接著普林斯頓微積分讀本04第三章--極限導論繼續往下學習。在上一次主要是從概念的角度學習了極限，這次則是時候學習一下求解極限的一些技巧了。

x->a時的有理函數的極限：

對于x->a的有理函數的極限的樣式是這樣的：

其中p和q都是多項式，對于多項式的定義可能也忘得差不多了，借此回顧一下：

另外a是一個有限的數，另外要記住，兩個多項式之比p(x)/q(x)被稱作有理函數：

代入法：

對于這種有理函數的極限的求解，首先就是嘗試將a的值直接替換x，如果分母不為0，那么極限值就是你替換后所得到的值，舉個例子：

將x=-1代入到式子中就有：

很幸運，分母不為0，-2就是極限值，簡單~~

但是有個細節需要提一下，對于x->-1和x=1完全是兩碼事，在上章中曾經說過函數在極限點上的值是無關緊要的，比如我們舉例的這個，就是在x=-1處的值是無關緊要的，那你這種直接代入的方法求極限應該會有問題吧？其它在下一章，學到連續性的概念后，它將證明這種“代入”法是沒有問題的。

不定式極限：

在上面代入法的例子中，提到了一個“很幸運”，對立的肯定也有“不幸運”的對吧，也就是用代入法之后，分母會為0，比如：

例一：

很明顯代入之后會變成：

(4 - 6 + 2) / (2 - 2) = 0 / 0，它被稱為不定式極限，注意這里的0并不是指整數0，而是代表趨于無窮小（趨于0）的極限形式。對于零比零的形式的極限，如下情況都有可能發生：極限或許是有限的、極限或許是∞或-∞、極限或許不存在。

對于零比零的形式的極限，通常可以用因式分解這一重要技巧來求解上例：

化簡之后，再將x=2代入到表達式（x-1）中，此時得到的結果為1，它也就是極限值。

這里會容易產生一個誤解：對于這兩個函數，它們是同一個么？

當然是呀，因為可以化簡一下：

注意：不是喲，因為2不在函數f的定義域中，卻在函數g的定義域中，所以它們倆是不同的函數。

但是！！！如果求這些函數的極限就不一樣了，因為對于x=2處的值在求極限時是不關心的，極限只關心在x=2附近的值，所以這也是為啥在分母代入為0的情況下極限的解也存在的原因，一定要區分函數和極限的區別。

例二：

將3代入，其實也是0/0型，好，接下來做因式分解來避免分母為0，對于這個多項式你還記得咋因式分解不，這里得先復習一個立方差的公式：

所以分子可以分解成：

然后分母明顯有一個因子可以提出來，如下：

此時可以消去分子和分母的公因子(x - 3)，此時就可以用代入法了，如下：

(!=0)/0型的極限：

概述：

還有一種情況，就是分母是0，但是分子不是0， 那它的極限又是怎樣的呢？這里先將結論描述出來，之后再來用具體例子進行鞏固理解：

在這種情況下，將總會牽扯到一條垂直漸近線，既有理函數的圖像在你感興趣的x值上會有一條垂直漸近線，而此時它的極限會有四種情況出現，如下，f是我們所關心的有理函數，而x=a處的極限情況如下：

那么問題來了，你如何知道你所處理的極限是屬于這四種情形中的哪一種呢？其實只需要查看f(x)在x = a兩邊的符號就可以了。比如：如果它在兩邊都是正的，那么你一定是在處理第二種情形：

實踐：

下面來舉兩個具體的例子：
例一：

還是按步驟來進行求解：

1、將x=1代入式子，最終的結果是-5/0，此時不是0/0型，而是正是我們現在探討的這種情況對吧；

2、接下來就得確定它屬于上述四種情況哪一種對吧，就得觀察當移動x到1的附近時會有什么情況發生，具體做法如下：

• 分子在正負先確定，直接代入1，為-5，所以是負的；
• 接下來就是需要來確定分母的正負性了，因子是x=1，它是大于0的，此時分母的正負性很明顯你不能直接代入1，而應該是來研究左右無限逼迫x=1這個點再來看分母的正負性，好來看一下：x>1時，很明顯分子是大于0的，所以整個的結果的正負性為：
  
