《量子計(jì)算入門》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《量子計(jì)算入門(26頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谌巳宋膸?kù)網(wǎng)上搜索。

1、量子計(jì)算 序言序言 量子力學(xué)基礎(chǔ)量子力學(xué)基礎(chǔ) 量子計(jì)算量子計(jì)算 v 量子力學(xué)對(duì)已知世界的描述是精確和完整量子力學(xué)對(duì)已知世界的描述是精確和完整 的，也是理解量子計(jì)算與量子信息的基礎(chǔ)的，也是理解量子計(jì)算與量子信息的基礎(chǔ)。 光子光子偏振實(shí)驗(yàn)偏振實(shí)驗(yàn) 狄拉克表示法狄拉克表示法 線性算子線性算子線性線性 量子力學(xué)基礎(chǔ)量子力學(xué)基礎(chǔ) 1-11-1光子的光子的偏振偏振 q 基本實(shí)驗(yàn)原理基本實(shí)驗(yàn)原理 光子是我們可以直接觀測(cè)到的唯一的微觀粒子。下 面我們將通過(guò)解釋光子及其偏振的簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)說(shuō)明量子力 學(xué)的某些原理。試驗(yàn)所需的裝置有：一個(gè)強(qiáng)光源，投影 屏和偏振片。偏振片起“過(guò)濾”作用，即水平偏振片通 過(guò)的是偏振方向是水。

2、平方向的光子，而濾掉了那些非水 平偏振方向的光子；垂直偏振片濾掉了那些非垂直偏振 方向的光子。如果把垂直偏振片插入到水平偏振片和投 影屏之間，可見(jiàn)到垂直偏振片的出射光的光強(qiáng)為零。假 設(shè)入射光的偏振方向是隨機(jī)的。 1-1-1偏振實(shí)驗(yàn)偏振實(shí)驗(yàn) 光子是我們可以直接觀測(cè)到的唯一的微觀粒子。下面我們將通過(guò) 解釋光子及其偏振的簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)說(shuō)明量子力學(xué)的某些原理。試驗(yàn)所 需的裝置有：一個(gè)強(qiáng)光源，如一臺(tái)激光光源，三個(gè)偏振片A、B和 C，其偏振方向分別是水平45和垂直。 如圖1所示，將一束光照射到投影屏上，假設(shè)入射光的偏振方向是 隨機(jī)的。首先在光源和投影屏之間插入水平偏振片，可以看到透 過(guò)A后的出射光光強(qiáng)只有其入射。

3、光光強(qiáng)的一半，而且射出的光子 現(xiàn)在都變成了水平偏振。 圖1 實(shí)驗(yàn) 1 實(shí)驗(yàn)可見(jiàn)偏振片A過(guò)濾掉了那些非水平偏振方向的光子，通 過(guò)的是偏振方向是水平方向的光子。由于偏振片A的入射光的偏 振方向是隨機(jī)的，所以入射光中偏振方向是水平方向的光子數(shù)目 極少，如果偏振片A起過(guò)濾作用，則出射光的光強(qiáng)應(yīng)該非常 弱，實(shí)際上不會(huì)是入射光的光強(qiáng)的一半。 現(xiàn)將垂直偏振片C插入到偏振片A和投影屏之間，如圖2所示，可 見(jiàn)到垂直偏振片C的出射光的光強(qiáng)為零?！斑^(guò)濾”可以解釋這一 現(xiàn)象，因?yàn)闆](méi)有偏振方向?yàn)樗椒较虻墓庾幽軌蛲ㄟ^(guò)偏振方向?yàn)?垂直的偏振片。 圖2 實(shí)驗(yàn) 2 最后，我們?cè)贏和C間插入偏振方向?yàn)?5的偏振片B，如圖3所示。

4、，可 看到投影屏上的一些微弱的光，它的光強(qiáng)正好是光源光強(qiáng)的1/8。 圖3 實(shí)驗(yàn) 3 2.1.2 實(shí)驗(yàn)解釋實(shí)驗(yàn)解釋 如果我們使用兩個(gè)基向量 |和|分別表示垂直偏振方向和水平 偏振方向，那么任意一個(gè)隨機(jī)的偏振方向都可以用這兩個(gè)基向量 的線性組合形式表示： a | + b | (1.1) 其中，a和b表示復(fù)數(shù)，而且 + =1。在量子力學(xué)中，兩個(gè)基向量 |和|被稱作本征態(tài)。 我們感興趣的是光子的偏振方向，所以可以把一個(gè)光子的偏振狀 態(tài)表示為上述形式。實(shí)際上，任意兩個(gè)相互正交的非零單位向量 都可以作為狀態(tài)空間的基。 對(duì)量子狀態(tài)的測(cè)量要求把該狀態(tài)分別投影到其對(duì)應(yīng)的正交基上， 如圖4所示。 對(duì)量子狀態(tài)的測(cè)量。

