文章目錄

• • 1. 選擇問題
  • 2. 解決方法
  • 3. 代碼示例

顧名思義，“線性時間選擇”就是“選擇問題”的“線性時間”算法。

1. 選擇問題

元素選擇問題：給定一個能夠線性排序的集合（該集合中有 n 個元素）和 一個整數 k（$1\le k\le n$） ，找出這 n 個元素中第 k 小的元素。

時間下界：

• 當 $k=1或k=n$時，時間復雜度為 $O(n)$

• 當 $k\le n/log(n)或k\ge n?n/log(n)時$，時間復雜度為$O(n+klog(n))=O(n)$（堆排序）

2. 解決方法

方法一：先排序，再找第 k 小的數。$O(nlogn)$時間

方法二：隨機選擇算法：使用快速排序方法, 最多對一段繼續分解 最壞時間$O(n^2)$, 平均時間$O(n)$

RamdomizedPartition(a, p, r) 快排中的分解算法

i=Ramdom(p,r) //在p:r中隨機選擇一個數i

交換 a[i] 與 a[p] //將a[i]換到左端點

執行Partition(a,p,r)

RamdomizedPartition(a, p, r) //排序a[p:r] { i = Ramdom(p, r); swap(a[i], a[p]);return Partition(a, p, r); }

RandomSelect(a, p, r)

RSelect(a,p,r,k) //選擇a[p:r]中第k小數 { if (p == r)return a[p];mid=RamdomizePartition(a, p, r); if( mid >= k)return (RSelect(a, p, mid, k)); else return (RSelect(a, mid + 1, r, k - mid); } //初略時間分析: T(n) = T(9n/10) + O(n) = O(n)

方法三：線性時間選擇算法 Select() ：對快速排序的改進，最壞時間$O(n)$。

將 n 個元素，分成$?n/5?$組，取出每組的中位數（第三小的元素）

取出$?n/5?$個中位數的中位數（Select函數可以取中位數）

利用快排中的分解函數 Partition()，以所求中位數為基準，劃分 a[p : r] 為兩段。

取其中一段進行遞歸。

template <typename Type> Type Select(Type a[], int p, int r, int k) { if( r - p < 75 ) { 直接對數組a[p:r]排序; return a[p+k-1];}for( int i = 0; i <= (r - p - 4) / 5 ; i++ ) //分 n/5 組, 取各組中位數{swap(a[p + 5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素, a[p+i]);}Type x = Select(a, p, p+(r-p-4)/5, (r-p-4)/10); //取中位數的中位數, T(n/5)int i = Partition(a, p, r, x), j = i - p + 1; if ( k == j ) return a[i];else if ( k < j ) return Select(a,p,i-1,k); //選擇左片遞歸, 最多T(3n/4)else return Select(a,i+1,r,k-j); //選擇右片遞歸, 最多T(3n/4)}

時間復雜度分析：

總結：算法優化的歷程

算法快排隨機選擇線性時間選擇

時間復雜度	$O(nlog(n))$	$O(n)??O(n^2)$	$O(n)$
基準值	a[p]	random	中位數

3. 代碼示例

附：line-time-select.c

#include <stdio.h> #define MAX 100000 int num[MAX]; // 選擇排序 void slsort(int p, int q) {for (int i = p + 1; i <= q; i++){int temp = num[i], j = i - 1;while (j >= p){if (num[j] > temp){num[j + 1] = num[j];j--;}elsebreak;}num[j + 1] = temp;} } // 分解函數 int Partition(int p, int q, int mid) {int i = p, j = q;while (i <= q && j >= p){while (num[i] < mid){i++;}while (num[j] > mid){j--;}if (i >= j)break;else{int temp = num[i];num[i] = num[j];num[j] = temp;i++, j--;}}return j; } // 選擇函數 int Select(int p, int q, int k) {if (q - p < 75){slsort(p, q);return num[p + k - 1];}// 選出 n/5 組中每個組的中位數for (int i = 0; i <= (q - p - 4) / 5; i++){slsort(p + 5 * i, p + 5 * i + 4);int temp = num[p + 5 * i + 2];num[p + 5 * i + 2] = num[p + i];num[p + i] = temp;}// 選出各種中位數的中位數 midint mid = Select(p, p + (q - p - 4) / 5, ((q - p - 4) / 5 + 1) / 2);// 以 mid 為基準進行分解int mid_id = Partition(p, q, mid);int mid_rank = mid_id - p + 1;// 遞歸條件判斷if (k == mid_rank){return num[mid_id];}else if (k < mid_rank){return Select(p, mid_id, k);}else{return Select(mid_id + 1, q, k - mid_rank);} } int main(int argc, char const *argv[]) {int i = 0, k;while (scanf("%d", &num[i]) != EOF) {i++;}scanf("%d", &k); // 選擇第幾小的元素if( k > i)printf("error!\n");elseprint("%d\n", Select(0, i, k));return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的分治——线性时间选择算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。