繼續普林斯頓微積分讀本06第五章--連續性往下學習，上一次已經對于函數的連續性進行了詳細的學習，而對于函數圖像還差另一個特性，在上次開篇也說過：

所以現在就來看看函數能夠具有的另一種光滑性----可導性。

可導性：

其中“導”字一出來，對于學過高數的小伙伴第一時間就會想到“導數”，是的，這實質上意味著函數是有導數的。所以之后會花不少的篇幅在求導上面，比如：

所以說這個性質是非常的重要。引用書本的一句話：“發展微積分的最初靈感之一來自試圖去理解運動物體的速度、距離和時間的關系”，所以說接下來先從“理解運動物體的速度、距離和時間的關系”出發開始研究。其中關于微積分是啥可能都忘得差不多了，百科先提前回顧一下，之后它是重要的研究課題：

平均速率：

說實話，書本上的我看了幾遍，還是一知半解，下面還是試著理解一下，因為它是基礎，理解不透會影響后面的學習，如果理解有問題可以評論區幫忙指點~~書本問了一個問題“在高速公路上給一輛汽車拍照，曝光時間非常短，所以這么短的時間你都無法分辨那輛車是不是在動【注意這個加粗的條件】，那此時問你拍照時汽車的運行速度有多快？”，此時你可能第一時間想到了速率公式了：

但是！！！照片無法告訴你距離（因為上面加粗的條件是曝光時間非常短，你感受不到那輛車有動）和時間（因為是一瞬間，非常快） ，所以，此時你是無法回答出這個問題對吧。

但是！！！如果告訴我們，拍照之后的一分鐘汽車行駛了一英里呢？此時就可以根據上面的速度公式算出來速度是60英里/小時【因為一小時是60分鐘】，但是你無法保證汽車在那一分鐘里的速度是一樣的，因為期間汽車會多次加速和減速的，所以，這個速率前面應該得加一個修飾詞“平均”，也就是平均速率。

那如果再告訴你一個條件：“在第一個10秒鐘，汽車行駛了0.25英里”，10秒鐘明顯比1分鐘要快很多，這時候在第一個10秒鐘的平均速度是不是就可以算出來1.5英里/分鐘或者90英里/小時對吧，同樣這也只能是平均速率，哪怕是在0.0001秒期間汽車也足以可以改變速率的，有點取極限的意思對吧，權限情況下，其速率就跟真實的速率是無限接近的。

說白了其實還是說極限的情況，而非一個精確的值，跟我們之前所學的極限是息息相關的。

對于平均速率很容易理解成平均速度，但是這倆是完全不同的概念喲，下面就來看一下速度的概念。

位移和速度：

比如汽車在一條長直的高速路上行駛，不過這條公路上的里程標志牌有點奇怪：

其中有個0標志，它的左側是負數，而右側是正數。

位移：

假設汽車始于2英里處并直接駛向5英里處，很明顯汽車行駛的距離是3英里；而如果它始于2英里但向左行駛到了-1英里處，距離也是3英里，很明顯這兩種情況下的距離都是一樣長的，要想區別它們的不同，很明顯用距離是滿足不了的，于是乎需要使用位移來代替距離，位移的公式是：

位移 = 終點位置 - 初始位置

還是剛才的兩個場景，看一下它們的位移有啥不一樣：

汽車從位置2駛到位置5，位移是5 - 2 = 3英里。但如果是從位置2駛到位置-1,位移是(-1) - 2 = -3英里，所以位移跟距離的區別是：位移可以為負的，如果位移是負的，汽車將終止于它初臺位置的左側。

