?b站背包問題專題講解

背包問題入門看《圖解算法》中9.1“背包問題”章節較好理解

背包問題目錄

• ==一、01背包問題==
• • 輸入格式
  • 輸出格式
  • 數據范圍
  • 輸入樣例
  • 輸出樣例
• ==二、完全背包問題==
• ==三、多重背包問題 1==
• • 輸入樣例
  • 輸出樣例
• ==四、多重背包問題 2==
• • 數據范圍
• ==五、多重背包問題 3 終極版== 男人八題之一
• • 數據范圍
• ==六、混合背包問題==
• • 輸入格式
  • 輸出格式
  • 數據范圍
  • 輸入樣例
  • 輸出樣例：
• ==七、二維費用背包問題==
• • 輸入格式
  • 輸出格式
  • 數據范圍
  • 輸入樣例
  • 輸出樣例
• ==八、分組背包問題==
• • 輸入格式
  • 輸出格式
  • 數據范圍
  • 輸入樣例
  • 輸出樣例：

一、01背包問題

有 N 件物品和一個容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的體積是v_i，價值是 w_i。

求解將哪些物品裝入背包，可使這些物品的總體積不超過背包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。

輸入格式

第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品數量和背包容積。

接下來有 N 行，每行兩個整數 v_i,w_i，用空格隔開，分別表示第 i 件物品的體積和價值。

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

數據范圍

0 < N，V ≤ 1000
0 < v_i，w_i ≤ 1000

輸入樣例

4 5 1 2 2 4 3 4 4 5

輸出樣例

8 #二維動態規劃 f[i][j]表示只看前i個物品，總體積是j的情況下，總價值最大是多少 result = max{f[n][0~V]} f[i][j]: 1.不選第i個物品，f[i][j] = f[i - 1][j] 2.選第i個物品，f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] f[i][j] = max{1,2,} 初始化：f[0][0] = 0; #include<stdio.h> int max(int a,int b){if(a>=b) return a;else return b; } int main(){int N=500;int n,m; //n是物品數，m是背包體積int f[N][N];int v[N],w[N];scanf("%d %d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++){f[i][j] = f[i-1][j];if(j >= v[i])f[i][j] = max(f[i][j], w[i] + f[i-1][j-v[i]]);}printf("%d",f[n][m]);return 0; }

我們發現每次再對新的一行進行計算時，只用到了上一行的信息，那么我們可以嘗試把二維背包變為一維，如下：

int f[N];int v[N],w[N];scanf("%d %d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=m;j>=v[i];j--) //我們每次運用到的上一行的信息都在前面的位置，為了防止覆蓋掉，所以要從大到小f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);

?1.不管背包是否裝滿的所有可能中價值最大的，此類問題的二維數組應初始化全部為0。
2.要求背包必須恰好裝滿， 這樣需要把f [ 0 ] [ 0 ~ m] 初始化為0， 其余初始化為負無窮。保證結果一定是從f [0][x]傳遞過來。(0體積的背包)

二、完全背包問題

現在每一個物體都有無限個啦！可以重復選，其余部分與上一題完全相同。

直接一維背包開搞！ f[i] 表示總體積為i的情況下，最大價值是多少 result = f [m]

之前的代碼是上面一行傳遞給下面一行，這次是同一行中前一列的最大價值和上面一行的同一列 傳遞給后一個

實現如下：

for(int i = 0;i < n; i++) {for(int j = v[i]; j <= m; j++) //從小到大f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); }

三、多重背包問題 1

多了一個條件，第 i 種物品最多有 s_i 件

輸入樣例

分別對應 v_i，w_i ，s_i

4 5 1 2 3 2 4 1 3 4 3 4 5 2

輸出樣例

10 f[i] 總體積是i的情況下，最大價值是多少for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = m; j >= v[i]; j--)f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i], f[j - 2 * v[i]] + 2 * w[i]...); //到s[i]個 做個循環 } 1. f[i] = 0; 所有初始化為0result = f[m] 2. f[0] = 0; 其余初始化為復無窮 恰好裝滿result = max{f[0...m]}

