笨人学php好学吗_经典学经：笨人学数学的方法
作為一個非科班出身的徹底的外行，學數學的一點經驗分享給大家。
數學是什么？大部分中國人心目中的數學，其實按嚴格的分類，都屬于應用數學。一句話：應用數學是用數字和公式描述客觀世界的科學，研究的是客觀世界的數量性質和運動規律；而數學(為了區分，多稱作“純數學”或“基礎數學”)是含有公式的哲學，研究的是抽象概念的關系、運動規律和空間的性質，具有很強的主觀性和藝術性。古人從獵物分配中總結了算術，從土地面積丈量中總結出基礎的平面幾何，可以說，先有應用數學后有純數學。二者在300年前可以說不分彼此，牛頓、高斯、歐拉等大數學家同樣也在應用數學、物理和哲學等領域取得累累碩果。后來，羅巴切夫斯基和黎曼等建立非歐幾何學，使得人類第一次脫離生活中直觀的三維空間，思考抽象空間的性質，這個事件標志著純數學開始自立門戶。而1900年希爾伯特在國際數學家大會上的講話，可以說是純數學從應用數學中徹底獨 立出來。二戰后經濟復蘇，數學家有了資金支持可以無憂生計，全心全力做研究，數學得到長足發展。
為什么要學基礎數學？常言道，練武不練功，到老一場空。倚天劍屠龍刀是絕世神兵，但也要拿得動舞得起來才有威力?？催^電影《導火線》的筒子，肯定對里面甄子丹的背摔印象深刻。但如果沒有甄子丹的身體素質和協調能力，硬用背摔這樣的技能非傷到自己不可。應用數學的模型的發明研究者多數有很深的基礎數學功底，故學習者若無一定的基礎數學的訓練，理解他們的成果就要花費很多的時間和精力，而且難以理解透徹和應用到位，更不要提舉一反三了。而目前工業日新月異，金融界瞬息萬變，相關的模型和公式也是層出不窮。學習者如果不能觸類旁通，一個一個學是必然學不完的。一切高級的數學，歸根結底都是微積分和線性代數的各種變化，這是哈佛數學系主任丘成桐和普林斯頓數學系前系主任釋天(Elias Stein)經常告誡學生的話。而基礎數學的初級學科，如數學分析和高等代數，就是對最基本的高等數學和線性代數進行理論上的完善，讓學習者不僅僅能學會現有的套路，更能理解公式定理背后的道理，從而能更好地應對各種隨機的情況，甚至于自創招式。故將來計劃學習理工科和金融的學生，除了練好微積分和線性代數的計算，至少要學習一下這兩個領域的證明課程，也就是一年的基礎數學。這只是最低要求，物理學特別是理論方向的必修群論(屬于抽象代數)，量子力學要學希爾伯特空間(屬于實變函數)。另外，有些較為高端的金融數學項目中的隨機模型的課程，已經要求初步掌握測度論。具體到理工科和金融的名家案例：生物學家施一公高中數學競賽河南省第一名，大學物理和生物雙學位中修了大量數學；哈佛大學雙聘教授莊小威本科在中科大讀核物理，群論和偏微分方程是必修，出國讀博時數學水準不亞于數學系畢業生；文藝復興基金創始人、30年內殺入福布斯前50名的富豪賽猛宅(James Simons) 本身就是基礎數學出身。近一點的例子：北大生命科學學院05級本科第一名、現斯坦福博士生高小井；06級本科第一名、現哈佛醫學院博士生李鑫，高中都有數學奧賽經歷，在大學也一直加強數學學習。MHC生物和化學雙學位取得者，目前杜克大學醫學院MD學生王曉雯，大學期間做完了著名的《吉米多維奇數學分析習題集》。本科階段學好數學，是理工社科從業者一生的財富。
我的數學到底有多爛？做過《五年高考三年模擬》的朋友，都知道高考數學北京卷的特點是基礎題特別基礎，最后一道大題用超綱知識+新信息+方法綜合拉開分數檔次。我當時?？?#xff0c;就總是最后一道題得一兩分或者全部放棄。我從小強于記憶而不善也不喜歡邏輯推理，故高中數學基本上靠題海練習、熟悉題型、照搬定式來得分。來到石溪，我學數學有過非常痛苦的經歷。其實當時規劃也有失誤，很多地方失于急躁冒進，不然，完全可以不那么累而且學得更好。歐美有很多數學天才寫過數學的學習心得，但鑒于他們起點太高，學習節奏可以很快，故方法未必適合大家。我的方法可以說是零起點的，目的是幫助像我一樣沒搞過競賽的理科生以及文科生搞定美國大學的數學系要求，以在未來的職業競爭中，數學方面不至于拖累自己甚至領先身邊人。那么如何學好數學？看我細細道來：
