解決最短路徑問題：(如下三種算法)

(1)迪杰斯特拉算法(Dijkstra算法)

(2)弗洛伊德算法(Floyd算法)

(3)SPFA算法

第一種算法：

Dijkstra算法

廣度優(yōu)先搜索解決賦權(quán)有向圖或者無向圖的單源最短路徑問題.是一種貪心的策略

算法的思路

聲明一個(gè)數(shù)組dis來保存源點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的最短距離和一個(gè)保存已經(jīng)找到了最短路徑的頂點(diǎn)的集合：T，初始時(shí)，原點(diǎn)s的路徑權(quán)重被賦為0(dis[s]=0)。若對(duì)于頂點(diǎn)s存在能直接到達(dá)的邊(s,m)，則把dis[m]設(shè)為w(s, m),同時(shí)把所有其他(s不能直接到達(dá)的)頂點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度設(shè)為無窮大。初始時(shí)，集合T只有頂點(diǎn)s。

然后，從dis數(shù)組選擇最小值，則該值就是源點(diǎn)s到該值對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的最短路徑，并且把該點(diǎn)加入到T中，OK，此時(shí)完成一個(gè)頂點(diǎn)，再看看新加入的頂點(diǎn)是否可以到達(dá)其他頂點(diǎn)并且看看通過該頂點(diǎn)到達(dá)其他點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度是否比源點(diǎn)直接到達(dá)短，如果是，那么就替換這些頂點(diǎn)在dis中的值，然后，又從dis中找出最小值，重復(fù)上述動(dòng)作，直到T中包含了圖的所有頂點(diǎn)。

第二種算法：

Floyd算法

原理：

Floyd算法(弗洛伊德算法)是一種在有向圖中求最短路徑的算法。它是一種求解有向圖中點(diǎn)與點(diǎn)之間最短路徑的算法。

用在擁有負(fù)權(quán)值的有向圖中求解最短路徑(不過不能包含負(fù)權(quán)回路)

流程：

有向圖中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)X，對(duì)于圖中過的2點(diǎn)A和B，

如果有Dis(AX)+ Dis(XB)< Dis(AB)，那么使得Dis(AB)=Dis(AX)+Dis(XB)。

當(dāng)所有的節(jié)點(diǎn)X遍歷完后，AB的最短路徑就求出來了。

示例一：

示例二：

示例三：

第三種算法：

SPFA算法是求解單源最短路徑問題的一種算法，由理查德·貝爾曼(Richard Bellman) 和 萊斯特·福特 創(chuàng)立的。有時(shí)候這種算法也被稱為 Moore-Bellman-Ford 算法，因?yàn)?Edward F. Moore 也為這個(gè)算法的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。它的原理是對(duì)圖進(jìn)行V-1次松弛操作，得到所有可能的最短路徑。

其優(yōu)于迪科斯徹算法的方面是邊的權(quán)值可以為負(fù)數(shù)、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是時(shí)間復(fù)雜度過高，高達(dá) O(VE)。但算法可以進(jìn)行若干種優(yōu)化，提高了效率。

思路：

我們用數(shù)組dis記錄每個(gè)結(jié)點(diǎn)的最短路徑估計(jì)值，用鄰接表或鄰接矩陣來存儲(chǔ)圖G。我們采取的方法是動(dòng)態(tài)逼近法：設(shè)立一個(gè)先進(jìn)先出的隊(duì)列用來保存待優(yōu)化的結(jié)點(diǎn)，優(yōu)化時(shí)每次取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)u，并且用u點(diǎn)當(dāng)前的最短路徑估計(jì)值對(duì)離開u點(diǎn)所指向的結(jié)點(diǎn)v進(jìn)行松弛操作，如果v點(diǎn)的最短路徑估計(jì)值有所調(diào)整，且v點(diǎn)不在當(dāng)前的隊(duì)列中，就將v點(diǎn)放入隊(duì)尾。這樣不斷從隊(duì)列中取出結(jié)點(diǎn)來進(jìn)行松弛操作，直至隊(duì)列空為止。

原文鏈接：https://www.py.cn/jishu/gaoji/19619.html

總結(jié)

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