前言：?

對(duì)于2022年來說，自己一直是處在一個(gè)比較焦慮的狀態(tài)當(dāng)中，而這個(gè)狀態(tài)在我的寫博客的量中就可以很明顯的體現(xiàn)了：

而2022年的1月那會(huì)狀態(tài)其實(shí)沒有發(fā)生變化，一切的一切在于年后的2月中下旬，組織架構(gòu)調(diào)整了，這塊其實(shí)在小程序高級(jí)電商前端第2周深入理解REST API開發(fā)規(guī)范 開啟三端分離編程之旅<二>----scroll-view組件的靈活應(yīng)用、async和await問題探討、spu-scroll自定義組件、Lin UI Price價(jià)格組件應(yīng)用、css編寫原則 密碼保護(hù)寫這篇時(shí)就已經(jīng)說過了，也就是在這之后的半年里有效篇數(shù)就3篇。。當(dāng)一個(gè)人在規(guī)律地在做著某些事時(shí)，突然間規(guī)律不見了，那說明這個(gè)人的心態(tài)大概率是因?yàn)槟承┦掳l(fā)生了巨大的變化，是的，我今年的心態(tài)就處于這種變化的狀態(tài)，其中最大的一個(gè)原因是公司的各種考核讓你沒有太多時(shí)間來寫博客了，因?yàn)榭己瞬煌ㄟ^的直接結(jié)果就是末尾淘汰，當(dāng)面對(duì)這種壓力時(shí)，其實(shí)就是兩種心態(tài)：一是擺爛、二是努力讓自己不被淘汰。那很明顯大多數(shù)人肯定是不會(huì)主動(dòng)在這“疫情”期間來放棄收益來源對(duì)吧，所以為了不讓自己被淘汰就得平常花時(shí)間來準(zhǔn)備考核的內(nèi)容，其中大學(xué)數(shù)學(xué)是一個(gè)重點(diǎn)考試內(nèi)容【種種的抱怨就不多說了，需要有正能量】，其實(shí)在去年就為了應(yīng)付考試學(xué)習(xí)了大學(xué)數(shù)據(jù)的線性代數(shù)部分：

但是“高等數(shù)學(xué)”、“概率論與數(shù)量統(tǒng)計(jì)”這兩個(gè)方向缺失，最近一直基于網(wǎng)上的教程在惡補(bǔ)，高等數(shù)學(xué)的基本“看完”了，其中“看完”倆字加引號(hào)，嗯，僅僅就走馬觀花式地看，沒有任何輸出，因?yàn)椤翱臁甭?#xff0c;感覺又回到了N年前非常浮躁非常飄的狀態(tài)了，所以決定還是要有輸出，擯棄浮躁，于是才有了此篇的想法，希望自己能夠堅(jiān)持下來，當(dāng)職場遇到逆境時(shí)，盡量想辦法讓壓力化為動(dòng)力，而不是一味的抱怨和逃避，因?yàn)楸г怪粫?huì)讓自己整天活在陰霾當(dāng)中越陷越深，當(dāng)這種逆境中的動(dòng)力產(chǎn)生之后，你在職場就會(huì)變得更加的抗跌，正能量也會(huì)充滿其身，所以，今年其它的學(xué)習(xí)計(jì)劃被打斷了木關(guān)系，我先開個(gè)專欄把高數(shù)這個(gè)先好好落實(shí)，畢竟要事為先，人生其實(shí)也就是被各種驚喜意外給充斥著，既來之則安之。

好，心靈雞湯就不撒了，我發(fā)現(xiàn)對(duì)于程序員而言，如果當(dāng)你發(fā)現(xiàn)自己每天都過得非常焦慮，建議可以先從寫博客開始，讓自己先靜下來，寫得好與不好其實(shí)不重要，重要的是通過慢寫來讓自己能沉下心來。。。。不撒了，回到正題，這里的高數(shù)學(xué)習(xí)選的是普林斯頓微積分讀本，也就是長這樣：

至于為啥選它就不過多說了，反正從目錄來看貌似適合初學(xué)者，下面正式開始。?

函數(shù)：

關(guān)于函數(shù)的定義應(yīng)該都比較熟了，尤其對(duì)于程序員的我們，這里主要是當(dāng)一個(gè)復(fù)習(xí)吧，拿書中的一句話可以很好的說明為啥要把函數(shù)學(xué)好：
“不借助函數(shù)卻想去做微積分，這無疑是你所做的最無意義的事情之一。”

定義：

初步理解：

在數(shù)學(xué)里是這么定義函數(shù)的，“函數(shù)是將一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)化為另一個(gè)對(duì)象的規(guī)則，起始對(duì)象稱為輸入，來自稱為定義域的集合。返回對(duì)象稱為輸出，來自稱為上域的集合。”

說實(shí)話這定義有點(diǎn)模糊，其實(shí)從程序員的角度對(duì)于函數(shù)的理解就是：“有一個(gè)輸入?yún)?shù)，通過調(diào)用某函數(shù)，最終再有個(gè)輸出”，當(dāng)然這里不能完全按程序員的思想來理解，畢竟對(duì)于void的函數(shù)是木有輸出的。

對(duì)于數(shù)學(xué)定義的函數(shù)，拿一個(gè)簡單的函數(shù)來理解：y = f(x)，其中x為輸入，它的值是來自于定義域的集合，那啥叫定義域呢？給個(gè)例子就明白了：

