一、▽ 算子、點(diǎn)積、叉積

l▽ 算子叫“del”算子，即<< span="">?/?x,?/?y,?/?z>,可以理解為一個(gè)符號(hào)向量，向量里的元素是偏微分運(yùn)算符號(hào)，沒有任何具體意義，只是一個(gè)表示方法。

ln維向量的內(nèi)積定義如下：

(常用的3維空間定義)

?? 對(duì)于二維和三維空間，點(diǎn)積的幾何定義為：

這個(gè)運(yùn)算可以簡(jiǎn)單地理解為：在點(diǎn)積運(yùn)算中，第一個(gè)向量投影到第二個(gè)向量上

l向量積，數(shù)學(xué)中又稱外積、叉積，物理中稱矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運(yùn)算。與點(diǎn)積不同，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)向量而不是一個(gè)標(biāo)量,其常見的各種定義如下:

名稱	標(biāo)積/內(nèi)積/數(shù)量積/點(diǎn)積	矢積/外積/向量積/叉積
運(yùn)算式	a·b=|a||b|·cosθ	a×b=c，其中|c|=|a||b|·sinθ，c的方向遵守右手定則
幾何意義	向量a在向量b方向上的投影與向量b的模的乘積	c是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ為高、|a|為底的平行四邊形的面積
運(yùn)算結(jié)果的區(qū)別	標(biāo)量(常用于物理)/數(shù)量(常用于數(shù)學(xué))	矢量(常用于物理)/向量(常用于數(shù)學(xué))

二、梯度、散度、旋度

有了▽算子，梯度、散度、旋度都可以用▽向量來表示。

1.梯度 gradient

函數(shù)f(x,y,z)(標(biāo)量)的梯度可以理解為▽向量與函數(shù)f的乘積,即：

梯度的定義:在標(biāo)量場(chǎng)f中的一點(diǎn)處存在一個(gè)矢量grad(f),該矢量方向?yàn)閒在該點(diǎn)處變化率最大的方向,其模也等于這個(gè)最大變化率的數(shù)值,則矢量grad(f)稱為標(biāo)量場(chǎng)f的梯度。因此,梯度是矢量。

2.散度 divergence

散度可用于表征空間各點(diǎn)矢量場(chǎng)發(fā)散的強(qiáng)弱程度，物理上，散度的意義是場(chǎng)的有源性。當(dāng)div F>0 ，表示該點(diǎn)有散發(fā)通量的正源(發(fā)散源)；當(dāng)div F<0 表示該點(diǎn)有吸收通量的負(fù)源(洞或匯)；當(dāng)div F=0，表示該點(diǎn)無源。

散度可以表示為▽向量與矢量場(chǎng)F的點(diǎn)積,散度是標(biāo)量：

l運(yùn)算法則

l不同坐標(biāo)系下的散度表達(dá)式

矢量V的散度在笛卡爾坐標(biāo)(直角坐標(biāo)系)下的表達(dá)式：

矢量V的散度在球坐標(biāo)下的表達(dá)式：

矢量V的散度在柱坐標(biāo)下的表達(dá)式：

3.旋度 curl

定義向量場(chǎng)的旋度，首先要引入環(huán)量(或稱為旋渦量)的概念。給定一個(gè)三維空間中的向量場(chǎng)u以及一個(gè)簡(jiǎn)單閉合有向(平面)曲線L,u沿著曲線的環(huán)量就是u沿著路徑的閉合曲線L的點(diǎn)積的積分：

其中曲線上的線元 dr是矢量，方向是曲線的切線方向，其正方向規(guī)定為使得閉合曲線所包圍的面積在它的左側(cè)。

環(huán)量和通量一樣，是描述向量場(chǎng)的重要參數(shù)。某個(gè)區(qū)域中的環(huán)量不等于零，說明這個(gè)區(qū)域中的向量場(chǎng)表現(xiàn)出環(huán)繞某一點(diǎn)或某一區(qū)域旋轉(zhuǎn)的特性。旋度則是局部地描述這一特性的方法。為了描述一個(gè)向量場(chǎng)在一點(diǎn)附近的環(huán)量，將閉合曲線收小，使它包圍的面元的面積趨于零。向量場(chǎng)u沿著L的環(huán)量和面元的比值在趨于零時(shí)候的極限值：

