接著上一次普林斯頓微積分讀本05第四章--求解多項式的極限問題的高數學習繼續往下。?

前言：

對于函數的圖像，我們之前所學是要求它必須滿足垂線檢驗對吧，這里并沒有要求特別多，圖像是可以散落四處的，那如果對函數圖像要求略微多一點會發生什么：接下來我們要討論兩種類型的光滑性：

1、連續性：直覺上告訴我們，連續函數的圖像必須能一筆畫成；

2、可導性：直覺上，在可導函數的圖像中不會出現尖角。

連續性：

先來討論函數的連續性，如上面直觀的感受，圖像必須是能一筆畫成的，比如：

但是對于y=1/x這樣的函數：

很明顯除了x=0外，f處處連續，因此：必須理解在一點處連續是什么意思，然后再考慮在更大的區域上的連續性。

在一點處連續：

概述：

我們以一個函數f和在x軸上其定義域中的點a開始，當我們畫y = f(x)的圖像時，想要在通過圖像上的點（a, f(a)）時不提起筆，在其它地方提筆不要緊。這也就意味著我們想要一連串點(x, f(x))變得越來越接近于點?（a, f(a)），換言之，也就是當x -> a時，需要f(x) -> f(a)，其實也就是一個極限問題。這里給出一個在一點處連續的定義：

其中等式的兩邊必須都是有定義的：
如果極限不存在，那么f在點x=a處不連續；而如果f(a)不存在，代表都沒有一個點（a, f(a)）可以讓你通過。

其實對這個定義可以明確地要求以下三條成立：

1、雙側極限：

存在，并且是有限的；

2、函數在點x=a處有定義，既f(a)存在（并且是有限的）；?

3、以下兩個量相等，既：

實踐：

下面舉幾個例子，來對“在一點處連續” 的定義加深理解，當然讓你來根據上面的定義判斷以下是否在一點處連續：

例1：

很明顯在x=a處的左右權限不相等，則雙側極限不存在，也就是不滿足這個條件：

所以此函數在點x=a處不連續。

例2：

1、函數在x=a處的左右極限是一樣的，也就是存在雙側極限，并且是有限的；

但是！！！函數在點x=a處木有定義：

所以不滿足這個條件：

所以：?此函數在點x=a處不連續。

例3：

1、雙側極限存在；

2、在x=a處有定義；

但是！！！權限值和函數值不相等：

也就是不滿足：

所以：?此函數在點x=a處不連續。

例4：

1、左右極限存在；

2、f(a)存在；

3、極限值和函數值相等；

所以，完全符合咱們的定義要求，所以函數在點x=a處連續。

在一個區間上連續：

(a，b)區間：

現在我們已經知道了在單點上連續的定義了，現在來把定義拓展到一個區間上來：

如果函數在區間（a，b）上的每一點都連續，那么就說它在該區間上連續。

注意：f實際上沒有必要在端點x=a或x=b上連續【所以你可以看到上面描述的是a，b的開區間】。

比如：f(x) = 1 / x，它的圖像為：

很明顯f在(0,?∞)上連續，即使f(0)無定義，同時在(-∞，0）上也連續，但是！！！在區間(-2, 3)上是不連續的，因為0位于此區間內，f(0)在那里不連續。

[a，b]區間：

在上面我們討論的是a至b的開區間的連續性，那如果像下面這個閉區間呢？

很明顯雙側極限在端點x=a和x=b處不存在，因為點x=a只有一個右極限，而點x=b只有一個左極限，所以對于函數f在[a,b]上連續的定義就略加要進行修改了，如下：

1、函數f在(a,b)中的每一點都連續；注意：是開區間。

2、函數f在點x=a處右連續；既：

存在且有限，f(a)存在，并且這兩個量相等，這也就是在一點處連續的定義。

3、函數f在點x=a處左連續；既：

存在且有限，f(b)存在，并且這兩個量相等。

總結：

如果函數在其定義域上的所有點都連續，我們就說它是連續的；如果函數的定義域包括一個帶有左端點和/或右端點的區間，那么在那里需要函數的單側連續性。

連續函數的一些例子：

了解了函數連續的性質之后，接下來看一下連續函數的一些例子，有很多的常見函數其實都是連續的。?