好，繼續(xù)理解，對(duì)于y= f(x)中的y來說其實(shí)就是函數(shù)定義中的輸出， 它的值是來自上域的集合，那啥叫上域呢？這塊在下面就會(huì)進(jìn)行說明，先不必過多地操心。

進(jìn)一步理解定義：

由于函數(shù)是如此重要，所以書本舉了一些例子來加深對(duì)函數(shù)這個(gè)概念的理解，這里也把一些關(guān)鍵點(diǎn)過一下，還是有不小細(xì)節(jié)值得挖掘的：

定義域的理解：

1、舉例1：

假設(shè)定義這么一個(gè)函數(shù)：

其中這個(gè)函數(shù)的定義域（函數(shù)的輸入）和上域（函數(shù)的輸出）都是屬于?

，也就是實(shí)數(shù)，啥叫實(shí)數(shù)呢，我也不知道，百度百科：

那有理數(shù)和無理數(shù)又是啥，可以自行百度，這樣我們就可以將任何實(shí)數(shù)平方最終得到一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)吧，比如f(2) = 2 x 2 = 4、f(-1/2) = (-1/2) * (-1/2) = 1/4， 而有一個(gè)特殊的是：f(1) = 1，也就是輸入和輸出一樣，這個(gè)其實(shí)不影響，因?yàn)?strong>函數(shù)并不要求轉(zhuǎn)換后的對(duì)象一定有別于原始對(duì)象，這個(gè)小細(xì)節(jié)需要知道一下下。

另外，還有一個(gè)容易理解錯(cuò)的就是：f(2) = 2x2 = 4，它意味著f 將2 變成4了，其中的f是一個(gè)變換規(guī)則，而f(x)是把這個(gè)變換規(guī)則應(yīng)用于變量x后得到的結(jié)果，所以說“f(x)是一個(gè)函數(shù)”是不正確的，應(yīng)該說“f是一個(gè)函數(shù)”。

2、舉例2：

這第二個(gè)例子其實(shí)闡述的東東比較簡單，但是你需要明白這個(gè)細(xì)節(jié)，這里看一下這個(gè)函數(shù)：

這跟上面例1的函數(shù)不是一樣的式子么？是的，但是這里的定義域發(fā)生變化了，它的定義域只包含>=0的非負(fù)數(shù)，而上面例1的定義域是屬于實(shí)數(shù)，正因?yàn)槎x域的不同，才導(dǎo)致對(duì)于例1中的f(x)和這里的g(x)看似一樣的函數(shù)其已經(jīng)產(chǎn)生不同了，比如x取一個(gè)負(fù)數(shù)-1/2，對(duì)于f(x)=1/4沒問題，但是！！！g(x)卻是沒有定義的，因?yàn)樵摵瘮?shù)g的定義域必須是>=0，所以函數(shù)g會(huì)拒絕非其定義域中的一切數(shù)，這樣就有一個(gè)總結(jié)了：

由于g和f有相同的規(guī)則，但g的定義域小于f的定義域，因此我們可以說g是由限制f的定義域產(chǎn)生的。

3、舉例3：

這個(gè)例子其實(shí)還是在例2的基礎(chǔ)上，對(duì)于函數(shù)的定義域的合法性進(jìn)一步鞏固，這里也來簡單看一下，比較好理解：

還是例1的函數(shù)形式：

那“f(馬)”是啥呢？很明顯是無定義的，因?yàn)槟闶遣荒芷椒揭黄ヱR的對(duì)吧，但是如果定義這么一個(gè)函數(shù)其實(shí)就可以輸入馬了：

其中h的函數(shù)的定義域是所有動(dòng)物的集合，所以很明顯可以有：h(馬) = 4，h(螞蟻)=6，h(鮭魚)=0，由于動(dòng)物的腿不可能是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)，所以很明顯h函數(shù)的上域（這個(gè)概念之后就會(huì)解釋到，目前簡單理解就是輸出值）是所有非負(fù)整數(shù)的集合。

h函數(shù)的定義域由于是所有動(dòng)物的集合，所以很明顯h(2)是無定義的，那h(椅子)呢？貌似h(椅子)=4呀，這里由于椅子沒在定義域動(dòng)物當(dāng)中，所以h(椅子)也是無定義的。

4、舉例4：

這個(gè)書本上舉的例子就一點(diǎn)點(diǎn)惡心了，不過可以很好的說明一個(gè)問題，下面過一下：

假設(shè)你有一條狗，名字叫Junkster，它不幸患上了消化不良癥，表現(xiàn)就是每次吃點(diǎn)東西嚼一會(huì)兒試圖消化食物時(shí)，都會(huì)全吐出來，所以可以擬一個(gè)函數(shù)為：

其中函數(shù)j的定義域是Junkster所吃的食物的集合，其上域是所有顏色的集合，那么就必須認(rèn)為如果Junkster吃了玉米面卷，它的嘔吐物始終是一種顏色（假設(shè)是紅色的），這個(gè)是符合函數(shù)的定義的，但是！！！如果它的嘔吐物有時(shí)候是紅色的，有時(shí)候又是黃色的，那么此時(shí)就不滿足函數(shù)的性質(zhì)了，也就是需要記住：“一個(gè)函數(shù)必須給每一個(gè)有效的輸入指定唯一的輸出”。

