接著上一次普林斯頓微積分讀本03第二章--編程實現函數圖像繪制、三角學回顧繼續往下，經過前面的幾個基礎的夯實之后，終于進入高數章節的學習了，之前我其實已經溫習過一遍了，怎么說呢，這塊對我來說還是有點難的，希望通過這次一點一滴地輸出來攻克它們，下面正式開始。

極限：基本思想：

如書本所述：“如果沒有極限的概念，那么微積分將不復存在。”，可見學好極限是非常有必要的，接下來則從它的基本思想開始入手。

極限從一個奇怪的概述開始：“我們從某個函數f和x軸上的一點出發，該點稱為a，需要理解的是：當x非常非常接近于a，但不等于a時，f(x)是什么樣子的？”，其實這句就道出了極限它研究的東東，x是一個趨向的值，而非一個確定的值，這個就跟普通的函數研究的點就不一樣了。

這里舉一個例子：f(x) = x - 1，其中f的定義域是：

這個是啥意思知道不，它的意思是除2以外的所有實數，我們就可以這樣表示：

f(x) = x - 1? ?當x ≠ 2。

是不是這個函數比較古怪，居然將2從定義域中去除掉了，其實在之后的學習中可以看到,f它是一個有理函數，目前先不管這么多，接受這種定義既可，其圖像為：

那么問一下：f(2)是多少呢？大多數人可能很容易回答f(2)=1，但是！！！它不在定義域里頭喲，所以最好的回答應該是f(2)是無定義的。

而換一個角度，其實可以給x找一些接近于2的值，你會發現f(x)的值也會接近于1，比如：f(2.01) = 1.01、f(1.999) = 0.999。

對于這樣的函數，其實在數學上是用這樣的式子來表示它的：

這其實也就是極限的引出，其中lim是limit的縮寫，該式子表示“當x趨于2，f(x)的極限等于1”，等于極限研究的角度跟函數的完全不一樣的，函數研究的是一個精確的值，而極限研究的是一個近似值【它描述了函數在一個定點附近的行為】，對于極限還有另一種表示法：

這種寫法在實際計算時用得比較少，不過它的意義比上面lim的那種方式要清晰：當x沿著數軸從左側或者從右側趨近于2時，f(x)的值會非常非常接近于1（并保持接近的狀態）。

下面再定義一個分段函數，該函數的定義域是所有實數，如下：

圖像對應于：

那么問一下：

它是什么？

雖說g(2)=3,但也還有：

因為：

其實就是之前我們定義的：

另外有一個認知上的注意點：等式左邊它不是x的函數，它表達的是當x接近于2時，f(x)接近于1，這種認知的轉變還是非常重要的。

另外我們可以將x替換成任意字母，比如：

但是有一個要點就是：在極限中，變量x只是一個虛擬變量【也就是不是一個精確值】，它是一個暫時的標記；另外當你求出極限的值時，結果不可能包含這個虛擬變量。

左極限和右極限：

對于極限還是分方向的，也就是左極限和右極限，先來從這個圖來引出左右極限的概念，我覺得舉的這個例子還是相當貼切的：

其中看到小人了木有，相當于在走山路，那看圖請問：你如何描述h(x)在x=3附近的行為？

由于研究的是趨于極限的行為，很明顯這個h(3)=2的這個就不必要研究了：

左極限：

好，接下來先從左側接近于x=3的情況，很明顯這個人如果從左側走到快接近于3的位置時，此時所在的山的高度就會接近于1對吧，而如果你走到3的位置，由于是無路的，那么你會陡然墜落（因為不能是3），而x=3的右側的值也都是走不到的，所以此時就可以說h(x)在x=3的左極限等于1。

右極限：

換一個方向走，你從圖的右邊往左走，當你走到接近于3時，山的高度就會接近于-2，此時對于3及左側的值都是無關緊要的，所以此時就可以說：h(x)在x=3的右極限等于-2。?

