習題

• **第三章 空間域圖像增強**
• • 習題1
  • • • 請寫出冪次變換的基本形式。在使用冪次變換增強圖像時，參數的選擇應注意什么問題？
  • 習題2
  • • • 什么是對數變換，對數變換的典型應用是什么？
  • 習題3
  • • • 某個灰度變換如下圖所示，其中L=256,r1=50,s1=10，r2=200，s2=245,求該變換的函數表達式。
  • 習題4
  • • • 某同學編了個程序，直接用對數變換：s=log2(1+r)，對256灰度級的數字圖像進行增強，發現結果圖像顯示出來基本是全黑的，請問他可能忽略了什么問題，如何解決
  • 習題5
  • • • 求一變換函數能產生256灰度級圖像的第5位平面，并畫出函數曲線。
  • 習題6
  • • • a為正常數的指數式$e^{?a{r}^2}$對于構造灰度平滑變換函數是非常有用的。由這個基本函數開始，構造具有下圖形狀的變換函數。所示的常數是輸入參數，并且提出的變換必須包含這些參數特定的形式。
  • 習題7
  • • • 已知一幅圖像的直方圖為$h(r_k)$，假如將最低位平面設為零值，求新圖像的直方圖。
  • 習題8
  • • • 現有一圖像，其直方圖具有如下函數形式：
  • 習題8
  • • • 下圖為一副3bit的數字圖像，試畫出直方圖，并進行直方圖均衡
  • 習題10
  • • • 對同樣的場景采集了4幅圖像，下面顯示了這4幅圖像的直方圖，你能否根據直方圖說出這4幅圖像各有什么特點？哪幅圖像的效果最好？
  • 習題11
  • • • 一幅圖像的灰度PDF，$P_r(r)$示于下圖。現對此圖像進行灰度變換，使其灰度表達式為下面有右圖的$P_z(z)$。假設灰度值連續，求完成這一要求的變換（r到z）
  • 習題12
  • • • 圖像的減法常可用在圖像處理中，但在差值圖像中會有負值出現，要顯示這種圖像需要某種標度，請指出兩種標度方法。
  • 習題13
  • • • 請給出兩種3x3的可用于平滑線性濾波掩模。
  • 習題14
  • • • 請證明中值濾波是非線性的算子。
  • 習題15
  • • • 已知一幅圖像如下，試寫出分別用3x3的均值濾波器和中值濾波器處理的結果（可以不考慮位于圖像邊界的像素）。
  • 習題16
  • • • 拉普拉斯算子在圖像增強中很有重要的應用。（1）請給出對于二元圖像函數f(x,y)的拉普拉斯變換的定義。（2）請給出兩個考慮了對角線方向的拉普拉斯掩模。（3）請寫出使用拉普拉斯算子對圖像增強的基本方法。
  • 習題17
  • • • 圖像處理中計算一階微分的掩模有許多種，請說出它們都必須有的特性。

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第三章 空間域圖像增強

重點：空間域增強的概念；基本灰度變換；直方圖處理；算術/邏輯操作；空間域濾波、平滑空間域濾波、銳化空間濾波

習題1

請寫出冪次變換的基本形式。在使用冪次變換增強圖像時，參數的選擇應注意什么問題？

分析：冪次變換的基本形式為：$s=c{r}^{\gamma }$,通過選取不同的$\gamma$值可以得到一族變換曲線如下圖

答：冪次變換的基本形式為$s=c{r}^{\gamma }$，其中c和$\gamma$為正常數。$\gamma$的選取與增強的效果有很大關系。一般來說，對于偏暗的圖像應該選取小于1的$\gamma$值，而對于偏亮的圖像應選取大于1的$\gamma$值。

習題2

什么是對數變換，對數變換的典型應用是什么？

答：對數變換的一般表達式：$s=clog(1+r)$。其中c是一個常數，$r?0$。此種變換使一窄帶低灰度輸入圖像值映射為一寬帶輸出值。可以利用這種變換來擴展被壓縮的高值圖像中的暗像素。對數變換的一個典型應用是圖像的傅里葉頻譜的顯示。