【總結(jié)】：

?好，通過上面四個(gè)例子的學(xué)習(xí)，應(yīng)該對(duì)于函數(shù)的定義域是比較清楚了，這里再來簡單歸納一下核心：

1、f(x) = y，其中函數(shù)指的是f，而不是f(x)；

2、由于g和f函數(shù)有相同的規(guī)則，但是g的定義域小于f的定義域，這時(shí)我們可以說g是由限制f的定義域所產(chǎn)生的；

3、不在定義域的值，最終的輸出是無定義的；

4、一個(gè)函數(shù)必須給每一個(gè)有效的輸入指定唯一的輸出；

上域、值域的理解：

接下來則來理解上述函數(shù)定義中所產(chǎn)生疑問的“上域”的概念了，說到上域，其實(shí)還有另一個(gè)我們耳熟能詳?shù)母拍?#xff0c;那就是“值域”，關(guān)于這兩者的區(qū)別，這里用書上的來描述一下：“值域?qū)嶋H上是上域的一個(gè)子集，上域是可能輸出的集合，而值域則是實(shí)際輸出的集合。”，是不是這定義還是有點(diǎn)懵，沒關(guān)系，下面針對(duì)上面定義域的理解中所舉例的函數(shù)一一來寫出它們的值域和上域，這時(shí)你就會(huì)明白了，也是比較簡單的：

1、對(duì)于

，由于定義域和上域都是實(shí)數(shù)，而根據(jù)值域的定義它是實(shí)際輸出的集合，那很明顯任何數(shù)的平方肯定是非負(fù)數(shù)對(duì)吧，比如，結(jié)果都等于2，所以可以看出值域確實(shí)是上域的一個(gè)子集。

2、對(duì)于

,其定義域是非負(fù)數(shù)，上域還是實(shí)數(shù)，很明顯值域也是非負(fù)數(shù)的集合。

3、對(duì)于

定義域是所有動(dòng)物的集合，它的上域是所有非負(fù)整數(shù)的集合，而值域應(yīng)該是任何動(dòng)物可能會(huì)有的腿的數(shù)目的集合，通常是一個(gè)偶數(shù)，但是也有可能動(dòng)物有奇數(shù)條腿，這塊要列全可能你得是一個(gè)生物學(xué)家~~

4、對(duì)于

，其定義域是Junkster所吃的食物的集合，其上域是所有顏色的集合，而值域就是會(huì)包含所有可能的嘔吐物的顏色。

總之，你要知道值域是上域的子集。

區(qū)間表示法：

這塊就比較簡單了，在我們編程時(shí)也經(jīng)常能遇到，比如開區(qū)間，閉區(qū)間等， 這里看一下圖就明白了：

其中我們常見的是這種表示法：

但是也要記得還有另一種表示方法：

求定義域：

有時(shí)候，函數(shù)的定義中是已經(jīng)指明了定義域了，比如上面的這個(gè)函數(shù)：

但是！！！在大多數(shù)的情況下，函數(shù)的定義域是沒有給出的，是需要自己來求出來的。通常定義域就是包括實(shí)數(shù)

轉(zhuǎn)存失敗重新上傳取消集盡可能多的部分，這里舉一個(gè)這樣的函數(shù)：

你覺得函數(shù)k的定義域是啥，全部實(shí)數(shù)么？這里的思考關(guān)鍵在于它：

也就是得要知道平方根的規(guī)則，這塊貌似是初中的知識(shí)，我想應(yīng)該很多人都已經(jīng)忘得差不多了，百度了一下重溫下中學(xué)時(shí)光，貼一個(gè)圖：

也就是這個(gè)開根號(hào)中的a必須是非負(fù)數(shù)的，看了一下百科對(duì)于算術(shù)平方根的定義也特別提到了這個(gè)條件：

那么為啥只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根呢？其實(shí)也很好理解，因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)對(duì)吧，那么再對(duì)這個(gè)非負(fù)數(shù)的結(jié)果開方很明顯不可能是負(fù)數(shù)的，另外這里再復(fù)習(xí)一下它跟平方根的關(guān)系，再次利用度娘：

也就是算術(shù)平方根是平方根的一種特例，好，現(xiàn)在我們已經(jīng)對(duì)于算術(shù)平方根的規(guī)則清楚了，所以對(duì)于

函數(shù)，很明顯此時(shí)函數(shù)k的定義域?yàn)閇0, ∞)，也就是>=0的所有實(shí)數(shù)的集合，這里就是通過平方根的一個(gè)規(guī)則來推出了函數(shù)的定義域了，這里其實(shí)也就道出了如何求函數(shù)定義域的一個(gè)方法了，其實(shí)還是利用你之前所知的數(shù)學(xué)規(guī)則進(jìn)行推算出來的，以下幾種是常見會(huì)出問題的數(shù)學(xué)規(guī)則：