總結：

此時對于左右極限就有如下表示法了：

其中極限中3后的小減號表示該極限是一個左極限；3后的+號表示該極限是一個右極限，注意，這個符合一定是在3后面寫，不要在3前面加，比如如果寫成這樣意義就變了：

這個很明顯是表示h(x)在x=-3時的通常的雙側極限【關于這個詞待會就會統一總結】。

另外再說一點：

表示此極限只涉及到小于3的x值，也就是說，你需要在3上減一點點來看會有什么情況發生；類似的：

表示此極限只涉及到大于3的x值，也就是說，你需要在3上加一點點來看會有什么情況發生。

雙側極限、左極限、右極限關系：

通常我們寫極限可能不會看到有寫+-符號的對吧，比如：

這種就叫雙側極限，也就是它的左極限和右極限在x=2處都存在且相等，用數學語言來描述就是：

如果左極限和右極限不相等，那么雙側極限就不存在喲，我們就可以寫作：

其中“不存在”也可以用數學字母來表示：DNE(Does Not Exist)。

何時不存在極限：

雙側極限不存在的情況：

現在我們知道了如果左右極限不相等時那么雙側極限也就不存在了對吧，下面舉一個這樣的例子，f(x) = 1/x，它的函數圖像我們在之前的學習中也接觸過了，如下：

那：

它是多少呢？先求一下右極限：

也就是當x是正的且接近于0時，f(x)的值越來越大，最終趨于正無窮在大，接下來再來看一下左極限：

它趨于負無窮大。

而由于左右極限不相等，所以：

雙側極限顯然不存在。

下面再來看另一個函數的極限：

它的函數圖像：

很明顯此函數在x=0處的左右極限都是∞，因此可以說：

垂直漸近線：

接下來就可以引出“垂直漸近線”的正式定義了：

“f在x = a處有一條垂直漸近線”說的是：

其中至少有一個極限是∞或-∞。

左右極限不存在的情況：

在上面咱們只討論了雙側極限不存在的情況（也就是只要證明左右極限不一樣就可以了），但是有木有可能出現左極限或者右極限不存在的情況呢？答案是肯定的，看下面這個函數：

由于sin(x)在x=π，2π， 3π，....上的值全為0，為啥？拿sin(π)來說，它可以轉換為sin(π/2+π/2)，而又可以化為：sin(π/2)cos(π/2)+sin(π/2)cos(π/2)，因為sin(π/2)=1，cos(π/2)=0，所以sin(π/2)cos(π/2)=1*0=0，所以sin(π/2)cos(π/2)+sin(π/2)cos(π/2)=0+0=0，所以sinπ等于0。其它的就類似，我們取其倒數，會發現sin(1/x)在1/π，1/2π， 1/3π，....上的值也全為0，而這些x的取值就是在x軸上的截距，如下：

也就是接近于0的時候，這些x軸的點它們都擠到一起了，由于在每一個x軸截距之間，sin(x)向上走到1或向下走到-1，因為sin(1/x)也是一樣，將其畫出來就是：

那么它的右極限是什么呢？

由于圖像在x=0附近很雜亂，它無限地在1和-1之間震蕩，當你從右側向x=0處移動時，振蕩會越來越快，這里沒有垂直漸近線，也沒有極限。當x從右側趨于x=0時，該函數不趨于任何數，所以它的右極限是不存在的（DNE）。

在∞和-∞處的極限：

目前我們已經研究了在接近某一點x=a時的函數行為對吧，如我們所見過的極限的定義：

但是有時候我們需要理解當x變得非常大的時候，一個函數的行為是如何的。換言之，就是對變量x趨于∞時函數的行為，也就是極限的式子如：

它表示f的圖像在y=L處有一條右側水平漸近線，同樣類似的，當x趨于-∞時，極限的式子如：

表示當x變得越來越負時，f(x)會變得非常接近于值L，并保持接近的狀態，此時它對應于函數y = f(x)的圖像有一條左側水平漸近線。所以可以把這些轉化為如下定義：

