目錄

• • • 目錄
• 圖篇
  • • 圖及其表示
  • 圖論起源之七橋問題
  • 圖論引入
    • 圖的表示:
  • 邊的表示和讀取：
  • 點(diǎn)的表示和讀取：
  • 圖論的基本概念
  • 圖的表示引入
  • 額。。。。 V3 = 。。。
  • 圖的表示法
• 結(jié)語

圖篇

這是第一次寫博客，為了下載積分而來。
隨便寫些，各位大佬們多多指。

本次內(nèi)容是關(guān)于圖論的引入的，內(nèi)容如下：

• 矩陣引入
• 什么是圖？其如何表示？
• 圖論起源之七橋問題
• 圖論引入
• 圖論相關(guān)基本概念
• 圖論的表示引入
• 圖的表示法

---

• 矩陣引入

線性代數(shù)學(xué)的好的可以直接跳過，
當(dāng)然，看不懂的也可以直接跳過，這部分引入只是計(jì)為了后面計(jì)算上方便，

矩陣可以用在生活的方方面面，出現(xiàn)在各個(gè)學(xué)科中， 例如，我們?nèi)绾斡镁仃?#xff08;向量）來描述化學(xué)反應(yīng)方程式：

首先，用向量描述一個(gè)物體必須先劃分維度。

由于原子守恒原理我們知道氧原子和氫原子相互獨(dú)立，互不相關(guān)。
所以我們假設(shè)兩個(gè)維度空間為氧空間和氫空間
并且這兩個(gè)空間相互垂直（即線性無關(guān)）

基于空間運(yùn)算的封閉性，我們得出該方程式存在的完備空間S為：

由于向量空間運(yùn)算的封閉性，我們有：

我們分別將氧氣和氫氣表示為該空間下的向量點(diǎn)：

于是化學(xué)方程式配平便變成了向量之間的運(yùn)算：

由于氧氣和氫氣是該完備空間的基，即單質(zhì)。
容易運(yùn)算出答案：

圖及其表示

• 什么是 圖

  要說什么是圖，這個(gè)有點(diǎn)不太好說，概念的東西太抽象，我還是直接說圖的表示吧，知道圖的表示形式，自然也就知道什么是圖了。

·圖的表示一般是分為兩塊的：

（1）某類具體事物
（2）這些事物之間的聯(lián)系

·而在圖論中，只存在兩種形態(tài)：

①節(jié)點(diǎn)
②邊

這兩種形態(tài)通常這樣對(duì)應(yīng)：

由于這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們通常把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為矩陣描述，在前言中我們提到了一個(gè)例子：

在這里，具體事物即：

抽象事物（事物間的聯(lián)系）即其中的數(shù)量關(guān)系。

于是我們將化學(xué)方程改為如下矩陣式：

我們可以看到，矩陣分為兩塊：

PS: 所以說，用矩陣描述問題能使描述過程更加清晰化，建議采用。

圖論起源之七橋問題

七橋問題很經(jīng)典，我們都知道大數(shù)學(xué)家歐拉將其轉(zhuǎn)為一筆畫的問題，并順利解決，由此開創(chuàng)了圖論的先河。

用下圖舉個(gè)例子：

若將其看做畫線問題：

對(duì)于任意非起始點(diǎn)，我們要一筆通過他只有如下兩種可能：

(1)兩條路線：

有進(jìn)必有出，必然是能夠一筆完成的

(2)四條路線：

由于通過外界一圈以后又回來所以對(duì)于這種偶數(shù)條線路，
可以等效為如下形式：

即將該節(jié)點(diǎn)視為另外一個(gè)圈起始點(diǎn)，其中的閉圈必然能夠由一筆畫完成，由于該圈可以獨(dú)立出去，我們將該圈等效為不存在，便將偶數(shù)邊節(jié)點(diǎn)等效為如下一進(jìn)一出的兩條邊節(jié)點(diǎn):

三條路線：

三條線路相對(duì)復(fù)雜，但它的進(jìn)出也只有如下兩種可能形式：

同樣，我們運(yùn)用等效原理將其等效為如下形式：

我們將其中的閉圈化簡去掉，即等效為：

所以，該節(jié)點(diǎn)必然是一筆畫的起點(diǎn)（右圖形式）或者終點(diǎn)（左圖形式）

所以，我們得出了如下的基本結(jié)論：

①擁有偶數(shù)邊的節(jié)點(diǎn)
可以等效為只有一進(jìn)一出兩條邊的點(diǎn)。
即該點(diǎn)等效為過程點(diǎn)。
②擁有奇數(shù)邊的節(jié)點(diǎn)
可以等效為要么進(jìn)，要么出的單邊的節(jié)點(diǎn)。
即該點(diǎn)等效為起始點(diǎn)。