  再來換一個條件，當x<1時，其正負性為：
  
  這里注意：

3、當我們求出了x附近左右的正負性之后：當x>1，f(x)是負的，當x<1，f(x)是正的，此時就可以來對照上述四種情況進行對應了，很明顯屬于這種情況：

也就是此函數的極限是不存在雙側極限的，只有兩個單側極限，如下：

例二：

同樣的求解步驟：

1、由于當1代入，它屬于"分子不為0/0"型；

2、分子是負數；

3、當x>1時是負的：

而當<1時，也是負的：

4、對照四種情況，可以得結果：

所以此函數的極限為：

當然左右極限都是-∞。

x->a時的平方根的極限：

比如要求這個函數的極限：

好，先來按著目前所學的一些套路來求：

1、直接代入，你會發現可以得到0/0型的不定式；

2、因式分解法，可以將：

但，貌似起不了太大的作用，因為分子上還有一個-4存在。

3、“分子非0/0”型，貌似也不是；

你會發現，上面所學的三個套路，在這個求極限中已經完全不好使了，此時要解此題，則需要再學另一個新的套路了，式子中你會發現有平方根：

遇到有這樣平方根的式子，此時可以乘以這個式子的共軛表達式，此時就需要學習一下共軛復數的概念了：

也就是對于式子a-b而言，它的共軛表達式則是a+b，所以同理：

它的共軛表達式為：

而做法就是讓分子和分母同時乘以這個式子，如：

擦勒，表面上貌似變得更復雜了，但是其實是往一個好方面在轉變，因為：

所以我們可以將分子進行一下變形為：

它等于：

既：

所以此時的式子就可以變為：

而分子又可以分解為(x - 5)(x + 5)，此時就有公因子可以消去了，具體如下：

此時將x=5再代入就可以得到結果10/8，既5/4。

總結：

對于這種情況的求解總結一下就是：如果你碰到一個平方根加上或減去另一個量，就可以試著把分子和分母同時乘以其共軛表達式，驚喜也許就會出現！！！

x->∞時的有理函數的極限：

概述：

在前面我們學習了x->a時的有理函數的極限了對吧，接下來則來討論x->∞求有理函數的極限，也就是：

其中p和q是多項式，對于多項式，有這么一個非常重要的性質：

當x很大時，首項決定一切【注意：首項并不是指第一項，而是指次數最高的那一項】。也就是說，如果你有一個多項式p，那么當x越來越大時，p(x)的表現就好像只有它的首項存在一樣。

比如這么一個多項式：

其中設首項為：

當x變得非常非常大時，p(x)和pL(x)會非常接近，也就是這個極限會為1：

這里來看一下它想要表達的意義，這里用到的是極限的方式來表達這個等式，那如果不用極限符號呢，則是這樣子：

如果沒有極限符號，這就意味p(x)=pL(x)，很明顯這不是真的，只是越來越趨于真的，那么用極限符號來表達是最為合適的。

那如果寫成下面這種式子可以么？

貌似是真的，但是由于兩邊x都是趨于∞，很明顯這種式子是毫無意義的，所以還得用其比接近于1來表達p(x)和pL(x)非常接近比較適合，也就是隨著x越來越大，其比趨于1，而不是等于1。

理解：

為啥當x->∞大時，式子只跟首項差不多大，而不是其它項中的一項呢？下面以一個實際大的x值來進行檢驗你就能知道為啥是首項了。

還是拿這個多項式來進行舉例：

1、x=100：可以看到3x^3=三百萬，10000(x^2)=一千萬，5x=500，所有值加起來，可以看到p(100)大概是負七百萬，你會發現，它跟pL(100)首項的三百萬完全不同對吧，不要灰心，因為此時的x值還不夠大。

2、x = 1 000 000，可以看到3x^3會變得非常之大，它是三百萬萬億，10000(x^2)=一千萬億，5x=五百萬，而最后的-7此時就可以忽略不計了，此時再來計算p(100)，你會發現結果還是接近于三百萬萬億，它不就是pL(1 000 000)的值么？

