1.1 函數(shù)

函數(shù)是將一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)化為另一個(gè)對(duì)象的規(guī)則。起始對(duì)象稱為輸入，來自稱為定義域的集合。返回的對(duì)象稱為輸出，來自稱為上域的集合。

1.一個(gè)函數(shù)必須給每一個(gè)有效的輸入指定唯一的輸出
2.上域是可能輸出的集合，而值域是實(shí)際輸出的集合。

1.1.1 區(qū)間表示法

小括號(hào)為開中括號(hào)為閉，混合的為半開

1.1.2 求定義域

主要注意三點(diǎn)：
1.分母不能為0
2.不能取負(fù)數(shù)的平方根
3.不能取非正數(shù)的對(duì)數(shù)

1.1.3 利用圖像求值域

在定義域內(nèi)，函數(shù)在y軸上的投影范圍即為值域

1.1.4 垂線檢驗(yàn)

對(duì)于一個(gè)函數(shù)，每一個(gè)x值至多對(duì)應(yīng)一個(gè)y值。因此，對(duì)于實(shí)函數(shù)，一條垂直于x軸的直線（x=k）與一個(gè)函數(shù)的圖像至多有1個(gè)交點(diǎn)。如不然，則說明其并非函數(shù)的圖像。

1.2 反函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D，值域是f(D)。如果對(duì)于值域f(D)中的每一個(gè)y，在D中有且只有一個(gè)x使得g(y)=x，則按此對(duì)應(yīng)法則得到了一個(gè)定義在f(D)上的函數(shù)，并把該函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記為

$x=f^{?1}(y),y\in f(D)$

1.2.1 水平線檢驗(yàn)

如果一條水平線和一個(gè)函數(shù)的圖像至多相交一次，那么這個(gè)函數(shù)就有一個(gè)反函數(shù)

1.2.2 求逆

除了直接運(yùn)算，也可以以函數(shù)y=x為對(duì)稱軸，畫出反函數(shù)

1.2.3 限制定義域

當(dāng)水平線檢驗(yàn)失敗并且沒有反函數(shù)時(shí)，只保留一個(gè)x值。

1.2.4 反函數(shù)的反函數(shù)

如果f有反函數(shù)f^-1，那么
對(duì)于f值域中的所有y，反函數(shù)的反函數(shù)等于自身，即f(f^-1(y)) = y，但是
f(f^-1(x)) = x可能不成立，事實(shí)上，當(dāng)x在限制的定義域中才成立。

1.3 函數(shù)的復(fù)合

這個(gè)沒啥好說的

1.4 奇函數(shù)和偶函數(shù)

偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸具有對(duì)稱性
奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)具有180°的點(diǎn)對(duì)稱性

1.5 線性函數(shù)的圖像

1.6 常見函數(shù)及其圖像

1.多項(xiàng)式
以f(x) = 5x⁴- 4x³ +10為例
基本項(xiàng)xⁿ的倍數(shù)叫做xⁿ的系數(shù)。最大的冪指數(shù)n(該項(xiàng)系數(shù)不能為0)叫做多項(xiàng)式的度數(shù).上述多項(xiàng)式的度數(shù)為4.下圖為x⁰到x⁷的圖像。
最大度數(shù)的系數(shù)叫主導(dǎo)系數(shù)。主導(dǎo)系數(shù)可以幫助判斷多項(xiàng)式最左端和最右端的走勢。
如下圖：

度數(shù)為2的多項(xiàng)式又叫二次函數(shù)。判別式的表達(dá)式為
$?=b^2?4ac$
當(dāng) $?$ < 0,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解。對(duì)于前兩種情況解為：
$\frac{?b\pm \sqrt{b^2?4ac}}{2a}$
二項(xiàng)函數(shù)一個(gè)重要的技能是配方，這個(gè)大家都會(huì)

2.有理函數(shù)
$\frac{p(x)}{q(x)}$ 這種形式的函數(shù)即為有理函數(shù)
最簡單的有理數(shù)是多項(xiàng)式本身，即q(x)為1的有理函數(shù)，另一個(gè)簡單的例子是1/xⁿ，其中n為正整數(shù)。下面是常見的一些有理函數(shù)的圖像

3.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)
y = b^x(b > 1)的圖像與上圖很類似。左端的水平漸近線為x軸。y = 2^-x與y = 2^x關(guān)于有軸對(duì)稱，如圖1-18所示

由于y = 2^x滿足水平線檢驗(yàn)，所以該函數(shù)有反函數(shù)，這個(gè)反函數(shù)就是以2為底的對(duì)數(shù)$y={\lg }_2(x)$。以直線y=x為對(duì)稱軸，$y={\lg }_2(x)$如圖1-19所示。

4.三角函數(shù) 下章做介紹
5.帶有絕對(duì)值的函數(shù)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《普林斯顿微积分读本》 第一章：函数、图像和直线的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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