實在、不太放心。后
來它用處很大，能解決非它不可的問題，于是轟也轟不走了。
??? 復數擠進數學王國之后，跟著四元數、八元數、超復數……都來了，它們可沒有
復數都么大的用處，甚至根本沒用。要還是不要呢？這也使數學家處于為難的境
地。數學家經常處于這種矛盾的過程中。
??? “什么是存在？”，這是數學的一個基本問題。什么東西可以擠進數學王國？直
覺主義者規定一個較窄的限制：必須能夠一步一步構造出來；而形式主義者規定一
個較寬的限制：只要沒有矛盾就行了。不過什么叫沒有矛盾？當然邏輯沒有矛盾，
其實就是遵守形式邏輯規律。可是形式邏輯是從人類有限經驗推出來的，對于無窮
情形還靈不靈？這當然存在問題，可是不許推廣，那數學還能剩下多少靠得住的東
西呢？
??? 在數學史上這種矛盾也是屢見不鮮的。無窮小量剛出現時，漏洞百出、無法自
圓其說，可是行之有效、解決問題。所以達朗貝爾說：“前進，你就能恢復信
心!”，這可以說是一種實用主義態度。
??? 十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯用極限概念解決了矛盾，同時也扔掉了無窮
小，這里無矛盾性占了上風。1961年，羅濱遜發明非標準分析，又把無窮小量請了
回來，仍然沒有矛盾。不過它是建立在模型論基礎上，要承認非可數無窮基數的存在。
??? 承認無窮集合，承認無窮基數，就好象打開潘朵拉的盒子，一切災難都出來
了。這就是第三次數學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以回避，數學的確
定性卻在一步一步喪失。最近莫利斯·克萊因寫了一本《數學—確定性的喪失》一書，
就是講的這件事。
??? 現代公理集合論的一大堆公理簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦兒
消除掉，它們跟整個數學可是血肉相連的。所以第三次危機表面上解決了，實質上
更深刻地以其它形式延續看。矛盾既然是固有的，它的激烈沖突—危機也會給數學
帶來許多新內容，新認識，有時也帶來革命性的變化。
??? 把二十世紀的數學同前整個數學相比，內容不知豐富了多少，認識也不知深入
了多少。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論。數
理邏輯也興旺發達，成為數學有機整體的—部分。古代的代數幾何、微分幾何、復
分析現在已經推廣到高維，代數數論的面貌也多次改變，變得越來越優美、完整。
一系列經典問題完滿地得到解決，同時又產生更多的新問題。特別是二次大戰之
后，新成果層出不窮，從未間斷。教學呈現無比興旺發達的景象，而這正是人們在
同數學中矛盾斗爭的產物。
(完)
總結
- 上一篇： 将ocx和DLL文件打包成cab文件,i
- 下一篇： cacti 被监控机器snmp 配置