1. 梯度

　　在微積分里面，對多元函數(shù)的參數(shù)求?偏導(dǎo)數(shù)，把求得的各個參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)以向量的形式寫出來，就是梯度。比如函數(shù)f(x,y), 分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù)，求得的梯度向量就是(?f/?x,??f/?y)^T,簡稱grad f(x,y)或者▽f(x,y)。對于在點(diǎn)(x₀,y₀)的具體梯度向量就是(?f/?x₀,??f/?y₀)^T.或者▽f(x₀,y₀)，如果是3個參數(shù)的向量梯度，就是(?f/?x,??f/?y，?f/?z)^T,以此類推。

　　那么這個梯度向量求出來有什么意義呢？他的意義從幾何意義上講，就是函數(shù)變化增加最快的地方。具體來說，對于函數(shù)f(x,y),在點(diǎn)(x₀,y₀)，沿著梯度向量的方向就是(?f/?x₀,??f/?y₀)^T的方向是f(x,y)增加最快的地方。或者說，沿著梯度向量的方向，更加容易找到函數(shù)的最大值。反過來說，沿著梯度向量相反的方向，也就是 -(?f/?x₀,??f/?y₀)^T的方向，梯度減少最快，也就是更加容易找到函數(shù)的最小值。

2.梯度下降法

? ? ? ?什么是梯度下降法呢/

舉個例子，我們在下山的時候，如果山中濃霧太大，而且我們有不清楚路線，那我們可以以當(dāng)前的所處的位置為基準(zhǔn)，尋找這個位置最陡峭的地方，然后朝著山的高度下降的地方走，同理，如果我們的目標(biāo)是上山，也就是爬到山頂，那么此時應(yīng)該是朝著最陡峭的方向往上走。然后每走一段距離，都反復(fù)采用同一個方法，最后就能成功的抵達(dá)山谷。

梯度下降法的過程與這個例子很相似，一個函數(shù)可微分。這個函數(shù)就代表著一座山。我們的目標(biāo)就是找到這個函數(shù)的最小值，也就是山底。根據(jù)之前的場景假設(shè)，最快的下山的方式就是找到當(dāng)前位置最陡峭的方向，然后沿著此方向向下走，對應(yīng)到函數(shù)中，就是找到給定點(diǎn)的梯度?，然后朝著梯度相反的方向，就能讓函數(shù)值下降的最快！因?yàn)樘荻鹊姆较蚓褪呛瘮?shù)之變化最快的方向，所以，我們重復(fù)利用這個方法，反復(fù)求取梯度，最后就能到達(dá)局部的最小值，這就類似于我們下山的過程。

什么是梯度：

? ? ? ? 一個多元函數(shù)的梯度方向是該函數(shù)值增大最陡的方向。具體化到1元函數(shù)中時，梯度方向首先是沿著曲線的切線的，然后取切線向上增長的方向?yàn)樘荻确较?#xff0c;2元或者多元函數(shù)中，梯度向量為函數(shù)值f對每個變量的導(dǎo)數(shù)，該向量的方向就是梯度的方向，當(dāng)然向量的大小也就是梯度的大小。

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梯度下降法詳解：

? ? ? ?對于一個多元函數(shù)j(x),在x點(diǎn)處做線性逼近（求一階導(dǎo)數(shù))

? ? ? ? j(x+x₀)=j(x)+Δ'(x)*?j(x₀)+o(無窮小），其中?j(x₀)為j(x₀)的倒數(shù)；

對于一個函數(shù)做了線性逼近，可以判斷在x這個點(diǎn)的增加方向和減小方向；雖然做線線逼近不能告訴我們這個函數(shù)的極值點(diǎn)在什么地方，但能告訴我們極值點(diǎn)在什么方向，因此我們可以根據(jù)這個方向（即下山的方向）選取一個較小的步長（學(xué)習(xí)率）來沿著這個方向走下去，找到極值點(diǎn)。

? ? ? J是關(guān)于x的一個函數(shù)，我們當(dāng)前所處的位置為x0點(diǎn)，要從這個點(diǎn)走到J的最小值點(diǎn)，也就是山底。首先我們先確定前進(jìn)的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距離的步長，也就是α，走完這個段步長，就到達(dá)了x1這個點(diǎn)！