其實距離跟位移還有另一個重要區別，位移僅僅涉及終點和初始位置，汽車在行駛過程中的情況是無關緊要的，舉例說明一下：

如果汽車從2走到11，然后又返回到5，距離是9(11- 2) + 6(11 - 5) = 15，但是總位移還是只有3英里（5 - 3）；

如果汽車從2走到-4，然后又返回到2，位移實際上是0英里(2 - 2)，而距離是((2-(-4)) + (2 - (-4)))，

而如果汽車只向一個方向行駛，沒有后退的話，距離就是位移的絕對值。

速度：

還記得上面速率的公式么？回憶一下：

而如果用位移來代替距離，此時就會得到平均速度，也就是：

速度可以是負的，而速率必定是非負的【因為距離是位移的絕對值，是>=0的】。

如果在一定的時間段內，汽車有一個負的平均速度，那么它終止于初始位置的左側；而如果在一定的時間段內平均速度是0，那么汽車終止于它的初始位置，注意：這種情況下汽車或許有一個很高的平均速率，盡管它的平均速度為0。

一般而言，如果汽車沿著一個方向行駛，那么平均速率就是平均速度的絕對值。 記住：速率一定是非負的，而速度是可以為負的。

瞬時速度：

概述：

接下來再來探討在上面這塊的問題：

其實也就是研究一下“在給定的瞬間，如何測量汽車的速度” 這個問題，基本思想就是：在始于拍照時刻并變得越來越小【有多少呢，其實這里就會用到極限的知識了】的時間段上，求汽車的平均速度，這塊的概述感覺比較抽象，需要慢慢一點點來理解，下面用符號來表達一下此思想。

令t是我們關心的時刻，假如全程始于下午兩點，其中0表示開始時間，如果拍照時間是下午兩點零三分，那么此時的t=180秒。而接下來假設u是t之后最近的時刻【也就是汽車從t時刻行駛到了u時刻】，此時就可以用它：

其中注意它不是字母u喲：

它表示汽車在始于時間t終止于時間u的時間段上的平均速度！

咱們現在讓u無限靠近t，此時又是輪到極限全場的地方了，也就是可以用如下式子來表達：

也就是表示u時刻是無限靠近t時刻，但是u>t的，而其實u也可以在t之前，所以此時就可以用雙側極限來替換右極限了：

理解這個式子的關鍵是：

它表示“汽車在始于時間t終止于時間u的時間段上的平均速度”。

公式：

接下來從另一個形式來看一下上述的這個公式的變體：假設你知道在高速路上汽車在任意時刻的準確位置，比如在時刻t，汽車的位置是f(t)，所以我們可以令：

f(t) = 汽車在時刻t的位置。

此時咱們就可以準確地計算平均速度：

了，如下：

?其中分母表示所涉及時間段的長度，好，此時咱們就可以求時刻t的瞬時速度了，也就是來求極限：

將

代入，于是就有：

而很明顯如果直接用u=t來作替換求極限的話，會得到0/0的不定式，肯定不行，所以需要做一下變化，可以令h = u - t ，由于u非常接近t，當u -> t時，h -> 0，所以上述式子可以進行相應的替換，h = u - t可以變換為u = t + h，于是就有：

實踐：

好，下面舉一個實際求解瞬時速度的例子：

假設處于靜止狀態的汽車從7英里標志處向右開始加速，并設此時刻t = 0小時，而汽車在時刻t的位置好像是：

暫且不用管為啥是這么一個式子，接下來讓我們設：

，看能否可以求出汽車在任意時刻t的速度？

所以此時就可以使用上述的這個瞬時速度公式了：

如下：

而：

所以式了可以進一步化簡為：

此時已經將分母成功消除，就非常好了，接下來求極限就直接將h = 0代入既可求出極限值：

根據這個結果就可以推斷出汽車的速度情況是：

1、在時刻0，汽車的速度是30 x 0 = 0英里/小時，汽車是處于靜止狀態的。

2、半小時后，在時刻t = 1/2（30分鐘/60分鐘），它的速度是30 x 1/2 = 15英里/ 小時；

3、一小時后，速度是30英里/小時。

也就是在時刻t的速度是30t，它告訴我們，汽車行駛得越來越快，每小時速度增加30英里/小時，也就是說，汽車以30英里每二次方小時加速。其中“英里每二次方小時”是加速度的描述，關于這塊貌似有點不太好理解，百科一下：

