一、二項分布

• 二項分布來源于伯努利試驗 (事件發(fā)生概率 ) :

含義為獨立重復(fù)N次試驗后, 事件總共發(fā)生k次的概率

• 分布函數(shù) 二項分布記為
• binopdf 獲得事件共發(fā)生次的概率
• binocdf 為事件最多發(fā)生次的概率
• binornd 將生成一個服從二項分布 規(guī)模為 的隨機矩陣
• 二項分布的數(shù)字特征

例：畫出情況下的二項分布概率特性曲線

N?=?100;?p?=?0.5;?????%?總試驗次數(shù)和單次試驗發(fā)生概率
k?=?0:N;???????%?所有可能的事件發(fā)生次數(shù)
pdf?=?binopdf(k,?N,?p);????%?繪制概率曲線
cdf?=?binocdf(k,?N,?p);????%?繪制分布曲線
h?=?plotyy(k,?pdf,?k,?cdf);???%?左右兩側(cè)不同的縱軸刻度代表兩個函數(shù)

繪制結(jié)果為：

進階繪圖技巧：set函數(shù)的使用

set(get(h(1),'Children'),'Color','b','Marker',?'.',?'MarkerSize',?13)
%?句中?get(h(1),'children')?表示獲取剛才第一條曲線繪制的所有子對象
%?然后將第一條曲線改為藍色?并且在采樣點加注實心點?不是只畫點

set(get(h(1),'Ylabel'),?'String','pdf')
%?句柄包含多個繪圖時?需要?get?出來再操作?此行改變了左側(cè)?Y?軸的標(biāo)記名

set(h(2),'Ycolor',[1,?0,?0])
%?第二條曲線縱坐標(biāo)軸顏色改為純紅色

set(get(h(2),'Children'),'Color','r','Marker','+','MarkerSize',4)
%?第二條曲線改為紅色并用來標(biāo)注采樣點

set(get(h(2),?'Ylabel'),'String',?'cdf')
%?右側(cè)Y軸的標(biāo)記名
xlabel('k')
grid?on

繪圖結(jié)果為：

二、正態(tài)分布

• 正態(tài)分布 為連續(xù)型隨機分布，期望 標(biāo)準(zhǔn)差 :

對應(yīng)分布函數(shù)

• normpdf ) 獲得服從正態(tài)分布 的隨機變量概率密度函數(shù)在的取值。

• normcdf ) 獲得上述正態(tài)分布隨機變量不超過的總概率

• normrnd 將生成一個服從上述正態(tài)分 布，規(guī)模為 的隨機樣本構(gòu)成的矩陣

• randn 將生成一個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 規(guī)模為 的隨機樣本構(gòu)成的矩陣，事實上，我們可以利用這個矩陣可以構(gòu)造任何正態(tài)分布隨機矩陣。

例：正態(tài)分布幾何表示

mu?=?3;?sigma?=?0.5;
x?=?mu?+?sigma*[-3:-1,1:3];?????????%?設(shè)置六個不同的采樣點
yf?=?normcdf(x,?mu,?sigma);?????????%?獲得六個點的cdf值
P?=?[yf(4)-yf(3),?yf(5)-yf(2),?yf(6)-yf(1)];????%?計算cdf的差值(內(nèi)部區(qū)域面積)
xd?=?1:0.1:5;?yd?=?normpdf(xd,?mu,?sigma);?clf

for?k=1:3
???xx?=?x(4-k):sigma/10:x(3+k);
???yy?=?normpdf(xx,?mu,?sigma);
???%?對于三個不同的面積區(qū)間進行不同范圍的采樣,并獲得?pdf?函數(shù)的值
???subplot(3,?1,?k),?plot(xd,?yd,?'b');?????%?繪圖位于3行1列第k個位置
???hold?on,?fill([x(4-k),?xx,?x(3+k)],?[0,?yy,?0],?'g');?hold?off
???if?k<2
???????text(3.8,?0.6,?'[{\mu}-{\sigma},?{\mu}+{\sigma}]')
???else
???????kk?=?int2str(k);
???????text(3.8,?0.6,?['[{\mu}-',?kk,?'{\sigma},?{\mu}+',?kk,?'{\sigma}]'])
???end
???text(2.8,?0.3,?num2str(P(k)));?shg???%?填充區(qū)域內(nèi)顯示面積
end
xlabel('x');?shg

繪圖結(jié)果為：

三、統(tǒng)計分析命令

• 分別計算矩陣各列的最大值或最小值,
• 若計算整個矩陣最大元素, 可用 或
• 分別計算矩陣各列的均值與中位值
• , 分別計算矩陣各列的樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本方差
• 計算矩陣各列所組成列向量計算出的協(xié)方差矩陣, 注意到對應(yīng)的分丹仍然是
• 計算矩陣x各列所組成列向量對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)