為的所在平面的法向量

向量場(chǎng)的旋度記作：

l直角坐標(biāo)系

l圓柱坐標(biāo)系

l球坐標(biāo)系

三、線積分、面積分、散度定律、斯托克斯定理

l線積分

上圖中，F是空間中的矢量場(chǎng)， C是含有方向的線段。則?F對(duì)C的積分(理解為物理上的功)可以表示為：

l面積分

上圖中，S表示空間中一個(gè)曲面，n?表示曲面的法向量(兩個(gè)方向中選一個(gè))。則矢量?F對(duì)曲面S的積分表示通量(Flux)，即：

lGauss-Green 定理(散度定理)

如果S是空間中的封閉曲面，包裹了一個(gè)區(qū)域D，法向量n?

n^向外，?F在D的每一個(gè)區(qū)域都定義且可微，則下式成立：

l斯托克斯定理(Stokes)定理

如果C是一個(gè)封閉曲線，S是以C為邊的任意曲面，F在S上有定義，n?為滿足右手定則方向向外，則有如下公式：

四、麥克斯韋方程組

1. 積分形式的麥克斯韋方程組是描述電磁場(chǎng)在某一體積或某一面積內(nèi)的數(shù)學(xué)模型。表達(dá)式為：

l式①是由安培環(huán)路定律推廣而得的全電流定律，其含義是：磁場(chǎng)強(qiáng)度H沿任意閉合曲線的線積分，等于穿過此曲線限定面積的全電流。等號(hào)右邊第一項(xiàng)是傳導(dǎo)電流．第二項(xiàng)是位移電流。

l式②是法拉第電磁感應(yīng)定律的表達(dá)式，它說明電場(chǎng)強(qiáng)度E沿任意閉合曲線的線積分等于穿過由該曲線所限定面積的磁通對(duì)時(shí)間的變化率的負(fù)值。這里提到的閉合曲線，并不一定要由導(dǎo)體構(gòu)成，它可以是介質(zhì)回路，甚至只是任意一個(gè)閉合輪廓。

l式③表示磁通連續(xù)性原理，說明對(duì)于任意一個(gè)閉合曲面，有多少磁通進(jìn)入曲面就有同樣數(shù)量的磁通離開。即B線是既無始端又無終端的；同時(shí)也說明并不存在與電荷相對(duì)應(yīng)的磁荷。

l式④是高斯定律的表達(dá)式，說明在時(shí)變的條件下，從任意一個(gè)閉合曲面出來的D的凈通量，應(yīng)等于該閉曲面所包圍的體積內(nèi)全部自由電荷之總和。

2. 微分形式的麥克斯韋方程組。微分形式的麥克斯韋方程是對(duì)場(chǎng)中每一點(diǎn)而言的。應(yīng)用del算子，可以把它們寫成

l式⑤是全電流定律的微分形式，它說明磁場(chǎng)強(qiáng)度H的旋度等于該點(diǎn)的全電流密度(傳導(dǎo)電流密度J與位移電流密度之和)，即磁場(chǎng)的漩渦源是全電流密度，位移電流與傳導(dǎo)電流一樣都能產(chǎn)生磁場(chǎng)。

l式⑥是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式，說明電場(chǎng)強(qiáng)度E的旋度等于該點(diǎn)磁通密度B的時(shí)間變化率的負(fù)值，即電場(chǎng)的渦旋源是磁通密度的時(shí)間變化率。

l式⑦是磁通連續(xù)性原理的微分形式，說明磁通密度B的散度恒等于零，即B線是無始無終的。也就是說不存在與電荷對(duì)應(yīng)的磁荷。

l式⑧是靜電場(chǎng)高斯定律的推廣，即在時(shí)變條件下，電位移D的散度仍等于該點(diǎn)的自由電荷體密度。

除了上述四個(gè)方程外，還需要有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系式，才能最終解決場(chǎng)量的求解問題。式中ε是媒質(zhì)的介電常數(shù)，μ是媒質(zhì)的磁導(dǎo)率，σ是媒質(zhì)的電導(dǎo)率：

麥克斯韋方程組表格：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的柱坐标系下的ns方程_麦克斯韦方程组小结的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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