速度的圖像闡釋：

接下來則用圖像來闡釋一下速度，如圖：

也就是假設f(t)代表汽車在時刻t的位置，如果想要在特定時刻t的瞬時速度，需要選取一個靠近t的時刻u，然后過(f, f(t))和(u, f(u))兩點的直線的斜率為：

它剛好是上節中我們所闡述的平均速度的公式：

所以就有了在t到u時間段上平均速度的圖像闡釋：在位置和時間的圖像上，它就是連接點(t, f(t))和(u, f(u))的直線的斜率。

下面咱們試著給瞬時速度找一個類似的闡釋，也就是需要取u趨于t時的極限，其變化過程大概是如下三個圖的樣子：

是不是可以看到這些直線好像是越來越接近點(t, f(t))處的切線，而由于瞬時速度就是這些直線在u -> t時的極限，于是瞬時速度就等于通過點(t, f(t))的切線的斜率，所以接下來就需要對切線有一個了解了。

切線：

切線這塊比較好理解，簡單過一下，比如如下圖：

很明顯虛線是剛好過曲線上的(x, f(x))，它就是切線，切線與曲線有兩個交點，這個也不影響它是切線的事實，再看另一個圖：

很明顯這里你找不到該函數的切線，因為角是直的，不管你怎么畫，都不能在那里同時顧及兩邊的圖像。

那如果通過(x, f(x))的切線存在，你該如何找到它呢？為了描述一條直線，只需要提供兩個信息：

1、直線上的一點；

2、該直線的斜率；

此時就可以使用點斜式來求直線方程了【直線點斜式方程公式:y-y?=k(x-x?)其中(x?,y?)為坐標系上過直線的一點的坐標,k為該直線的斜率】。

而目前我們已知直線要通過點(x, f(x))了，所以我們只需要求出斜率切線就可以找到了，為了求解斜率，還是需要使用上節中求瞬時速度的那個例子：

我們由選取一個靠近于x的數z開始，很明顯這條虛線的斜率是：

而當點z越來越接近x時，此時通過(x, f(x))的切線斜率就為：

此時很明顯這個極限不能直接當z=x代入，因為分母為0了，此時還是用之前所學的套路進行變化，設h = z - x，當z -> x時，有h -> 0，所以式子就可以變為：

另外要注意：只有當極限確實存在的時候才有上面的式子！！！

導函數：

概述：

接下來就要開始接觸導數的概念了，說實話這塊不是很好理解，但又必須得理解，不然之后的學習就跟聽天書一樣。

首先從下面這張圖開始：

這些虛的直線都有不同的斜率對吧，也就是切線的斜率取決于你選取的點x的值，換言之，通過(x, f(x))的切線的斜率是x的一個函數，此函數被稱為f的導數，記作：

?它表示f關于變量x求導得到函數f'

根據上一節結尾的公式，如果極限存在的話，有：

在這種情況下，f在x點可導。如果對于某個特定的x，極限不存在，那么x的值就沒有在導函數f'的定義域里，既f在x點不可導，有很多原因會導致極限不存在，比如說y = |x|：

因為是個尖角，找不到一個切線；再比如說x沒有在f的定義域中，很明顯就不可能畫出點(x, f(x))，更不用說是畫切線了。

接下來再來回憶一下瞬時速度的定義：

其中f(t)是汽車在時刻t的位置，而等號右邊的表達式正好如上述的這個式了是一樣的：

只是用x代替了t，也就是說：如果：

是在時刻t的瞬時速度，那么：

其速度正好是位置關于時間的導數，有木有發現，導數其實還是求極限，所以說，學好極限是基礎。

實踐：

下面來看一個求導的例子，如果：

那么f'(x)對它求導是什么呢？那如何計算呢？套公式唄：

如下：

所以：

的導數是由：

給出，這就意味著y = x^2在點(x, x^2)的切線的斜率就是2x，下面用圖來表示一下：

在x = -1處的切線的斜率看起來的確是-2，剛好與公式：

是一致的，為啥呢？這里就涉及到切線方程的斜率的求解了，網上搜了一下：

對于圖中這個(-1, 1)的點，由于它的導數方程是：

所以此切線的斜率就是把橫坐標點-1代入導數方程，于是就等于2 * (-1) = -2，所以對于導數它的意義貌似利用它，可以很方便的得知在函數圖上的點對應切線的斜率。