為什么要加一個負(fù)號，? 梯度前加一個負(fù)號，就意味著朝著梯度相反的方向前進(jìn)！我們在前文提到，梯度的方向?qū)嶋H就是函數(shù)在此點(diǎn)上升最快的方向！而我們需要朝著下降最快的方向走，自然就是負(fù)的梯度的方向，所以此處需要加上負(fù)號 梯度下降法的難點(diǎn)： （1）梯度的計算 在機(jī)器學(xué)習(xí)中目標(biāo)函數(shù)經(jīng)常是求和函數(shù)的形式，因此求和函數(shù)的求導(dǎo)很費(fèi)時（樣本數(shù)量多） （2）學(xué)習(xí)率的選擇 學(xué)習(xí)率過大，會出現(xiàn)震蕩不收斂（找不到極值點(diǎn)），過小，收斂速度較慢。

幾種梯度下降法介紹

批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）

　　　　批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具體做法也就是在更新參數(shù)時使用所有的樣本來進(jìn)行更新，這個方法對應(yīng)于前面3.3.1的線性回歸的梯度下降算法，也就是說3.3.1的梯度下降算法就是批量梯度下降法。　　

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　　　　由于我們有m個樣本，這里求梯度的時候就用了所有m個樣本的梯度數(shù)據(jù)。

隨機(jī)梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）

　　　　隨機(jī)梯度下降法，其實(shí)和批量梯度下降法原理類似，區(qū)別在與求梯度時沒有用所有的m個樣本的數(shù)據(jù)，而是僅僅選取一個樣本j來求梯度。對應(yīng)的更新公式是：

　　　

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　　　　隨機(jī)梯度下降法，和4.1的批量梯度下降法是兩個極端，一個采用所有數(shù)據(jù)來梯度下降，一個用一個樣本來梯度下降。自然各自的優(yōu)缺點(diǎn)都非常突出。對于訓(xùn)練速度來說，隨機(jī)梯度下降法由于每次僅僅采用一個樣本來迭代，訓(xùn)練速度很快，而批量梯度下降法在樣本量很大的時候，訓(xùn)練速度不能讓人滿意。對于準(zhǔn)確度來說，隨機(jī)梯度下降法用于僅僅用一個樣本決定梯度方向，導(dǎo)致解很有可能不是最優(yōu)。對于收斂速度來說，由于隨機(jī)梯度下降法一次迭代一個樣本，導(dǎo)致迭代方向變化很大，不能很快的收斂到局部最優(yōu)解。

　　　　那么，有沒有一個中庸的辦法能夠結(jié)合兩種方法的優(yōu)點(diǎn)呢？有！這就是4.3的小批量梯度下降法。

小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）

　　小批量梯度下降法是批量梯度下降法和隨機(jī)梯度下降法的折衷，也就是對于m個樣本，我們采用x個樣子來迭代，1<x<m。一般可以取x=10，當(dāng)然根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)，可以調(diào)整這個x的值。對應(yīng)的更新公式是：

　　　

下面談?wù)勲S機(jī)梯度下降法;

? ? ? ? 這種方法主要是解決梯度計算的問題，上面談到梯度計算很困難就是因?yàn)闃颖敬竽请S機(jī)梯度下降法只計算一個樣本；

簡要談一談鞍點(diǎn),如圖

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鞍點(diǎn)（saddle point)這個詞來自 z=x^2-y^2的圖形，在x軸方向向上曲，在y軸方向向下曲，像馬鞍，鞍點(diǎn)為（0，0）。

擁有兩個以上參數(shù)的函數(shù)。它的曲面在鞍點(diǎn)好像一個馬鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高線圖里，一般來說，當(dāng)兩個等高線圈圈相交叉的地點(diǎn)，就是鞍點(diǎn)。

由于只是初學(xué)，簡要了解一下什么是梯度下降法；以后在有機(jī)會再深入探討；

本文參考：

1.? 鞍點(diǎn)參考原文：https://blog.csdn.net/baidu_27643275/article/details/79250537?

2.梯度下降參考原文：https://www.cnblogs.com/pinard/p/5970503.html

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/fcfc940503/p/10959775.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的梯度下降法和随机梯度下降法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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