本文所有圖片均引用自班納教授普林斯頓微積分讀本
中文內容則是博主自己的一些見解和抄錄

第一章 函數圖像和直線

1.1.4 垂線檢驗

函數是一一映射的，如果一個$f(x)$對應兩個值，那么就不是函數
垂線檢驗便是如此，如果一個圖形與同一條垂直于$x$軸的直線有兩交點，那么就沒有通過垂線檢驗，不是函數。
如上圖，一條與$x$軸垂直的直線$x=1$與曲線$x^2+y^2=9$有兩個交點
所以$x^2+y^2=9$不通過垂線檢驗，即$x^2+y^2=9$不是函數

1.2.1 水平線檢驗

一個函數存在反函數當且僅當存在每一個$y=f(x)$僅與一個$x$對應。
由此引入水平線檢驗
即每條水平線僅與函數圖像有一個交點的時候， 該函數才存在反函數
如上圖的左圖

1.3 復合函數

$f(x)=g(h(x))$ 記為 $f=g○h$
$f(x)=g(x)h(x)$ 記為 $f=gh$
$g(x)=x^2,h(x)=sin(x)$
$g○h=(sin(x){)}^2$
$gh=x^{2}sin(x)$

1.4 奇函數和偶函數

偶函數沿$y$軸對稱

奇函數沿原點中心對稱

檢驗是奇函數還是偶函數的方法：
$f(?x)=?f(x)$ 奇函數
$f(x)=f(?x)$ 偶函數

1.6 常見函數

(1)多項式

$f(x)=a{x}^n+b{x}^{n?1}...$

(2)有理函數

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ 其中$g(x)、h(x)均為多項式$

(3)指數函數和對數函數

$f(x)=b^x$ 指數函數
$f(x)=lo{g}_b(a)$ 對數函數

(4)三角函數

$f(x)=sin(x)/cos(x)/tan(x)...$

(5)帶有絕對值的函數

$f(x)=|x|$

第二章 三角學回顧

2.4 三角恒等式

$si{n}^2(x)+co{s}^2(x)=1$
$1+ta{n}^2(x)=se{c}^2(x)\to se{c}^2(x)?ta{n}^2(x)=1$
$1+co{t}^2(x)=cs{c}^2(x)\to cs{c}^2(x)?co{t}^2(x)=1$

和差角公式
$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)$
$cos(a+b)=cos(a)cos(b)?sin(a)sin(b)$
$sin(a?b)=sin(a)cos(b)?sin(b)cos(a)$
$cos(a?b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$

倍角公式
$sin(2x)=2sin(x)cos(x)$
$cos(2x)=co{s}^2(x)?si{n}^2(x)=2co{s}^2(x)?1=1?2si{n}^2(x)$

第三章 極限導論

3.2 左極限和右極限

左極限：$$\underset{x\to 3^{?}}{\lim }h(x)=1$$
右極限：$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }h(x)=?2$$
雙側極限：$$\underset{x\to 3}{\lim }h(x)=DNE$$
左極限與右極限相等時存在雙側極限

3.3&3.4 垂直漸近線和水平漸近線

3.6 三明治定理

眾所周知，這個定理還有這另一個神奇的名字。
$?1\le sin(x)\le ?1$
兩邊同乘一個$x$可得
$?x\le xsin(x)\le x$

$x=0,f(x)=x,f(x)=0$
$x=0,f(x)=?x,f(x)=0$
因此可以求出$xsin(x)$在$0$處的極限
$$\underset{x\to 0}{\lim }xsin(x)=0$$

第四章 求解多項式的極限問題

比較有意思的一道題

主要的問題是只看最大項的話上面會消掉
做法是上下同乘以上方的共軛表達式$\sqrt{4x^6?5x^5}+2x^3$
整理后得到

這個時候就可以只看最大項了
$$\underset{x\to \infty }{\lim }原式=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{?5x^5}{3x^2?(2x^3+2x^3)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{?5x^5}{12x^5}=\frac{?5}{12}$$

第五章 連續性和可導性

5.1 連續性

5.1.1一點處的連續

一個函數在某一個點連續，要滿足一下幾點
1.雙側函數${\lim }_{x\to a}f(x)$存在，a有限
2.f(a)存在，a有限
3.以上兩個量相等

上圖第一個不存在雙側極限
第二個$f(a)$不存在
第三個雙側極限與$f(a)$不相等
上三張圖的$a$點均被稱為不連續點

5.1.2 區間連續

一個函數在$[a,b]$上連續
1.$(a,b)$處處連續
2.$a$處右極限等于$f(a)$，也稱在$x=a$處右連續
3.$b$處左極限等于$f(b)$，也稱在$x=b$處左連續

5.1.4 介值定理

這玩意應該就是高中里的零點存在定理
如果連續區間$[a,b]$滿足$f(a)?f(b)<0$則$[a,b]$中至少存在一個零點。

比如說可以證明$f(x)=cos(x)$與$f(x)=x$有交點

這只需要證明$f(x)=cos(x)?x$有零點就行了

5.1.6 最大值和最小值定理

連續函數至少有一個最大值和一個最小值

第三張需要特別注意
盡管這不是一個連續函數，但它仍然有最大值和最小值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本小记（未完待续）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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