所以其它兩個切線的斜率都是相應的x坐標的兩倍。

作為極限比的導數：

這塊的東西也是比較抽象，需要慢慢一點點來理解。

Δx表示法：x中的變化

在上面介紹的導函數公式中：

必須要求出量f(x + h)的值，那這個量是什么呢？如果y = f(x)，將x變成x + h ，f(x + h)其實只是一個新的y值，量h代表對x作了多少改變，而對于這種改變，可以用Δx來表示，其中的Δ表示“在...中的變化”，因此Δx就表示在x中的變化【注意：Δx不要把它看成是Δ和x的乘積喲】，所以接下來可以用Δx來替換上述導函數式子中的h，就有：

Δy/Δx形式：

概述：

好，接下來要對分子進行一波轉換了：

其實也就是把它可以轉換成Δy形式，下面具體來看一下如何轉換：

1、由（x, y）開始，其中y = f(x)；

2、選擇一個新的x值，我們將它稱之為x新，y的值相應的也變成了y新，也就是f(x新)。

3、任意量的改變量正好是新值減去舊值，所以會有如下兩個方程，這方程是轉換的關鍵：

Δx = x新 - x

Δy = y新 - y

第一個方程變形一下就有：x新 = x +?Δx

第二個方程變形就有：Δy = y新 - y = f(x新) - f(x) =?f(x +?Δx) - f(x)

4、是不是“Δy =?f(x +?Δx) - f(x)”剛好就是導函數的分子？所以式子又可以表示為：

理解：

對于這個公式，其實是表示x中的一個小的變化產生了大約f'(x)倍的y中的變化，如何來理解呢？這里還是用上面舉過的這個函數為例：

?它的導函數為：

f'(x) = 2x，接下來看一下當x = 6時的情況，f'(x) = 12，如果取等式y = f(x) = 6^2 = 36，此時如果將6作一點點改變，其y = f(x)的結果則會基于原來y中的結果36再加上f'(x) = 12倍于此的量，還是有點懵對吧，下面將6作如下一點點的改變：

1、將x = 6產生一個小變化，也就是將0.01加到6上面，其y的變化就會產生f'(x)倍【12倍】的y中的變化，也就是將【12 x 0.01】加到原來y = 36的上面，也就是(6.01)^2大概是(36 + 0.12 = 36.12)，但是其實結果應該是36.1201，是不是36.12跟實示的結果差不多接近？

為啥通過“x中的一個小的變化產生了大約f'(x)倍的y中的變化”規則來計算的結果跟實際結果有一些偏差呢？原因是f'(x)并不是真正地等于Δy和Δx的比值，它只是表示當Δx趨于0時該比值的極限，這其實意味著離6越近，其結果就越靠近真實的值，下面再來將這個小變化值縮小。

2、將x = 6產生一個小變化，也就是將0.0004加到6上面，y的值應該是有12倍于此的改變，也就是0.0004 x 12 = 0.0048，所以可以猜測(6.0004)^2 = 36 + 0.0048 = 36.0048，而真實答案應該是36.00480016，是不是當離6足夠近的時候，其結果也越接近真實情況？

3、接下來改變一下x值，如x = 13，f'(x) = 26，y = f(x) = 13^2 = 169，如果讓x=13產生一個小變化，也就是將0.0002加到13上面，y的值應該是有26倍于此的改變，也就是0.0002 x 26 = 0.0052，所以可以猜測(13.0002)^2 =?169 + 0.0052 = 169.0052，而真實答案應該是36.00520004，超級接近。