每一個多項式都是連續的：

貌似這個不太好證明，這里先來看最最簡單的這個函數：

證明定義為f(x) = 1的常數函數f，對于所有的x，在任意一點a處都連續。

也就是需要證明【這是在某點處連續的定義】：

由于對于任意的x都有f(x) = 1，并且f(a) = 1【因為a是任意x中的一員】，對于上面的這個待證明的式子咱們就又可變為：

所以現在只需要證明：

很明顯是成立的，因為“常數的極限是它本身”，所以“f(x) = 1的常數函數f，對于所有的x，在任意一點a處都連續”得證。

那更進一步：

“設g(x) = x，證明g是連續的”

其實也就是需要證明：

由于g(x) = x，很明顯g(a) = a，所以證明式子又可以簡化為：

然后這式子是成立的，因為當x->a時，x也最終會趨向于a。

另外，還可以擴展如下幾個結論：

1、一個連續函數的常數倍是連續的；

2、如果對兩個連續函數做加法、減法、乘法或復合，會得到另一個連續函數；

3、當一個連續函數除以另一個連續函數的時候，除了分母為0的點外，商函數處處連續，比如1/x，除了x=0外，分子和分母都是為x的連續函數對吧。

回到多項式再來挖掘，因為g(x) = x是x的連續函數，可以讓g和它自己相乘，此時x^2也是x的連續函數【如上面的第二條所闡述的】，而且你想要多少個x和它自己相乘都可以，這樣就可以說明x的任意次冪（作為x的函數）的連續性，然后可以乘以常數系數，并將不同次冪相加在一起，得到任意一個多項式，此時該多項式依然是連續的！！！

看一個奇異的函數：

其實對于所有的指數函數、對數函數、三角函數也是如此，都是連續的，接下來看一下比較奇異的函數：

f(x) = x sin(1/x)

其實在之前普林斯頓微積分讀本04第三章--極限導論 - cexo - 博客園學習極限導論時我們就已經學過它的圖像了：

不過當時只是討論x>0的情況：

其實該函數是一個偶函數，還記得偶函數的定義不，回憶一下普林斯頓微積分讀本02第一章--函數的復合、奇偶函數、函數圖像 - cexo - 博客園：

不信看下證明就知道了：

而根據偶函數的圖像特性：

所以，很輕松的你就能將它的定義域擴充到x<0的情況，如下：

其中圖只展示了定義域-0.3 < x < 0.3。

好，接下來討論一下該函數的連續性，這里就得用到上面多項式擴充的一些結論了。

1、先看1/x是否連續？

很明顯除了x=0之外的所有點都是連續的。

2、然后它與sin正弦函數復合，除了x=0之外，sin(1/x)在其他各處也都是連續的，這其實就是套的上面的這個結論：

3、x和sin(1/x)相乘，當然也是連續的。因為x本身就是連續函數，連續函數相乘最后會得到另一個連續函數。

很明顯這個函數f在x=0上是不連續的對吧，從圖中的空心圓就可以得知：

所以，我們重新定義一個函數，將這個空心洞給堵上，不就整個函數是連續了么？其實也比較簡單，定義如下：

很明顯在x=0外【此時g等于0，而f是無定義的，注意區分g和f，g是求極限，而f是一個函數】，g(x) = f(x)，g必須是處處連續的。現在需要來看看在x=0處發生了什么？由于g(0)是有定義的，所以：

這是根據之前學習的三明治定理得到的，這塊知識肯定又忘得差不多了，回顧一下普林斯頓微積分讀本04第三章--極限導論 - cexo - 博客園：

同樣又可以根據三明治定理，可以得到它的左權限也等于0：

因為等號兩邊都存在且等于0，所以g在x=0處實際上是連續的，根據在某一點的連續性就可得：

盡管它是一個分段函數。

函數連續性的重要意義：

上面說了一大堆跟函數連續性相關的知識點，你有木有覺得感覺然并卵呀，其實是有用的，還記得在之前普林斯頓微積分讀本05第四章--求解多項式的極限問題舉過這么一個求極限的例子不？

用代入法就可以很輕松地求出該極限對吧，但是！！！為啥能使用代入法呢？用函數的連續性就可以來解釋了。

令：

那么由于分子和分母都是多項式，除了在分母為0的點外，f是處處連續的，也就是說，除了在x = 2處，f是處處連續的，因此f在x = -1上是連續的，根據在某點上的連續性，就有這個式子：

也就是說求當x->-1函數f的權限，其實它的結果就等于函數f中x=-1代入的結果，所以就有：

到此，有木有覺得之前花了這么大篇幅一直在證明函數的連續性的作用？其實就是對之前我們為啥求極限時能使用代入法的一個合理的解釋。

函數連續性帶來的好處：

知道了一個函數是連續的之后，會有很多好處，我們這里先來看其中的兩個好處。

好處一：介值定理：

概述：

啥是介值定理呢？ 其基本思想是：

假設一個函數f在一個閉區間[a,b]上連續，此外，假設f(a) < 0 且 f(b) >0，因此，在y=f(x)的圖像上，點(a, f(a))位于x軸的下方，而點(b,f(b))位于x軸的上方，如下：