經過上面這個具體值的代入來看，當x變大時，最高次數項比其它項要增長得更快，這也就是為啥當x->∞時跟首項一樣的原因。

證明：

接下來咱們來看一下真正的數學證明，也就是要證：

還是以這個多項式為例：

就有：

進一步進行簡化：

而對于這個式子，根據“在所有極限都是有限的時候，和的極限等于極限的和”，所以我們可以將這個式子拆開來求四個極限，最后再把四個極限加起來得到最終的極限結果。

那么下面分別求出這四個極限：

1、第一個是1，所以不管x是什么，它總是1；

2、

求這個式子的訣竅就是將因子提出來，就可以變成：

由于-1000/3是常數，不管x是什么，它都不會改變，所以此時可以將它提到極限符號之外，變為：

此時的關鍵就是求：

對極限有了解的一看它就是0，因為非常大的倒數是一個非常小的數，也就是當x->∞，它接近于0，所以最終此極限為0：

根據這個，接下來先來拋出一個定理【重要！！！】：

對于任意的n>0，只要C是常數，就有：

基于這個定理，剩下的兩個極限都不用求了，一看都是0，所以完整的論證為：

這樣：

就得到論證了，這個方法適用于任意的多項式喲~~

實踐：

方法：

接下來舉幾個例子加以鞏固，在正式解題之前，先來對方法思想進行一個闡述，因為它是解題的思路：

當看到某個關于p的多項式p(x)是多于一項時，把它代以：

對于每一個多項式都這樣做，這里的要點是當x->∞時，以上表達式中的分式的極限是1，也就是：

并且首項比原來的表達式要簡單很多。可能這塊的思想有點模糊，下面以具體例子來理解一下。

例一：

分子和分母都是多項式，所以下面來看如何用上面的思想來求解。?

1、對于分子，它的首項是：

所以，對于該多項式就可以按這種來進行變換：

為：

2、同樣的，對于分母的首項是：

所以可以代以：

3、做完分子和分母的替換之后，式子就可以變為：

4、此時可以求出這些分式的極限都是1：

至于為啥，下面來化簡一下就知道了：

根據前面的這個定理：

很明顯這些項都是0：

所以這么復雜的式子，經過：

這樣的變換之后，最終只留下這么精簡的式子了：

最終該極限就為：

有木有感受到這種變化的魅力？下面再來看一個例子。

例二：

1、這里有四個多項式，找出首項，很明顯是：

2、每個多項式使用此大法：

3、萃取出各首項：

4、進一步進行化簡，完整求解如下：

例三：

這里直接給出整個求解過程：

總結：

在上面舉的三個例子而言，其實是比較有代表性的，這塊有規律可以總結：

1、第一個例子的分子和分母次數都是4，得到的極限有可能是有限的且非零（得到答案-8/7）；

2、第二個例子的分子的次數是4，分子的次數是4和5的多項式的乘積，會得到一個次數為9的多項式，而分母是次數為7和1的多項式的乘積，因此它的總次數是8次，也就是分子的次數大于分母，得到的極限有可能是無限的（得到答案-∞）；

3、第三個例子分母的次數為2，大于分子的次數為1，其結果為0；

好，接下來就可以有一個通用的總結了，對于這樣的極限：

其中p和q為多項式，我們可以說：

(1)、如果p的次數等于q的次數，則極限是有限的且非零；【如例一】

(2)、如果p的次數大于q的次數，則極限是∞或-∞；【如例二】

(3)、如果p的次數小于q的次數，則極限是0；【如例三】

同樣的，對于：

也滿足這樣的結論。

不過，對于這些結論，在解題時其實不用記它，重點是知道:

大法。

x->∞時的多項式型函數的極限：

概述：

在上面我們已經學會求解有理函數多項式的極限了對吧，下面再來看如下三個函數：

這些其實都不是多項式了，因為它們含有分數次數或n次根，關于這塊，特意問了一下度娘，確實多項式的次數只能是自然數，不能是分數：

但是！！！它們其實看起來有點像是多項式，所以對于這些函數，我們稱之為“多項式型函數”，其上面學習的有理函數的求解方法同樣也適用于多項式型函數。

所以對于這三種類型的函數，其求解思路跟上面所學的有理函數的求解方法一樣，只是說對于多項式型函數的首項不是那么清晰，下面以實際例子來看一下求解過程。

實踐：

例一：

1、確認首項：分母的首項很好確認，它是2(x^2)；而分子的首項就不太好確定了， 其實按如下步驟你也很好的可以對帶根號的這種式子來確定首項，先確認平方根下的式子的首項，很明顯是：