關于這塊的思想在之后13章的學習中還會用到：

等到時再來回顧。

dx表示法：x中十分微小的變化

概述：

再來看看這個式子：

右邊的表達式的含義是當x中的變化非常小時，y中的變化與x中的變化的比值的極限，那假設x小得其中的變化幾乎注意不到呢？此時我們就不用Δx來表示“x中的變化”了，而是用dx來表示“x中的十分微小的變化”，同樣的對于y也可以用這種表示方法，也就是Δx的變化量要比dx的大，接下來就可以用一種不同且更加方便的方法來表達導數了，如下：

如果y = f(x)，它的導函數式子為：

，此時就可以用一個更加簡便的方式來表達這個式子，也就是用：

來代替f'(x)

實踐：

例一：

那么它的導數就可以用如下式子表示：

而如果用y = x^2來代替y，又有如下不同的表達方式：

例二：

在上面我們學習瞬時速度用過一個例子：如果汽車在時刻t的位置是：

那么它的速度是30t，而根據之前所學，其速度就是導函數f'(t)對吧，回憶一下：

所以：

而如果我們決定把位置稱為p，從而有：

便可以寫成：

并非所有的量都是用x和y來表達的。

總結：

量：

是y關于x的導數，如果：y = f(x)，那么：

跟f'(x)是一回事，最后需要謹記：

量

它根本不是一個分數，而它是當Δx->0時分數

的極限。

線性函數的導數：

概述：

接下來看一下簡單的例子，例子雖簡單，但是道出來的結論還是挺重要的， 假設f函數是線性的，這就意味著對于某個m和b，有：f(x) = mx + b，這其實是初等數學的知識：

那f'(x)會是什么呢？套導函數的公式：

于是就有：

也就是說不管x取何值，f'(x) = m，也就是線性函數的導數是常數。

為啥呢？書本上也有說，簡單挼一下：

對于f'(x)其實它度量的是曲線y = f(x)在點(x, f(x))處的切線的斜率，而對于線性函數y = mx + b，它的斜率為m，y軸截距為b的一條直線，很明顯這條直線上的任意一點的切線就是這條直線本身對吧，也就意味著不管x取何值，f'(x)的值就應該是m，因為曲線y = mx + b有固定的斜率m。

常數函數：

另外再說一下，如果f是常數函數，f(x) = b，其斜率總是0，因數常數函數可以表示為f(x) = 0x + b，其中斜率就可以看到是0對吧，而且對于所有的x，f'(x) = 0。

總結：

這里對其有兩個總結，需要記住，在之外的求導中會經常用到：

1、線性函數的導數是常數；

2、常數函數的導數恒為0；

二階導數和更高階導數：

二階導數：

對于一個函數f，它的導數為f'，而它其實也是一個新的函數，那么還可以對它再次求導，也就是導數的導數，稱為二階導，可以記作f''。

還是拿之前我們用過的函數舉例：

它的導數為：

接下來我們對此結果再次求導，所以可以設：

而由于這是一個線性函數，其斜率為2，所以它的導數就是2，如下：

所以f的二階導數是常數函數2，也就證明了對于所有的x，f''(x) = 2。?

而在上面我們學過，對于f'(x)還有一個可以代替的式子：

所以同樣的，對于二階導也有類似的記號：

如果y = f(x)，那么可以用:

