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本文摘自清北O(jiān)I學(xué)堂內(nèi)部筆記，作者潘愷璠，來自柳鐵一中曾參加過清北訓(xùn)練營提高組精英班，主要記錄的是信息學(xué)基礎(chǔ)算法。筆記非常詳細(xì)，特分享給大家！ NOIP2019年夏令營正在報(bào)名中，6大校區(qū)10種班型，可前往微信noipnoi報(bào)名！

一、倍增算法：

定義：用f[i][j]表示從i位置出發(fā)的2j個(gè)位置的信息綜合（狀態(tài)）

一個(gè)小小的問題：為什么是2j而不是3j,5j,…？因?yàn)?#xff0c;假設(shè)為kj，整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為(k-1)logk，當(dāng)k=2時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度最小。

這個(gè)算法的三個(gè)應(yīng)用：

1.倍增ST表：

應(yīng)用：這個(gè)ST表是用來解決RMQ問題（給你n個(gè)數(shù)，m次詢問，每次詢問[l,r]這個(gè)區(qū)間的最大值），當(dāng)然，解決RMQ問題是可以用線段樹來做的，但是比較麻煩，NOIP 80%是不會(huì)用線段樹來做，還是用ST表方便。

定義：f[i][j]表示：從i到i+2j-1這2j個(gè)位置的元素最大值

初始化：f[i][0]=z[i]（第i個(gè)位置到第i+20-1個(gè)位置的最大值，對應(yīng)只有一個(gè)元素的區(qū)間）

轉(zhuǎn)移：f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2(j-1)][j-1]) （把[i,i+2j-1]這個(gè)區(qū)間分治為兩個(gè)區(qū)間，這兩個(gè)區(qū)間拼在一起就成了原來一個(gè)大的區(qū)間，兩個(gè)區(qū)間長度都為2j-1）

//建立ST表，引自P2O5 dalao的blog：https://zybuluo.com/P2Oileen/note/816892#應(yīng)用1-st表

for(int a=1;a<=n;a++) f[a][0]=z[a];//z[]為源數(shù)據(jù)區(qū)間數(shù)組?

for(int j=1;j<=logn;j++)

{

? ? for(int i=1;i+z^j-1<=n;i++)

? ? ? ? f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1]);

? ? ? ? //乘方是偽代碼！

}

//solve

ans=max(f[l][k],f[r-2^k+1][k]);

所以就有兩種情況：

①假如區(qū)間長度(r-l+1)正好是2k，那么就直接訪問f[l][k]；

②假如區(qū)間長度(r-l+1)是2k+p(p<2k)，也就說明2k≤(r-l+1)<2k+1，我們可以慢慢地分治下去，利用前綴和，就形成了樹狀數(shù)組那樣的東西，一段區(qū)間的最大值為 劃分成兩段區(qū)間最大值max1,max2相比取較大 ，但是這樣太慢。

有一種更好的方法：其實(shí)我們可以用兩個(gè)長度為2k的區(qū)間就一定能把這段[l,r]區(qū)間完美覆蓋起來，會(huì)有重復(fù)，但是對求最大值這件事情沒有影響，所以?這段區(qū)間的最大值=max(f[l][k],f[r-2k+1][k])。

限制：不能用來計(jì)算區(qū)間和，因?yàn)橹虚g有重復(fù)部分，還有就是：不支持修改ST表！

2.樹上倍增LCA（最近公共祖先）：

一般是用線性Tarjan算法來求解（這個(gè)Tarjan算法和圖論中求有向圖強(qiáng)連通分量的Tarjan不同，都是一個(gè)人發(fā)明的），但是在ZHX十年的信息學(xué)奧賽生涯中沒有用到這個(gè)算法，原因有倆：①?zèng)]遇到這樣的題目②不會(huì)！（笑哭臉），有興趣可以了解一下。

