文章目錄

• 混合策略
• • 符號
  • 混合策略的空間幾何
  • 策略組合的表示
• 混合策略收益函數
• • 最優反應
  • 最佳反應集合

混合策略

符號

標準博弈可以寫成：$G=(I,S,\pi )$
博弈方集合： $I=(1,2,\mathrm{3...},n)$,n為博弈方數目
有限純策略集合： $S_i=\{1,2,...,m_i\}$，$m_i$為博弈方能夠采取的策略數目
純策略空間：$S=X_i{S}_i，X_i$表示卡特爾積

對卡特爾積舉個栗子
兩個人進行剪刀石頭布的游戲
$I=2,S_i=\{剪刀，石頭，布\},$
$S=\{(剪刀，剪刀)，(剪刀，石頭)，(剪刀，布)，(石頭，石頭)，(石頭，剪刀)，(石頭，布),(布，布)，(布，剪刀)，(布，石頭)\}$

對于任何策略組合S，博弈方I的收益可以記為${\pi }_i(s)$，${\pi }_i(s)$應該也可以寫成${\pi }_i:S\to R$
${\pi }_i:S\to R$為集值映射，意思為S中的每個策略，都可以對應成R中的每一個子集。

混合策略的空間幾何

$x_i$的支集(或承載形)：$C(x_i)=\{h\in S_i:x_{ih}>0\}$
即為某混合策略$x_i$賦予正概率的純策略的集合
比如：策略集={剪刀，石頭，布}，混合策略$x_i=(1/2,1/2,0)$
則$C(x_i)=\{剪刀，石頭\}$

單純形${\Delta }_i=\{x_i\in R_{+}^{m_i}:{\Sigma }_{h=1}^{m_i}{x}_{ih}=1\}$
${\Delta }_i$的頂點為$m_i$維空間的單位向量(表示某個純策略)
混合策略單純形${\Delta }_i$是所有頂點的凸包。
每個混合策略$x_i$是純策略$e_i^h$的凸組合。
凸集，凸組合，凸包，仿射組合：
凸包：S為歐式空間$R^n$的任意子集，包含S的最小凸集稱為S的凸包。
內部：$int({\Delta }_i)=\{x_i\in {\Delta }_i:x_{ih}>0,?h\}$
外部：$bd({\Delta }_i)=\{x_i\in {\Delta }_i:x_i\notin int({\Delta }_i)\}$
其中，$x_i$為某個混合策略，$h\in S_i$即為第幾個策略。
混合策略空間 $\Theta =X_{i\in I}{\Delta }_i$(單純形是某個博弈方的策略集合，策略空間是每個博弈方策略的笛卡爾積)
$int\Theta =X_{i\in I}int({\Delta }_i)$
當且僅當C(x)=S(任意$x_{ih}$均大于0),對于$x\in \Theta :x\in int(\Theta )$的支集，記為$C(x)=X_{i\in I}C(X_i)?S$

• 如果子集$X?\Theta$是各博弈方的笛卡爾積，那么X稱為$\Theta$的面，特別的，$X=\Theta$是$\Theta$的一個面，而且是最大的一個面
• 每一個純策略組合，可以視為$\Theta$的一個單點子集，是一個邊界面
• $\Theta$的邊界面的并等同于集合$bd(\Theta )$

策略組合的表示

博弈方i采取策略$x_i\in {\Delta }_i$,其他所有博弈方j按照策略組合$y\in \Theta$ 來行動，將此策略表示為：$z=(x_i,y_{?i})$

混合策略收益函數

某個純策略s被采用的概率就是每個博弈方的混合策略賦予他純策略的概率之積
$x(s)={\prod }_{i=1}^n{x}_{i{s}_i}$
比如：
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right]$$
行博弈方策略$x_i=(1/3,2/3)$,列博弈方策略$y_i=(1/2,1/2)$
則S={1,2}被采用的概率為$1/6$
混合策略組合帶給博弈方的期望收益值為
$u_i(x)={\Sigma }_{s\in S}x(s){\pi }_i(s)$
若將博弈方j運用第k個純策略時博弈方i的收益記作$u_i(e_j^k,x_{?j})$
對任何的$x?\Theta$和$i,j\in I$，$u_i(x)={\Sigma }_{k=i}^{m_i}{u}_i(e_j^k,x_{?j})x_{jk}$

對任何的混合策略對$x_1\in {\Delta }_1,x_2\in {\Delta }_2$
有$u_1(x)={\Sigma }_{h=1}^{m_1}{\Sigma }_{h=2}^{m_2}{x}_{1h}{a}_{hk}{x}_{2k}=x_{1}A{x}_2$
$u_2(x)={\Sigma }_{h=1}^{m_1}{\Sigma }_{h=2}^{m_2}{x}_{1h}{b}_{hk}{x}_{2k}=x_{1}B{x}_2=x_2{B}^T{x}_1$

最優反應

最佳反應集合

最優反應${\beta }_i(y)$是針對博弈方i的采取某個策略y收益最高的反應集合，$\beta (y)$則是將不同博弈方的策略進行笛卡爾積，因此說，最優反應是將策略組合映射至策略組合的集合；
最佳反應集合${\beta }^{?}(y)$則是將策略映射到策略集。

集值映射參考文章
https://zhuanlan.zhihu.com/p/187596916

總結

以上是生活随笔為你收集整理的演化博弈论基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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