唧唧歪歪了這么多，我們還是回到七橋問題吧:

那么問題來了：

問：該圖能否由一筆畫完成，并說明理由。

首先我給出答案不能，理由是：

A、C、D、B節(jié)點(diǎn)均為奇數(shù)邊
故等效為4個(gè)起始點(diǎn)，而一個(gè)一筆畫的圖最多只能有兩個(gè)起始點(diǎn)。

PS:若要求一筆畫的終點(diǎn)和起點(diǎn)重合，則圖節(jié)點(diǎn)中必然全為偶數(shù)邊，這就是十分顯然的了。

圖論引入

圖論，顧名思義，必然是關(guān)于圖的理論咯
由于圖的表示分為兩塊：

①節(jié)點(diǎn)
②邊

我們不妨假設(shè)對(duì)于圖 ：

①節(jié)點(diǎn)集 記為:
，
② 邊集 記為:

那么問題來了：

我們?cè)撊绾稳ケ硎酒渲械哪硞€(gè)節(jié)點(diǎn)或邊呢？
PS：馬克思說：“人的本質(zhì)不是單個(gè)人所固有的抽象物，在其現(xiàn)實(shí)性上，它是一切社會(huì)關(guān)系的總和。”（《馬克思恩格斯選集》第2版第1卷第60頁）

附即興打油詞一首：
《如果說》—妖米
如果說人類是一個(gè)集合，那么某個(gè)人便由他的社會(huì)關(guān)系總和來定義。
如果說節(jié)點(diǎn)集是一個(gè)集合，那么某個(gè)節(jié)點(diǎn)便由他的邊的總和來定義。
如果說邊集是一個(gè)集合，那么某條邊便由他連接的點(diǎn)的總和來定義。
2018-9-4 —— 23：12

圖的表示:

對(duì)于任意某條邊，以邊e1為例：

由于任意邊節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)，我們不妨記為

對(duì)于任意某個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別以v3，v4為例：

對(duì)于v3，我們記為：

對(duì)于v4，我們記為：

但是，這么記雖然沒錯(cuò)，但是我們想能不能用一種統(tǒng)一的格式去表示，將其任意點(diǎn)化為統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)格式
于是，我們靈光一閃想了一個(gè)辦法 ：

還記得前面提到的原子守恒那邊的完備空間吧

事實(shí)上，由于我們約定俗成，比如說第一行就表示v1，第二行就表示v2，所以我們完全可以將如上形式化為如下：

即以邏輯值來代表是否存在連接。

事實(shí)上，由于標(biāo)準(zhǔn)化的約定，我們可以將如上形式整理成表格：

節(jié)點(diǎn) \ 邊->e1e2e3e4e5e6e7

V1	1	0	0	1	0	0	1
V2	1	1	1	0	0	0	0
V3	0	1	1	1	1	1	0
V4	0	0	0	0	1	1	1

邊的表示和讀取：

點(diǎn)的表示和讀取：

由于如上表格中，既有包含所有點(diǎn)的表示，由包含所有邊的表示，所以那個(gè)表格便是一個(gè)圖。

通常我們不寫表格，主要原因麻煩，我們通常直接寫為矩陣：

圖論的基本概念

• 1、有向圖

  顧名思義，就是有方向的圖唄。
  

• 2、無向圖

  就是沒有有方向的圖唄，也可以叫雙向圖。像前面的例子，七橋問題都是無向圖。
  

• 3、有限圖

  就是節(jié)點(diǎn)和邊都有限的圖唄。

• 4、簡單圖

  就是沒有環(huán)和多重邊的圖，
  因?yàn)榄h(huán)獨(dú)立且封閉，可產(chǎn)生自由變量，導(dǎo)致問題變復(fù)雜。多重邊可分解為 邊+環(huán)。
  反例：
  

• 5、完全圖

  就是任意兩個(gè)點(diǎn)都有一條邊相連的圖。
  
  P s：有一種結(jié)構(gòu)叫拓?fù)?/p>

• 6、二分圖
  

  可以把頂點(diǎn)集分成兩組，并且同組頂點(diǎn)不相鄰的圖。如：
  

• 7、子圖與母圖

  如果原圖叫母圖，那么從其中摳一份下來，那就叫它的子圖。
  

• 8、頂點(diǎn)v的度：

  就是頂點(diǎn)的邊數(shù)（環(huán)算兩條邊）。
  
  
  

