在一個(gè)數(shù)組中找到第k小的數(shù)（線性時(shí)間選擇）

在這一部分，我們討論的題目為元素選擇問題。這類題目的一般問法為：給定線性序集中n個(gè)元素和一個(gè)整數(shù)k，1 <= K <= n，要求找出這n個(gè)元素中第k小的元素，如（1，4，3，2，5）中第一小的元素就是1，第5小的元素就是5，第2小的元素就是2。

在某些特殊情況下，很容易設(shè)計(jì)出解選擇問題的線性時(shí)間算法。如：當(dāng)要選擇最大元素或最小元素時(shí)，顯然可以在O(n)時(shí)間完成。如果k <= n/logn，通過堆排序算法可以在O(n + klogn) = O(n)時(shí)間內(nèi)找出第k小元素。當(dāng)k >= n - n/logn時(shí)也一樣。

一般的選擇問題，特別是中位數(shù)的選擇問題似乎比最小（大）元素要難。但實(shí)際上，從漸近階的意義上，它們是一樣的。也可以在O(n)時(shí)間完成。

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下面我們用兩種方法進(jìn)行求解。

第一種：分治算法RandomizedSelect

思想：調(diào)用了隨機(jī)劃分函數(shù)RandomizedPartition，所以這個(gè)分治算法也是一個(gè)隨機(jī)化的算法。

通過將其劃分，我們逐漸可以縮小查找的范圍進(jìn)行查找。

時(shí)間復(fù)雜度：一般情況下為O(n)，最壞情況下，數(shù)字有序且找最大的數(shù)，則為O(n)

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代碼：

#include<windows.h>#include<iostream>#include<assert.h>#include<time.h>#include<vector>#include<limits.h>using namespace std;template<class Type>int Partition(Type *ar,int left,int right){int i = left, j = right;Type tmp = ar[i];while(i<j){while(i<j && ar[j] > tmp) --j;if(i<j) { ar[i] = ar[j];}while(i<j && ar[i] <= tmp) ++i;if(i<j) { ar[j] = ar[i];}}ar[i] = tmp;return i;}template<class Type>int RandPartition(Type *ar,int left,int right){//Sleep(800);srand(time(NULL));int pos = (rand() % (right - left + 1)) + left;swap(ar[pos],ar[left]);return Partition(ar,left,right);}template<class Type>Type SelectK(Type *ar,int left,int right,int k){if(left == right && k == 1) return ar[left];int index = Partition(ar,left,right);int pos = index - left + 1;if(k <= pos) return SelectK(ar,left,index,k);else return SelectK(ar,index+1,right,k-pos);}

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第二種：中位值的中位數(shù)法，類似于第一種方法，但是在最壞情況下也可以在O(n)時(shí)間內(nèi)完成選擇任務(wù)的算法Select。

思想：如果能在線性時(shí)間內(nèi)找到一個(gè)劃分基準(zhǔn)，使得按這個(gè)基準(zhǔn)所劃分出的2個(gè)子數(shù)組的長度都至少為原數(shù)組長度的ε倍(0<ε<1是某個(gè)正常數(shù))，那么就可以在最壞情況下用O(n)時(shí)間完成選擇任務(wù)。（這里只是找到這個(gè)劃分基準(zhǔn)（中位數(shù)的中位數(shù)）的值，而不是向快速排序那樣將這個(gè)基準(zhǔn)值放到正確的位置上）

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步驟：

①：將n個(gè)輸入元素劃分成n/5（向下取整）個(gè)組，每組5個(gè)元素，最多只可能有一個(gè)組不是5個(gè)元素。用任意一種排序算法，將每組中的元素排好序，并取出每組的中位數(shù)，共n/5（向下取整）個(gè)。

②：遞歸調(diào)用select來找出這n/5（向下取整）個(gè)元素的中位數(shù)。如果n/5（向下取整）是偶數(shù)，就找它的2個(gè)中位數(shù)中較大的一個(gè)。以這個(gè)元素作為劃分基準(zhǔn)。

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畫圖示意：

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例如：按遞增順序，找出下面29個(gè)元素的第18個(gè)元素：

8,31,60,33,17,4,51,57,49,35,11,43,37,3,13,52,6,19,25,32,54,16,5,41,7,23,22,46,29

(1) 這些元素可以分為（29）/5 == 5組（向下取整），并且排序。

分為這5組: ?(8,31,60,33,17),(4,51,57,49,35),(11,43,37,3,13),(52,6,19,25,32),(54,16,5,41,7);

排序結(jié)果：

(2) 提取每一組的中位數(shù)元素，依次放到數(shù)組最前面并排序，構(gòu)成集合{13,16,25,31,49}；

(3) 將放到最前面的各個(gè)小組的中位數(shù)傳入遞歸算法中求取中位數(shù)的中位數(shù)，得到m=25；

(4) 根據(jù)m=25, 調(diào)用快速排序，先找到值為25的數(shù)位置，再將其與第一個(gè)值進(jìn)行交換，以此為基準(zhǔn)再進(jìn)行正常的快速排序，最終成功把29個(gè)元素劃分為了3個(gè)子數(shù)組（按原有順序）