• 分?jǐn)?shù)的分母不能為0；【這個(gè)人人皆知】
• 不能取一個(gè)負(fù)數(shù)的平方根（或四次根、六次根，等等）；【這個(gè)剛才已經(jīng)詳細(xì)解釋過了】
• 不能取一個(gè)負(fù)數(shù)或零的對(duì)數(shù)；
  關(guān)于這個(gè)書本上作者已經(jīng)預(yù)感到大家都已經(jīng)忘記這條規(guī)則了~~所以提示可以看他第9章的基礎(chǔ)補(bǔ)習(xí)，嗯，很明顯我是完全不知道了，移步到9章里回顧一下【數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，當(dāng)在學(xué)習(xí)中遇到某個(gè)知識(shí)點(diǎn)遺忘了，一定要花時(shí)間給補(bǔ)回來，不然會(huì)越學(xué)越學(xué)不懂~~借學(xué)高數(shù)的機(jī)會(huì)再重新整體一下大腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)體系也是一個(gè)挺有價(jià)值的事~~】：
  比如這么一個(gè)方程：
  
  此時(shí)就需要使用對(duì)數(shù)函數(shù)了，其結(jié)果就是：

  那如果是：

  很明顯此時(shí)的x=3嘛，而這個(gè)x又可以以對(duì)數(shù)的形式來表示，所以就可以得到：，所以這里就可以用對(duì)數(shù)來表示指數(shù)的形式了，如下：

  好，接下來就是回到核心的“不能取一個(gè)負(fù)數(shù)或零的對(duì)數(shù)”的理解上來了，這里假設(shè)b是負(fù)數(shù)，看有啥問題，可能就會(huì)沒有定義，比如：b=-1且x=1/2，那么==，而它已經(jīng)違背上面我們已經(jīng)證明的這一條了：

  所以，為了避免這樣的問題產(chǎn)生，就需要要求b > 0，所以也一定是正的對(duì)吧，如果，那么一定會(huì)有y > 0，好核心推論點(diǎn)就出現(xiàn)了：

  ?很明顯圖中b中的冪次就不可能是一個(gè)負(fù)數(shù)或0對(duì)吧，所以你只能取一個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)（b>0且y>0）。?

• tan90度是一個(gè)不存在的值；這塊可能也忘了，先看一下tan的公式你就明白了：tanx=sinx/cosx，當(dāng)x=90°時(shí)，即tan90°=sin90°/cos90°=1/0，分母是不能為0的，所以不存在tan90°，其實(shí)它就是上面的第一種分母為0的情況對(duì)吧，比如好理解。

綜合實(shí)踐：

好，接下來來一個(gè)綜合求定義域的例子，如果你能把這個(gè)函數(shù)的定義域，那么這塊知識(shí)點(diǎn)就算過關(guān)了，如下：

其實(shí)算定義域特別簡單，就是套數(shù)學(xué)上哪些規(guī)則不允許，解一元一次不等式組，對(duì)于這個(gè)函數(shù)右邊的式子其實(shí)就有這幾個(gè)不等式：

1、根據(jù)“不能取一個(gè)負(fù)數(shù)或零的對(duì)數(shù)；”這一條規(guī)則，就有：

其中x+8 > 0，也就是x>-8；

2、根據(jù)“不能取一個(gè)負(fù)數(shù)的平方根”這一條規(guī)則，就有：

其中26-2x>=0，也就是x<=13；所以結(jié)合第一條的條件，此時(shí)x的取值就是(-8, 13]。

3、根據(jù)“分?jǐn)?shù)的分母不能為0；” 這一條規(guī)則，就有：

(x-2)(x+19) != 0，所以就有x !=2且x!=-19， 而根據(jù)目前x的取值是(-8, 13]，x!=-19就不存在了，最終我們就找到了函數(shù)f的定義域?yàn)?#xff1a;除2以外的集合(-8, 13]，這種集合用一個(gè)專業(yè)表示可以為：(-8, 13] \ {2}，這里的反斜杠表示“不包括”。

利用圖像求值域：

在上面，我們已經(jīng)知道了函數(shù)的定義域的求解方式了，接下來則來看一下函數(shù)的值域是如何求的，書中舉了兩個(gè)函數(shù)：

，它的定義域?yàn)閇-2, 1]，,它的定義域是所有的實(shí)數(shù)，那請(qǐng)問下這倆是同一個(gè)函數(shù)么？當(dāng)然不是，因?yàn)槎x域不一樣，這個(gè)在上面已經(jīng)舉個(gè)類似的例子了。

那對(duì)于F函數(shù)，你知道它的值域是多少不？既然它的定義域?yàn)閇-2, 1]，我們可以將這之間的每一個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行平方就可以求解出F函數(shù)的值域了，很明顯是[0, 4]，注意不是[-2*(-2)=4, 1 * 1 = 1]喲，利用自己心算基本也能算出來函數(shù)的值域，但是！！！這個(gè)是學(xué)習(xí)如何利用圖像來求一個(gè)函數(shù)值域非常好的機(jī)會(huì)，其思想就是：畫出函數(shù)的圖像，然后想像從圖像的左邊和右邊很遠(yuǎn)的地方朝向y軸水平地射入兩束亮光，曲線會(huì)在y軸上有兩個(gè)影子，一個(gè)在y軸的左側(cè)，一個(gè)在y軸的右側(cè)，而值域就是影子的并集，也就是說如果y軸上的任意一點(diǎn)落在左側(cè)或右側(cè)的影子里，那么它就處于函數(shù)的值域中，下面直觀的看一下圖：

