最近重溫了一下大一沒學(xué)好的微積分，于是挑了一本豆瓣評(píng)價(jià)較高的《普林斯頓微積分讀本》，這本書講的確實(shí)通俗易懂，讓讀者加深對微積分的理解的同時(shí)也講述了一些解題的方法，所以我在這里記下了我認(rèn)為重要的一些內(nèi)容。美中不足的是這本書只講述了單變量微積分有關(guān)的部分。

參考資料: 《普林斯頓微積分讀本》人民郵電出版社

這篇博客只記錄我在閱讀過程中感到重要的地方，只是一個(gè)讀書筆記而已

解題技巧: 導(dǎo)數(shù)偽裝的極限

一個(gè)好奇函數(shù): 可導(dǎo)而導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的函數(shù)

雙曲函數(shù)

原書9.7節(jié)

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

原書10.1節(jié)

反函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

感覺這個(gè)公式挺重要的，同時(shí)也不是那么好理解，有點(diǎn)繞

寫成這樣可能要好點(diǎn)

反正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

函數(shù)圖像

反正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

反正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

反余割與反余切函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

反雙曲函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)與圖像

羅爾定理

中值定理

函數(shù)拐點(diǎn): 函數(shù)凹凸性變化的點(diǎn)

舉例: x=0是$x^3$的拐點(diǎn), 但不是$x^4$的拐點(diǎn)，即使在x=0處二階導(dǎo)數(shù)都是0

解題技巧: 繪制函數(shù)圖像的步驟

(1)對稱性
(2)y軸截距
(3)x軸截距
(4)定義域
(5)垂直漸近線
(6)函數(shù)的正負(fù)
(7)水平漸近線
(8)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)
(9)最大值和最小值
(10)二次導(dǎo)數(shù)的正負(fù)
(11)拐點(diǎn)

最優(yōu)化和線性化

牛頓法

牛頓法失靈的四種情況:

第十四章 洛比達(dá)法則

洛比達(dá)法則大致證明

重要的極限

定積分

函數(shù)的平均值

積分中值定理

微積分基本定理

微積分第一定理

微積分第二定理

用微積分第一定理解決問題

上下限都是函數(shù)

導(dǎo)數(shù)偽裝的極限

求解不定積分

積分的方法

原書第18章

替代法

分部積分法

部分分式法

三角函數(shù)積分

技巧綜述

反常積分

原書第20章
用極限的思想去求解

比較判別法

P判別法

絕對收斂判別法

無窮處指數(shù)函數(shù)的行為

提示: 利用這個(gè)函數(shù)進(jìn)行比較判決(借助P判別法)

無窮處對數(shù)函數(shù)的行為

用法同上，但是有一個(gè)特別的例子:

第22/23章 級(jí)數(shù)的斂散性

幾何級(jí)數(shù)

當(dāng)公比的絕對值<1時(shí)收斂，否則發(fā)散

第n項(xiàng)判別法

若級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于0，則級(jí)數(shù)發(fā)散；
級(jí)數(shù)通項(xiàng)趨于0，需要進(jìn)一步判斷

比式判別

根式判別

積分判別

其他判別方法

類似于積分的斂散性，有:

• 比較判別法
• 極限比較判別
• p判別

交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法

24. 泰勒級(jí)數(shù)

泰勒近似定理

c 的取值與積分中值定理有關(guān)，c 介于a和x之間，用來反映誤差, 且一般是求不出來的

泰勒級(jí)數(shù)

是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)
若想要證明一個(gè)函數(shù)在某些x處等于它的泰勒級(jí)數(shù)，應(yīng)該嘗試證明，當(dāng)$N$趨于無窮時(shí)，余項(xiàng)$R_N$趨于0

麥克勞林級(jí)數(shù)

麥克勞林級(jí)數(shù)就是 a=0 的泰勒級(jí)數(shù)

使用泰勒近似作估算

根據(jù)余項(xiàng)$R_N(x)$估算誤差的上限，選擇合適的$N$后代回泰勒展開式

冪級(jí)數(shù)

冪級(jí)數(shù)的收斂

• 收斂半徑: 利用比式判別法或根式判別法，由級(jí)數(shù)收斂的條件即可算得收斂區(qū)域、收斂半徑
• 端點(diǎn)通常需要單獨(dú)討論

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《普林斯顿微积分读本》个人读书笔记的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。