常微分方程

• 簡(jiǎn)介
• 解法介紹
• 截?cái)嗾`差

在慣性導(dǎo)航以及VIO等實(shí)際問(wèn)題中利用IMU求解位姿需要對(duì)IMU測(cè)量值進(jìn)行積分得到需要的位置和姿態(tài)，其中主要就是求解微分方程。但之前求解微分方程的解析方法主要是應(yīng)用于一些簡(jiǎn)單和特殊的微分方程求解中，對(duì)于一般形式的微分方程，一般很難用解析方法求出精確解，只能用數(shù)值方法求解。該系列主要介紹一些常用的常微分方程的數(shù)值解法，主要包括：

• [常微分方程的數(shù)值解法系列一] 常微分方程
• [常微分方程的數(shù)值解法系列二] 歐拉法
• [常微分方程的數(shù)值解法系列三] 改進(jìn)歐拉法(預(yù)估校正法)
• [常微分方程的數(shù)值解法系列四] 中值法
• [常微分方程的數(shù)值解法系列五] 龍格-庫(kù)塔(RK4)法

這個(gè)系列后面文章會(huì)用到前面文章的理論和技術(shù)，所以建議按照順序查看。

簡(jiǎn)介

而在具體求解微分方程中，一般來(lái)說(shuō)給定的條件是
$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{x}}^{\prime }(t)=f(t,\mathbf{x}(t)),a\le t\le b\\ \mathbf{x}(t_0)=x_0\end{array}$$
即給定微分方程以及原方程在初始點(diǎn)的值，求原方程在某個(gè)$t$下的$x(t)$原方程的值，這類問(wèn)題就是(一階)常微分方程初值求解問(wèn)題。
(這里不對(duì)常微分方程或者偏微分方程等概念，以及求解微分方程的其他條件如邊界條件情況做詳細(xì)介紹，需要了解的話可以自己google，不影響本系列介紹。)

解法介紹

一般來(lái)說(shuō)，(一階)常微分方程數(shù)值解法基本思想是：
在區(qū)間$[a,b]$中插入一系列間隔相同為$\Delta t$的離散點(diǎn)
$$a\le t_0<t_1<?<t_i<?<t_{n?1}<t_n\le b$$
常微分方程的數(shù)值解法的目的就是在給定合適初始值前提下，建立求解$x(t)$的近似值$x_t$的遞推方式，這樣求得$x(t)$在各個(gè)離散點(diǎn)的近似值。
給定一個(gè)具體的時(shí)間間隔${\Delta }_t$，可以把該方程轉(zhuǎn)換成差分方程
$$\mathbf{x}(t+\Delta t)=\mathbf{x}(t)+{\int }_{\tau \in [t,t+\Delta t]}f(\tau ,\mathbf{x}(\tau ))d\tau ,a\le t\le b,\text{\hspace{1em}(1)}$$
這樣利用之前說(shuō)的離散點(diǎn)可以把$t$離散化，那么$t_i=a+i\Delta t$以及 ${\mathbf{x}}_i\approx \mathbf{x}(t_i)$，所以上面公式$(2)$也可以寫(xiě)成
$$\mathbf{x}(t_{i+1})\approx x_{i+1}={\mathbf{x}}_i+{\int }_{\tau \in [a+i\Delta t,a+(i+1)\Delta t]}f(\tau ,\mathbf{x}(\tau ))d\tau ,\text{\hspace{1em}(2)}$$

截?cái)嗾`差

上節(jié)介紹常微分方程的數(shù)值解法就是利用初值和離散點(diǎn)獲得近似值$x_t$，但是和真實(shí)值$x(t)$之前還是存在誤差，即
$${\mathbf{e}}_i=x_i?\mathbf{x}(t_i),\text{\hspace{1em}(3)}$$
${\mathbf{e}}_i$則表示該數(shù)值解法在離散點(diǎn)$t_i$處的局部截?cái)嗾`差。局部截?cái)嗾`差在一定程度上反應(yīng)了該數(shù)值解法的精度。
一般來(lái)說(shuō)常用泰勒展開(kāi)式來(lái)計(jì)算討論局部截?cái)嗾`差，后面具體方法會(huì)給出具體的對(duì)應(yīng)的截?cái)嗾`差的討論。這里簡(jiǎn)單給出定義：
如果數(shù)值解法的局部截?cái)嗾`差為${\mathbf{e}}_i=\mathbf{O}(\Delta t^{P+1})$，則稱該解法具有P階精度或P階解法。

這里$\mathbf{O}(\Delta t^{P+1})$為泰勒展開(kāi)式的余項(xiàng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[常微分方程的数值解法系列一] 常微分方程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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