而它開根號之后，其實就是4(x^2)對吧，此時對于分子你就可以簡單理解為4(x^2) + 3x，所以分子的首項是4(x^2)。

2、進行如下大法：

也就是：

3、對分子進行化簡：

對于分子的這個式子的化簡：

其實方法就是將4(x^2)拖進平方根符號里面，如下：

進一步化簡就為：

而由于x->∞，有前面的一個定理：

所以最終就為：

4、對分母進行化簡：

而對于分母的化簡就比較簡單了，這里直接將整個求解的過程展現出來，比較好理解：

是不是針對這種“多項式型函數”的極限求解方法跟有理數函數的求解方法是一樣的？

例二：

同樣的步驟進行求解：

1、確定首項，很明顯分子的首項是3(x^3)，分母是2(x^2)。

2、接下來的就直接把整個過程展示出來的，其套路是一模一樣的：

這個例子對于分母的首項是由它后面的3(x^3)，因為它的次數是3，比2(x^2)要大，那如果后面的次數跟根號中的首項的次數一樣呢？下面看一下這種情況的例子。

例三：

1、確認分子的首項，你會發現根號的那個首項2(x^3)，然后跟后面一減，貌似沒有分子了。。所以這里可以使用在上面所學的共軛表達式方式讓分子和分母都乘以分子的共軛表達式來避免這樣的尷尬【有木有感受到，求極限就是當你發現問題時，用其它的一些已知的定理進行轉換來避免這些問題，再進一步進行極限的求解】：

根據：

可以將上式子又轉換為：

進一步把分子化簡就為：

2、確認分母的首項，然后進行化簡：

對于分母其實是由兩個式子來決定的：

先來確定前面的根號式子，比較簡單，它的首項是3(x^2)，為了方便根號化簡，這里可以化為：

也就是：

而當x->∞時，立方根的那部分就為1。

接下來再來處理右邊的這個式子：

根號的首項是2(x^3)，再加上后面的，也就是整個的首項就是4(x^3)，于是就可以分子和分母都乘以它：

然后將4(x^3)拖到平方根中進行進一步化簡就為：

當x->∞時，最終就可以化為：

3、最后求解整個串起來，先是分子乘以了共軛表達式就化簡為：

然后進一步就可以化為：

將首項都提出來就有：

而由于：

最后其實就只剩它了：

最后該式子的極限就是-5/12，這個函數的求解相對而言要麻煩很多，但是萬變不離其宗，其采用的套路基本上都是那些，需要有一定的耐心。

x->-∞時的有理函數的極限：

概述：

在前面咱們已經學過了x->∞時有理函數的極限的求解了，接下來重點關注一下負無窮的情況，也就是：

其中p和q是多項式或者多項式型函數， 而我們之前所學的原理在這里同樣適用：當x是一個非常大的負數時，在任意和中，其最高次數項仍然會占主導；另外當x->-∞時，只要C是常數，且n是一個正整數，C/(x^n)仍然趨于0，下面以之前在有理函數中舉過的例子看一下。

實踐：

例一：

對于這個例子的求解跟x->∞是一模一樣的，這里直接分子和分母乘以首項既可，這里就不一步步求了，之前在x->∞已經詳細說明過，直接給出整個求解的過程：

是不是它的解跟之前的無窮大的是一樣的？

例二：

這個解題步驟也跟之前的差不多，不過，最終的結果有些差別，整個過程如下：

而對比一下之前的剛好是相反的結果：

例三：

?這個例子需要說明一個問題，就是對于x->-∞：

因為x是負數了，所以對于這個式子的分母首項比較容易確定，是2(x^3)，但是對于分子的首項是它對吧：

由于x是負的，所以它化簡注意負號，應該為：

就注意這個小細節既可，整個求解過程如下：

類似地，在x為負數時，如果在處理四次方根、六次方根等偶數次方根時，都需要小心負號，比如：

但是如果是奇數次方根時，則有：

另外當x<0，還有：

因為x^2是不可能為負的，根號下x^4也不可能為負。

總結：

關于這種場景的極限求解就是注意一下小細節，就是關于符號，總結如下：

包含絕對值的函數的極限：

有時候會面臨求解包含絕對值函數的極限，比如：

如何求解呢，這里設：

很明顯0不可能在函數f的定義域中，因為分母不能為0，接下來分兩種情況來看一下：

1、x>0時，f(x) = 1；

2、x<0時，f(x) = -1；

具體圖像為：

所以很明顯左右極限的情況為：

由于左右極限不相等，所以雙側極限不存在：

所以對于絕對值函數的極限求法也就是這樣求的。

下面再來看一個例子：

很明顯這個絕對值主要取決于x+2>0還是x+2<0。

1、x+2>0時，|x + 2| = x + 2；

2、x+2<0時，|x + 2| = -(x + 2)；

所以當x>-2時，|x + 2| / (x + 2) = 1；而當x< -2時，它則是-1。事實上y =?|x + 2| / (x + 2)的圖像就是y = |x| / x的圖像向左平移兩個單位得到的，如下：

也就是此雙側極限也不存在，因為左右權限不相等。

總結：

至此，這章已經學完了，總體來說就是學一些求解極限的套路，當個備忘吧，不可能記得住，下一章準備學習函數的連續性和可導性，加油！！！?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本05第四章--求解多项式的极限问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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