畢業論文開題報告

題 目： 微分方程的數值解法

院 系)： 理學院

專 業： 信息與計算科學

學生姓名： 袁琪 學 號： 201010010219

指導教師： 肖燁講師

年月日 畢 業 設 計(論 文)開 題 報 告

1．文獻綜述：結合畢業設計(論文)課題情況，根據所查閱的文獻資料，每人撰寫2500字以上的文獻綜述，文后應列出所查閱的文獻資料。

常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續保持著進一步發展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中。常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術及力學和物理學中都有十分廣泛的應用。關于它的解結構己有十分完美的結論，但其求解方法卻各有不同，因此.線性微分方程的求解方法成為常微分方程研究的熱點問題之一。

1691年，萊布尼茨用分離變量法解決了形如ydx/dy=f(x)g(y)的方程。同年，他又解出了一階齊次方程=f(y/x)。1693年，萊布尼茨給出了線性方程dy/dx=p(x)y+q(x)的通解表達式。1743年，歐拉定義了通解和特解的概念，同時還給出了恰當方程的解法和常系數線性齊次方程的特征根法。皮亞拿和比卡，他們先后于1875年和1876年給出了常微分方程的逐次逼近法。1881年，龐加萊創立了常微分方程的定性理論。同時，此理論的一系列課題成為動力系統的開端。1892年，數學家李雅普諾夫開創了微分方程運動穩定性理論研究。

20世紀30年代直至現在，是常微分方程各個領城迅速發展、形成各自相對獨立的而又緊密聯在一起的分支學科的時期。

1927－1945年間定性理論的研究主要是跟無線電技術聯系在一起的。第二次世界大戰期間由于通訊等方面的要求越來越高，大大地激發了對無線電技術的研究，特別是非線性振動理論的研究得到了迅速的發展。

40年代后數學家們的注意力主要集中在抽象動力系統的拓撲特征, 如閉軌是否存在、結構是否穩定等, 對于二維系統已證明可以通過奇點及一些特殊的閉軌和集合來判斷結構穩定性與否；而對于一般系統這個問題尚未解決。在動力系統理論方面, 我國著名數學家廖山濤教授, 用從典范方程組到阻礙集一整套理論和方法, 解決了一系列主要問題, 特別是C’封閉引理的證明, 對結構穩定性的充要條件等方面都作出了主要貢獻。

在當代由電力網、城市交通網、自動運輸網、數字通訊網、靈活批量生產網、復雜的工業系統、指令控制系統等提出大系統的數學模型是常微分方程組描述的。對這些系統的穩定性研究, 引起了越來越多學者的興趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的。

目前常微分方程的研究領城比以往任何時候都廣泛，大致有九個分支學科：一般理論；邊值問題；定性理論；穩定性理論；泛函微分方程和差分方程；微分方程的漸近理論；巴拿赫空間及其他抽象空間的微分方程；控制理論問題以及隨機微分方程和方程組。這些領域都有不少數學家在從事工作，每年發表的文獻總數在1000篇以上.例如，一般理論仍然是常微分方程最活躍的領城之一。近二十年來，由于研究繼電控制系統等實際問題提出了一類右端不連續常微分方程系統和廣義常微分方程。由此就要求對解重新定義, 即廣義解的定義問題。與此同時又提出這類解的存在性、唯一性問題。再如，在自動控制、生物學、醫學、經濟學等領城中提出了一類數學模型, 類似一般的常微分方程, 但其解的未來狀態, 不僅依賴于初始狀態, 而且與過去的狀態有關。這些數學模型被概括為所謂泛函微分方程(Funstion Diff,Eqs,簡寫為FDE)，成為常微分方程的重要分支學科。這類方程早在1750年歐拉就已經提出，但20世紀前只有個別工作，1900年—1948年間從各個方面提出的FDE逐漸增多，但仍未成為一個獨立分支。1949年后貝爾曼(R.Bellman，1920,8,20，美國數學家)等建立了普遍存在唯一性、穩定性定理后，才成為一個獨立的數學分支。目前這類方程的穩定性同樣是頭等重要的問題。

常微分方程是數學學科各專業的一門基礎課，是整個數學課程體系中一個重要組成部分。它是數學分析和高等代數的后續課程起著承上啟下的作用，同時也是常微分方程學科本身近代發展方向的重要基礎。 常微分方程課程內容包括以下七個部分：1. 基本概念，2.一階微分方程的初等積分法，3.一階微分方程的解的存在定理，4.高階微分方程，5.線性微分方程組,6.非線性微分方程,7.一階線性偏微分方程

常微分方程的研究還與其他學科領域的結合而出現各種新的研究分支，如控制論、 種群生態學、分支理論、泛函微分方程、脈沖微分方程、

總結

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