5、要求把該狀態(tài)分別投影到其對(duì)應(yīng)的正交基上， 如圖4所示。 圖4 投影在基上的量子態(tài)的測(cè)量 對(duì)該狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量的時(shí)候，觀測(cè)到狀態(tài)|的概率為 ，而觀測(cè)到狀 態(tài)|的概率為 。由于測(cè)測(cè)量在相互正交的基上進(jìn)行的，所以若 不特別說(shuō)明的話，所有的基均指的是正交的。 另外，對(duì)量子態(tài)的測(cè)量還將使被測(cè)量的量子態(tài)改變?yōu)闇y(cè)量結(jié)果所 表示的態(tài)。也就是說(shuō)，如果我們對(duì)量子態(tài) | = a | + b |進(jìn)行 測(cè)量所得的結(jié)果是|，那么量子態(tài)|就變成了 |，如果再用相 同的基進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果一定還是態(tài)|。由此可見(jiàn)，除非被測(cè) 量的量子態(tài)是被測(cè)力學(xué)量的一個(gè)本征態(tài)，否則任何測(cè)量都會(huì)改變 量子態(tài)，而且不能由改變后的量子態(tài)推知原來(lái)的量子態(tài)。。

6、 現(xiàn)在我們用上述量子力學(xué)原理解釋前面的偏振試驗(yàn)。插入偏振片 可以看成是對(duì)光子的量子態(tài)進(jìn)行一次測(cè)量。在測(cè)量的兩個(gè)正交基 中，一個(gè)與偏振片的偏振方向相同，而另一個(gè)與偏振片的偏振方 向垂直。該測(cè)量將改變光子的偏振方向。只有那些測(cè)量后的偏振 方向與偏振片的偏振方向一致的光子才能通過(guò)偏振片，而其它光 子被偏振片反射回去了。例如，偏振片A用基|來(lái)測(cè)量光子的量 子態(tài)，那么有的光子的量子態(tài)在測(cè)量后變成了|，有的光子的 量子態(tài)在測(cè)量后變成了|，只有偏振方向?yàn)閨的光子才能通過(guò) 偏振片A，而所有偏振方向?yàn)閨的光子則全被反射回去了。 假設(shè)光源產(chǎn)生的光子的偏振方向是隨機(jī)的，各種偏振方向的光子 出現(xiàn)的概率相同，那么這些光。

7、子的量子態(tài)經(jīng)過(guò)偏振片A后，光子 狀態(tài)被偏振片A、B和C改變的概率為50。所以，偏振方向變?yōu)?水平方向的光子占所有光子的50，這些光子的量子態(tài)為|， 它們通過(guò)偏振片A。而偏振片C用基|來(lái)對(duì)量子態(tài)為|的光子進(jìn) 行測(cè)量，光子狀態(tài)改變的概率為0，其量子態(tài)仍然保持|。所以 沒(méi)有任何光子通過(guò)偏振片C，從而偏振片C的出射光強(qiáng)為0。 在A和C間插入偏振片B時(shí)，由于偏振片B的正交基可以表示為： (| + | ), (| | ) (1.2) 我們把它們寫為：| ,| 。量子態(tài)為| 的光子將通過(guò)偏振 片B。因此，通過(guò)偏振片A后量子態(tài)為| 的光子被偏振片B測(cè)量， 光子狀態(tài)改變的概率為50，其中有50的光子狀態(tài)變成| 。