第一：要具備不卑不亢的心態。數學并非難，只是它的表述體系和思維要求，對于多數中國學生比較陌生。要把它當作全新的東西來認識，就跟學習一門新語言一樣。以前自己學的東西，包括高中知識和AP數學等，記住概念即可，思維推導不要沿用。然后嚴格按照老師講的思維方式，不厭其煩的推導和證明，慢慢一回生二回熟。幾年前華人數學天才陶哲軒給UCLA本科生講Honor Analysis(榮譽數學分析)的時候，上來進度非常慢，前一個月都在證明皮亞諾公理、集合論和基本的映射理論，但后來可以越學越快，而且學生越學越Hi。拳不離手，曲不離口，學語言要勤動口和動筆，學數學也要沒事常動腦。就算文科生一樣可以學好數學：20世紀俄羅斯數學學派掌門人、莫斯科國立大學數學系主任柯莫高(Kolmogorov,又譯柯爾莫格洛夫)大一是讀歷史的。美國人魏愛華(Edward Witten)更奇葩，本科四年讀的都是歷史和語言學，博士申請UWM的經濟學博士，讀了半年退學，自修數學和物理,23歲考進Princeton，碩轉博再同時搞數學和物理。16年后，他站在菲爾茲獎的領獎臺上。我說過了基礎數學其實是哲學，而哲學算文科還是理科都有道理。所以，就算國內數學學得再爛，只是按照國內標準比較爛，在美國完全有可能前途無量，要有信心。另一方面，國內就算奧賽摘金奪銀，到美國也要扎扎實實的學。因為奧賽國際金牌在歐美的精英面前多數是渣：俄羅斯蓋芳德(Gelfand)15歲讀完代數幾何教父高探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代數幾何原理)，這套書讓北大博士去讀都夠嗆。我們石溪的米糯教授本科大一在《數學年鑒》上發論文，這是數學界最高學術期刊，每年中國大陸所有教授加起來在上面都很難有一篇文章發表。這里特別要說一下美國數學教學的二段教學法：不同于俄羅斯和中國上來就是帶證明的數學分析和高等代數，美國的教學更為親民：上來先是微積分和不帶證明的線性代數，內容比較簡單，作業和考試很多中國學生可以依靠高中基礎秒殺之。但不少人練習不夠，很多知識沒搞透，方法技巧也不夠熟練。然后到了第二段，數分和高代一開，很多人欲哭無淚。這就要求第一階段，哪怕覺得這些題再傻，一本書一道不落地做完是很有必要的。 然后第二段就要細讀書，多問老師。在美國基礎數學能學好的中國人，要么是自己天才，要么就把教授辦公室的椅子坐穿。
第二，保證數學的學習時間。要是天才并且喜歡數學，那你自然會給數學大量時間。如果是為了將來勝任其他領域而學數學，要記住大一大二對于打好數學基礎是最寶貴的。所以，建議每天先完成其他學科的作業，然后把大塊時間分配給數學的看書做題細琢磨。我目前主要是修各種數學課和一門應用數學的概率論，每天時間大體是這樣分割的：睡覺6小時，吃飯包括飯后的休息2小時，健身和洗澡2小時，交通1小時，個人愛好1小時(抄抄四書五經，讀讀文藝的歌詞，主要是墨明棋妙的還有林夕的)，機動時間1小時，剩下11小時是聽課和課下學習。周末多用兩小時坐校車去買個菜，路上一直思考，也相當于最終學習10小時。誰說數學天才每天悠哉游哉？那么最年輕的菲爾茲獎得主，27歲得獎的賽赫(Jean-Pierre Serre)夠天才了吧？他自述道：習慣帶著數學題入夢，醒來往往有思路。故我用最愛的《紅樓夢》第一回作為他的雅號：“夢幻通靈”賽赫(與“造化陰陽”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯(Sir Michael Atiyah，英國皇家學會會長，敕封爵士)并列20世紀世界第一的數學家)。數學多好算好？別說拿A，滿分都是不夠的。一本書讀完，知識和方法不超綱的題目要難不住你(by“現代微分幾何之父”陳省身)。一本書讀完，同一領域下一階段的書要能自通30%(by菲爾茲獎得主Curtis McMullen的導師Dennis Sullivan，石溪數學四大導師之蘇立文)。校內傳的什么每天學習八小時那是給別的學科的。每天八小時想學好數學？做夢！
第三，學會科學的思維方法：下面分條目詳解。數學天才請華麗麗的無視。
