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2019 年第 74 篇文章，總第 98 篇文章

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最近會開始更新一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法的學習系列，同時不定期更新 leetcode 的刷題。

這是第一篇文章，在開始介紹各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法之前，先了解下什么是復雜度，包括時間復雜度和空間復雜度。

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什么是復雜度分析

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法解決是“如何讓計算機更快時間、更省空間的解決問題”。

因此需從執(zhí)行時間和占用空間兩個維度來評估數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的性能。

分別用時間復雜度和空間復雜度兩個概念來描述性能問題，二者統(tǒng)稱為復雜度。

復雜度描述的是算法執(zhí)行時間（或占用空間）與數(shù)據(jù)規(guī)模的增長關(guān)系。

為什么需要復雜度分析

和性能測試相比，復雜度分析有不依賴執(zhí)行環(huán)境、成本低、效率高、易操作、指導性強的特點。

掌握復雜度分析，將能編寫出性能更優(yōu)的代碼，有利于降低系統(tǒng)開發(fā)和維護成本。

如何進行復雜度分析

對于時間復雜度的分析，通常使用大O復雜度表示法，表示代碼執(zhí)行時間隨數(shù)據(jù)規(guī)模增長的變化趨勢，所以，也叫作漸進時間復雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間復雜度。

用公式表示，就是?T(n) = O(f(n))表示，其中?T(n)?表示算法執(zhí)行總時間，f(n)?表示每行代碼執(zhí)行總次數(shù)，而?n?表示數(shù)據(jù)的規(guī)模。

由于時間復雜度描述的是算法執(zhí)行時間與數(shù)據(jù)規(guī)模的增長變化趨勢，所以常量階、低階以及系數(shù)實際上對這種增長趨勢不產(chǎn)決定性影響，所以在做時間復雜度分析時可以忽略這些項。

具體分析的時候，有下列三個方法：

單段代碼只看循環(huán)次數(shù)最多的部分；

多段代碼取復雜度最高的：即有個多個循環(huán)，但只看循環(huán)次數(shù)量級最高的那段代碼

乘法法則--嵌套代碼進行乘積：多個循環(huán)嵌套，就是相乘

常見的時間復雜度

按照數(shù)量級遞增，常見的時間復雜度量級有：

• 常量階?O(1)

• 對數(shù)階?O(logn)

• 線性階?O(n)

• 線性對數(shù)階?O(nlogn)

• 平方階?O(n^2)，立方階?O(n^3)…k次階?O(n^k)

• 指數(shù)階?O(2^n)

• 階乘階?O(n!)

其中，最后兩種情況是非常糟糕的情況，當然?O(n^2)?也是一個可以繼續(xù)進行優(yōu)化的情況。

接下來簡單介紹上述復雜度中的幾種比較常見的：

O(1)

O(1)?表示的是常量級時間復雜度，也就是只要代碼的執(zhí)行時間不隨 n 的增大而增長，都記作?O(1)?。一般只要算法不包含循環(huán)語句和遞歸語句，時間復雜度都是?O(1)

像下列代碼，有 3 行，但時間復雜度依然是O(1)，而非?O(3)。

a?=?3 b?=?4 print(a?+?b)

O(logn)、O(nlogn)

O(logn)?也是一個常見的時間復雜度，下面是一個?O(logn)?的代碼例子：

i?=?1 count?=?0 n?=?20 while?i?<=?n:count?+=?1i?*=?2 print('while?循環(huán)運行了?{}?次'.format(count))

這段代碼其實就是每次循環(huán)都讓變量 i 乘以 2，直到其大于等于 n，這里我設置 n=20，然后運行了后，輸出結(jié)果是循環(huán)運行了 5 次。

實際上這段代碼的結(jié)束條件，就是求?2^x=n?中的?x?是等于多少，那么循環(huán)次數(shù)也就知道了，而求?x?的數(shù)值，方法就是??，那么時間復雜度就是?

假如上述代碼進行簡單的修改，將?i *= 2?修改為?i *= 3?，那么同理可以得到時間復雜度就是?。

但在這里，無論是以哪個為對數(shù)的底，我們都把對數(shù)階的時間復雜度記為?O(logn)。

這里主要原因有兩個：

對數(shù)可以互換，比如?，也就是?，常量

基于前面的理論，系數(shù)可以被忽略，也就是這里的常量 C 可以忽略

基于這兩個原因，對數(shù)階的時間復雜度都忽略了底，統(tǒng)一為?O(logn)?。

至于?O(nlogn)?，根據(jù)乘法法則，只需要將對數(shù)階復雜度的代碼，運行 n 次，就可以得到這個線性對數(shù)階復雜度了。

注意，?O(nlogn)?是非常常見的時間復雜度，常用的排序算法如歸并排序、快速排序的時間復雜度都是?O(nlogn)

O(m+n)、O(m*n)

前面介紹的情況都是只有一個數(shù)據(jù)規(guī)模?n?，但這里介紹有兩個數(shù)據(jù)規(guī)模的情況--m和?n。

#?O(m+n) def?cal(n,?m):result?=?0for?i?in?range(n):result?+=?ifor?j?in?range(m):result?+=?j?*?2return?result