8、， 也就是說(shuō)通過(guò)偏振片A的光子中有50可以通過(guò)偏振片B。同樣， 通過(guò)偏振片B的光子被偏振片C測(cè)量后，其中有50的光子狀態(tài)變 成 |。所以，能夠通過(guò)偏振片A、B和C，最終到達(dá)投影屏的光 子數(shù)量是光源產(chǎn)生的光子數(shù)量的1/8。因此投影屏的光強(qiáng)是光源的 1/8。 從這個(gè)實(shí)驗(yàn)中我們可以看到，量子態(tài)可以是本征態(tài)，也可以是疊 加態(tài)。若將通過(guò)偏振片看作測(cè)量，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，量子態(tài)經(jīng)過(guò)測(cè)量 會(huì)發(fā)生狀態(tài)塌縮，由最初的狀態(tài)塌縮到測(cè)量給出的狀態(tài)上。 2 1 2 1 q態(tài)的疊加態(tài)的疊加 如果我們使用兩個(gè)基向量|和|分別表示垂直 偏振方向和水平偏振方向，那么任意一個(gè)隨機(jī)的偏振 方向(任意一個(gè)態(tài)) 都可以用這兩個(gè)基向量的線性組。

9、合 形式表示： a | + b | (2.1) 其中，a和b表示復(fù)數(shù)，而且 |a| + |b| =1。在量子力學(xué) 中，兩個(gè)基向量 | 和 | 被稱作本征態(tài)。 我們感興趣的是光子的偏振方向, 所以可以把一個(gè) 光子的偏振狀態(tài)表示為上述形式。實(shí)際上，任意兩個(gè) 相互正交的非零單位向量都可以作為狀態(tài)空間的基。 22 基態(tài)測(cè)量基態(tài)測(cè)量 對(duì)量子狀態(tài)的測(cè)量要求把該狀態(tài)分別投影到其對(duì) 應(yīng)的正交基(本征態(tài))上，如圖1所示。 圖 1 投影在基上的量子態(tài)的測(cè)量 對(duì)該狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量的時(shí)候，觀測(cè)到狀態(tài)|的概率 為|a| ，而觀測(cè)到狀態(tài)|的概率為|b| 。 22 由于測(cè)量在相互正交的基上進(jìn)行的，所以若不特 別說(shuō)明的話，所有的。

10、基均指的是正交的。 另外，對(duì)量子態(tài)的測(cè)量還將使被測(cè)量的量子態(tài)改 變?yōu)闇y(cè)量結(jié)果所表示的態(tài)。也就是說(shuō)，如果我們對(duì)量 子態(tài) | = a | + b |進(jìn)行測(cè)量所得的結(jié)果是|， 那么量子態(tài)|就變成了 |，如果再用相同的基進(jìn) 行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果一定還是態(tài)|。 從這個(gè)實(shí)驗(yàn)中我們可以看到，量子態(tài)可以是本征 態(tài)，也可以是疊加態(tài)。若將通過(guò)偏振片看作測(cè)量，你 就會(huì)發(fā)現(xiàn)，量子態(tài)經(jīng)過(guò)測(cè)量會(huì)發(fā)生狀態(tài)塌縮，由最初 的狀態(tài)塌縮到測(cè)量給出的狀態(tài)上。 1-2 狀態(tài)空間和狀態(tài)空間和狄拉克表示法狄拉克表示法 一個(gè)量子系統(tǒng)的狀態(tài)空間由各種粒子的位置、 動(dòng)量、偏振、自旋等組成，并且隨時(shí)間的演化過(guò)程 遵循 Schrdinger 方程，而它。

11、的狀態(tài)空間可以用波 函數(shù)的Hilbert空間來(lái)描述。對(duì)于量子計(jì)算，我們不 必考慮這些波函數(shù)的細(xì)節(jié)。只需涉及有限的量子系 統(tǒng)和考慮由抽象波函數(shù)如|張成的，具有內(nèi)積的 有限維復(fù)向量空間。 量子力學(xué)系統(tǒng)由Hilbert空間的向量表示，表示 量子態(tài)的向量稱為狀態(tài)向量。 1-2-1 狄拉克符號(hào)狄拉克符號(hào) 一般量子狀態(tài)空間和作用在其上的變換可以使 用向量、矩陣來(lái)描述，而物理學(xué)家狄拉克提出了一 套更為簡(jiǎn)潔的符號(hào) (bra/ket) 表示狀態(tài)向量。使用 稱為右矢(ket)的符號(hào)| x表示量子態(tài)，使用稱為左 矢(bra)的符號(hào)共軛轉(zhuǎn)置。 例如， 一個(gè)二維復(fù)向量空間的正交基可以表 示為|0,|1。任意向量 都可以。