(1)數學思維的三個方面：任何數學的定義、定理說透了也就三部分：第一是它本身的文字和(或)符號、 公式內容；第二是它在數學知識體系中的位置，與其他數學內容的邏輯關系，包括由什么可以推出來該定義或定理，它又可以(與其它定理一起)推出些什么；第三是它所涉及的范疇有什么具體實例(比如循環群就有旋轉圖形、整數加群和同余模加群等例子)，這些例子又有何作用，能否在數學中或數學外(典型的如幾何和物理)取得應用。這就分別是數學對象的本體論、方法論和目的論?？履哒f：“的確學生對數學的適應性存在差異，這種適應性表現在：1，算法能力，也就是對復雜式子作高明的變形，以解決標準方法解決不了的問題的能力。2，幾何直觀的能力，對于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表達出來，并進行思考的能力。3，一步一步進行邏輯推理的能力?！?http://blog.renren.com/share/234165395/12015887501)這些對應的就是掌握數學概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做題，幾何直觀除了做題還要平時多留意，多聯系生活實際；邏輯推理這個往往是中國學生的弱項，畢竟我們母語的方塊字二維畫面性遠遠超過西方拼音文字，而一維線形(邏輯鏈的內在屬性)卻不足。漢字個個如畫，橫豎左右寫均可，而西方拼音文字就得一條路從左往右，上下寫都夠嗆。故邏輯推理要特別練習。練習邏輯推理的方法關鍵在定理的證明，下面會詳述。
(2)如何課前預習：一開始微積分可以多做一點，而數分和高代等帶證明的預習下一節課內容即可。先回顧上堂課所學知識，再看新章節內容：先略讀本章節，看清有幾個定義(Definition)，幾個定理(Theorem)和引理(Lemma)，有哪些例子(Example)和注釋(Remark)。如果把數學比作一門語言，定義就是名詞，定理和引理是句子，而例子和注釋相當于古文經典中的注和疏。定義一定要自己品味，比較長的拆開句子成分慢慢看，不行就抄。日本第一個菲爾茲獎小平邦彥大學時抄過整本Van de Warden的代數，咱們抄書不丟人。 定義要么是全新的，這個不急著理解，往后看看；要么是基于以前內容的，這個不妨回顧一下相關內容再繼續看。遇到定理就要注意，課本的證明不要先看，自己理解定理內容后，把定理當作習題徒手證一遍，寫下來，再與課本原文比較，查找二者的不同：自己的證明是不是漏某條件或者把某需要說明的當做顯然了(初學者常犯錯誤)，是不是有多余的語句，是不是有地方用錯了。凡是不同處，都要重點思考，這樣進步就快了。如果實在想不起來，就看看書本怎么證的。對于自己的不足，要整理到上述公式、邏輯或幾何三個大類中，并提醒自己注意(如國內分析教材從羅爾定理證明拉格朗日中值定理，很多人不會把一般的函數構造成符合羅爾定理條件的函數，這個就牽涉到公式變形能力和邏輯能力)。引理也是這么證。別小看引理，朗蘭茲猜想中的基本引理之一，吳寶珠證出來就是一個菲爾茲獎。至于例子，也是不要先看，自己看了定理，自己想至少兩個例子，一個是典型的，一個是退化的極限情況(by Halmos，《我要做數學家》和《希爾伯特空間習題集》的作者，芝加哥大學鼎盛時期和陳省身等共事的數學家)。例如高中解析幾何的雙曲線，分母的a^2, b^2當然大于零，可以找出來一個例子。如果其中一項等于零，就退化成兩條直線，這就是退化的極限情況。不要小看退化，這正是跟以前知識的聯系。自己想了例子，其實潛意識中，注釋的內容已經過了一遍。然后不必太早做習題，再回顧一下整個思維過程有沒有需要看課本提示的地方，有沒有自己能看懂但是跟以往慣性思維相悖的地方，有沒有突然頓悟的地方。這都要記下來，上課等老師講到這里時要格外留心。
(3)聽課：美國的數學教授基本還是寫黑板，而且不會太快。上課公式一寫幾黑板的那是應用數學教授，噼噼啪啪打幻燈的在石溪一定不是數學或物理教授。 所以，有時間記筆記。但不必全記住，把預習的成果調動起來，老師講的時候跟自己腦中的備份隨時印證并修正。就一個建議，教授不停嘴，學生不動筆。真正聽好了，上課一字不寫又何妨？課下完全可以輕松補全并注上自己的心得見解。
