常微分方程數值解法

--------以下為各部分具體知識點：

一、引言

1.1 背景

1、原因：對于大量來源于實際問題的常微分方程，該初值問題存在唯一解，但其精確解卻不能用初等函數表示出來。
2、常見方法：解析近似方法（級數解法，逐次逼近法），數值解法
3、相關概念：單步法、兩步方法、多步法、顯示公式、隱式公式

1.2 基本思想

$$y(x_{n+1})?y(x_n)={\int }_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y(x))dx$$

• 左矩形：
  $${\int }_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y(x))dx=hf(x_n,y(x_n))+O(h^2)$$
• $Euler$ 公式
  $$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n),n=0,1,???$$
• 梯形差分公式
  $$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})]\\ y_0=\alpha ,n=0,1,???\end{array}$$
• $Euler$ 中點公式
  $$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_{n?1}+2hf(x_n,y_n)\\ y_0=\alpha ,n=1,2,???\end{array}$$

二、改進的 $Euler$ 方法和 $Taylor$ 展開方法

2.1 改進的 $Euler$ 方法

$$?\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(K_1+K_2)\\ K_1=f(x_n,y_n)\\ K_2=f(x_n+h,y_n+h{K}_1)\\ y_0=\alpha ,n=0,1,2,???\end{array}$$

2.2 誤差分析

• 局部截斷誤差
  $$y(x_{n+1})?y_{n+1}$$
• $Euler$ 公式的局部截斷誤差： $O(h^2)$
• 改進的 $Euler$ 公式的局部截斷誤差 ：$O(h^3)$
• 梯形公式的局部截斷誤差 ：$O(h^3)$
• $p$ 階方法：如果單步差分方法的局部截斷誤差為 $O(h^{p+1})$ 階，則稱該方法為 $p$ 階方法。

2.3 $Taylor$ 展開方法

$$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)+\frac{h^2}{2}{f}^{(1)}(x_n,y_n)+???+\frac{h^p}{p!}{f}^{(p?1)}(x_n,y_n)$$

三、$Runge?Kutta$ 方法

3.1 公式

3.2 二階 $R?K$

1、公式
2、截斷誤差

3.3 三階 $R?K$

1、公式
2、截斷誤差

3.4 四階 $R?K$

1、公式
2、截斷誤差

3.5 變步長 $R?K$

四、單步方法的收斂性和穩定性

4.1 單步方法的收斂性

$$|\Phi (x,y,h)?\Phi (x,\overline{y},h)|\le L|y?\overline{y}|$$

4.2 穩定性

• 絕對穩定、絕對穩定域、絕對穩定區間
• 公式
  $$y_{n+1}=f(\lambda ,h)y_n$$

五、線性多步方法（利用待定系數法構造線性多步方法）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数值分析第八章知识点总结——常微分方程数值解法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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