12、表示為|0 和|1的線性組合a|0 + b|1。 T T T ba ),( T 1-2-2 內(nèi)積和外積表示內(nèi)積和外積表示 兩個(gè)向量 |x 和 |y 的內(nèi)積記為 。例如，對(duì)于 基|0,|1有 =1，=0。 兩個(gè)向量 |x 和|y 的外積記為 |x ,|1 ，由于 | 0 = | 0 | 0 = 因此，|0對(duì)轉(zhuǎn)換為|0，對(duì)而將 |0轉(zhuǎn)換 的變換。 0 0 T )0 , 0( 例子例子 0 1 如果令|0 = ，|1 = ，那么有 0 | = (1,0), 和| 1的變換。 T )0,1( T )1 ,0( 0 0 0 1 1-3 1-3 線性算子線性算子 算子是向量空間的一個(gè)重要概念。 在量子力學(xué)。

13、中出現(xiàn)的算子大多為線性算子。 一些重要算子的概念 定義1 設(shè)V 為向量空間，A 為函數(shù)，A：VV。A稱為V上的的線性算 子當(dāng)且僅當(dāng)下式成立 在復(fù)向量空間中，一個(gè)線性算子A 可被寫為如下nn的矩陣 A | 注：線性算子一般滿足可加性和連續(xù)性，只滿足前者為加法算子。 |)(|)(|)|(AAAAAA ji ij jia , | 其它算子定義 * )( T AA AA IAAAA | 定義2 算子 稱為A 的伴隨算子。 定義3 如果算子A 滿足 ，則A 稱為厄米(Hermitian)算子。 定義4 如果算子A 滿足 ，則A 稱為酉算子。 將一個(gè)酉算子作用于一個(gè)向量空間的全部向量，對(duì)其中任意向 量 ，。

14、得到一個(gè)新向量 ，這一操作稱為向量的酉變換。酉變換 不改變向量的模，也不改變兩向量的內(nèi)積，因此不改變其正交關(guān)系。 定義5 投影算子(projector) 在空間中取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 ，投影算子 ，作用到 上得到 ，這是基 乘以向量 在 上的分量 ，實(shí)際上這是 在 上的投影。 稱為投向 子空間的 投影算子 。 | i|iiP i | | i P| ii i | i | | i| i | i P i | 1-4 Schrdinger方程方程 封閉量子系統(tǒng)的演化由Schrdinger方程描述。該方程是量子系統(tǒng) 狀態(tài)演化的基本規(guī)律，也是量子計(jì)算所遵循的基本規(guī)律。當(dāng)量子 系統(tǒng)沒(méi)有測(cè)量的時(shí)候，系統(tǒng)遵循這基本。

15、規(guī)律進(jìn)行持續(xù)的。 (1.3) 其中Plank常數(shù) ，實(shí)際應(yīng)用中取 。H 是Hamiltonian算子，該算子 與特定的物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，也就是說(shuō)它的具體的形式(或近似 形式)由描述這系統(tǒng)的物理原理確定。 如果我們已知這系統(tǒng)在時(shí)間 t = 0 某一初態(tài) ，我們可以定義一個(gè) 算子 U(t)，使得 (1.4) 于是得到算子方程 (1.5) 方程的解為 (1.6) |H t i 00 | )(| )(tU t itHU| )0(U )()(tU t itHU 0 )( ! 1 )( n nnniHt Hti n etU 量子計(jì)算機(jī)基本信息表示量子計(jì)算機(jī)基本信息表示 量子門量子門 量子并行性量子并行性。

16、 量子計(jì)算量子計(jì)算 2-1 量子計(jì)算機(jī)基本信息表示量子計(jì)算機(jī)基本信息表示 如果我們把數(shù)據(jù)送入計(jì)算機(jī)處理，就必須把數(shù)據(jù)表示 成計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別的形式。在經(jīng)典的計(jì)算機(jī)中，信息 單元用二進(jìn)制的1個(gè)位來(lái)表示，它不是處于0態(tài)就 是處于1態(tài)。在二進(jìn)制量子計(jì)算機(jī)中，信息單位稱 為量子位(Qubit)，它除了處于0態(tài)或 1態(tài)外， 還可處于疊加態(tài)。這是兩者重要區(qū)別之一。 n個(gè)量子位的有序集合稱為n位量子寄存器。它的態(tài)是n 個(gè)量子位態(tài)的張量積(即直積)。 2-1-1 2-1-1 量子位量子位 一個(gè)量子位是定義在二維復(fù)向量空間的一個(gè)單位向量。該空間 由一對(duì)特定的標(biāo)準(zhǔn)正交基 | 0， | 1 張成。這兩個(gè)基可以分別對(duì) 。