(4)課下：先整理筆記，一定有自己的見解，全抄老師的對于學應數是有用的，對于學數學則是浪費時間。數學界的師生關系往往很融洽，但思維上絕對是批判繼承和啟發繼承，學我者昌，似我者亡。然后是定義再品味一下，定理和引理自己再證一遍，比較老師的證明、課本的證明和自己當初的證明，這次不僅要能說出哪個好，還要能說出為什么好。然后是做題了。除了開始的微積分要刷書，帶證明的課，課本做好作業題就夠了，因為老師選的可能不是經典教材(經典的往往比較難，很多美國學生受不了)。但每個題要做精，做完一題回顧自己的思路歷程，并對其中的公式變形、邏輯推理和幾何直觀進行歸類。實在做不出來，畫個記號，改天再看，兩天都做不出來才可以看解答。對于解答中自己想不到的，要特別標注，常?；仡?。然后就是選一本這一門課比較經典的書，按照上文預習和做題的路子走一遍。經典教材的知識點和思路要自己總結，每過一兩章節，找一張大的紙畫下來本章定理的邏輯體系圖。經典教材的題目最好都做，做不出來，Office Hour坐穿椅子去。
(5)心理狀態：很多人開始覺得數學難，然后生怕基礎打得不牢，一個定理看半天，看似很認真很投入，其實就算理解了思維也很僵化，而且容易跟不上進度。這就像打羽毛球和練書法，你心里緊張，手抓得太緊，反而發不出力來，寫的字也不好看。掌心要虛著，身體要保持隨時可以發力的彈簧狀，擊球時蹬地轉體推肩壓臂一套動作一氣呵成，手掌瞬間抓緊最后一次加速，這才能打出林丹那樣硬砸開李宗偉鐵板防御的扣殺。書法所謂揮灑，也是如此。要保持輕微的緊張和激動，有點小期待，隨時能調動已有知識，并可以多角度觀察新知識，思維能發散也能迅速收回并集中攻關。這種感覺一旦找到，妙不可言。不過重難點也要適當文火慢燉：如果教材中有令自己感到太難的思考，頭一天理解了要標記，第二天要試著不看書回憶。曾任Princeton和University of Wisconsin Madison教授，現坐鎮石溪的微分幾何大家陳秀雄先生在《初遇尤金·卡拉比》中寫道，當年導師卡拉比告訴過他：如果你不能在腦海中重復整個論證過程，那么它就沒有成為你的一部分。
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下面是幾個本科課程的經典教材：
基礎微積分：Stewart，Thomas，吉米多維奇選一個就可以。吉米可以晚一些，學數學分析時做。
基礎線性代數：Gilbert Strang的Introduction to Linear Algebra, MIT OCW上有教學視頻，作者親自講，非常非常適合入門 。
高等代數(帶證明的線代)：Friedberg的Linear Algebra。不要用那個Linear Algebra Done Right，太粗糙。
抽象代數：小丫挺(Michael Artin)的Algebra，國內張禾瑞的《近世代數基礎》很好，畢竟是小丫挺的父親丫挺先生(Emil Artin)的博士生，土豆網上有授課視頻。學有余力的看Dummit & Foote的Algebra，再牛的挑戰郎射日(Serge Lang)的Algebra。
數學分析：基礎一般的，陶哲軒的Analysis I,II很好?；A很好的用蘇聯卓里奇(Vladimir Zorich)的Mathematical Analysis I,II，這是清華基礎科學班大一數分教材。課外想自虐的用Rudin的Principles of Mathematical Analysis，即Baby Rudin。
復分析：經典的多數用Rudin的Real and Complex Analysis，不過有點小難。
實分析：這個不必看本科生專門的實分析，研究生的可以直接上，畢竟本科分析扎實的話，測度論可以直接看。上一條中Rudin的就好，另外有個Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications by Folland寫的不錯。至于釋天的三卷分析，相當難，慎用。
