HDU-6381

題目：

度度熊最喜歡六邊形的網(wǎng)格了！！！

上圖由左至右依序是邊長為?11,?22?以及?33?的六邊形網(wǎng)格。

另外，每個六邊形網(wǎng)格最左側(cè)的格子稱之為這個六邊形網(wǎng)格的錨點，上圖中每個六邊形網(wǎng)格的錨點都以藍(lán)色著色。

定義在六邊形網(wǎng)格上的坐標(biāo)系統(tǒng)：相對一個坐標(biāo)為?(x,y)(x,y)?的中心格子，其周圍格子的坐標(biāo)定義為下圖中所示的值：

給定一個大小為?LL?的六邊形主網(wǎng)格，這個六邊形主網(wǎng)格的錨點的坐標(biāo)為?(1,L)(1,L)。這個主網(wǎng)格中每一個格子上都有一個顏色，以?00?至?6161?之間的整數(shù)代表。對于這個主網(wǎng)格有?QQ?個詢問，每個詢問將會詢問這個主網(wǎng)格中某一個六邊形子網(wǎng)格的范圍中，包含有幾個不一樣的顏色。

一個詢問以三個整數(shù)?<x,y,l><x,y,l>?來表示其中一個六邊形的子網(wǎng)格，依序為其錨點的坐標(biāo)?(x,y)(x,y)?以及其大小?ll。例如，下圖為一個大小?L=3L=3?的主網(wǎng)格，格子內(nèi)部的數(shù)字為其坐標(biāo)，而非格子的顏色。綠色邊框所包圍的子網(wǎng)格是一個錨點坐標(biāo)為?(5,3)(5,3)，大小?l=2l=2?的子網(wǎng)格，以?<5,3,2><5,3,2>?表示，同時，紅色邊框表示?<3,1,1><3,1,1>?的子網(wǎng)格。

Input

輸入的第一行有一個正整數(shù)?TT，代表接下來有幾筆測試資料。

對于每筆測試資料： 第一行有一個正整數(shù)?LL。 接下來的?2L?12L?1?行輸入代表一個大小為?LL?的六邊形網(wǎng)格。 六邊形網(wǎng)格將會透過下列的過程轉(zhuǎn)換至輸入的格式：

將每格內(nèi)代表顏色的數(shù)字?00~6161?按照 0-9a-zA-Z 的順序?qū)φ辙D(zhuǎn)換為一個字符，例如?1010?轉(zhuǎn)換為 'a'，而?3636?轉(zhuǎn)換為 'A'。

將每行中的字符由左至右串接起來形成一個字符串，注意兩個字符之間并不會安插任何的空格符。

輸入中的?2L?12L?1?行每行會有一個字符串，依序代表編碼后由上至下的這?2L?12L?1?個字符串。

接下來的一行有一個整數(shù)?QQ?代表接下來有幾組詢問。 接下來的?QQ?行每行有三個正整數(shù)?xx,?yy?及?ll，代表一組詢問?<x,y,l><x,y,l>。

下圖為范例測試資料中的六邊形網(wǎng)格，格子內(nèi)顯示的數(shù)字代表顏色，而非坐標(biāo)：

• 1≤L≤2501≤L≤250
• 代表六邊形網(wǎng)格的字符串中只會有 0-9a-zA-Z 這些字符。
• 0≤Q≤3×1050≤Q≤3×10?5??
• 1≤x≤4L?31≤x≤4L?3
• 1≤y≤2L?11≤y≤2L?1
• 1≤l≤L1≤l≤L
• (x,y)(x,y)?一定是給定的六邊形網(wǎng)格中合法的格子點。
• <x,y,l><x,y,l>?詢問的子六邊形網(wǎng)格一定完整的位于主網(wǎng)格中。
• 1≤T≤151≤T≤15
• 至多?11?筆測試資料中的?L>50L>50
• 至多?11?筆測試資料中的?Q>1000Q>1000

Output

對于每一筆測試資料，對于每一個詢問，請依序各自在一行內(nèi)輸出一個整數(shù)，代表此詢問的答案。 兩筆測試資料間請不要輸出多余的空白行。

Sample Input

1 3 012 3456 789ab cdef ghi 10 1 3 1 1 3 2 1 3 3 9 3 1 7 3 1 3 3 1 3 3 2 5 3 1 5 3 2 2 2 2

