Chapter 7 Evolutionary Game Theory

1. Fitness as a Result of Interaction

Evolutionary game theory進(jìn)化博弈論

結(jié)合進(jìn)化思想的博弈游戲與之前的區(qū)別在于，決策不是由選擇決定的，而是由基因gene決定，所以需要考慮在更長(zhǎng)的時(shí)間尺度上的變化，反饋的payoff也是由種群適應(yīng)度來表示fitness。

fitness：類比前面的payoff

gene：類比前面的可選策略。

甲殼蟲例子：由于天生基因決定出現(xiàn)了兩種甲蟲——大甲蟲和小甲蟲。甲蟲互相爭(zhēng)奪食物，當(dāng)相同大小的甲蟲競(jìng)爭(zhēng)會(huì)獲得相同的食物份額，當(dāng)一只大甲蟲與一只小甲蟲競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，大甲蟲會(huì)得到大部分的食物。當(dāng)兩個(gè)大甲蟲相遇時(shí)，由于競(jìng)爭(zhēng)必須消耗額外的能量，所以不能獲得全部fitness。

2. Evolutionarily Stable Strategies（ESS）

Evolutionarily Stable Strategies定義

一種由基因決定的策略，一旦在種群中流行，它往往會(huì)持續(xù)存在。如果當(dāng)整個(gè)種群使用該策略時(shí)，任何使用不同策略的最終會(huì)在多代人中消亡，我們說一個(gè)給定的策略是進(jìn)化Evolutionarily Stable的。

ESS在甲蟲種群的例子

對(duì)小甲蟲的種群來說：

假設(shè)存在極小值$\varepsilon $在種群發(fā)生突變得到大甲蟲，則有1?$\varepsilon $得到小甲蟲。那么小甲蟲的預(yù)期payoff為：
$$5(1?\epsilon )+1?\epsilon =5?4\epsilon$$
大甲蟲的預(yù)期payoff為：
$$8(1?\epsilon )+3?\epsilon =8?5\epsilon$$
對(duì)于足夠小的$\varepsilon $，大甲蟲的預(yù)期適應(yīng)度超過了小甲蟲的預(yù)期適應(yīng)度。因此，小甲蟲種群并不是進(jìn)化穩(wěn)定的。

對(duì)大甲蟲的種群來說：

假設(shè)存在極小值$\varepsilon $在種群發(fā)生突變得到小甲蟲，則有1?$\varepsilon $得到大甲蟲。那么小甲蟲的預(yù)期payoff為：
$$(1?\epsilon )+5?\epsilon =1+4\epsilon$$
大甲蟲payoff：
$$3(1?\epsilon )+8?\epsilon =3+5\epsilon$$
小甲蟲的預(yù)期payoff為：

對(duì)于足夠小的$\varepsilon $，大甲蟲的預(yù)期適應(yīng)度超過了小甲蟲的預(yù)期適應(yīng)度，因此大甲蟲種群在進(jìn)化上是穩(wěn)定的。

3. A General Description of Evolutionarily Stable Strategies

開始討論更加一般化的雙人對(duì)稱進(jìn)化博弈。

對(duì)S種群來說，存在變異體T物種的入侵，同樣假設(shè)存在極小值$\varepsilon $，種群的$\varepsilon $部分變異成為使用T物種，種群的1?$\varepsilon $部分仍然為S物種。

S的payoff:
$$a(1?\epsilon )+b\epsilon$$
T的payoff：
$$c(1?\epsilon )+d\epsilon$$
因此，如果對(duì)于$\epsilon$>0的所有足夠小的值，則S是進(jìn)化穩(wěn)定的條件是：
$$a(1?\epsilon )+b\epsilon >c(1?\epsilon )+d\epsilon$$
所以得到需要滿足的條件是：

a>c：這種情況說明S遇到同類S得到的收益需要大于入侵變異物種T遇到S的收益，同時(shí)S也是對(duì)S種群的best response。直觀來說，變異物種T對(duì)S的入侵影響小于S對(duì)S內(nèi)部維護(hù)種群穩(wěn)定的影響。

a=c and b > d：如果S和T對(duì)S的反應(yīng)同樣好，說明T也是弱最優(yōu)策略。直觀來說，變異物種T在種群中對(duì)S的影響和S同類間影響相同，同時(shí)需要S與T的種間斗爭(zhēng)影響小于T與T種內(nèi)斗爭(zhēng)的影響，這也直接導(dǎo)致變異物種T在種內(nèi)難以生存以至消亡。

4. Relationship Between Evolutionary and Nash Equilibria

結(jié)論：ESS一定是納什均衡，納什均衡不一定是ESS。

對(duì)上面的例子，納什均衡（NE）的條件是：
$$a\ge c$$
進(jìn)化穩(wěn)定策略（ESS）的條件是：
$$\text{?(i)?}a>c\text{,?or?(ii)?}a=c\text{?and?}b>d\text{,?}$$
所以存在a=c，但b<d的情況使得(S，S)不是進(jìn)化穩(wěn)定的。

同理對(duì)嚴(yán)格納什均衡（Strict NE）的條件：
$$a>c$$
最終結(jié)論：
$$StrictNE?ESS?NE$$

5. Evolutionarily Stable Mixed Strategies

現(xiàn)在考慮如何處理沒有策略是進(jìn)化穩(wěn)定的情況。用混合策略來描述進(jìn)化穩(wěn)定性，實(shí)際擴(kuò)大了可能的策略集，每個(gè)策略相比純策略是對(duì)應(yīng)一個(gè)特定概率的策略。

進(jìn)化穩(wěn)定混合策略可以從兩個(gè)角度理解：

可能是每個(gè)人都天生會(huì)玩純策略，但一部分人玩一種策略，而其余的人玩另一種策略。

可能是每個(gè)人都在玩一種特定的混合策略，他們的基因指定他們會(huì)在特定概率的特定選項(xiàng)中隨機(jī)選擇。

對(duì)雙人對(duì)稱博弈來說：

動(dòng)物有p概率成為S，有1-p概率成為T,q同理。所以對(duì)一個(gè)動(dòng)物的期望收益為：
$$V(p,q)=pqa+p(1?q)b+(1?p)qc+(1?p)(1?q)d$$

Evolutionarily Stable Mixed Strategies定義：

對(duì)混合策略來說，存在一種均衡狀態(tài)使得原物種和入侵者能夠共同生存。在這種均衡狀態(tài)下，原物種和入侵者分別以某種種群比率不斷繁衍遺傳，從而達(dá)到混合ESS。

特別的是，S是一個(gè)進(jìn)化穩(wěn)定的純策略，但在p=1的新定義下，它也不一定是一個(gè)進(jìn)化穩(wěn)定的混合策略。

混合納什均衡的條件：
$$(1?x)V(p,p)+xV(p,q)\ge (1?x)V(q,p)+xV(q,q)$$
混合ESS的條件：
$$(1?x)V(p,p)+xV(p,q)>(1?x)V(q,p)+xV(q,q)且q=p$$

總結(jié)

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