習題3

某個灰度變換如下圖所示，其中L=256,r1=50,s1=10，r2=200，s2=245,求該變換的函數表達式。

解：圖示變換曲線是分段線性變換函數
當$0?r?50$，$s=T(r)=\frac{1}{5}r$

當$50?r?200$，$\frac{r?50}{200?50}=\frac{s?10}{245?10}$，$s=T(r)=\frac{47}{30}r?\frac{205}{3}$

當$200?r?256$，$\frac{r?200}{255?200}=\frac{s?245}{255?245}$，$s=T(r)=\frac{2}{11}r+\frac{2295}{11}$

$$s=T(r)=?\begin{array}{rcl}\frac{1}{5}r& & 0?r?50\\ \frac{47}{30}r?\frac{205}{3}& & 50?r?200\\ \frac{2}{11}r+\frac{2295}{11}& & 200?r?256\end{array}$$

習題4

某同學編了個程序，直接用對數變換：s=log2(1+r)，對256灰度級的數字圖像進行增強，發現結果圖像顯示出來基本是全黑的，請問他可能忽略了什么問題，如何解決

分析：灰度是表明圖像明暗的數值，即黑白圖像中點的顏色深度，范圍一般從0到255，白色為255 ，黑色為0，故黑白圖片也稱灰度圖像。灰度值指的是單個像素點的亮度。灰度值越大表示越亮。原圖像的灰度級為256，最大灰度為255，根據s=log2(1+r),結果圖像中最亮的像素也只有log2(1+255)=8，顯示出來基本上還是黑的，所以結果圖像基本是全黑的，所以必須重新標定。如果原圖像的灰度級為 L，對數變換公式的結果應當重新標定為 [0, L-1] 的灰度級。例如，對于一幅 256 灰度級的原圖像，對數變換增強的結果可用以下式子表示。
$s=\frac{c\times log(1+r)?c\times log(1+0)}{c\times log(1+255)?c\times log(1+0)}\times 255$

答：他可能沒有對結果圖像的灰度級重新標定，如果原圖像的灰度級為256，對數變換公式的結果應當重新標定為[0,255]的灰度級。對于一幅256灰度級的原圖像，實際使用的對數變換可用下式表示
$s=\frac{c\times log(1+r)?c\times log(1+0)}{c\times log(1+255)?c\times log(1+0)}\times 255$

習題5

求一變換函數能產生256灰度級圖像的第5位平面，并畫出函數曲線。

分析：一幅m比特的灰度圖像具有的灰度級可以用以2為底的多項式進行表示
$a_{m?1}{2}^{m?1}+a_{m?2}{2}^{m?2}+...+a_2{2}^2+a_1{2}^2+a_{1}2+a_0$，題中是256灰度級圖像，也就是8比特圖像。

解：
$$a_5=T(r)=\{\begin{array}{ll}0& \text{r∈[0,31],[64,95],[128,159],[192,223]}\\ 1& \text{r∈[32,63],[96,127],[160,191],[224,255]}\end{array}$$

習題6

a為正常數的指數式$e^{?a{r}^2}$對于構造灰度平滑變換函數是非常有用的。由這個基本函數開始，構造具有下圖形狀的變換函數。所示的常數是輸入參數，并且提出的變換必須包含這些參數特定的形式。

解：
（a）可設$s=T(r)=A(e^{?a{r}^2})$
由$T(L_0)=\frac{A}{2}$，得$e^{?a{L}_0^2}=\frac{1}{2}$
$a=?\frac{ln(\frac{1}{2})}{L_0^2}$
(b)可設$s=T(r)=B(1?e^{?a{r}^2})$
由$T(L_0)=\frac{B}{2}$，得$e^{?a{L}_0^2}=\frac{1}{2}$
$a=?\frac{ln(\frac{1}{2})}{L_0^2}$
（c）$s=T(r)=D?(D?C)e^{?a{r}^2}$

習題7

已知一幅圖像的直方圖為$h(r_k)$，假如將最低位平面設為零值，求新圖像的直方圖。

分析：灰度級為[0,L-1]范圍的數字圖像的直方圖是離散函數$h(r_k)=n_k$，這里$r_k$是第k級灰度，$n_k$是圖像中灰度級為$r_k$的像素個數。經常以圖像中像素的總數（用n表示）來除它的每一個值得到歸一化的直方圖。因此，一個歸一化的直方圖由$P(r_k)=\frac{n_k}{n}$給出，這里k=0,1，…，L-1。簡單地說，$P(r_k)$給出了灰度級為$r_k$發生的概率估計值。