由于每條邊都連接兩個(gè)頂點(diǎn),所以一個(gè)圖的頂點(diǎn)度之和必然是邊的兩倍。

即：
任意圖必然可由N個(gè)1筆畫完成，而每一筆在圖中產(chǎn)生的奇頂點(diǎn)數(shù)要么2個(gè)，要么0個(gè)，所以任意圖的奇頂點(diǎn)數(shù)必然是偶數(shù)個(gè)，這是很顯然的。

9、 途徑
兩個(gè)頂點(diǎn)之間的通路我們稱為途徑。

若是途徑中沒有重復(fù)的頂點(diǎn)，我們稱為路。

如果沒有重復(fù)的邊，我們稱為跡。

10、邊與弧

為了區(qū)分邊是否有方向，通常
有方向的叫弧，沒方向的叫邊。

圖的表示引入

前面我們以七橋問題（無向圖）講了圖的表示：

\e1e2e3e4e5e6e7

V1	1	0	0	1	0	0	1
V2	1	1	1	0	0	0	0
V3	0	1	1	1	1	1	0
V4	0	0	0	0	1	1	1

那么問題來了，用這種方式表示有向圖該怎么表示？

對(duì)于一個(gè)圖，有兩個(gè)要素：

1、具體要素

2、具體要素間的聯(lián)系

由于具體要素（頂點(diǎn)集）肯定沒法變：

①節(jié)點(diǎn)集 記為:

②弧集 記為:

我們嘗試另外一種表示：

我們不再用連接的邊來定義節(jié)點(diǎn)，而用鄰接節(jié)點(diǎn)來定義節(jié)點(diǎn)。如：

以下圖為例：

（可達(dá)的通路）的記為1。

額。。。。 V3 = 。。。

我們還是以下圖為例吧:

剛才你們什么都沒看見：

其中（可達(dá)的通路）的記為1。

于是我們整理成矩陣表格：

\ V1Ｖ2Ｖ３Ｖ４

V1	０	１	１	０
V2	０	０	１	0
V3	０	０	０	１
V４	１	０	０	0

我們做如下約定：

于是，該矩陣定義了頂點(diǎn)之間的聯(lián)系。
即表示出了弧集。

我們發(fā)現(xiàn)，這種矩陣定義的方式，既可以表示有向圖，又可以表示無向圖，而且貌似還比原來的表示方法更節(jié)省空間。

但是這種方法的缺點(diǎn)很明顯就是，當(dāng)出現(xiàn)多重邊時(shí)無法表示，反正你們剛才什么都沒看到就對(duì)了。

圖的表示法

• 這種用鄰接節(jié)點(diǎn)定義其他節(jié)點(diǎn)的方法:

  我們不妨叫做鄰接矩陣法：
  

• 而那種用邊將兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來的方法，

  我們不妨叫關(guān)聯(lián)矩陣法：
  
  事實(shí)上，我們用關(guān)聯(lián)矩陣也可以表示有向圖，只要約定入節(jié)點(diǎn)為-1，出節(jié)點(diǎn)為1即可。

• 當(dāng)然，還有其他方法可以表示圖，在計(jì)算機(jī)中，只要方便于運(yùn)算的表示方法都可以。

如，直接用弧集來表示圖：

即用二維數(shù)組的方法表示。
這種用弧集表來表示圖的方法，
我們不妨叫弧表表示法

當(dāng)然，還可以整理成有序的：

對(duì)了，忘了講一件事，
通常我們?cè)黾右恍?#xff0c;用來放弧的權(quán)重。對(duì)于鄰接矩陣和關(guān)聯(lián)矩陣，直接把例中的１改成相應(yīng)權(quán)重即可。

• 還有一種方法，就是用程序把圖畫出來。
  熟悉C語言的童鞋可能知道指針和結(jié)構(gòu)體。
  如果接觸過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可能知道鏈表。
  如：
  struct point
  {
  point * P;
  int Data;
  };
  然后將數(shù)據(jù)掛在鏈表上。
  
  這種方法提一下，懂的自然懂。
  不懂也沒關(guān)系，反正我也不多講了。

結(jié)語

• 本次介紹了圖論相關(guān)基本概念以及相關(guān)表
• 感謝您的耐心閱讀
• 原創(chuàng)作品，如轉(zhuǎn)載，請(qǐng)注明出處
• 版權(quán)聲明：https://blog.csdn.net/qq_43133135/article/details/82390300

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图论入门及基础概念（图篇）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。