可以由01背包修改而來，只不過要多一個循環對于每一件物體拿不同數量的比較

#include<stdio.h> int max(int a,int b){if(a>=b) return a;else return b; } int n,m; int f[110]; int main(){scanf("%d %d",&n,&m);for(int i=0 ; i<n ;i++){int v,w,s;scanf("%d%d%d",&v,&w,&s);for(int j=m ; j>=0 ; j--){for(int k=1 ; k<=s && k*v <= j ; k++){f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);}}}printf("%d",f[m]); }

四、多重背包問題 2

數據范圍

0 < N ≤ 1000
0 < V ≤ 2000
0 < v_i,w_i,s_i ≤2000

與上一道問題完全一樣，是多重背包的二進制優化方法 ，可以算數量級更大的輸入

可以把每種物體拆開為 s_！個，從而轉換為01背包問題看， 但數量級還是很大，用二進制拆法

給定任意數x，最少選多少個數，可以拼成<=x 的所有的數呢 ?
答案是 log₂（x） 的上取整
eg：
x = 7 選 1，2，4即可表示<=7的所有數字 7 = 1+2+4
x=10 選 1，2，4，3即可

這樣我們就不需要把同一種物體拆稱 s_i 個，而是拆成log₂(s_i)上取整個物體，復雜度降低

#include<stdio.h> int max(int a,int b){if(a>=b) return a;else return b; } struct GOOD{ //創建物體結構體，用來創建拆出來的新物體 int v,w; }; int f[2010]; int n,m; int main(){struct GOOD goods[100000]; int t = 1; //放入goods結構體數組的計數器 scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0 ; i<n ; i++){int v,w,s;scanf("%d%d%d",&v,&w,&s);for(int k=1 ; k<=s ; k*=2){s -= k;goods[t].v = v*k;goods[t].w = w*k;t ++; }if(s>0) { //用來對應 10被分為 1,2,4,3的1情況 goods[t].v = v*s;goods[t].w = w*s;t++;}}for(int i=0 ; i<t ; i++) {for(int j=m ; j>=goods[i].v ; j--)f[j] = max(f[j], f[j - goods[i].v] + goods[i].w);}printf("%d",f[m]); }

五、多重背包問題 3 終極版 男人八題之一

數據范圍

0 < N ≤ 1000
0 < V ≤ 20000
0 < v_i,w_i,s_i ≤ 20000

現在數量級超級大，用二進制優化方法也頂不住了

單調隊列優化方法 #我現在還不會等我學完了回來補充
大佬題解

這是多重背包問題1的代碼 for(int i=0 ; i<n ;i++){int v,w,s;scanf("%d%d%d",&v,&w,&s);for(int j=m ; j>=0 ; j--){for(int k=1 ; k<=s && k*v <= j ; k++){f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);}}}