下面介紹倍增的算法：

定義：f[i][j]表示：從樹上編號為i的節(jié)點(diǎn)向上走2j步會(huì)走到哪個(gè)節(jié)點(diǎn)。

初始化：從j=0開始考慮，也就是從i號節(jié)點(diǎn)向上走1步到達(dá)的節(jié)點(diǎn)，就是i節(jié)點(diǎn)的父親，所以：f[i][0]=father[i]。

轉(zhuǎn)移：f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]，表示：從i節(jié)點(diǎn)往上走2j-1步后，再往上走2j-1步到達(dá)的點(diǎn)，等價(jià)于向上走2j步，因?yàn)?j-1+2j-1=2j。（j的范圍大概[20,30)≈nlogn，只要保證2j>節(jié)點(diǎn)數(shù)目n即可）

現(xiàn)在我們構(gòu)造出來這個(gè)f數(shù)組，下面介紹如何求兩個(gè)點(diǎn)的LCA：

定義數(shù)組depth[i]表示i這個(gè)節(jié)點(diǎn)的深度，有以下兩種情況：

①depth[p1]==depth[p2]，具有一個(gè)重要的性質(zhì)：兩個(gè)節(jié)點(diǎn)同時(shí)向上走同樣地步數(shù)，深度仍然相等，也就是說，我們讓p1,p2一步一步地往上走，當(dāng)走到同一個(gè)點(diǎn)時(shí)候，這個(gè)點(diǎn)一定是LCA！

for(int x=19;x>=0;x--)?

{

? ? if(f[p1][x]!=f[p2][x])//如果沒有走到同一個(gè)點(diǎn)，繼續(xù)往上走?

? ? {

? ? ? ? p1=f[p1][x];//p1往上跳?

? ? ? ? p2=f[p2][x];//p2往上跳?

? ? }? ? ?

}? ??

if(p1!=p2)//為什么要加這個(gè)判斷？有可能p1=p2么？是有可能的！這個(gè)判斷是防止一開始跳之前p1=p2這種情況?

{

? ? p1=f[p1][0];//因?yàn)樯厦娴难h(huán)p1，p2只是走到了LCA的下方，這個(gè)判斷只是處理最后一步：把p1或p2往上跳到它的父親，就是LCA，返回即可?

}?

return p1;//p1為LCA，返回

?

②depth[p1]!=depth[p2]，假如p1比較深，就讓p1往上跳到和p2深度一樣的地方。

利用倍增f數(shù)組p1往上跳的方法：定義往上走步數(shù)step=depth[p1]-depth[p2]，再利用二進(jìn)制轉(zhuǎn)換！

舉個(gè)栗子：假如step=13，轉(zhuǎn)為二進(jìn)制=1101，可以得出13=8+4+1,：先走8步，再走4步，再走1步就好了。

int get_lca(int p1,int p2)

{

? ? if(dpeth[p1]<depth[p2]) swap(p1,p2);

? ? for(int x=19;x>=0;x--)

? ? {

? ? if((2^x)<=depth[p1]-depth[p2]) p1=f[p1][x];

? ? }

}

?

下面是另一種寫法思路就不多講

int x=0;

while (p1!=p2)

{

? ? if(!x||f[p1][x]!=f[p2][x])?

? ? {

? ? ? ? p1=f[p1][x];

? ? ? ? p2=f[p2][x];

? ? ? ? x++;? ? ? ??

? ? }

? ? else x--;

}

?

3.快速冪：

按照一般思路，我們要計(jì)算ax的話，要寫一個(gè)for循環(huán)，計(jì)算a×a×a×a…這樣太?麻煩并且浪費(fèi)時(shí)間！

這里運(yùn)用倍增來實(shí)現(xiàn)快速冪，這也是運(yùn)用到了分治的思想。

我們要求出x(x=2×k)個(gè)a的乘積，就可以分解為x/2個(gè)a的乘積的平方，這樣就省去一半計(jì)算量，如果x是奇數(shù)，就在原先的基礎(chǔ)上×a就可以了。

int ksm(int a,int x)//求a^x的快速冪 時(shí)間復(fù)雜度：O(logx)?