Sample Output

1 7 19 1 1 1 7 1 7 7

（題目復(fù)制過來后部分文本重復(fù)了）

題目看起來很長，加上有那么多六邊形好像很麻煩，但其實根本問題還是：

給一組東西，多次詢問某個范圍，求這個范圍內(nèi)的某個／某種值。

符合rmq的條件，所以可以嘗試用rmq解決。

這道題其實可以算是資格賽1002的進(jìn)階版，同樣使用rmq算法，只不過那道題給的是一個數(shù)組，求的是最值，這里給的是一組六邊形，求的是顏色的種數(shù)。

rmq算法用到了動態(tài)規(guī)劃，那么就要有狀態(tài)。

題目的63個顏色可以用63個二進(jìn)制表示，出現(xiàn)哪種顏色，哪一位用“1”表示，有點類似資格賽1001的思路?？梢杂胠ong long 類型的數(shù)來表示每組六邊形的狀態(tài)。

long long dp [2*MAXL-1] [4*MAXL-3] [9]

dp [i] [j] [k] 表示以點（i，j）為錨點，邊長為 2的k次方 的六邊形的狀態(tài)（所包含的顏色）。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移：

rmq算法是以2倍增的思想來不斷進(jìn)行處理的，對應(yīng)這道題也就是：對于邊長為2的k次方的六邊形，用邊長為2的(k-1)次方的六邊形來覆蓋處理它。

以邊長為2的六邊形來看，我們可以用6個點對應(yīng)的6個邊長為1的六邊形 + 中心六邊形來覆蓋它；

當(dāng)邊長=2^k?>2時，同樣的，6個點對應(yīng)的6個2^(k-1) 個六邊形 + 中心六邊形可以表示它。（這里的六邊形會有重疊的部分，但不會有遺漏的部分）

為了方便放進(jìn)數(shù)組，先將題目中給出的坐標(biāo)表示換一下位置，比如題目中（1，3）的點我們表示成（3，1）放進(jìn)六邊形數(shù)組six[3][1]。

所以接下來就是確定這7個六邊形的錨點的問題了。

可以自己動手再畫一個邊長為4的六邊形，對比邊長為2，邊長為1的六邊形，多利用2^k，2^(k-1)，2^(k+1)不難得出七個六邊形的錨點坐標(biāo)：

／**七個六邊形位置：1 ? ? ? ?23 ? 7 ? ? ??45 ? ? ? ?6*／ int i1 = i-(1<<(k-1));int j1 = j + (1<<(k-1));int i2 = i - (1<<(k-1));int j2 = j + (1<<(k-1)) + (1<<k);int i3 = i;int j3 = j;int i4 = i;int j4 = j + (1<<(k+1));int i5 = i + (1<<(k-1));int j5 = j + (1<<(k-1));int i6 = i + (1<<(k-1));int j6 = j + (1<<(k-1)) + (1<<k);int i7 = i;int j7 = j + (1<<(k+1)) - 2;

所以，

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

dp[i][j][k] = dp[i1][j1][k-1] | dp[i2][j2][k-1]??| dp[i3][j3][k-1] | dp[i4][j4][k-1]? | dp[i5][j5][k-1] | dp[i6][j6][k-1]? | dp[i7][j7][k-1];

也就是這7個六邊形做 按位或（ | ）操作 —— 有1為1，全0為0，這個運算就可以來表示這七個六邊形組合在一起的顏色情況了。

初始狀態(tài)：

k=0，只有一個六邊形，它的狀態(tài)就是它本身的顏色。

dp[i][j][0] = (long long)1<<six[i][j]

dp數(shù)組存儲完之后，剩下的就是查詢了。

由于rmq用的是2的倍增，在這道題中也就是計算了1，2，4，8 ... 邊長的顏色情況，那么對于3，5，6，7這些邊長沒辦法直接在dp數(shù)組里面找到，所以查詢?nèi)匀皇欠侄尾樵?。同樣的道理比如資格賽1002。

先打表，求一下0-250這些數(shù)的log2是多少，存儲在Log2數(shù)組中。（這里存儲的時候是向下取整，也就是說log2(3) = 1）

然后，在查詢時，我們只需要6個頂點對應(yīng)的六邊形就可以覆蓋待查詢的六邊形了，因為中心六邊形肯定包括在這個6個中。

設(shè)查詢的邊長為L，Log2[L] = k；

查詢區(qū)間的確定，實際上是與 （L - 2^k）有關(guān)，可以得到六個六邊形的錨點坐標(biāo)，并進(jìn)而得到這六個六邊形組成的顏色情況n：

long long n;int temp = l - (1<<k); // L - 2^kint i1 = x - temp;int j1 = y + temp;int i2 = x - temp;int j2 = y + 3 * temp;int i3 = x;int j3 = y;int i4 = x;int j4 = y + 4 * temp;int i5 = x + temp;int j5 = y + temp;int i6 = x + temp;int j6 = y + 3 * temp;n = (long long)dp[i1][j1][k] | dp[i2][j2][k]| dp[i3][j3][k] | dp[i4][j4][k]| dp[i5][j5][k] | dp[i6][j6][k];