• P={23,17,22,16,7,4,5,8,19,6,3,11,13}
• Q={25}
• R={43,37,57,51,32,52,49,35,60,41,54,33,31,29,46}

(5)?由于P組有13個(gè)元素,Q組有1個(gè)元素,k組有18個(gè)元素，所以我們要找的第18小元素肯定不在P組和Q組內(nèi)，所以放棄P,Q，使k=18-13-1=4，對(duì)R遞歸地執(zhí)行本算法；

(6)?將R劃分成3(floor(15/5))組：{31,60,33,51,57},{49,35,43,37,52},{32,54,41,46,29}

(7)?求取這3組元素的中值元素分別為：{43,49,33}，這個(gè)集合的中值元素是43;

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(8) 根據(jù)43將R劃分成3組：?{33,37,32,31,29,35,41},{43},{52,60,49,57,51,46,54}

(9)依次這樣尋找下去，我們可以發(fā)現(xiàn)，幾乎每次都是對(duì)半分，接近于二分法，所以效率很高，當(dāng)然這個(gè)數(shù)組中中位數(shù)沒有重復(fù)值，不過如果有，那么我們將中位數(shù)的重復(fù)值集中在中位數(shù)周圍，如果這樣的元素m >= 1，則加上一步判斷：如果j <= k <= j+m-1(j為基準(zhǔn)前數(shù)組的個(gè)數(shù))，則不必再進(jìn)行遞歸，直接return 基準(zhǔn)值即可，當(dāng)然，這個(gè)數(shù)組中位數(shù)是沒有重復(fù)值的，所以可以很快找到第十八小元素為33。

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時(shí)間復(fù)雜度：設(shè)數(shù)組長度為n

當(dāng)n<75時(shí)，算法select所用的計(jì)算時(shí)間不超過某一常數(shù)C1，所以直接調(diào)用其他排序算法即可。

當(dāng)n≥75時(shí)，for循環(huán)執(zhí)行n/5次，每次用時(shí)為某一常數(shù)；select找中位數(shù)的中位數(shù)，由于長度為原長度的1/5，所以用時(shí)可記為T(n/5)；劃分以后所得到數(shù)組至多有3n/4個(gè)元素，用時(shí)記為T(3n/4)。

由此，我們得到T(n)的遞歸式為：

解此遞歸式可得T(n) = O(n)。

由于我們將每一組的大小定為5，并選取75作為是否作遞歸調(diào)用的分界點(diǎn)（大于75使用該算法）。這2點(diǎn)保證了T(n)的遞歸式中2個(gè)自變量之和n/5+3n/4=19n/20=εn，0<ε<1。這是使T(n)=O(n)的關(guān)鍵之處。當(dāng)然，除了5和75之外，還有其他選擇。

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注意：

①：設(shè)中位數(shù)的中位數(shù)是x，比x小和比x大的元素至少3*(n-5)/10個(gè)，原因：3*(n/5-1)*1/2

• 3---中位數(shù)比x小的每一組中有3個(gè)元素比x小
• n/5-1---有5個(gè)數(shù)的組數(shù)
• 1/2---大概有1/2組的中位數(shù)比x小

②：而當(dāng)n≥75時(shí)，3(n-5)/10≥n/4所以按此基準(zhǔn)劃分所得的2個(gè)子數(shù)組的長度都至少縮短1/4，也就是說，長度最長為原長度的3/4。

如圖，劃分的左上部分肯定是要比x小的（大概占1/4）右下部分是肯定比x大的（大概占1/4）左下和右上不確定，就算這兩部分同時(shí)不比x小或比x大，在極端情況下劃分成的子區(qū)間也能至少縮短1/4!

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代碼：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<stack>#include<algorithm>using namespace std;void bubbleSort(int a[],int p,int r){for(int i=p;i<r;i++){for(int j=i+1;j<=r;j++){if(a[j]<a[i])swap(a[i],a[j]);}}}int Partition(int a[],int p,int r,int val){int pos;for(int q=p;q<=r;q++){if(a[q]==val){pos=q;break;}}swap(a[p],a[pos]);int i = p, j = r;int tmp = ar[i];while(i<j){while(i<j && ar[j] > tmp) --j;if(i<j) { ar[i] = ar[j];}while(i<j && ar[i] <= tmp) ++i;if(i<j) { ar[j] = ar[i];}}ar[i] = tmp;return i;}int Select(int a[],int p,int r,int k){if(r-p<75){bubbleSort(a,p,r);return a[p+k-1];}for(int i=0;i<=(r-p-4)/5;i++){//把每個(gè)組的中位數(shù)交換到區(qū)間[p,p+(r-p-4)/4]int s=p+5*i,t=s+4;for(int j=0;j<3;j++){//冒泡排序，從后開始排，結(jié)果使得后三個(gè)數(shù)是排好順序的（遞增）for(int n=s;n<t-j;n++){if(a[n]>a[n+1])swap(a[n],a[n-1]);}}swap(a[p+1],a[s+2]);//交換每組中的中位數(shù)到前面}//(r-p-4)/5表示組數(shù)-1，則[p,p+(r-p-4)/5]的區(qū)間長度等于組數(shù)int x=Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);//求中位數(shù)的中位數(shù)int i=Partition(a,p,r,x),j=i-p+1;if(k<=j)return Select(a,p,i,k);else return Select(a,i+1,r,k-j);}

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參考博客：https://blog.csdn.net/m0_37579232/article/details/80178000

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的在一个数组中找到第k小的数（线性时间选择）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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