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• 前言
• 分治算法之第k小元素
• 分治算法之第k大元素

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前言

問題：給定線性序列中 n 個元素和一個整數 k ，1 ≤ k ≤ n，要求找出元素中的第 k 小的元素 或者 第 k 大元素，要求是線性時間算法，即時間復雜度為O( n )。

需要用到快速排序的分區思想，有關分治法思想和快速排序文章：【算法】分治算法

分治算法之第k小元素

問題：給定線性序列中 n 個元素和一個整數 k ，1 ≤ k ≤ n，要求找出元素中的第 k 小的元素 ，要求是線性時間算法，即時間復雜度為O( n )。

設計思想：
（1）隨機選擇序列中第 i 個作為基準元素，統計比基準元素小的元素個數， 如果 個數 比 k 小，說明我們要找的第 k 小元素在基準后半部分，個數比 k 大，說明在前半部分。
（2）對于無序序列a[s…t]，在其中查找第k小元素的過程：

• 若s=t，即其中只有一個元素，返回a[s]
• 若s!=t，表示該序列中有兩個或兩個以上元素，以基準為中心將其劃分為a[s…i]和a[i+1…t]，a[s…i]中所有元素均小于等于a[i]，a[i+1…t]中所有元素均大于a[i]

j = i-s+1，統計小于等于a[i]的元素個數
j>=k，第k小元素在a[s…i]中，遞歸在a[s…i]中尋找第k小元素
j < k，第k小元素在a[i+1…t]中，遞歸在a[i+1…t]中尋找第k-j小元素

public class Demo {public static void main(String[] args) {int[] arr={3,1,5,7,8,2,9};System.out.println(randomizedSelect(arr, 0, arr.length - 1, 4));}public static int randomizedSelect(int[] a,int s,int t,int k){//a[s,t]//s == t ==>說明只有一個元素, 輸出if (s == t){return a[s];}//s < t 二個或二個元素以上//找到基準i 的位置int i = randomizedPartition(a,s,t);//小于等于 基準的個數int j = i - s + 1;//k <= j 說明第k小的元素在 前半部分a[s,i] 反之在后半部分a[i+1,t]if (j >= k){return randomizedSelect(a,s,i,k);}else {return randomizedSelect(a,i+1,t,k-j);}}//隨機產生一個基準的下標===》與第1個元素交換===》分區public static int randomizedPartition(int[] a,int p,int q){//a[p,q]int r = random(p,q);swap(a,r,p);int i = partition(a, p, q);return i;}/*** 以第一個元素為基準 分區* @param a 數組a* @param p a[p,q]* @param q a[p,q]* @return 分區后基準下標i a[p,i]和a[i+1,q]*/public static int partition(int[] a,int p,int q){int x = a[p];int i = p;for (int j = p; j <= q; j++) {if (a[j] < x){i++;swap(a,i,j);}}swap(a,p,i);return i;}/*** 數組交換函數* @param a 數組a* @param p 下標p* @param q 下標q*/public static void swap(int[] a,int p,int q){int t = a[p];a[p] = a[q];a[q] = t;}/*** 產生一個[p,q]的隨機數* @param p [p,q]* @param q [p,q]* @return [p,q]的隨機數*/public static int random(int p,int q){Random random = new Random();return Math.abs(random.nextInt())%(q-p+1) + p;}}

時間復雜度分析

一個無序數列隨機找到一個下標作為基準，每次分區，數列減少一部分，因為每次可以確定第 k 小元素是在基準的前半部分，還是后半部分，如果確定在前半部分，后半部分的數就不需要管了，
T（n）=T（n/b)+O（n）=O（n）

分治算法之第k大元素

在前面那個算法改成比基準大的元素放在前半部分，小的放在后半部分即可。

public class Demo {public static void main(String[] args) {int[] arr={3,1,5,7,8,2,9};System.out.println(randomizedSelect(arr, 0, arr.length - 1, 1));}public static int randomizedSelect(int[] a,int s,int t,int k){//a[s,t]//s == t ==>說明只有一個元素, 輸出if (s == t){return a[s];}//s < t 二個或二個元素以上//找到基準i 的位置int i = randomizedPartition(a,s,t);//大于等于 基準的個數int j = i - s + 1;//k <= j 說明第k大的元素在 前半部分a[s,i] 反之在后半部分a[i+1,t]if (j >= k){return randomizedSelect(a,s,i,k);}else {return randomizedSelect(a,i+1,t,k-j);}}//隨機產生一個基準的下標===》與第1個元素交換===》分區public static int randomizedPartition(int[] a,int p,int q){//a[p,q]int r = random(p,q);swap(a,r,p);int i = partition(a, p, q);return i;}/*** 以第一個元素為基準 分區* @param a 數組a* @param p a[p,q]* @param q a[p,q]* @return 分區后基準下標i a[p,i]和a[i+1,q]*/public static int partition(int[] a,int p,int q){int x = a[p];int i = p;for (int j = p; j <= q; j++) {if (a[j] > x){i++;swap(a,i,j);}}swap(a,p,i);return i;}/*** 數組交換函數* @param a 數組a* @param p 下標p* @param q 下標q*/public static void swap(int[] a,int p,int q){int t = a[p];a[p] = a[q];a[q] = t;}/*** 產生一個[p,q]的隨機數* @param p [p,q]* @param q [p,q]* @return [p,q]的隨機數*/public static int random(int p,int q){Random random = new Random();return Math.abs(random.nextInt())%(q-p+1) + p;}}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法】线性时间选择——第k大(小)元素问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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