解：最低位平面也就是第0位平面，新圖像的方圖為
$$h^{\prime }(r_k)=\{\begin{array}{ll}h(r_k+1)+h(r_k)& \text{rk??is?even}\\ 0& \text{rk??is?odd}\end{array}$$

習題8

現有一圖像，其直方圖具有如下函數形式：

$$P(r)=\{\begin{array}{ll}4r& \text{r∈[0,0.5]}\\ ?4(r?1)& \text{r∈[0.5,1]}\end{array}$$
(1) 畫出該直方圖（2）先要對圖像進行直方圖均衡，假設灰度是連續的，請寫出這個變換函數。
分析：顯然該直方圖曲線是由兩條直線組成。假設灰度是連續的，直方圖均衡的公式應為$S=T(r)={\int }_0^{r}P(r)dr$

答：（1）

(2)
r∈[0,0.5]
$T(r)={\int }_0^{r}4xdx=2r^2$
r∈[0.5,1]
$T(r)={\int }_0^{0.5}4xdx+{\int }_{0.5}^r?4(x?1)dx=?2r^2+4r?1$

習題8

下圖為一副3bit的數字圖像，試畫出直方圖，并進行直方圖均衡

1 1 1 5 1
2 2 1 1 4
0 2 6 5 3
4 2 7 2 5
5 3 3 5 4
分析：直方圖均衡化的基本思想是把原直方圖變換為均勻分布的形式，這樣就添加了像素灰度值的動態范圍從而可達到增強圖像整體對比度的效果。直方圖均衡的關鍵是求得一灰度變換函數，這個函數能把直方圖變換為均勻分布的形式。

解：直方圖如下

數字圖像的直方圖均衡應為：
$s_k=T(r_k)={\sum }_{j=0}^k{P}_r(r_j)={\sum }_{j=0}^k\frac{n_j}{n}$

考慮到實際的應用中，輸出也應是數字圖像，并且輸入和輸出的數字圖像的灰度級分辨率應該是一致的。
實際的灰度變換函數應為

習題10

對同樣的場景采集了4幅圖像，下面顯示了這4幅圖像的直方圖，你能否根據直方圖說出這4幅圖像各有什么特點？哪幅圖像的效果最好？

答：直方圖a的組成成分集中在灰度級低（暗）的一側，所以直方圖a對應的圖像是一幅暗色圖像；
直方圖b的組成成分集中在灰度級高（亮）的一側，所以直方圖b對應的圖像是一幅亮色圖像；
直方圖c的組成成分窄而集中于灰度級的中部，所以直方圖c對應的圖像是一幅低對比度圖像；
直方圖d中的成分覆蓋了灰度級很寬的范圍，而且，像素的分布沒有太不均勻，只有少量垂線比其他的高許多，所以直方圖d對應的圖像是一幅高對比度圖像。
直方圖d對應的圖像的效果應該是最好的。

習題11

一幅圖像的灰度PDF，$P_r(r)$示于下圖。現對此圖像進行灰度變換，使其灰度表達式為下面有右圖的$P_z(z)$。假設灰度值連續，求完成這一要求的變換（r到z）

分析：這一道題實際要求的是直方圖的規定化。令s為一隨機變量，且有：
$s=T(r)={\int }_0^r{p}_r(w)dw$，$s=G(z)={\int }_0^z{p}_z(w)dw$。由這兩個等式可得到G(z)=T?，因此，z必須滿足條件：$z=G^{?1}(s)=G^{?1}[T(r)]$

解：
$P_r(r)=2?2r$ ,$r\in [0,1]$
$P_z(z)=2z$ ,$z\in [0,1]$
$s=T(r)={\int }_0^r{p}_r(w)dw={\int }_0^{r}2?2wdw=2r?r^2$
$s=G(z)={\int }_0^z{p}_z(w)dw={\int }_0^{z}2wdw=z^2$
$z=G^{?}1(s)=G^{?}1[T(r)]=(2r?r^2{)}^{\frac{1}{2}}$