17、應(yīng)光子的偏振方向 |和|，或偏振方向| 和 | ，也可對(duì)應(yīng)電 子的自旋向上(spin-up)和自旋向下(spin-down)狀態(tài)。 取基態(tài)(本征態(tài)) | 0 和 | 1 對(duì)應(yīng)經(jīng)典的位 0 和 1 進(jìn)行編碼。量 子位可以處在| 0 和 | 1的疊加態(tài) a|0 + b|1。讀取包含在量子位 的信息只有通過(guò)測(cè)量得到。 當(dāng)測(cè)量一個(gè)量子位(都對(duì)應(yīng)的基 )時(shí)，量子位的疊加態(tài)就會(huì)變成 它的一個(gè)本征態(tài)。因此測(cè)量的結(jié)果一定是此次測(cè)量相應(yīng)的兩個(gè)基中 的一個(gè) 。 測(cè)量會(huì)改變量子位的狀態(tài)，因此不能用不同的基測(cè)量同一態(tài)。 在量子計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，表示計(jì)算機(jī)狀態(tài)的寄存器稱為量子寄 存器。它不同與經(jīng)典計(jì)算機(jī)的寄存器。首先所有的。

18、計(jì)算數(shù)據(jù)全部 保存在量子寄存器中，執(zhí)行計(jì)算的時(shí)候，量子變換作用在這個(gè)量 子寄存器上，完成的結(jié)果仍然保存在這個(gè)量子寄存器中。 經(jīng)典存儲(chǔ)器(n位)和量子寄存器，若它們能表示2 個(gè)狀態(tài)， 但在某一時(shí)刻，前者只能保存2 態(tài)中的一個(gè)，后者卻能保存這2 個(gè)狀態(tài)。 如果量子寄存器中保存 2 個(gè)狀態(tài)，并且是一個(gè)疊加態(tài)。在沒(méi) 有對(duì)它進(jìn)行測(cè)量時(shí)，它以不同的概率處于這些基本狀態(tài)中，但是 一旦對(duì)量子寄存器進(jìn)行測(cè)量，它的狀態(tài)就會(huì)發(fā)生塌縮，變成了這 2 個(gè)狀態(tài)中的一個(gè)。 注： n個(gè)量子位(量子比特)的有序集合稱為量子寄存器。它的 態(tài)是n個(gè)量子位的張量積(直積)。 n n n nn 量子寄存器 2-2 2-2 量子門量子門。

19、 到目前為止，我們看到的僅僅是在測(cè)量時(shí)狀態(tài)才會(huì)改 變的靜態(tài)量子系統(tǒng)。而一個(gè)量子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性在其未被 測(cè)量前要滿足 Schrdinger 方程，動(dòng)態(tài)過(guò)程必須保證正交 的方法從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一狀態(tài)，在復(fù)向量空間上保持 正交的線性變換是酉變換。 在復(fù)向量空間上的任何線性變換都可以用一個(gè)矩陣來(lái) 描述。設(shè) 是矩陣M的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，若 ，則 M 是一個(gè)酉變換。一個(gè)量子態(tài)空間上的任何酉變換都是合 法的量子變換，反之亦然。酉變換的一個(gè)重要特點(diǎn)就是這 些變換都是可逆的，因此量子變換也必須是可逆的。 * M IMM * 2-3 2-3 量子并行性量子并行性 量子并行性(quantum parallelism)概念 量子并行性是許多量子算法的一個(gè)基本特征，簡(jiǎn)言之，量子 并行性使量子計(jì)算機(jī)可以同時(shí)計(jì)算函數(shù) f(x) 在許多不同的 x 處的 值。 我們已知 是一個(gè)線性變換。如果將 作用于某個(gè)疊加態(tài)， 它將會(huì)同時(shí)作用于該疊加態(tài)的所有基向量，并且把對(duì)所有基向量 的作用結(jié)果進(jìn)行疊加，產(chǎn)生一個(gè)新的疊加態(tài)。由此可見(jiàn)，用此方 法計(jì)算函數(shù) f(x)，只需應(yīng)用一次 就可同時(shí)計(jì)算出 x 取 n 個(gè)不 同值時(shí)的結(jié)果。這種效果稱之為量子并行性。 量子算法的強(qiáng)大能力來(lái)源于量子并行性。 f U f U f U 謝謝！。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的量子计算机需要的基础,量子计算入门的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。