第 4 章 求解多項式的極限問題

4.1 x->a時的有理函數的極限

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}$$

(1) 首先總是應該嘗試用a的值替換x，如果分母不為0，那么一切順利，極限值就是做替換后所得到的值。

(2) 0/0被稱作不定式。可借助因式分解這一重要技巧來求解，因為函數在x=a處的值是無關緊要的，只需關注x在a附近的情況，因此，能夠消去分子和分母中的公因式，之后再使用代入法求解。
$$a^3?b^3=(a?b)(a^2+ab+b^2)$$

(3) 如果分母為0但分子不為0，將總會牽扯到一條垂直漸近線，會有四種情況出現，通過查看f(x)在x=al兩邊的符號可以確定具體屬于哪一種情況。

4.2 x->a時的平方根的極限

共軛表達式：a-b的共軛表達式是a+b，反之亦然。(a - b) (a + b) = a² - b²

如果碰到一個平方根加上或者減去另外一個量，可以試著把分子分母同時乘以其共軛表達式，也許會有令人高興的驚喜發生。

4.3 x->∞時的有理函數的極限

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}$$

其中p和q是多項式。這里有一個非常重要的多項式性質：當x很大時，首項決定一切。

和的極限等于極限的和，這在所有的極限都是有限的時候成立。

對于任意的n>0，只要C是常數，就有：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{C}{x^n}=0$$

當看到某個關于P的多項式p(x)是多于一項時，把它代以
$$\frac{p(x)}{p(x)的首項}\times (p(x)的首項)$$

一般地，考慮極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}$$
其中p和q為多項式，我們可以說：

如果p的次數等于q的次數，則極限是有限的且非零；

如果p的次數大于q的次數，則極限是∞或?∞；

如果p的次數小于q的次數，則極限是0。

當x->-∞時，所有這些也成立。

4.4 x->∞時的多項式型函數的極限

綜合利用前三節的技巧求極限。

4.5 x->-∞時的有理函數的極限

當x是一個非常大的負數時，在任意和中，最高次數項依然會占主導。此外，當x->?∞時，只要C是常數，且n是一個正整數，C/xⁿ仍然趨于0。所有這些都意味著，問題的解與之前的幾乎差不多，但需要注意符號。
$$\underset{x\to ?\infty }{\lim }\frac{?x}{18}=\infty$$

如果x<0，并且想寫$\sqrt[n]{x^{某次冪}}=x^m$，那么需要在x^m之前加一個負號的唯一情形是，n是偶的而m是奇的。

4.6 包含絕對值的函數的極限

拆解為分段函數后再分別求解左右極限及雙側極限，如果左右極限不相等，則雙側極限不存在（DNE）。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《普林斯顿微积分读本》笔记-第4章求解多项式的极限问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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