好，如果必須要用一條曲線（當然它是要滿足垂線檢驗，也就是函數有圖像），并且不允許抬起筆來，很顯然你的筆將與x軸上a和b之間的某處至少相交于一次對吧，交點要么在a的附近或b的附近、或者在a和b中間的某處，但必須相交至少一次，也就是說，x軸截距【還記得截距的概念不，在之前普林斯頓微積分讀本02第一章--函數的復合、奇偶函數、函數圖像已經學過，可以回憶一下】在a和b之間的某處，其中要注意：函數f在區間[a,b]上的每一點都是連續的，這一點是非常重要的，如果f僅僅有一點不連續會怎樣呢？看下圖：

如有一個點不連續，則函數在x軸上就會發生跳躍而不通過x軸，所以這一點需要注意！！！

對于另一個情況也同樣成立：f(a)>0且f(b)<0，也就是從x軸上方開始并在x軸下方結束的情況，并且同樣要求f在[a,b]上的每一點都連續，那么在[a,b]上的某處，必定會有一個x軸截距存在。

好，接下來就可以正式引出介值定理了：

介值定理：如果f在[a,b]上連續，并且f(a) < 0且f(b) > 0，那么在區間(a,b)上至少有一點c，使得f(c) = 0；代之以f(a) > 0且 f(b) < 0，同樣也成立。

實踐：

上面介值定理描述之后，應該還是會感覺懵懵的對吧，下面舉一些實際的例子來看一下這個定理有啥意義。

例一：

假設要證明這個多項式：

在x=1和x=2之間有一個x軸截距。

下面證明一下：

1、由于它是一個多項式，所以p是處處連續的，當然也就包含[1,2]之間的點；

2、由于p(1) = 4 > 0 且 p(2) = -9 < 0，也就是p(1) 和 p(2) 的符號相反，且p在[1,2]上連續；

3、所以我們知道在區間[1, 2]上至少存在一點c使得p(c) = 0，數c就是多項式p的一個x軸截距。

例二：

接下來這個例子稍難一些：

“如何證明方程x=cos(x)有一個解呢？不需要求出來，只需要證明存在一個解”。

這里其實可以用兩種方法來證明。

方法一：可以先在同一坐標軸上畫出y = x 和 y = cos(x)的圖像，你會發現圖像的交點的x軸坐標在π/4附近。不過對于這個圖像式論證在數學證明題上來說，貌似說服力還遠遠不夠，所以接下來再來看方法二，也就是我們所學的介值定理。

方法二： 利用介值定理，那如何來證明呢？

1、這里得利用一個小技巧：將所有表達式放到等號左邊，也就是試著來求解x - cos(x) = 0，設f(x) =?x - cos(x) ，如果可以證明存在數c使得f(c) = 0的話，任務就算完成了，因為f(c) = 0，那么c - cos(c) = 0，因此c = cos(c)，這樣就找到了方程x = cos(x)的一個解了，它就是x = c。

好，貌似這里發現有介值定理的身影了，看一下介值定理的描述：

是的，接下來一步，就是用介值定理來進行論證了，這里就可以看到學它的意義了。

2、要想使用介值定理，其實就是需要找到兩個數a 和 b，使得f(a) 和 f(b)其中一個是負的而另一個是正的對吧，而在方法一中的圖像式論證中可以看到這個點是在π/4附近，所以我們可以保守地選取a = 0和b =?π/2，很明顯f(0) = 0 - cos(0) = 0 - 1 = -1，它是負的；f(π/2) =?π/2 - cos(π/2) =?π/2 - 0 =?π/2，它是正的。

而由于f是函數的（它是兩個連續函數的差，最終還是連續函數），根據介值定理可以得出：在區間(0, π/2)上存在某個數c使得f(c) = 0，于是就證明了x = cos(x)有一個解。

介值定理的另一個變體：

對于介值定理的定義來說：

看到標紅的了么，其實這個0可以用任意數M來替換，且結果依然成立，就這有介值定理的另一個變體的描述了：

假設f 在[a,b]上連續；如果f(a) < M 且 f(b) > M(或反過來)，那么在(a,b)上存在一個點c使得f(c) = M。

舉個例子：

對于f(x) = 5有解么？下面就可以用這個變體的介值定理來進行論證：

1、f函數是連續的；

2、取出[a, b]的范圍，f(0) = 1 < 5，f(2) = 13 > 5，很明顯根據變體的介值定理：

可以得知對于(0, 2)上的某個c，有f(c) = 5，所以f(x) = 5確實是有解的。

這里再嘗試以一個新的函數g再來審視一下，其定義為：

如果f(x) = 5有一個解是c，那么c也是g(x) = 0的解,由于g(0) < 0 且 g(2) > 0，也就是這里可以不使用變體的介值定理。而變體并沒有給我們提供任何新的東西，它只是簡化流程了。