代替f''(x)，而對于y = f(x) = x^2，就有：

更高階導數：

除了二階，還可以有更高階，比如三階導，它可以用以下任意一種方式寫出：

而第二種表式方法更加方便，因為如果四階的話就可以這樣寫：

而不用這樣比較不方便的表示：

而用這種形式也可以表示低階，比如二階：

沒有取導數，用它也可以表示函數本身：

所以，比較通用的表示方式就是：任何導數都可以寫成：

其中n為整數。

何時導數不存在？

絕對值函數，這個在之前學習切線時就舉過例子：

從極限角度：

因為它有一個尖點，是無法畫出它的切線的【也就是過(0,0)這點是無法顧及兩邊的圖像的】，所以在x=0處導數也是不存在的，下面使用導數公式來證明一下這個結論：

而我們感興趣的是x=0會發生什么，因為將其代入上述式子中就有：

這個極限我們之前普林斯頓微積分讀本05第四章--求解多項式的極限問題就看過：

極限不存在，也就意味著f'(0)的值無定義，既0沒有在f'的定義域中。

根據雙側極限的思想，分為左極限和右極限，只有左右極限都相等的情況下，雙側權限才存在。

同樣的，可以將導數分為右導數和左導數，定義長這樣：

如果導數存在，那么左右導數必存在且相等。

從斜率角度：

而從斜率的角度也可以推出該函數的導數是不存在的：

1、當從原點出發沿著該曲線向右移動時，它的斜率是1，因為x>0，所以f(x) = x，而它是一次函數，可以寫成f(x) = 1 x，很明顯斜率是1；

2、當從原點出發沿著該曲線向左移動時，它的斜率是-1，因為x<0，所以f(x) = -x，而它是一次函數，可以寫成f(x) = -1 x，很明顯斜率是-1；

由于左斜率不等于右斜率，所以在x=0處導數不存在。

總結：

對于絕對值函數它是一個連續函數，為啥？這里得回到上一次學習函數的連續性上了，對于函數的連續性需要滿足如下三點要求，回憶一下：

關于這塊的東東如果不太清楚的，可以參考它普林斯頓微積分讀本06第五章--連續性，

也就是目前我們知道存在不可導的連續函數【絕對值函數是連續的，但是在x=0處不可導】對吧，那么反過來：“會存在不連續的可導函數么？”，答案在下面就來闡述，不存在。

可導性和連續性：

概述：

對于第5章研究的兩個重要的性質是：連續性和可導性，現在是時候將這倆概念聯系在一起了，有這么一個非常重要的結論：

如果一個函數f在x上可導，那么它在x上連續。

比如在之后的第7章將要證明，sin(x)作為x的函數是可導的，它將自動暗示它在x處也是連續的，同樣的結論也適用于其他的三角函數、指數函數和對數函數（除了在它們的垂直漸近線處）。

證明：【了解，你不可能記住這個證明過程的~~】

那如何來證明上面這么重要的一個結論呢？核心就是要證明：

要證明f在x上連續，根據連續函數的定義，就需要證明：

而我們將式子變換一下，令h = u -x，這種情況下u = h + x，并且當u -> x，h -> 0【因為h = u -x】，所以上述等式又可以變化成：

那么，接下來如果能證明等號兩邊都存在且相等，那么就可以得證了。

1、已知函數f在x上可導，這就意味著f'(x)存在，因此根據導函數的定義：

其中上式中包含了f(x)，很顯然它是一定存在的，不然上式子就無從談起了，所以等號右邊的f(x)已經知道它存在了。

2、接下來就要證明等號左邊的極限存在且等于右邊的f(x)了，這里得從另一個極限開始了：
?

它可以分成兩個因子：

很明顯f'(x)是要存在的，不然上述式子肯定是有問題的。

3、接下來重點是要證明這個式子左右相等對吧：

此時還是需要用這個極限：

此時可以消去因子h就為：

它的極限上面也算了，等于0：

所以就可以得到：

而f(x)的值根據不依賴于極限，所以可以將它提出來就有：

所以就可以有：

所以就得證了：可導函數必連續，但是也要記得！！！連續函數并不總是可導喲【比如絕對值函數，它是連續函數，但是在x=0處是不可導的】~~

總結：

至此，通過兩篇將第5章的內容給挼完了，知識點還是相當多的，也不是那么容易理解，不管怎樣，這章是非常重要的一章，得要多消化，最后對于下面這個結論一定需要記住：

“可導函數必連續，但是連續函數并不總是可導的【比如絕對值函數，它是連續函數，但是在x=0處是不可導的】”

下一章則是求解微分問題，繼續加油~~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本07第五章--可导性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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