簡單的代碼示例如上述所示，如果事先無法評估?m?和?n?的量級大小，那么這里的時間復雜度就沒法選擇量級最大的，所以其時間復雜度就是?O(m+n)?。

同理，對于嵌套循環(huán)，就是?O(m*n)?的時間復雜度了。

最好、最壞、平均、均攤時間復雜度

這四種復雜度的定義如下：

• 最好情況時間復雜度：代碼在最理想的情況下執(zhí)行的時間復雜度；

• 最壞情況時間復雜度：代碼在最壞情況下執(zhí)行的時間復雜度；

• 平均情況時間復雜度：代碼在所有情況下執(zhí)行的次數(shù)的加權(quán)平均值表示；

• 均攤時間復雜度：代碼執(zhí)行的所有復雜度情況中，絕大多數(shù)都是低級別的復雜度，個別情況會發(fā)生最高級別復雜度且發(fā)生具有時序關(guān)系時，可以將個別高級別復雜度均攤到低級別復雜度上。基本上均攤復雜度就等于低級別復雜度，也可以看作是特殊的平均時間復雜度。

為什么會有這四種復雜度呢？原因是：

同一段代碼在不同情況下時間復雜度會出現(xiàn)量級差異，為了更全面、更準確描述代碼的時間復雜度，引入這四種復雜度的概念；

但通常除非代碼是出現(xiàn)量級差別的時間復雜度，才需要區(qū)分這四種復雜度，大多數(shù)情況都不需要區(qū)分它們。

下面是給出第一個代碼例子：

#?在數(shù)組?arr?中查找目標數(shù)值?x def?find(arr,?x):for?val?in?arr:if?val?==?x:return?Truereturn?False

這個例子假設數(shù)組?arr?的長度是?n?，那么它最好的情況，就是第一個數(shù)值就是需要查找的?x?，此時復雜度是?O(1)?，但最壞情況就是最后一個數(shù)值或者不存在需要查找的?x?，那么此時就遍歷一遍數(shù)組，復雜度就是?O(n)?，因此這段代碼最好和最壞情況是會出現(xiàn)量級差別的，O(1)?和?O(n)?分別是最好情況復雜度和最壞情況復雜度。

而這段代碼的平均情況時間復雜度是?O(n)?，具體分析就是首先考慮所有可能的情況以及對應出現(xiàn)的概率，可能發(fā)生的情況先分為兩種，存在和不存在需要查找的數(shù)值?x，也就是分別是 1/2 的概率，然后對于存在的情況下，又有?n?種情況，即出現(xiàn)在數(shù)組任意位置的概率都是均等的，那么它們的概率乘以存在的概率就是?1/2n?，接著再考慮每種情況需要搜索的元素個數(shù)，其實就是代碼執(zhí)行的次數(shù)，這個分別就是從 1 到 n，并且對于不存在的情況，也是 n ，需要遍歷一遍數(shù)組才發(fā)現(xiàn)不存在，所以平均時間復雜度的計算過程如下：加權(quán)平均值，也叫期望值，所以平均時間復雜度的全稱應該叫加權(quán)平均時間復雜度或者期望時間復雜度。

這里用大 O 表示法表示，并且去掉常量和系數(shù)后，就是 O(n)。

最后介紹下均攤時間復雜度，需要滿足以下兩個條件才使用：

1）代碼在絕大多數(shù)情況下是低級別復雜度，只有極少數(shù)情況是高級別復雜度；

2）低級別和高級別復雜度出現(xiàn)具有時序規(guī)律。均攤結(jié)果一般都等于低級別復雜度。

空間復雜度分析

和時間復雜度的定義類似，空間復雜度全稱就是漸進空間復雜度(asymptotic space complexity)，表示算法的存儲空間與數(shù)據(jù)規(guī)模之間的增長關(guān)系。

簡單介紹下一個程序所需要的空間主要由以下幾個部分構(gòu)成：

• 指令空間：是值用來存儲經(jīng)過編譯之后的程序指令所需要的空間。

• 數(shù)據(jù)空間：是指用來存儲所有常量和變量值所需的空間。其主要由兩個部分構(gòu)成：

  • 存儲常量和簡單變量所需要的空間

  • 存儲復合變量所需要的空間。這一類空間包括數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所需要的動態(tài)分配的空間

• 環(huán)境棧空間：用來保存函數(shù)調(diào)用返回時恢復運行所需要的信息。例如，如果函數(shù) fun1 調(diào)用了函數(shù) fun2，那么至少必須保存 fun2 結(jié)束時 fun1 將要繼續(xù)執(zhí)行的指令的地址。

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本系列主要參考極客時間上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法之美課程，目前這門課正在做活動，拼團只需 65 元，課程的設計非常合理，而且介紹得很詳細，有對應的代碼輔助理解，還有一個開源的 GitHub，目前已經(jīng)有1w+的star了：

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构算法入门--一文了解什么是复杂度的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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