一個更難的介值定理例子：

最后再來看一個更加難的介值定理的例子：

證明任意的奇數次多項式至少有一個根。

令p是一個奇數次多項式，假設至少有一個數c使得p(c) = 0（這對于偶數次多項式不成立，比如二次的x^2 + 1沒有根，其圖像和x軸不相交），那如何來證明這個假設是成立的呢？

這里需要用到當時普林斯頓微積分讀本05第四章--求解多項式的極限問題在學習x->∞時的有理函數的極限，有這么一個式子：

其中首項這邊可以表示為：

所以就有：

也就是當x變得非常大的時候，p(x)和an(x^n)會相對地非常接近（它們的比值接近于1），這就意味著它們至少有相同的符號！！如果符號不相同，很明顯它們的比值就接近于一個負數而不是1了。

所以這里假設A是一個很大的負數，使得p(A)和an(A^n)有相同的符號，另外選取一個非常大的正數B，使得p(B)和an(B^n)有相同的符號，此時an(A^n)和an(B^n)符號一定相反，因為n是一個奇數，如果an > 0，那么an(B^n)為正且an(A^n)為負，因此有：

所以p(A)和p(B)的符號相反；

又因為p是一個多項式，它是連續的；

所以根據介值定理就有：在A和B之間有一個數c，使得p(c) = 0，也就證明p有一個根。

總結：

對于介值定理，它的意義貌似就是用來進行函數求根進行論證的，至于它還有木有其它用處，待之后的學習再來感受，目前先有個大致的印象。

好處二：連續函數的最大值和最小值：

概述：

對于函數連續性的另一個好處就是可以知道連續函數的最大值和最小值，假設有一個函數f，它在閉區間[a,b]上連續，這意味著，可以拿筆放在點(a, f(a))上，由此出發，筆不離紙地畫一條曲線，并結束于(b, f(b))。

接下來給出最大值和最小值定理：

如果f在[a,b]上連續，那么f在[a,b]上至少有一個最大值和一個最小值。

實踐：

例一：

下圖是一些關于[a,b]上的連續函數及其最大值與最小值的例子：

圖一中可以看到x=c處取得最大值，x=d取得最小值；

圖二是x=c取得最大值，而左端點x=a處取得最小值；

圖三是x=b取得最大值，而最小值在x=c和x=d上，這個是可以接受的，允許有多個最小值只要至少有一個。

圖四展示了一個常數函數，每個點既是最大值，也是最小值。

例二：

在上面的例子中強調的函數一定是連續的，且[a,b]是在閉區間，那如果不是呢，下面來看一些反面例子：

圖一：函數f在區間[a,b]的中間有一條漸近線，則會產生一個不連續點，很明顯它木有最大值，因為只會在漸近線的左側無限上升。類似地，它也沒有最大值，因為它會在漸近線的右側無限下降。

圖二：這個很明顯在(a,b)開區間上是連續的，有一個最小值在x=c處有一個最小值，那它的最大值呢？你可能說它是在x=b處，錯！！！因為x=b處沒有定義，看看它是個空心圓，那你可以說最大值是在b附近呀，也就是一個小于b并接近于b的數，但是很不幸，沒有這樣的數，無論你想到一個多么接近于b的數，你總是可以取該數與b的平均數得到另一個更接近于b的數，所以，該函數是沒有最大值的，這個例子也能說明為啥最小值和最大值定理描述中：

必須是閉區間的原因。

圖三：其實，即使區間不是閉的，也有可能有最大最小值，看圖三，它在(a,b)上是連續的，但仍然在x=c處有一個最大值并且在x=d處有一個最小值對吧，那。。最大最小值定理也沒必要要求必須得是閉區間了呀，其實這只是一個幸運的情況，并非所有非閉區間的都有最大最小值，而如果你是在一個閉區間的情況下，根據最大最小值定理就可以確保最大值與最小值的存在性了，所以，對于這個開閉區間的情況一定得要想清楚。

總結：

說實話連續性這塊的東東還是有些抽象的，需要好好消化，對于第5章其實還有一個內容--可導性，由于篇幅的原因，下次繼續~~

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本06第五章--连续性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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