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FFT程序，輸入是一組復(fù)數(shù)，輸出也是一組復(fù)數(shù)，想問(wèn)一下輸入到底應(yīng)該輸入什么，輸出的復(fù)數(shù)的含義是什么？給定一組序列的抽樣值，如何用FFT確定它的頻率？

首先，fft函數(shù)出來(lái)的應(yīng)該是個(gè)復(fù)數(shù)，每一個(gè)點(diǎn)分實(shí)部虛部?jī)刹糠帧＜僭O(shè)采用1024點(diǎn)fft，采樣頻率是fs，那么第一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)0頻率點(diǎn)，第512點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是fs/2的頻率點(diǎn)。然后從頭開始找模值最大的那個(gè)點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的頻率值應(yīng)該就是你要的基波頻率了。
FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來(lái)，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。
雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來(lái)做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什么意思、如何決定要使用多少點(diǎn)來(lái)做FFT。一個(gè)模擬信號(hào)，經(jīng)過(guò)ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號(hào)。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。采樣得到的數(shù)字信號(hào)，就可以做FFT變換了。N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過(guò)FFT之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。

假設(shè)采樣頻率為Fs，信號(hào)頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)（除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號(hào)的相位。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量（即0Hz），而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個(gè)點(diǎn)，可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn =(n-1)Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為 Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說(shuō)，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時(shí)間。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a+bi表示，那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模就是An=根號(hào)aa+bb，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計(jì)算出n點(diǎn)（n≠1，且n<=N/2）對(duì)應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為：An/(N/2)cos(2piFnt+Pn)，即2An/Ncos(2piFnt+Pn)。對(duì)于n=1點(diǎn)的信號(hào)，是直流分量，幅度即為A1/N。由于FFT結(jié)果的對(duì)稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。

好了，說(shuō)了半天，看著公式也暈，下面以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)來(lái)做說(shuō)明。假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào)，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號(hào)，以及一個(gè)頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號(hào)。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：
S=2+3cos(2pi50t-pi30/180)+1.5cos(2pi75t+pi90/180)
式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣，總共采樣256點(diǎn)。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的間距就是1Hz，第n個(gè)點(diǎn)的頻率就是n-1。我們的信號(hào)有3個(gè)頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn)、第51個(gè)點(diǎn)、第76個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0。實(shí)際情況如何呢？
我們來(lái)看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。

從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值。我們分別將這三個(gè)點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來(lái)細(xì)看：
1點(diǎn)： 512+0i
2點(diǎn)： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點(diǎn)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點(diǎn)：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點(diǎn)：332.55 - 192i
52點(diǎn)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點(diǎn)：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點(diǎn)：3.4315E-12 + 192i
77點(diǎn)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明顯，1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比較大，它附近的點(diǎn)值都很小，可以認(rèn)為是0，即在那些頻率點(diǎn)上的信號(hào)幅度為0。接著，我們來(lái)計(jì)算各點(diǎn)的幅度值。分別計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)的模值，結(jié)果如下：
1點(diǎn)： 512
51點(diǎn)：384
76點(diǎn)：192
按照公式，可以計(jì)算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號(hào)的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號(hào)的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來(lái)的幅度是正確的。然后再來(lái)計(jì)算相位信息。直流信號(hào)沒有相位可言，不用管它。先計(jì)算50Hz信號(hào)的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結(jié)果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計(jì)算75Hz信號(hào)的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對(duì)的。
根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算，我們就可以寫出信號(hào)的表達(dá)式了，它就是我們開始提供的信號(hào)。
總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，做FFT之后，某一點(diǎn)n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點(diǎn)的模值除以N/2就是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的幅度（對(duì)于直流信號(hào)是除以N）；該點(diǎn)的相位即是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的相位。相位的計(jì)算可用函數(shù)atan2(b,a)計(jì)算。atan2(b,a)是求坐標(biāo)為(a,b)點(diǎn)的角度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長(zhǎng)度為1/x秒的信號(hào)，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點(diǎn)數(shù)，這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的，需要在較短的時(shí)間內(nèi)完成分析。解決這個(gè)問(wèn)題的方法有頻率細(xì)分法，比較簡(jiǎn)單的方法是采樣比較短時(shí)間的信號(hào)，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0，使其長(zhǎng)度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù)，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。

具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)文獻(xiàn)。
附錄：本測(cè)試數(shù)據(jù)使用的matlab程序
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Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %頻率F1信號(hào)的幅度
A2=1.5; %頻率F2信號(hào)的幅度
F1=50; %信號(hào)1頻率(Hz)
F2=75; %信號(hào)2頻率(Hz)
Fs=256; %采樣頻率(Hz)
P1=-30; %信號(hào)1相位(度)
P2=90; %信號(hào)相位(度)
N=256; %采樣點(diǎn)數(shù)
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采樣時(shí)刻

%信號(hào)
S=Adc+A1cos(2piF1t+piP1/180)+A2cos(2piF2t+piP2/180);
%顯示原始信號(hào)
plot(S);
title(‘原始信號(hào)’);

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT變換
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %顯示原始的FFT模值結(jié)果
title(‘FFT 模值’);

figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %換算成實(shí)際的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %換算成實(shí)際的頻率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %顯示換算后的FFT模值結(jié)果
title(‘幅度-頻率曲線圖’);

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=”1:N/2”
Pyy(i)=phase(Y(i)); %計(jì)算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %換算為角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %顯示相位圖

title(‘相位-頻率曲線圖’);

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的深刻理解FFT的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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