例：產(chǎn)生1000個服從的隨機數(shù)

mu?=?2;?s?=?0.5;
rng(22,?'v5normal')
x?=?randn(1000,?1);

y?=?s*x+mu;

subplot(2,?1,?1),?histfit(x),?axis([-5,?5,?0,?100]),?ylabel('x')
subplot(2,?1,?2),?histfit(y),?axis([-5,?5,?0,?100]),?ylabel('y')

四、多項式擬合

假設(shè) 我們獲取其函數(shù)曲線上的一組采樣點 利用數(shù)學(xué)方法確定或估計系數(shù) 的問題稱之為多項式擬合問題

一般來講，多項式擬合往往會與逼近或插值這兩種知識相結(jié)合。在采樣點準(zhǔn)確，函數(shù)光滑的情況下，高階的擬合(即假設(shè)更大的 ) 往往效果更佳，但如果采樣信息有噪聲誤差, 過大的可能會讓結(jié)果失去擬合意義(一般設(shè)定 $n

• p = ployfit(x, y, n)將通過數(shù)組和的數(shù)據(jù)進行擬合，擬合的階數(shù)或次數(shù)設(shè)定為自然數(shù),返回多項式系數(shù)
• yy=polyval (p, x)可以將多項式系數(shù)回代，觀察擬合值

利用MATLAB函數(shù)計算采樣值向量與擬合值向量誤差的范數(shù), 范數(shù)與范數(shù)，可以分析其平方殘差、絕對值殘差或一致逼近殘差的情況。

例：多項式擬合實例

x0?=?0:0.1:1;
y0?=?[-.447,?1.978,?3.11,?5.25,?5.02,?4.66,?4.01,?4.58,?3.45,?5.35,?9.22];?%?構(gòu)造原始數(shù)據(jù)
n?=?3;P?=?polyfit(x0,?y0,?n)????????????%?多項式擬合
xx?=?0:0.01:1;?yy?=?polyval(P,?xx);????%?利用得到的多項式代回得到預(yù)測值
plot(xx,?yy,?'-b',?x0,?y0,?'.r',?'MarkerSize',?20);???????%?繪圖
legend('擬合曲線',?'原始數(shù)據(jù)',?'Location',?'SouthEast')
xlabel('x')

繪制結(jié)果為：

進階制表：

y1?=?polyval(P,?x0);
T?=?table(x0',?y0',?y1',?y1'-y0',?'VariableNames',?{'X',?'Y',?'Fit',?'FitError'})

表打印結(jié)果為：

T?=

??11×4?table

?????X???????Y?????????Fit???????FitError?
????___????______????________????_________

??????0????-0.447????-0.90431?????-0.45731
????0.1?????1.978??????2.2819???????0.3039
????0.2??????3.11??????4.0659??????0.95592
????0.3??????5.25??????4.7879?????-0.46211
????0.4??????5.02???????4.788?????-0.23204
????0.5??????4.66??????4.4063?????-0.25372
????0.6??????4.01???????3.983????-0.027002
????0.7??????4.58??????3.8583?????-0.72174
????0.8??????3.45??????4.3722??????0.92223
????0.9??????5.35???????5.865??????0.51503
??????1??????9.22??????8.6768?????-0.54316

1. 多項式擬合的最小二乘理解

polyfit函數(shù)的方法即解最小二乘問題 :

方法是構(gòu)造

易得 在 時, 方程超定 (可能無解) , 此時最小二乘解可以通過 獲得

例：用最小二乘法獲得擬合結(jié)果

x0?=?(0:0.1:1)';
y0?=?[-.447,1.978,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22]';

m?=?length(x0);
n?=?3;
X?=?zeros(m,n+1);?????????????????????%m個采樣點，n+1個未知系數(shù)

for?k=1:n
????X(:,?n-k+1)?=?(x0.^k);
end

X(:,?n+1)?=?ones(m,?1);
aT?=?(X\y0)'

輸出結(jié)果應(yīng)與調(diào)用多項式擬合函數(shù)得到的P相同

aT?=

???56.6915??-87.1174???40.0070???-0.9043

2. 適用于特定問題的擬合或回歸方法

• 嶺回歸模型：本質(zhì)上仍可化歸為最小二乘問題

其中, 表示擬合系數(shù)。

• Lasso模型：對擬合系數(shù)具有稀疏正則的模型：

• 最小絕對殘差 (LAR)模型：對離群值的處理有更好效果 :

實際問題中，線性擬合所使用的基函數(shù)也未必一定是多項式, 根據(jù)實際問題可以設(shè)置為三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，以及混合定義的基底函數(shù)。

總結(jié)

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