當(dāng)圖像畫出來之后，你可以看到左側(cè)的影子覆蓋了y軸從[0,4]的所有點(diǎn)：

而右側(cè)的影子覆蓋了y軸從[0,1]的所有點(diǎn)：

那么取兩者的并集就是[0, 4]：

所以通過這種直觀的函數(shù)圖像也是一種求函數(shù)值域的辦法，但是你或者會(huì)問，函數(shù)不可能都是這么一種呀，那其它函數(shù)的圖像大腦中沒有印象，用這種方式貌似要求有點(diǎn)高啊，其實(shí)關(guān)于函數(shù)的圖像在之后的章節(jié)就會(huì)專門學(xué)到：

而且在12章中還會(huì)學(xué)習(xí)繪制函數(shù)圖像的各種技巧：

所以不必?fù)?dān)心，現(xiàn)在先知道函數(shù)的圖像其實(shí)對(duì)于解題也是很有用的就夠了。

垂線檢驗(yàn)：

什么是函數(shù)的圖像？

在上面我們也已經(jīng)領(lǐng)略到了函數(shù)圖像在解題的作用了，非常重要，因?yàn)樗茏屇阒篮瘮?shù)大概長什么樣子，所以這里先來認(rèn)識(shí)一下函數(shù)圖像的定義，這里從兩個(gè)角度來概述：

角度一：函數(shù)f的圖像是指它是所有坐標(biāo)為(x, f(x))的點(diǎn)的集合，其中x在f的定義域當(dāng)中；
角度二：我們以某個(gè)實(shí)數(shù)x開始，如果x在定義域當(dāng)中，就可以畫點(diǎn)(x, f(x))，當(dāng)然這個(gè)點(diǎn)在x軸上的點(diǎn)x的正上方，高度為f(x)；如果x沒有在定義域當(dāng)中，則不能畫任何點(diǎn)。然后對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)x，我們重復(fù)這個(gè)過程從而構(gòu)造出函數(shù)的圖像。

上面這概念了解一下既可，其實(shí)就是各個(gè)坐標(biāo)值的連線就構(gòu)成了函數(shù)的圖像。

何為垂線檢驗(yàn)？

定義：

先來看一下數(shù)學(xué)定義：“如果你有某個(gè)圖像并想知道它是否是函數(shù)的圖像，你就看看是否任何的垂線與圖像相交多于一次。如果是多于一次則它不是函數(shù)的圖像，反之則是函數(shù)的圖像”。

理解：

光看這定義肯定有點(diǎn)懵，其實(shí)理解的關(guān)鍵核心在于：利用這個(gè)垂線檢驗(yàn)的目的就是為了判斷某個(gè)圖像是否是函數(shù)的圖像對(duì)吧，而怎么來檢測呢？主要是圖像中有木有兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)x坐標(biāo)值，如果有，很明顯這倆點(diǎn)的連線是垂直于這個(gè)x坐標(biāo)的，而根據(jù)函數(shù)的定義：“一個(gè)函數(shù)必須給每一個(gè)有效的輸入指定唯一的輸出”，也就是一個(gè)輸入只能對(duì)應(yīng)一個(gè)唯一的輸出，很明顯這種情況違背了函數(shù)的定義了，那么這種情況就可以說這個(gè)圖像不是函數(shù)的圖像了，因?yàn)閳D像中存在一個(gè)輸入有2個(gè)輸出的情況，反之，則說明該圖像就是函數(shù)的圖像。

舉例說明：

在了解了定義之后，下面再來借著例子來理解一下，這樣就比較清晰了。

這里先來畫一個(gè)“以原點(diǎn)為中心，半徑為三個(gè)單位的圖的圖像”，這個(gè)比較簡單，圖如下：

它的函數(shù)方程應(yīng)該是這樣的：

【這個(gè)是根據(jù)圓的方程公式來的：所表示的曲線是以O(shè)(0，0)為圓心，以r為半徑的圓；】，那你認(rèn)為這個(gè)圖像是方程的圖像么？不知道，所以用垂線檢驗(yàn)的方式來檢測一下，也就是在圖像上畫垂線，如下：

其中可以發(fā)現(xiàn)在-3的左邊或3的右邊都沒有問題，垂線木有出現(xiàn)有兩個(gè)點(diǎn)交于圓的情況，這個(gè)很好；而在-3和3上垂線和圖像也僅僅只有一次相交，也比較好；問題就是出現(xiàn)在區(qū)間(-3,3)上了，垂線通過(x, 0)和圓都相交兩次：

那這就不符合函數(shù)圖像定義了，因?yàn)槟悴恢纅(x)到底是對(duì)應(yīng)上方的點(diǎn)還是下方的點(diǎn)對(duì)吧。

而要想讓它成為函數(shù)，有兩種方式：

1、把圓分成上下兩個(gè)半圖，只選擇上一半或者下一半，由于整個(gè)圓的方程是

，那么上半圓的方程就為：

?而下半圓的方程為：

很明顯這兩個(gè)就是函數(shù)了，其定義域?yàn)閇-3, 3]，因?yàn)橛么怪睓z驗(yàn)的話，與半圓相交只有唯一的一個(gè)點(diǎn)。