微分方程：常微分方程很多人推薦Arnold的，不過偏難。偏微分一定要問老師，畢竟涉及的范疇太廣了。
拓撲學：Munkres的不解釋。如果多元微積分很好，可以用Milnor的那本小冊子(Topology from the Differentiable Viewpoint)看看微分拓撲。
永遠不要用新中國成立后國內寫的數學教材，特別是同濟大學的高等數學，有知識性錯誤。
第四，打造良好的身體素質：數學是勞心的工作，如果身體素質不夠，氣血不足，將直接影響思維質量。數學牛人幾乎沒有不愛運動的：柯莫高70歲仍冬泳，注意，是莫斯科的冬天！陶哲軒騎山地車，高探蝶養牛(囧)，陳秀雄賣萌(我堅持認為他是自然萌)。說說離我們比較近的，目前清華數學系第一名劉琳媛，我高中師妹，天天長跑，全程馬拉松4小時內拿下。要想學好數學，摸爬滾打至少要喜歡一項。這里給男生推薦練習腹肌：首先這個可以天天練，作為讀書的調劑(上肢和下肢如果負重，要隔天練才不會受傷)；其次腹肌訓練能提高軀干供血，這樣在各種環境(沙發，椅子，樹上，火車或飛機上)看書都不易出現頭暈或胸悶；最后當然是能吸引妹子。每天推薦訓練量：腹肌撕裂者(Abs Ripper)或八分鐘腹肌(8 Min Abs)教程一套(網上有)，配合腿部負重(沙袋就好)；負重仰臥起坐50次每組x5組(開始可以20次每組x10組)，負重懸垂舉腿10-30每組x5組，負重俯臥挺身10-20次每組x5組。這對綜合防身也有用：常言到手是兩扇門，全靠腿打人。同樣是低位置的快速踢腿，小腿發力叫下段踢，腰胯發力叫碎骨，只有用上腹部和背部的力量，才是令人聞風喪膽的“武神強踢”。
最后祝大家都能以高效率學好數學，享受學習數學的過程。各路高人歡迎拍磚。
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本文的每條回復我都細看過，無論臧否，皆是動力。不過有一些內容，需要略作補充說明(補充說明本來另發日志，后發現整合進入原文更加直觀。原文除錯別字外一字不易，便于大家比較)：
１.這篇文章是幫助我這樣基礎不好的人學數學的，而絕非勸人做數學的。我提到的學習方法無非看書聽課做題，這些只可以供本科和碩士階段學數學用。讀論文，查資料，聽研討班才是做數學的純數學博士生的每天工作。做數學需要很多現代的數學工具，如李群論、表示論、算子代數等等，而這些我的文章中一個都沒有推薦。如果要做數學，我列的書單全做透還是談不上入門的，一定要多聽教授指點。
２.我需要重申這篇文章的讀者定位：首先是需要應用數學的理工科和社科同學，以及想學基礎數學但中學期間沒有受過系統訓練的數學系同學(奧賽可以近似看作系統的思維訓練而非數學訓練，下文詳述)。學習安排也需要明確一下：建議利用大一大二專業課不是特別重的時間(這是美國的情況，國內有些專業大一大二課程較重)，盡可能利用選課或旁聽的條件來掌握相當于國內數學系大一的數學分析和高等代數。國內這是四門課(各兩學期)，美國則是微積分兩門，基礎線形代數一門，高等代數一門，數學分析一到兩門，故為五到六門，但實際工作量并不比國內的四門更多。這個工作量對于大多數比較努力的同學應該不難達成。至于抽象代數、實分析和復分析等并非對所有理工科和社科均必需，請根據具體情況按需學習。
３．一些具體的數學內容：首先是線性代數和高等代數的區別：我當然知道這兩個學術領域范疇有差別，而不僅僅是難度和對證明的要求不同。但這里談的是課程名稱。美國的Introduction to Linear Algebra確實是數學系第一門代數類課程，接著是Linear Algebra。美國一般沒有對應于“高等代數”的“Higher Algebra”或“Advanced Algebra”的課程名稱。這兩門學完，課程進度上等同于國內學完一年高等代數，下面可以學抽象代數了。然后是Gelfand讀完EGA，我當時確實看到過一則消息這樣寫的，未加考證就直接用了，是我的失誤，在此致歉。其實Gelfand比Grothendieck要年長不少，他15歲的時候Grothendieck還在童年。
