第 1 章 函數、圖像和直線

函數是學習微積分的基礎。

1.1 函數

函數是將一個對象轉化為另一個對象的規則。起始對象稱為輸入，來自稱為定義域的集合。返回對象稱為輸出，來自稱為上域的集合。

一個函數必須給每一個有效的輸入指定唯一的輸出。

值域是所有可能的輸出所組成的集合。

值域和上域的區別：值域是上域的一個子集，上域是可能輸出的集合，值域是實際輸出的集合。

1.1.1 區間表示法

理解閉區間、開區間、半開區間的概念，理解集合表示方法。

(a, b) { x：a < x < b}

[a, b] { x：a ≤ x ≤ b}

(a, b] { x：a < x ≤ b}

[a, b) { x：a ≤ x < b}

(a, ∞) { x：x > a}

[a, ∞) { x：x ≥ a}

(-∞, b) { x：x < b}

(-∞, b] { x：x ≤ b}

(-∞, ∞) R

1.1.2 求定義域

分數的分母不能是零。

不能取一個負數的偶次方根。

不能取一個負數或零的對數。

(-8, 13] \ {2} 表示除了2以外的集合(-8, 13]，這里的反斜杠表示”不包括“。

1.1.3 利用圖像求值域

1.1.4 垂線檢驗

作用：用于判斷某個圖像是否為函數的圖像。

方法：檢驗是否任何的垂線和圖像只相交一次，是則為函數圖像，反之則不是。

1.2 反函數

給定一個函數f，反函數則是其逆轉變換的新函數。從f的輸出y出發，這個新的函數發現一個且僅有一個輸入x滿足f(x)=y。這個新的函數稱為f的反函數，并寫作f^-1。

(1) 從一個函數f出發，使得對于在f值域中的任意y，都只有唯一的x 值滿足f(x)=y。也就是說，不同的輸入對應不同的輸出。

(2) 反函數的定義域和f的值域相同。

(3) 反函數的值域和f的定義域相同。

(4) f^-1(y)的值就是滿足f(x)=y的x。所以，如果f(x)=y，那么f^-1(y)=x

1.2.1 水平線檢驗

如果每一條水平線和一個函數的圖像相交至多一次，那么這個函數就有一個反函數。

1.2.2 求反函數

只需寫下y=f(x)，然后試著解出x。但求解x并不總是那么簡單，事實上，求解經常是不可能的。

從函數圖像的角度來講，反函數是原始函數對y=x直線的鏡面反射。

1.2.3 限制定義域

如果水平線檢驗失敗因而沒有反函數, 可以限制函數的定義域（保留x的唯一值），使之滿足水平線檢驗。

垂線檢驗和水平線檢驗之間的聯系：即水平線被鏡子y=x反射后會變成垂線。

1.2.4 反函數的反函數

反函數的反函數就是原始函數。

如果一個函數f的定義域可以被限制，使得f有反函數，那么

• 對于f值域中的所有y，都有f(f^-1(y))=y;
• 但是f^-1(f(x))可能不等于x；事實上，f^-1(f(x))=x 僅當x在限制的定義域中才成立。

1.3 函數的復合

f 是 g 與 h 的復合函數寫成 f = g ° h 。

1.4 奇函數和偶函數

偶函數：對于?定義域里所有x都有 ?(-x) = ?(x)。

奇函數：對于?定義域里所有x都有 ?(-x) = -?(x)。

大多數函數是非奇非偶的。

f(x)=0（零函數）是唯一的既奇又偶函數。

如果一個函數是奇函數，并且0在其定義域內，則f(0)=0。

偶函數圖像關于y軸具有鏡面對稱性。

奇函數圖像關于原點有180⁰的點對稱性。

兩個奇函數之積是偶函數，兩個偶函數之積仍為偶函數，奇函數和偶函數之積是奇函數。

1.5 線性函數的圖像

形如 ?(x)=mx+b 的函數叫做線性函數。它們的圖像是直線，直線的斜率是m。

斜率m 為正數，那么你正在上山。m 越大,，這段上坡就越陡。相反，如果m 為負數，那么你正在下山。m 的數值越小(即絕對值越大)，這段下坡也就越陡。如果斜率為0，這直線就是水平。

**點斜式直線方程：**如果已知直線通過點 (x₀, y₀)，斜率為m，則它的方程為y-y₀=m(x-x₀)。

如果一條直線通過點(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，則它的斜率等于
$$\frac{y_2?y_1}{x_2?x_1}$$

1.6 常見函數及其圖像

(1) 多項式
$$p(x)=a_n{x}^n+a_{n?1}{x}^{n?1}+...+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$$

基本項xⁿ的倍數叫作xⁿ的系數。最大的冪指數（該項系數不能為零）叫作多項式的次數。
$$從x^0到x^7的圖像$$
多項式的圖像左右兩端的走勢由最高次數的項的系數是決定，該系數叫作首項系數。實際上，我們只需考慮首項系數正負以及多項式次數的奇偶就能判斷圖像兩端的走勢了。

次數為2的多項式又叫二次函數，p(x) = ax² + bx + c，根據判別式的符號可以判斷二次函數有幾個實數解。

通常用希臘字母Δ表示判別式 Δ=b²-4ac。若 Δ＞0，有兩個不同的解；若 Δ=0，只有一個解；若 Δ<0，在實數范圍內無解。對于前兩種情況，解為：
$$\frac{?b\pm \sqrt{b^2?4ac}}{2a}$$

配方是二次函數的一個重要技術。

(2) 有理函數

形如p(x)/q(x)，其中p和q為多項式的函數，叫作有理函數。

(3) 指數函數和對數函數：第9章


(4) 三角函數：下一章詳細介紹。

(5) 帶有絕對值的函數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《普林斯顿微积分读本》笔记-第1章函数、图像和直线的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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