最后，只要數(shù)一下 n 里面有多少個1，那么就有多少種顏色，就是答案了。

代碼：

// // main.cpp // 初賽B1002 // // Created by jinyu on 2018/8/13. // Copyright ? 2018年 jinyu. All rights reserved. //#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std;/**L , L 個 : 1L-1, L+1 : 2L-2, L+2 : 3... : ...1 , 2L-1 : ...2 , 2L-2 :3 , 2L-3 :... :L , L : 2L-1*/const int MAXL = 250+7;int six[2*MAXL-1][4*MAXL-3]; int L; long long dp[2*MAXL-1][4*MAXL-3][9]; int Log2[MAXL];void rmq(){for(int k = 1;(1<<k)<=L;k++){for(int i = 1;i+(1<<(k-1))<=2*L-1;i++){for(int j = 1;j+(1<<(k-1))+(1<<k)<=4*L-3;j++){if(six[i][j]==-1)continue;if((i-(1<<(k-1)))<1)continue;int i1 = i-(1<<(k-1));int j1 = j + (1<<(k-1));int i2 = i - (1<<(k-1));int j2 = j + (1<<(k-1)) + (1<<k);int i3 = i;int j3 = j;int i4 = i;int j4 = j + (1<<(k+1));int i5 = i + (1<<(k-1));int j5 = j + (1<<(k-1));int i6 = i + (1<<(k-1));int j6 = j + (1<<(k-1)) + (1<<k);int i7 = i;int j7 = j + (1<<(k+1)) - 2;dp[i][j][k] = dp[i1][j1][k-1] | dp[i2][j2][k-1]| dp[i3][j3][k-1] | dp[i4][j4][k-1]| dp[i5][j5][k-1] | dp[i6][j6][k-1]| dp[i7][j7][k-1];}}} }int query(int x,int y,int l){int k = Log2[l];int temp = l - (1<<k);if(k==0)return 1;long long n;int i1 = x - temp;int j1 = y + temp;int i2 = x - temp;int j2 = y + 3 * temp;int i3 = x;int j3 = y;int i4 = x;int j4 = y + 4 * temp;int i5 = x + temp;int j5 = y + temp;int i6 = x + temp;int j6 = y + 3 * temp;n = (long long)dp[i1][j1][k] | dp[i2][j2][k]| dp[i3][j3][k] | dp[i4][j4][k]| dp[i5][j5][k] | dp[i6][j6][k];int ans = 0;//判斷n中1的個數(shù)while(n){n = n & (n-1);ans++;}return ans; }int main(){for(int i = 0;i<MAXL;i++){Log2[i] = i==0?-1:Log2[i>>1]+1;}int T;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&L);for(int i = 0;i<4*L+7;i++){for(int j = 0;j<4*L+7;j++)six[i][j] = -1;}getchar();char c;int k = 1;for(int i = L;i>=1;--i){int tempi = i;int num = L+(L-i);while(num--){c = getchar();if(c>='0' && c<='9'){six[k][tempi] = c-'0';}else if(c>='a' && c<='z'){six[k][tempi] = c-'a'+10;}else if(c>='A' && c<='Z'){six[k][tempi] = c-'A'+36;}tempi+=2;}getchar();k++;}for(int i = 2;i<=L;++i){int tempi = i;int num = L+(L-i);while(num--){c = getchar();if(c>='0' && c<='9'){six[k][tempi] = c-'0';}else if(c>='a' && c<='z'){six[k][tempi] = c-'a'+10;}else if(c>='A' && c<='Z'){six[k][tempi] = c-'A'+36;}tempi+=2;}getchar();k++;}// for(int i = 1;i<=2*L-1;i++){ // for(int j = 1;j<=4*L-3;j++) // { // if(six[i][j]==-1) // cout<<" "; // else // cout<<six[i][j]<<" "; // } // cout<<endl; // }for(int i = 1;i<=2*L-1;i++){for(int j = 1;j<=4*L-3;j++){if(six[i][j]==-1)dp[i][j][0] = (long long)0;elsedp[i][j][0] = (long long)1<<six[i][j];}}rmq();int Q;scanf("%d",&Q);while(Q--){int x,y,l;scanf("%d%d%d",&y,&x,&l);printf("%d\n",query(x,y,l));}// printf("3 1 1 : %lld\n",dp[3][1][1]);}return 0; }

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總結(jié)

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