這里有兩個對立的情況會出現：

1、有些函數沒有任何水平漸近線，比如y = x^2，因為當x變得越來越大的時候，y值只會無限上升，所以它的極限情況是：

2、有些函數極限是不存在的，這個其實在上面已經探討過了，比如：

它會越來越接近某個值，但是只是在-1和1之間來回振蕩，所以此函數木有水平漸近線，也不會趨于∞或-∞，所以它的極限是不存在的。

接下來回到上面看到的這個函數上來：

當時我們只考慮了x趨于0點的情況：

接下來我們來考慮x變得非常大的情況，首先當x很大時，1/x也是非常接近于0的對吧，由于sin(0) = 0，所以sin(1/x)就會非常接近于0，所以：

所以我們就可以向右擴展y=sin(1/x)的圖像了，而由于這個函數是一個奇函數，證明如下：

所以，此時我們就可以把圖像左右擴成這樣了：

大的數和小的數：

接下來需要討論一個關于大數和小數的問題，這塊也是比較容易搞錯的。

對于這兩個數：1 000 000 000 000和 -1 000 000 000 000，你覺得哪個是大的數，哪個是小的數呢？

對于這兩個數：0.000 000 001和-0.000 000 001，你覺得它又是大的數還是小的數呢？

下面給出一個非正式的定義：

• 如果一個數的絕對值是非常大的數，則這個數就是大的；
• 如果一個數非常接近于0（但不是真的等于0），則這個數就是小的；

?其中“非常大”和“非常接近于0”分別意味著什么呢？下面拿這個極限來說：

也就是當x是一個足夠大的數時，f(x)的值就會幾乎等于L，可問題是：多大才是“足夠大”呢？這其實就需要取決于你想讓f(x)的距離L有多近，這里舉兩種情況你就知道在說啥了：

可以看到，左圖在當x至少是100時，f(x)看上去非常接近于L，此時任何比100大的數都是“大的數”；而右圖，對于100就不是大的數了，可能得要到200才是一個大的數。一定要體會到，這個大的數是需要取決于f(x)的距離L有多近來決定的，你不能說1 000 000 000 000這樣的數就已經很大了，因為有可能函數要到5 000 000 000 000才變得趨于它的水平漸近線。

而在極限描述中，會經常使用術語“在∞附近”來代替“大的正的數”（在字面意義上說，一個數不可能真的在∞附近，因為∞無窮元，不過在x -> ∞時的極限語境中，“在∞附近”的說法還是說得通的），同樣也可以用“在-∞附近”來強調我們所指的“大的負的數”。

同樣，對于小的數，也同樣需要結合某個函數或極限的語境來考慮，比如我們經常會看到的極限：

關于漸近線的兩個常見誤解：

接下來了解一下關于漸近線的兩個常見的誤區：

1、一個函數不一定要在左右兩邊有相同的水平漸近線：

比如我們在上面學習的f(x) = 1/x的圖像，左右兩側都有y=0這條水平漸近線對吧：

也就是：

然而，對于這樣的函數：

它的圖像其實是：

它在y=π/2處有一個右側水平漸近線，而在y = -π/2處有一條左側水平漸近線，很明顯左右漸近線不同對吧，用極限表示就是：

也就是你需要糾正這樣的認知：

一個函數的確可以有不同的右側和左側水平漸近線，但是最多只能有兩條水平漸近線（一條在右側，另一條在左側）；也有可能一條都沒有；或者只有一條。

比如：

它就有一條左側水平漸近線，但是沒有右側水平漸近線：

跟垂直漸近線是相反的：一個函數可以有多條垂直漸近線（比如y = tan(x)，它有無窮多條垂直漸近線）。?

2、一個函數不可能和它的漸近線相交：

對于漸近線我們通常的理解是一條函數越來越接近但永遠不會相交的直線，其實這是一個誤區，這里舉一個這個函數：

f(x) = sin(x) / x，它的圖像為：

由于sin(x)的值是在-1和1之間震蕩，因此sin(x)/x的值在曲線y = -1/x和y=1/x之間振蕩。圖中用的虛線表示的曲線y = 1/x和y = -1/x形成了正弦波的包絡，也就是：