2、還有一種方式，就是把圓的圖像做一個(gè)改動(dòng)，如下：

也就是只要避免一條垂線與圖交于2個(gè)以上點(diǎn)，其圖像就滿足函數(shù)圖像了。

反函數(shù)：

接下來學(xué)習(xí)一下反函數(shù)，這個(gè)在之后也會(huì)大量被運(yùn)用到，先來理解書本上的第一句話：

假設(shè)有這么一個(gè)函數(shù)f，給一個(gè)在定義域的x輸入，就能得到一個(gè)輸出f(x)對(duì)吧，現(xiàn)在把過程返過來描述：如果你選一個(gè)實(shí)數(shù)y，那么應(yīng)該賦予f函數(shù)什么樣的輸入才能得到這個(gè)輸出y呢？

這里的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，需要理解一下：

1、y必須在f函數(shù)的值域當(dāng)中，因?yàn)樗禽敵雎?#xff0c;而值域剛好是所有的可能輸出，這個(gè)比較好理解；

2、如果y在值域當(dāng)中，有可能會(huì)有很多值都滿足f(x) = y，比如

，其定義域是實(shí)數(shù)，那問一下x取何值時(shí)會(huì)輸出64？很顯然有兩個(gè)值：8和-8；但是也有可能僅有唯一的值能滿足f(x) = y，比如，同樣的問題x取何值時(shí)會(huì)輸出64，此時(shí)只有一個(gè)x值就是4。

定義：

好，接下來就可以給反函數(shù)來一個(gè)正式的定義了：給定一個(gè)函數(shù)f，在f的值域中選擇y，在理想狀況下，僅有一個(gè)x值滿足f(x) = y，如果上述理想狀況對(duì)于值域中的每一個(gè)y來說都成立【也就是如果x取值不唯一的話就不滿足這個(gè)理想狀況了】，此時(shí)就可以定義一個(gè)新的函數(shù)，它將逆轉(zhuǎn)變換，從輸出y出發(fā)，這個(gè)新的函數(shù)發(fā)現(xiàn)一個(gè)且僅有一個(gè)輸入x滿足f(x)=y，這個(gè)新的函數(shù)就稱為f的反函數(shù)，記作

對(duì)上這個(gè)文字概念可以有一些抽象，下面以數(shù)學(xué)語言對(duì)其再總結(jié)一下：

1、從一個(gè)函數(shù)f出發(fā)，使得對(duì)于在f值域中任意y，都只有唯一的x值能滿足f(x) = y，也就是說，不同的輸入對(duì)應(yīng)不同的輸出，那么我們就可以定義它的反函數(shù)

；

2、

的定義域與f的值域相同；

3、

的值或和f的定義域相同；

4、

的值就是滿足f(x) = y的x，所以如果f(x)=y，那么?= x；

書中最后用一個(gè)比較形像的例子對(duì)函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了一個(gè)闡述,還挺貼切的：

變換

就像是f函數(shù)的撤銷按鈕：如果你從x出發(fā)，并通過函數(shù)f將它變換為y，那么你可以通過在y上的反函數(shù)來撤銷這個(gè)變換的結(jié)果，取回x。

好，現(xiàn)在通過這個(gè)定義對(duì)于反函數(shù)有了一定的了解了，但是還是有如下的一些疑問會(huì)存在：

1、你如何知道只有唯一的x值滿足f(x) = y 呢？

2、如果求得一個(gè)滿足疑問一的函數(shù)的反函數(shù)呢？

3、反函數(shù)的圖像又會(huì)是什么樣了呢？

4、如果一個(gè)函數(shù)不滿足疑問一的唯一性，那么有木有一些挽救的措施？

以上答案，在接下來的學(xué)習(xí)中就會(huì)一一揭曉~~

水平線檢驗(yàn)：

對(duì)于上面提到的第一個(gè)疑問：

其最好的方法也是來看函數(shù)的圖像，那怎么知道對(duì)于f函數(shù)值域中的任意一個(gè)y，只有一個(gè)x值滿足f(x)=y呢？下面來挼一下思路，這個(gè)思路是引出水平線檢驗(yàn)的一個(gè)關(guān)鍵：

我們想要在f函數(shù)的值域中選擇一個(gè)y，并且希望只有一個(gè)x值滿足f(x) = y ，那就意味著通過點(diǎn)(0, y)的水平線【還記得在上面我們檢查函數(shù)圖像是否正確用的是垂直線不？如忘了可以往上再溫習(xí)一下】應(yīng)該和圖像只有一次相交，且交點(diǎn)為點(diǎn)(x, y)，那么此時(shí)的x就是我們想要的值；如果說水平線與函數(shù)的圖像相交多于一次，是不是對(duì)于一個(gè)y，有多個(gè)x值對(duì)應(yīng)？那這種情況是不符合反函數(shù)的定義的對(duì)吧，所以這種情況是比較糟糕的，但是在后續(xù)我們可以針對(duì)這種糟糕的情況限制定義域也可以讓它有反函數(shù)，這個(gè)之后再說；還有另一種情況就是水平線跟函數(shù)圖像壓根就不相交，很明顯這種代表y根據(jù)就沒有在值域當(dāng)中，不在反函數(shù)的討論范圍。

