上一節程序員的數學筆記1–進制轉換是介紹了進制，特別是十進制和二進制之間的轉換，移位操作和邏輯操作。

今天介紹的是余數，看完本節筆記，你會發現生活中有很多東西都有余數的影子。

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余數

余數的特性

整數是沒有邊界的，它可能是正無窮，也可能是負無窮。

**但余數卻總是在一個固定的范圍內。**假如除數是 m，那么余數的范圍就是 0~(m-1)。

生活中，余數可以用來算星期，web 編程中可以用于分頁。

同余定理

兩個整數 a 和 b，如果它們除以正整數 m 得到的余數相等，我們就可以說 a 和 b 對于模 m 同余。

同余定理可以用來做分類，或者說是均分操作。因為可以將對同個正整數 m 相除得到的余數相等的分在同一個類中。

哈希函數

每個編程語言都有對應的哈希函數，哈希有時候也被翻譯為散列，**它是指將任意長度的輸入，通過哈希算法壓縮為某一固定長度的輸出。**這其實就是一個求余的過程。

例如，假設對于 100 萬條數據記錄，要做到高速存取，最理想情況是開辟一個連續的空間存放這些數據，減少尋址的時間，但很多時候條件并不允許。這個時候我們可以考察一下，系統是否可以提供若干個較小的連續空間，每個空間可以存放一定數量的記錄。比如找到100個較小的連續空間，每個空間可以容納 1 萬條數據連續存放。那么我們可以采用余數和同余定理來設計一個散列函數，并實現哈希表的結構。

這個函數可以如下所示：

f(x) = x mod size

x表示等待被轉換的數值，size表示有限存儲空間的數量，mod表示取余操作。通過余數，你就能將任何數值，轉換為有限范圍內的一個數值，然后據這個新的數值，來確定將數據存放在何處。

而在我們這個例子中，size=100，那么對于記錄標號分別是 1 和 101 的兩條數據，根據上述公式進行取余操作，得到的余數都是 1，那么它們就會分到同一個存儲的空間中。

這種的做法好處不僅是設定一個存放分類的規則，而且取余操作簡單快速，不會增加尋址時間。

更進一步，如果想增加數據散列的隨機程度，可以加入一個較大的隨機數 MAX，如下所示：

f(x) = (x + MAX) mod size

比如對標號為 1 的記錄，隨機數是590199，那么計算結果是得到余數為 0，而標號為 101，隨機數變成 627901，對應余數是 2。這樣在新的計算公式下，這兩個記錄就分配到不同的存儲空間了。

這種做法更適合需要將數據重新洗牌的應用場景，比如加密算法、MapReduce 中的數據分發、記錄的高速查詢和定位等。

舉個例子，對于一個加密算法，如果我們要加密一組三位數，那我們設定一個這樣的加密規則：

先對每個三位數的個、十和百位數，都加上一個較大的隨機數。

然后將每位上的數字都除以 7，用所得到的余數代替原來的三位數；

最后將第一位和第三位交換。

這就是一個基本的加密變換過程。

例如對數字 625 加密，根據剛剛的規則，隨機數采用 590127，百、十和個位數都分別加上這個隨機數，分別得到的是 590133、590129、590132，接著分別除以 7，得到的余數分別是 5,1,4，然后交換得到最終的結果是 415。而如果需要解密，因為加密的人會知道加密規則、隨機數和求余所用的除數 7 以及求余操作中的商，就可以解密還原回原來的數字。

更多的采用余數和求余操作的應用例子：

• 尾號限行
• 最大公約數、模冪運算(DES、AES、RSA)，凱撒密碼，孫子定理
• 進制的轉換，應該說十進制轉換成其他進制都是循環求余操作

關于余數的一些應用例子，你是否還想到其他的應用呢？

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的程序员的数学笔记2--余数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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