六、混合背包問題

有 N 種物品和一個容量是 V 的背包。

物品一共有三類：

第一類物品只能用1次（01背包）；
第二類物品可以用無限次（完全背包）；
第三類物品最多只能用 s_i 次（多重背包）；
每種體積是 v_i，價值是 w_i。

求解將哪些物品裝入背包，可使物品體積總和不超過背包容量，且價值總和最大。
輸出最大價值。

輸入格式

第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品種數和背包容積。

接下來有 N 行，每行三個整數 v_i, w_i, s_i，用空格隔開，分別表示第 i 種物品的體積、價值和數量。

s_i = ?1 表示第 i 種物品只能用 1 次；
s_i = 0 表示第 i 種物品可以用無限次；
s_i > 0 表示第 i 種物品可以使用 s_i 次；

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

數據范圍

0 < N, V ≤ 1000
0 < v_i, w_i ≤ 1000
?1 ≤ s_i ≤ 1000

輸入樣例

4 5 1 2 -1 2 4 1 3 4 0 4 5 2

輸出樣例：

8

先判斷這個物體屬于哪一類，然后按那一類去轉移

遇到01背包或者完全背包就直接存下來，如果是多重背包就拆成log₂個存入

#include<stdio.h> int max(int a,int b){if(a>=b) return a;else return b; } int n,m; int f[1010];struct GOOD{int kind;int v;int w; };struct GOOD goods[10010]; int t=1; int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0; i<n ;i++){ //錄入物體數組int v,w,s;scanf("%d%d%d",&v,&w,&s);if(s<0) {goods[t].kind=-1;goods[t].v=v;goods[t].w=w;t++;}else if(s==0){goods[t].kind=0;goods[t].v=v;goods[t].w=w; t++;}else{for(int k=1; k<=s ; k*=2){s -= k;goods[t].kind = -1; //拆完以后就變成01背包了 ,所以是-1 goods[t].v = v*k;goods[t].w = w*k;t++;}if(s>0){goods[t].kind = -1; goods[t].v = v*s;goods[t].w = w*s;t++;}}}//遍歷物體數組for(int i=1 ; i<t ; i++){ if(goods[i].kind < 0){ //01背包從大到小 for(int j=m ; j>=goods[i].v ; j--) {f[j] = max(f[j], f[j-goods[i].v] + goods[i].w);}}else{ //完全背包從小到大 for(int j=goods[i].v ; j<=m ; j++){f[j] = max(f[j], f[j-goods[i].v] + goods[i].w);} }}printf("%d",f[m]); }

七、二維費用背包問題

有 N 件物品和一個容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。

每件物品只能用一次。體積是 v_i，重量是 m_i，價值是 w_i。

求解將哪些物品裝入背包，可使物品總體積不超過背包容量，總重量不超過背包可承受的最大重量，且價值總和最大。
輸出最大價值。

輸入格式

第一行三個整數，N , V , M，用空格隔開，分別表示物品件數、背包容積和背包可承受的最大重量。

接下來有 N 行，每行三個整數 v_i, m_i, w_i，用空格隔開，分別表示第 i 件物品的體積、重量和價值。

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

數據范圍

0 < N ≤ 1000
0 < V, M ≤ 100
0 < v_i, m_i ≤100
0 < w_i ≤ 1000

輸入樣例

4 5 6 1 2 3 2 4 4 3 4 5 4 5 6

輸出樣例

8

---

f[i][j] 為體積是i，重量是j時背包的最大價值。

就是把質量看成和體積同等地位的一種限制條件，再來次循環 ，若再多一個限制條件就變成三維數組即可

#include<stdio.h> int max(int a,int b){if(a>=b) return a;else return b; } int f[110][110]; int main(){int n,v,m;scanf("%d %d %d",&n,&v,&m);for(int i=0;i<n;i++){int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);for(int j=v;j>=a;j--)for(int k=m;k>=b;k--) //就是把質量看成和體積同等地位的一種限制條件，再來次循環 f[j][k]=max(f[j][k],f[j-a][k-b]+c);}printf("%d",f[v][m]); }

八、分組背包問題

有 N 組物品和一個容量是 V 的背包。

每組物品有若干個，同一組內的物品最多只能選一個。
每件物品的體積是 v_ij，價值是 w_ij，其中 i 是組號，j 是組內編號。

求解將哪些物品裝入背包，可使物品總體積不超過背包容量，且總價值最大。

輸出最大價值。

輸入格式

第一行有兩個整數 N，V，用空格隔開，分別表示物品組數和背包容量。

接下來有 N 組數據：

每組數據第一行有一個整數 S_i ，表示第 i 個物品組的物品數量；
每組數據接下來有 S_i 行，每行有兩個整數 v_ij , w_ij ，用空格隔開，分別表示第 i 個物品組的第 j 個物品的體積和價值；

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

數據范圍

0 < N, V ≤ 100
0 < S_i ≤ 100
0 < v_ij, w_ij ≤ 100

輸入樣例

3 5 2 1 2 2 4 1 3 4 1 4 5

輸出樣例：

8 f[i][j] 為前i組物品，體積是j的情況下，背包的最大價值 //很像01背包問題，只是其中每個物品都可以在此細分并且要選出其中最優的那個 for（int i = 0; i<n ; i++）{ //循環每一組for(int j=m;j>=v;j--){ //循環體積for() //循環組中每一個物品 , 也可以一個不選f[j] = max(...);} }

多重背包問題是分組背包問題的特殊情況，多重背包問題是每一個物體有s+1種選法（不選，和選1到s個），可以想象把這s+1種選法變成s個物體打包成一個物體組變為分組背包問題，分組背包問題也是s+1種，但沒法優化。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的背包问题 c语言版的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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