基于上面的思想梳理，對(duì)水平線檢測就可以進(jìn)行描述了：如果每一條水平線與一個(gè)函數(shù)的圖像相交最多一次，那么這個(gè)函數(shù)就有一個(gè)反函數(shù)；相反如果相交有多于一次，那么這個(gè)函數(shù)就木有反函數(shù)，這里的要點(diǎn)是：

1、函數(shù)滿足圖像的定義，這里就可以用上面的垂線檢驗(yàn)辦法來檢驗(yàn)；

2、水平線與圖像相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；

比如下面這兩個(gè)函數(shù)的圖像：

很明顯圖左邊的函數(shù)f有一個(gè)反函數(shù)，因?yàn)闆]有一條水平線和y = f(x)相交大于一次對(duì)吧，而對(duì)于圖右邊的函數(shù)g它是沒有反函數(shù)的，因?yàn)橛幸恍┧骄€和y=g(x)相交于兩次，這是從圖像的層面來看的，而用一個(gè)角度也可以推出該函數(shù)是沒有反函數(shù)的，那就是：

如果通過

來求解x，很明顯會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)解對(duì)吧：，這是不符合反函數(shù)的定義的。

但是，還記得在上面說過這么一句話么？

所以，對(duì)于圖右側(cè)的，如果你嘗試限制一下定義域，其函數(shù)也是有反函數(shù)的：

這個(gè)情況之后再來探討。

求反函數(shù)：

接下來再來解決上述疑問的第二個(gè)：

其實(shí)需要要寫下y = f(x)，然后試著解出x既可，比如函數(shù)

，要求它的反函數(shù)，如下：

1、寫成y = f(x)的形式，也就是：

，此時(shí)就可以求出x=?

2、然后就有如下等式：

，為啥呢？這里回顧一下反函數(shù)的特性：

3、由于

中的y變量看著有點(diǎn)別扭，所以可以直接將它替成x，也就是為：

也就是求一個(gè)原函數(shù)的反函數(shù)，就是將它寫成y=f(x)的形式，求出x，最后在原函數(shù)的右上角標(biāo)一個(gè)-1，然后等于這個(gè)x既可，這塊說實(shí)話有點(diǎn)不是很好理解，可以好好揣摩一下。?

但是！！！實(shí)際上并非所有的函數(shù)都可以輕松地求解出x來，這時(shí)則可以通過函數(shù)圖像這個(gè)角度輕松的將其反函數(shù)給繪出來，基本思想就是在圖像上畫一條y=x的直線，然后將這條直線假想為一個(gè)雙面的鏡子，反函數(shù)就是原始函數(shù)的鏡面反射，就比如剛才我們舉例求原函數(shù)的反函數(shù)的例子，它們之間在圖上的關(guān)系如下：

原函數(shù)f在y=x這面“鏡子”中被反射，從而得到它的反函數(shù)了，注意：f和

的定義域和值域都是整個(gè)實(shí)軸。這樣就解決了疑問三的問題了：

限制定義域：

接下來解決疑問三的問題：

在上面舉過這么一個(gè)函數(shù)的例子，它是不滿足水平線檢驗(yàn)的對(duì)吧：

也就是說函數(shù)g木有反函數(shù)，但是！！！我們可以限制函數(shù)的定義域，讓其也可以有反函數(shù)，如下：

也就是將該曲線的定義域由(-∞,+∞)縮減為[0,+∞)之后，就滿足水平線檢驗(yàn)了，所以此時(shí)該函數(shù)就變成有反函數(shù)。也就是定義在定義域[0,+∞)上的函數(shù)h的反函數(shù)，其中

，下面咱們使用剛才所學(xué)的鏡面反射來看一下該反函數(shù)到底長啥樣？

為了找到反函數(shù)的方程，我們必須在方程

解出x，很明顯此解有兩個(gè)：

那我們需要哪一個(gè)解呢？根據(jù)反函數(shù)的特性：

很明顯我們只需要非負(fù)數(shù)的解，即：

，也就是說：

此時(shí)的圖像就如：

最后，咱們看一下沒有通過水平線檢驗(yàn)的定義域在(-∞,+∞)的原始函數(shù)

，如果在鏡子y = x中進(jìn)行反射，其實(shí)它會(huì)得到這么一個(gè)圖像：

很明顯該圖是不會(huì)通過垂線檢驗(yàn)的，也就代表它不是函數(shù)的圖像，這也從另一個(gè)角度證明它是沒有原函數(shù)的，此外還可以說明垂線檢驗(yàn)和水平線檢驗(yàn)之間的聯(lián)系就是：水平線被鏡子y=x反射后會(huì)變成垂線。

反函數(shù)的反函數(shù)：

這個(gè)理解起來就比較麻煩，但是呢在之后的學(xué)習(xí)中又會(huì)用到，所以，還是一點(diǎn)點(diǎn)來啃它。

如果對(duì)于一個(gè)函數(shù)f它有反函數(shù)，那么對(duì)于在f定義域中的所有x，都有這個(gè)等式成立：

，這個(gè)應(yīng)該好理解，因?yàn)閒(x)=y，根據(jù)反函數(shù)的這個(gè)特性就可以得出這個(gè)等式了：

同樣對(duì)于在f值域當(dāng)中的所有y，都有

，因?yàn)閒的值域和的定義域相同，所以對(duì)于f值域中的y，我們就可以取到，也就是：

對(duì)于上面這個(gè)理論理解起來可能還是有點(diǎn)抽象，下面舉個(gè)例子再來理解一下：

比如函數(shù)