4.關于教材的推薦：有人說我推薦的都太難，請去讀Stewart 的微積分和陶哲軒的Analysis半小時，然后是否還是堅持此觀點。Rudin的書主要是思路跳躍性大，講完一個知識點馬上就要靈活運用，而且默認讀者的微積分和集合論有很好的基礎，故不適合作為第一本分析教材。而卓里奇是知識量大并且對思維考察事無巨細，需要經常查資料或有老師帶。如果這些都感到難，陶哲軒應當是最好的第一本分析教材之一，在解答的詳細度和思路的嚴謹性上都堪稱一絕。至于國內的教材的問題，主要不在定義上的錯誤，而在思路上的舍近求遠和表述上的佶屈聱牙。比如同濟版《線性代數》，上來先用一個很奇怪的“逆序數”概念來導出行列式的一個很不直觀的定義(見《理解矩陣》)。又如同濟的高等數學，這個的知識性錯誤見(http://news.cn.yahoo.com/10-03-/612/2jzpk.html)。當初我是聽我們中學數學第一高手說的。此人高一做完Baby Rudin，高考去南京大學大氣科學系，大二轉入數學系后三年畢業(總共四年，未降級)，然后去賓夕法尼亞大學從事微分幾何和動力系統的研究。他入學就去聽卡拉比的討論班并提出讓卡拉比都要思考片刻的問題。并非國內的數學教材都不好，只是每個領域，都是國外的更好一些。國外的書很多網站可以找到免費的，何必看國內的？
4.關于奧賽：奧數比起高考的數學，難度和深度上高很多，對鍛煉思維有好處。但奧賽和科研路子還是不一樣，如果是純搞奧數，到研究階段未必有大成就。陶哲軒的情況是小學時學完了澳洲的高中數學，小學高年級就在家附近的大學聽數學課，然后12歲起順手去參加奧賽。故想做數學家，比較容易達成的路子是童子功加上正統大學數學教學為主，奧賽成績如何并無決定性意義。
5.關于翻譯：無論做數學還是只學數學，都很辛苦。故娛樂萬歲。翻譯如果能博人一笑，不僅便于記憶，還能為大腦增氧。至于Grothendieck和Atiyah的封號來源：前者的自傳《收獲與播種》中用很大篇幅探討東方哲學中的陰陽辯證關系，加上他提出很多代數幾何的新概念，故得來“造化陰陽”的雅號；后者艾抵涯和辛格(I.M. Singer)提出的Atiyah-Singer Index Theorem，對分析、拓撲、微分幾何等領域都產生了深遠影響。加上艾抵涯自己帶出來Donaldson一個菲爾茲獎得主，又力挺物理學家魏愛華(Edward Witten)獲菲爾茲獎，并且喜歡幫助數學上比較后進的國家(擔任中國和巴西的最高數學刊物的顧問等等)，故送他雅號“迷津慈航”。
6.關于健身。用DNF的技能只是比喻，畢竟這幾招很有漸進性。鍛煉腹肌不僅男生可以練習，女生練也不錯。健身房里時時有女生做腹肌撕裂者。一次學校主健身房人太多，改去一個宿舍樓的健身房，遇到一個身材修長堪比超模的白人女生，腳夾20磅啞鈴做負重懸垂舉腿，一組20個。女生如果擔心長肌肉，只要不吃蛋白質粉，并且使用每組能做20次以上的較輕重量即可。
7.致謝：特別感謝加州大學伯克利分校博士陳學長的支持。陳學長研究方向為伯克利全美第一的拓撲學，該學校坐鎮三位菲爾茲獎得主：司馬棣文(Stephen Smale)，鮑澈(Richard Borcherds)，還有上世紀90年代以重要代數不變量——囧多項式(Jones Polynomial)名動數學界的大數學家囧無痕(Vaughan Jones)(近聞囧無痕和司馬棣文已離開伯克利)。特別感謝曾博同學，百忙中專門寫文章指出我文章容易產生的誤導效果，并且旁征博引，發人深省。感謝畢業于同濟大學，目前在歐洲理工圣殿Ecole Polytechnique就讀的黃回鑾學長。黃學長不僅人長得帥(不亞于劉德華)，更是心胸寬闊，盡管我批評同濟版教材,他仍是喜歡我的日志，可謂大家風范。感謝唐佳同學提供高數錯誤的具體信息。另外感謝所有批評我文章的讀者，你們的每條意見都帶給我進步。
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(本文來源：張磊老師的教學博客)
總結
以上是生活随笔為你收集整理的笨人学php好学吗_经典学经：笨人学数学的方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
