實驗二：線性時間選擇

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問題描述

（1）線性時間選擇問題

給定線性序集中n個元素和一個整數k，1<=k<=n.要求找出這n個元素中第k小的元素，即如果將這個n個元素依其線性序排列時，排在第k個位置的元素就是要找的元素，當k==1時，要找的就是最小的元素；當k==n，就是最大的元素；當k=（n+1）/2，稱為中位數。

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實驗目的

（1）掌握線性時間選擇算法

（2）體會線性時間選擇算法中蘊含的分治思想

實驗原理

分治算法的基本思想是將一個規模為N的問題分解為K個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。

（3）線性時間選擇

一個很簡單的想法就是先排序后找，但這樣算法的性能依賴于所選擇排序算法的性能，比如快排就很快，冒泡就很慢。

我們可以模仿快速排序算法，對輸入數組進行遞歸劃分。與快速排序不同的是，它只對劃分出的子數組之一進行遞歸處理。

一種改進的思路是：如果能在線性時間內找到一個劃分基準，使得按這個基準所劃分出的兩個子數組長度都至少為原數組長度的e倍（0<e<1是某個正常數），那么在最壞情況下用O(n)時間就可以完成選擇任務。例如，若e=9/10，算法遞歸調用所產生的子數組的長度至少縮短1/10。所以，在最壞情況下，算法所需的計算時間Tn滿足遞歸式Tn<=T(9n/10)+O(n)。由此可得T(n)=O(n)

（1）將n個輸入元素劃分成n/5個組，每組5個元素，除可能有一個組不是5個元素外。用任意一種排序算法，將每組中的元素排好序，并取出每組的中位數，共n/5個。

（2）遞歸調用Select找出這n/5個元素的中位數。如果n/5是偶數，就找它的兩個中位數中較大的一個。然后以這個元素作為劃分基準。

（所有的n/5都向上取整，取整號打不出來。。。）

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實驗設計

4.1 線性時間選擇

在前面快速排序的基礎上進行線性時間選擇。

首先是先排序后找target值。這種辦法對于數組規模較小的情況有效。但對于大規模的數組，顯然有更好的辦法優化線性時間選擇的算法。

整個c文件分為5個函數：

1. swap交換函數。C語言沒有原生的swap交換函數，因此自己寫了一個。

2. Partition分區函數。用于對給定數組進行分區。

3. random函數。用于生成一定范圍內的隨機數。利用c語言原生的rand函數生成隨機數，srand函數配合time.h的time函數播種種子。

4. Quicksort函數。上個文件的。

5. Select函數。用于選擇和排序。

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這幾個函數有一部分是從上個快速排序函數繼承下來的。

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實驗結果與分析

5.1 線性時間選擇

首先，線性時間選擇存在越界可能性，即選擇的target值超過數組本身范圍，會打印出內存中的隨機數。（c語言）截圖如下：

除去越界問題，對線性時間選擇的性能測試如下：

選擇target=4（隨便想的），在10，100,1 000，10 000，100 000順序數組查找的時間如下（忽略生成時間和打印時間）：

數字個數	時間
10	0.385
100	0.347
1000	0.350
10000	0.450
100000	0.480

圖表體現的不是那么明顯，一方面是c語言沒有直接測量時間的函數，只能依賴于編譯器給出的時間，但這個時間并不是絕對精確的；另一方面，時間包含了生成隨機數和打印的時間，雖然最終的結果應該隨著x坐標是線性的，但體現不明顯。

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查閱資料得知，c語言有時間測量模塊time_t。我決定用time_t改良時間測量的精確性。同時將數據改為線性數據。改進后重新實驗：

數據	時間（精確，ms）
10 000	0
20 000	1.2
30 000	2.0
40 000	2.4
50 000	4.0
60 000	4.6
70 000	5.4
80 000	6.4
90 000	6.0
100 000	6.2