，它的反函數(shù)為：【這塊如果覺得求解起來有點(diǎn)模糊，建議好好再溫習(xí)下反函數(shù)的知識(shí)，這塊未來會(huì)經(jīng)常用到】，

那令x=f(x)，代入

式子中，是不是就有，也就是在上面在反函數(shù)的反函數(shù)所說有等式：

還記得在上面說過反函數(shù)就像是一個(gè)撤銷按鈕么？回憶一下：

也就是我們使用x作為f函數(shù)的輸入，然后給出輸出到

反函數(shù)上，這撤銷了變換并讓我們?nèi)』亓藊這個(gè)原始的數(shù)，這樣的視角能夠加深對(duì)反函數(shù)的理解。比如：最終就是求得了y對(duì)吧，所以：是f的反函數(shù)，且f是的反函數(shù)，換言之，反函數(shù)的反函數(shù)就是原始函數(shù)。

小心有限定義域的反函數(shù)的反函數(shù)：【是不是念這句話舌頭會(huì)打轉(zhuǎn)~~】

最后再來討論一下這個(gè)函數(shù)的反函數(shù)的反函數(shù)：

，根據(jù)之前所學(xué)，這個(gè)函數(shù)是需要限制定義域才會(huì)有反函數(shù)對(duì)吧，回憶一下：

假設(shè)我們把定義域限制在[0,+∞)，當(dāng)時(shí)我們是稱函數(shù)h有反函數(shù)對(duì)吧【上圖中也可以看到】，也就是在限制作用域之后的函數(shù)名不用g了，而是h，但是！！！這里假設(shè)粗心，我們就把g函數(shù)看成它有反函數(shù)，看會(huì)有啥問題？我們先求得g函數(shù)的反函數(shù)為：

，此時(shí)再求它的反函數(shù)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它是【如果這一步看不懂，用代入法代到這個(gè)函數(shù)中你就懂了：】，也就是等于x對(duì)吧，其中x>=0。那你看出啥問題了么？是反函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)該等于原函數(shù)它呀，但是現(xiàn)在的結(jié)果是x，很明顯是不對(duì)的，這是因?yàn)槭枪室饪村e(cuò)了函數(shù)了，g是沒有限制定義域的。

換另一個(gè)視角，解這個(gè)反函數(shù)的反函數(shù)：

【注意：它跟是不一樣的喲】，此時(shí)會(huì)得到，是不是它也違背了“反函數(shù)的反函數(shù)是原函數(shù)”的規(guī)則？照理的呀，這里也能說明沒有限制定義域的g函數(shù)是沒有反函數(shù)的，由于我們粗心地將其看成g函數(shù)了，它沒有限制定義域，那我x=-2，此時(shí)，所以就不成立了，不成立的根本原因在于-2沒有在g的限制定義域[0,+∞)中對(duì)吧。

以上說了一大堆，其實(shí)是為了說明：我們應(yīng)該使用函數(shù)h，而不是函數(shù)g，也就是對(duì)于有限制定義域的函數(shù)，我們需要改變函數(shù)的字母！！！就拿我們所用的函數(shù)例子，

如果不限制定義域是不是沒有反函數(shù)？那如果限制定義域[0,+∞)之后，就不能說g有反函數(shù)了，要給函數(shù)字母更改一下，比如更改成h，說h有反函數(shù)，這樣改名是可以避免自己出錯(cuò)的一個(gè)手段，但是！！！實(shí)際數(shù)學(xué)家們?cè)谙拗贫x域時(shí)經(jīng)常不會(huì)改變字母，所以把這種情形總結(jié)如下：

如果一個(gè)函數(shù)f的定義域可以被限制，使得f有反函數(shù)

，那么：

對(duì)于f值域中的所有y，都有

,但是！！！可能不等于x，而事實(shí)上僅當(dāng)x在限制的定義域中才成立。

簡單來說，對(duì)于有限制的函數(shù)，其在進(jìn)行反函數(shù)的求解時(shí)，一定是要基于限制的定義域才行，不然結(jié)果就會(huì)不符合反函數(shù)的規(guī)則，記住這點(diǎn)就成！！！

總結(jié)：

今天先學(xué)到這，純復(fù)習(xí)了，對(duì)于我來說其實(shí)都是全新的，小學(xué)水平，因?yàn)槎疾恢?#xff0c;然后所有的內(nèi)容都是基于書本上來的，也有一些文字是直接摘抄的，但是對(duì)我而言，帶著思考的抄寫也是一種輸出，能夠加深對(duì)知識(shí)的理解，總之經(jīng)過這么一篇，收獲還是蠻大的，彌補(bǔ)了很多之前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，堅(jiān)定用這種方式一步一個(gè)腳印地來把整體書給啃完，也希望用這篇讓自己今年的狀態(tài)回歸正常，不再一直身處焦慮當(dāng)中了【作為jay迷，居然還沒認(rèn)真去聽最近周杰倫時(shí)隔6年新出的專輯的歌曲，天天就是各種忙，所以必須調(diào)整自己目前的狀態(tài)，先把jay最偉大的作品好好品嘗品嘗~~】，加油！！！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本第一章--函数、反函数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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