也就是x軸是f函數的水平漸近線，其中是不是可以看到這個水平漸近線和函數圖像是不是反復在相交呀？

關于這個極限的證明，需要接下來學習的三明治定理（俗稱的“夾逼定理”）。

三明治定理：

定義：

三明治定理，又名夾逼定理，說的是：如果一個函數f被夾在函數g和h之間，當x->a時，這兩個函數g和h都收斂于同一個極限L，那么當x->a時，f也收斂于極限L。

看一下圖可能就明白了：

理解：

假設對于所有的在a附近的x，我們都有g(x)≤f(x)≤h(x)，既f(x)被夾在g(x)和h(x)之間，此外還假設：

那么就有這個結論：

既當x->a時，所有三個函數都有相同的極限。

對于單側極限，也有類似版本的三明治定理，只是這時不等式g(x)≤f(x)≤h(x)僅在a的我們心的一側成立，比如：

其中y = xsin(1/x)的圖像和y=sin(1/x)的圖像是很相似的，只是前面有一個x使得函數陷于y=x和y = -x之間，比如下圖所示：

從圖中可以看出，當x趨于0時，函數仍舊有激烈的震蕩，但是現在它們被包絡線抵制著，關于啥是包絡線，這里百度百科一下：

還是有點一知半解，網上找到一個這樣的gif，感受一下包絡線：

也就是函數g是下方的包絡線y = -x，而函數h是上方的包絡線y = x，這是要求極限：

其實它正好是三明治定理的的一個完美應用，我們只需要證明對于x>0，有g(x)≤f(x)≤h(x)，那要怎么來證明呢？這里需要用到任意數的正弦都是處于-1和1之間的對吧，所以：

-1≤sin(1/x)≤1

此時用x乘以這個不等式，就有：

-x≤xsin(1/x)≤x，這正好就是我們需要的g(x)≤f(x)≤h(x)，而還有：

因此，當：

夾逼的函數g(x)和h(x)的值收斂于同一個數0，所以f(x)也一樣，也就證明了：

但是！！！要注意：如果沒有前面的因子x，上式顯示不成立，因為在之前我們也證明了：

證明上節的極限情況：

學習了夾逼定理之后，我們就可以對上節最后的這個極限進行一個證明了，還記得那個極限不，回憶一下：

為了證明此式，需要用到的三明治定理一個稍有不同的形式，涉及在∞處的極限，這個跟之前的不太一樣，也就是對于所有的很大的x，都有：

g(x)≤f(x)≤h(x)，其定義跟有限處極限的三明治定理幾乎是一模一樣的，所以用到對于所有的x，都有：

-1≤sin(1/x)≤1，但是這次x>0，然后不等式都除以x，為：

現在令x->∞，由于-1/x和1/x的權限都是0，sin(x)/x的極限也必為0，也就是說由于：

也必有：

總結：

對于夾逼定理其實它說的就是：

這也適合左極限或右極限，在那種情況下，不等式只需要在a的相應一側對于x成立既可；當a是∞或-∞時它也適用，在那種情況下，要求對于所有的非常大的（分別是正的或負的）x，不等式成立。

極限的基本類型小結：

我們已經看過了權限的多種基本類型了，下面來看一些各種基本類型的代表性的圖像，以后有需要可以回過頭來查一下：

1、在x=a時的右極限：

其中可以看到，這時在x=a的左側以及x=a處f(x)的行為是無關緊要的，也就是說，當討論右權限時，對于x≤a，f(x)取何值都不要緊，事實上，對于x≤a，f(x)甚至不需要被定義。

2、在x=a時的左極限：

這時在x=a的右側以及x=a處f(x)的行為是無關緊要的。?

3、在x=a時的雙側極限：

左圖中的左極限和右極限都存在，但是不相等，所以它的雙側極限就不存在；

而右圖中的左右極限存在并相等，所以它的雙側極限存在。

其中f(a)的值是無關緊要的。

4、在x->∞時的極限：

5、在x->-∞時的權限：

編程來進行極限求解：

好，回到最親切的環節，就是利用python來看如何來求極限，這個對于我們實際來說才是比較有意義的，畢竟完全自己手動來求解還是比較費勁的，能交給電腦的干嘛不交給電腦呢，尤其像我這種面臨工作考核的，使用編程來解決數學問題是非常好的工具，下面來看一下，打算以這個極限的求解為例：

具體編程其實也很簡單：

1、定義函數：

這里如何定義這個函數呢，如下：

其中x = sp.Symbol('x')相當于定義了一個書本中說的虛擬變量：

其中sympy庫是一個非常強大的數學庫，網上搜了一下它，感受一下它的強大：

所以對于程序員而言，需要善用它。

2、求極限：

接下來就來求一下極限：

運行：

跟書中的求解是一樣的。

畫出函數的圖像：

接下來咱們來把此函數的圖像畫出來：

此時運行看一下：

是不是跟書本上的圖差不多，只是這邊沒有限制x>0。

總結：

好了，整個章節已經學完了，涉及到的概率還是蠻多的，主要是比較抽象，需要好好的吸收和消化，因為接下來的知識只有越來越難的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本04第三章--极限导论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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