定義：給定線性序集中n個元素和一個整數k，1≤k≤n，要求找出這n個元素中第k小的元素。

（1）在某些特殊情況下，很容易設計出解選擇問題的線性時間算法。如：當要選擇最大元素或最小元素時，顯然可以在$O(n)$時間完成。（一趟比較即可）

（2）一般的選擇問題，特別是中位數的選擇問題似乎比最小（大）元素要難。但實際上，從漸近階的意義上，它們是一樣的。也可以在$O(n)$時間完成。

步驟：

（1）將n個輸入元素劃分成n/5（向上取整）個組，每組5個元素，最多只可能有一個組不是5個元素。用任意一種排序算法，將每組中的元素排好序，并取出每組的中位數，共n/5（向上取整）個。
（2）遞歸調用select來找出這n/5（向上取整）個元素的中位數。如果n/5（向上取整）是偶數，就找它的2個中位數中較大的一個。以這個元素作為劃分基準。
劃分策略示意圖：

注意：

設中位數的中位數是x，比x小和比x大的元素至少3*(n-5)/10個，原因：

• 3*(n/5-1)*1/2
• 3—中位數比x小的每一組中有3個元素比x小
• n/5-1—有5個數的組數
• 1/2—大概有1/2組的中位數比x小

而當n≥75時，3(n-5)/10≥n/4所以按此基準劃分所得的2個子數組的長度都至少縮短1/4，也就是說，長度最長為原長度的3/4。

如圖，劃分的部分左上是肯定比x小的（大概占1/4）右下是肯定比x大的（大概占1/4）左下和右上不確定，就算這兩部分同時不比x小或比x大，劃分成的子區間也能至少縮短1/4!

代碼如下：

#include <bits/stdc++.h> using namespace std;void bubbleSort(int a[],int p,int r) {for(int i=p; i<r; i++){for(int j=i+1; j<=r; j++){if(a[j]<a[i])swap(a[i],a[j]);}} }int Partition(int a[],int p,int r,int val) {int pos;for(int q=p; q<=r; q++){if(a[q]==val){pos=q;break;}}swap(a[p],a[pos]);int i=p,j=r+1,x=a[p];while(1){while(a[++i]<x&&i<r);while(a[--j]>x);if(i>=j)break;swap(a[i],a[j]);}a[p]=a[j];a[j]=x;return j; }int Select(int a[],int p,int r,int k) {if(r-p<75){bubbleSort(a,p,r);return a[p+k-1];}//找中位數的中位數，r-p-4即上面所說的n-5for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++) //把每個組的中位數交換到區間[p,p+(r-p-4)/4]{int s=p+5*i,t=s+4;for(int j=0; j<3; j++) //冒泡排序，從后開始排，結果使得后三個數是排好順序的（遞增）{for(int n=s; n<t-j; n++){if(a[n]>a[n+1])swap(a[n],a[n-1]);}}swap(a[p+i],a[s+2]);//交換每組中的中位數到前面}//(r-p-4)/5表示組數-1，則[p,p+(r-p-4)/5]的區間長度等于組數int x=Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p+1)/10);//求中位數的中位數/*(r-p+1)/10 = (p+(r+p-4)/5-p+1)/2*/int i=Partition(a,p,r,x),j=i-p+1;if(k<=j)return Select(a,p,i,k);else return Select(a,i+1,r,k-j); } int main() {int x;//數組a存了0-79int a[80]= {3,1,7,6,5,9,8,2,0,4,13,11,17,16,15,19,18,12,10,14,23,21,27,26,25,29,28,22,20,24,33,31,37,36,35,39,38,32,30,34,43,41,47,46,45,49,48,42,40,44,53,51,57,56,55,59,58,52,50,54,63,61,67,66,65,69,68,62,60,64,73,71,77,76,75,79,78,72,70,74,};cin>>x; printf("第%d大的數是%d\n",x,Select(a,0,79,x)); }

運行效果：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法：线性时间选择的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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