{

? ? int ans=1;

? ? while(x)

? ? {

? ? ? ? if(x&1) ans=(ans*a);//位運(yùn)算：x&1==1則x為奇數(shù)

? ? ? ? a=a*a;

? ? ? ? x=x>>1;//位運(yùn)算：右移一位，即將X除以2

? ? }

? ? return ans;

}

?

二、分治算法：

定義：將一個(gè)規(guī)模為N的問題分解為K個(gè)規(guī)模較小的子問題，這些子問題相互獨(dú)立且與原問題性質(zhì)相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。

這個(gè)算法的三個(gè)應(yīng)用：

1.二分查找：

定義：給定排序數(shù)組，查詢某個(gè)數(shù)是否在數(shù)組中

算法描述：在查找所要查找的元素時(shí)，首先與序列中間的元素進(jìn)行比較，如果大于這個(gè)元素，就在當(dāng)前序列的后半部分繼續(xù)查找，如果小于這個(gè)元素，就在當(dāng)前序列的前半部分繼續(xù)查找，直到找到相同的元素，或者所查找的序列范圍為空為止。

bool find(int x)//二分查找x是否在序列z[]中?

{

? ? left=0,right=n;

? ? while(left+1!=right)

? ? {

? ? ? ? middle=(left+right)>>1;

? ? ? ? if(z[middle]>=x) right=middle;

? ? ? ? else left=middle;

? ? }

}

?

還可以用lower_bound和upper_bound函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，用法詳見下：

#include <iostream>

#include <algorithm>//必須包含的頭文件，C++特有的庫函數(shù)?

using namespace std;

int main()

{

? ? int point[5]={1,3,7,7,9};

? ? int ans;

? ? /*兩個(gè)函數(shù)傳入的：(數(shù)組名，數(shù)組名+數(shù)組長度，要查找的數(shù)字)，返回的是一個(gè)地址，減去數(shù)組名即可得到數(shù)字在數(shù)組中的下標(biāo)*/

? ? ans=upper_bound(point,point+5,7)-point;//按從小到大，7最多能插入數(shù)組point的哪個(gè)位置

? ? printf("%d ",ans);//輸出數(shù)字在數(shù)組中的下標(biāo)?

? ? ans=lower_bound(point,point+5,7)-point;按從小到大，7最少能插入數(shù)組point的哪個(gè)位置

? ? printf("%d\n",ans);//輸出數(shù)字在數(shù)組中的下標(biāo)?

? ? return 0;

}

/*

output：

4 2?

*/

?

2.歸并排序（nlogn）：

是分治法的典型應(yīng)用。

歸并過程：

比較a[i]和b[j]的大小，若a[i]≤b[j]，則將第一個(gè)有序表中的元素a[i]復(fù)制到r[k]中，并令i和k分別加上1；

否則，將第二個(gè)有序表中的元素b[j]復(fù)制到r[k]中，并令j和k分別加上1。

如此循環(huán)下去，直到其中一個(gè)有序表取完，然后再將另一個(gè)有序表中剩余的元素復(fù)制到r中從下標(biāo)k到下標(biāo)t的單元

歸并排序的算法我們通常用遞歸實(shí)現(xiàn)，先把待排序區(qū)間[s,t]以中點(diǎn)二分，接著把左邊子區(qū)間排序，再把右邊子區(qū)間排序，最后把左區(qū)間和右區(qū)間用一次歸并操作合并成有序的區(qū)間[s,t]。

3.快速排序（nlogn）：

一般在使用時(shí)候直接調(diào)用快排函數(shù)。

sort（快速排序，是C#特有的，不會(huì)退化為n2，比下面三個(gè)都要快，一般使用這個(gè)）

qsort（最壞情況下為n2，最好是n，期望為nlogn）

merge_sort（歸并排序，穩(wěn)定為nlongn）

heap_sort（堆排序，穩(wěn)定為nlongn）

?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/qbxt/p/10984714.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的NOIP训练营集训笔记—信息学基础算法（倍增与分治算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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