第 4 章 求解多項(xiàng)式的極限問題

4.1 x->a時(shí)的有理函數(shù)的極限

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}$$

(1) 首先總是應(yīng)該嘗試用a的值替換x，如果分母不為0，那么一切順利，極限值就是做替換后所得到的值。

(2) 0/0被稱作不定式。可借助因式分解這一重要技巧來求解，因?yàn)楹瘮?shù)在x=a處的值是無關(guān)緊要的，只需關(guān)注x在a附近的情況，因此，能夠消去分子和分母中的公因式，之后再使用代入法求解。
$$a^3?b^3=(a?b)(a^2+ab+b^2)$$

(3) 如果分母為0但分子不為0，將總會(huì)牽扯到一條垂直漸近線，會(huì)有四種情況出現(xiàn)，通過查看f(x)在x=al兩邊的符號(hào)可以確定具體屬于哪一種情況。

4.2 x->a時(shí)的平方根的極限

共軛表達(dá)式：a-b的共軛表達(dá)式是a+b，反之亦然。(a - b) (a + b) = a² - b²

如果碰到一個(gè)平方根加上或者減去另外一個(gè)量，可以試著把分子分母同時(shí)乘以其共軛表達(dá)式，也許會(huì)有令人高興的驚喜發(fā)生。

4.3 x->∞時(shí)的有理函數(shù)的極限

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}$$

其中p和q是多項(xiàng)式。這里有一個(gè)非常重要的多項(xiàng)式性質(zhì)：當(dāng)x很大時(shí)，首項(xiàng)決定一切。

和的極限等于極限的和，這在所有的極限都是有限的時(shí)候成立。

對(duì)于任意的n>0，只要C是常數(shù)，就有：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{C}{x^n}=0$$

當(dāng)看到某個(gè)關(guān)于P的多項(xiàng)式p(x)是多于一項(xiàng)時(shí)，把它代以
$$\frac{p(x)}{p(x)的首項(xiàng)}\times (p(x)的首項(xiàng))$$

一般地，考慮極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}$$
其中p和q為多項(xiàng)式，我們可以說：

如果p的次數(shù)等于q的次數(shù)，則極限是有限的且非零；

如果p的次數(shù)大于q的次數(shù)，則極限是∞或?∞；

如果p的次數(shù)小于q的次數(shù)，則極限是0。

當(dāng)x->-∞時(shí)，所有這些也成立。

4.4 x->∞時(shí)的多項(xiàng)式型函數(shù)的極限

綜合利用前三節(jié)的技巧求極限。

4.5 x->-∞時(shí)的有理函數(shù)的極限

當(dāng)x是一個(gè)非常大的負(fù)數(shù)時(shí)，在任意和中，最高次數(shù)項(xiàng)依然會(huì)占主導(dǎo)。此外，當(dāng)x->?∞時(shí)，只要C是常數(shù)，且n是一個(gè)正整數(shù)，C/xⁿ仍然趨于0。所有這些都意味著，問題的解與之前的幾乎差不多，但需要注意符號(hào)。
$$\underset{x\to ?\infty }{\lim }\frac{?x}{18}=\infty$$

如果x<0，并且想寫$\sqrt[n]{x^{某次冪}}=x^m$，那么需要在x^m之前加一個(gè)負(fù)號(hào)的唯一情形是，n是偶的而m是奇的。

4.6 包含絕對(duì)值的函數(shù)的極限

拆解為分段函數(shù)后再分別求解左右極限及雙側(cè)極限，如果左右極限不相等，則雙側(cè)極限不存在（DNE）。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《普林斯顿微积分读本》笔记-第4章求解多项式的极限问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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