習題12

圖像的減法常可用在圖像處理中，但在差值圖像中會有負值出現，要顯示這種圖像需要某種標度，請指出兩種標度方法。

答：在實踐中，大多數的圖像由8位碼顯示（即使24比特的彩色圖像也由3組8位碼的通道組成），因此，像素值的大小不會超出0到255的范圍。在差值圖像中，像素值的取值最小為-255，最大為255，因此，顯示這一結果需要某種標度。有兩種主要的方法標度差值圖像。
一種方法是對每個像素值再加255然后除以2.這種做法無法保證像素的取值可以覆蓋0到255的全部8比特范圍，但所有的像素值一定能在這一范圍內。這種方法實現上快速而簡單，但它也有一定的局限性，即整個顯示范圍沒有得到充分利用，潛在的缺點是，在除2過程中固有的截尾誤差通常將導致精確度的損失。
如果希望更高的精確度并使用像素取值覆蓋整個8比特的范圍，可以采用另一種方法。首先，提取最小差值，并且把它的負值加到所有差值圖像的像素中（這樣就可以創作出一幅最小像素值為零的改進的差值圖像）。然后，通過用255/max值去乘每個像素（其中max為改進的差值圖像中最大像素取值）將圖像中的所有像素標定到0到255的范圍中。這種方法比前一種方法復雜。

習題13

請給出兩種3x3的可用于平滑線性濾波掩模。

答：

習題14

請證明中值濾波是非線性的算子。

分析：線性算子應該滿足可加性和齊次性（均勻性）。令H是一種算子，其輸入和輸出都是圖像。如果對于任何兩幅圖像f 和g 及任何兩個標量a和b有如下關系，稱H為線性算子：
$H(af+bg)=aH(f)+bH(g)$

證明：假設有兩幅圖像f(x,y)和g(x,y)。在f(x,y)的一個3x3的領域內的像素值為{1,1,0,0,0,1,0,0,0}，在g(x,y)對應位置上的3x3的領域內的像素值為{1,1,1,0,0,1,2,2,2}，可得
$medianf(s,t)=median1,1,0,0,0,1,0,0,0=0，(s,t)\in S_{x,y}$
$mediang(s,t)=median1,1,1,0,0,1,2,2,2=1，(s,t)\in S_{x,y}$
$medianf(s,t)+g(s,t)=median2,2,1,0,0,2,2,2,2=2，(s,t)\in S_{x,y}$
$medianf(s,t)+g(s,t)=medianf(s,t)+mediang(s,t)，(s,t)\in S_{x,y}$
所以中值濾波是非線性的算子。

習題15

已知一幅圖像如下，試寫出分別用3x3的均值濾波器和中值濾波器處理的結果（可以不考慮位于圖像邊界的像素）。

答：3x3的均值濾波器處理的結果

3x3的中值濾波器處理的結果

習題16

拉普拉斯算子在圖像增強中很有重要的應用。（1）請給出對于二元圖像函數f(x,y)的拉普拉斯變換的定義。（2）請給出兩個考慮了對角線方向的拉普拉斯掩模。（3）請寫出使用拉普拉斯算子對圖像增強的基本方法。

答：（1）二元圖像函數f(x,y)的拉普拉斯變換定義為：
${?}^{2}f=\frac{{?}^{2}f}{{?}^2{x}^2}+\frac{{?}^{2}f}{?y^2}$
(2)考慮了對角線方向的拉普拉斯掩模如下

$$g(x,y)=\{\begin{array}{ll}f(x,y)?{?}^{2}f(x,y)& \text{掩模中心為負}\\ f(x,y)+{?}^{2}f(x,y)& \text{掩模中心為正}\end{array}$$

習題17

圖像處理中計算一階微分的掩模有許多種，請說出它們都必須有的特性。

答：這些掩模必須滿足一階微分的特點，即（1）在平坦段（灰度不變的區域）微分值為0；（2）在灰度階梯或斜坡的起始點處微分值非零；（3）沿著斜坡面微分值非零。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《数字图像处理第二版》第三章部分习题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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