這次的線性就體現得很明顯了。

結論

線性時間選擇的優化來自快速排序對基準數的優化，從自選數（一般為第一位），到隨機數，最后是中位數。

算法	快排	隨機選擇	線性時間選擇
時間復雜度	O(nlog(n))O(nlog(n))	O(n)??O(n2)O(n)??O(n2)	O(n)O(n)
基準值	a[p]	random	中位數

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程序源碼

7.1線性時間選擇

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #include<unistd.h>// Swap the district void Swap(int a,int b){int temp=a;a=b;b=temp; }int Partition(int nums[],int left,int right,int x){int i=left,j=right+1;//int x=nums[left];while (1){while (nums[++i]<x&&i<right);while (nums[--j]>x);if(i>=j)break;Swap(nums[i],nums[j]);}nums[left]=nums[j];nums[j]=x;return j; }int random(int max,int min){int origin = rand();int random_num = origin%(max-min+1)+min;return random_num; }// int RandomizedPartition(int a[],int p,int r){ // srand((unsigned int)time(NULL)); // int i=random(p,r); // Swap(a[i],a[p]); // return Partition(a,p,r); // }int QuickSort(int nums[],int left,int right){//@param: nums[]: numbers//@param: left: the number of the [0]if(left<right){int i=left;int j=right;int temp_middle=nums[left];//standard numberwhile (i<j){//from right to left,find a number smaller than standard numberwhile (i<j&&nums[j]>=temp_middle){j--;}if(i<j){nums[i]=nums[j];i++;}while (i<j&&nums[i]<temp_middle){i++;}if(i<j){nums[j]=nums[i];j--;} }nums[i]=temp_middle;QuickSort(nums,left,i-1);QuickSort(nums,j+1,right); } }int Select(int nums[],int left,int right,int target){//judge by 75if(right-left<75){QuickSort(nums,left,right);return nums[left+target-1];}//NOT 75for(int i=0;i<=(right-left-4)/5;i++){//right-left-4 是一個劃分組號的公式。比如組內有34個元素，//i的值就是(33-0-4)/5=29/5=5//找中位數的中位數，r-p-4即上面所說的n-5int s=left+5*i,t=s+4;for(int j=0; j<3; j++) //冒泡排序，從后開始排，結果使得后三個數是排好順序的（遞增）{for(int n=s; n<t-j; n++){if(nums[n]>nums[n+1])Swap(nums[n],nums[n-1]);}}Swap(nums[left+1],nums[s+2]);}int x=Select(nums,left,left+(right-left-4)/5,(right-left-4)/10);int i=Partition(nums,left,right,x),j=i-left+1;if(target<=j){// printf("target<=j,j=%d\n",j);// printf("##left=%d\n",left);// printf("##right=%d\n",right);return Select(nums,left,i,target);}else{// printf("target>j,j=%d\n",j);// printf("##left=%d\n",left);// printf("##right=%d\n",right);return Select(nums,i+1,right,target-j);}}int main(void){int target=4;//int nums[100]={3,1,7,6,5,9,8,2,0,4,13,11,17,16,15,19,18,12,10,14,23,21,27,26,25,29,28,22,20,24,33,31,37,36,35,39,38,32,30,34,43,41,47,46,45,49,48,42,40,44,53,51,57,56,55,59,58,52,50,54,63,61,67,66,65,69,68,62,60,64,73,71,77,76,75,79,78,72,70,74,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100};int max_num=100000;int nums[max_num];for(int i=0;i<max_num;i++){ nums[i]=i+1; // printf("%2d,",nums[i]);// if(nums[i]%10==0) printf("\n");}//計時clock_t stime = clock();if(target>max_num||target<=0){printf("越界了！");printf("越界結果：第%d大的數是%d\n",target,Select(nums,0,max_num,target));}else{printf("第%d大的數是%d\n",target,Select(nums,0,max_num,target));}clock_t etime = clock();printf("time is %d ms",etime-stime);return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的实验二：线性时间选择的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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