1、樹(shù)的定義

樹(shù)是n(n>=0)個(gè)節(jié)點(diǎn)的有限集合。當(dāng)n=0時(shí)稱(chēng)為空樹(shù)，當(dāng)n>0 為非空樹(shù)，任何非空樹(shù)中，有且僅有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)；其余節(jié)點(diǎn)可分為m(m>=0)個(gè)互不相交的有限集合T1、T2 等，其中每一個(gè)集合都可以稱(chēng)為一棵樹(shù)，稱(chēng)為根節(jié)點(diǎn)的子樹(shù)。

2、樹(shù)的基本概念?

? ? ? ??雙親孩子、兄弟：節(jié)點(diǎn)的字?jǐn)?shù)的根稱(chēng)為該節(jié)點(diǎn)的孩子，該節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為其子節(jié)點(diǎn)的雙親。具有相同雙親的節(jié)點(diǎn)互為兄弟節(jié)點(diǎn)。如圖：A是根節(jié)點(diǎn)，B、C、D互為兄弟；B是E、F的父節(jié)點(diǎn)（雙親）；E、F 互為兄弟節(jié)點(diǎn)。

節(jié)點(diǎn)的度：一個(gè)節(jié)點(diǎn)下的子節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)的度。比如 A的度為3，D的度為1。

葉子節(jié)點(diǎn)：是指度為0的節(jié)點(diǎn)，也被稱(chēng)為終端節(jié)點(diǎn)。比如 C、E、F、G都是葉子節(jié)點(diǎn)。

內(nèi)部節(jié)點(diǎn)：度不為零的節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為分支節(jié)點(diǎn)或非終端節(jié)點(diǎn)。去掉根節(jié)點(diǎn)，分支節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。比如：B、D。

節(jié)點(diǎn)的層次：根節(jié)點(diǎn)A屬于第一層，依次類(lèi)推。B屬于第二層，E屬于第三層。

樹(shù)的高度：一棵樹(shù)的最大層次數(shù)稱(chēng)為樹(shù)的高度或者樹(shù)的深度。

有序（無(wú)序）樹(shù)：樹(shù)中的節(jié)點(diǎn)的各個(gè)子樹(shù)看成是從左到右有次序的，即不能交換，則稱(chēng)為有序樹(shù)，否則為無(wú)序樹(shù)。

森林：m(m>=0)棵互補(bǔ)相交的樹(shù)的集合。

3、二叉樹(shù)

3.1 二叉樹(shù)定義

二叉樹(shù)是n(n>=0)個(gè)節(jié)點(diǎn)的有限集合，它或者是空樹(shù)（n=0），或者是由一個(gè)根節(jié)點(diǎn)及兩棵不相交的、分別稱(chēng)為左子樹(shù)、右子樹(shù)的二叉樹(shù)所組成。

3.2 二叉樹(shù)和普通樹(shù)的區(qū)別

二叉樹(shù)中節(jié)點(diǎn)區(qū)分左子樹(shù)、右子樹(shù)，即便只有一個(gè)子樹(shù)的情況下也有標(biāo)明是左子樹(shù)還是右子樹(shù)，普通樹(shù)則不區(qū)分；二叉樹(shù)中節(jié)點(diǎn)最大度為2，普通樹(shù)則沒(méi)有限制節(jié)點(diǎn)的度數(shù)。

3.3 二叉樹(shù)的性質(zhì)

1、二叉樹(shù)第i層上最多有 ?2^(i-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)

2、深度為k的二叉樹(shù)最多有(2^k)-1個(gè)節(jié)點(diǎn)

3、對(duì)任何一棵二叉樹(shù)，若其終端節(jié)點(diǎn)數(shù)為n,度為2的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n2，則n=n2+1

4、具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)的深度為(log2^n)+1

3.4 二叉樹(shù)分類(lèi)

1、滿二叉樹(shù)：深度為k的二叉樹(shù)有2^(k-1)個(gè)節(jié)點(diǎn),是滿二叉樹(shù)

2、完全二叉樹(shù):高度為k的二叉樹(shù)，除了第k層都是滿的，稱(chēng)為完全二叉樹(shù)。滿二叉樹(shù)也是完全二叉樹(shù)。具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)高度為 (log2^n) +1

3、非完全二叉樹(shù)：不滿足完全二叉樹(shù)的稱(chēng)為非完全二叉樹(shù)。

3.5叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

1、二叉樹(shù)的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

用一組地址連續(xù)的存儲(chǔ)單元存儲(chǔ)二叉樹(shù)的節(jié)點(diǎn)，必須把節(jié)點(diǎn)排成一個(gè)適當(dāng)?shù)木€性序列，并且節(jié)點(diǎn)在這個(gè)序列中的相互位置可以反映出節(jié)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系

順序存儲(chǔ)適合對(duì)完全二叉樹(shù)的存儲(chǔ)方式，既簡(jiǎn)單又節(jié)省空間。對(duì)于一般二叉樹(shù)而言，因?yàn)樵陧樞虼鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)中，以節(jié)點(diǎn)在存儲(chǔ)單元中的位置來(lái)表示節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，所以存儲(chǔ)方式也必須按照完全二叉樹(shù)的方式存儲(chǔ)，這樣會(huì)造成空間上的浪費(fèi)。最壞的情況，一個(gè)深度為h且只有h個(gè)節(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)（也是單枝樹(shù)）需要(2^h) -1 存儲(chǔ)單元.

2、二叉樹(shù)的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)

由于二叉樹(shù)中節(jié)點(diǎn)包含數(shù)據(jù)、左子樹(shù)根、右子樹(shù)根、雙親信息，因此可以用三叉鏈表或二叉鏈表來(lái) 存儲(chǔ)二叉樹(shù)，鏈表的頭指針指向二叉樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)。

3.6 ?二叉樹(shù)的遍歷

遍歷是按某種策略訪問(wèn)樹(shù)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，僅訪問(wèn)一次。對(duì)于含有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)遍歷算法的時(shí)間復(fù)雜度都是O(n).

3.7 ?哈夫曼樹(shù)（最優(yōu)二叉樹(shù)）

節(jié)點(diǎn)的路徑：從樹(shù)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)之前的通路。

該通路的分支數(shù)據(jù)稱(chēng)為路徑長(zhǎng)度。

節(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑：節(jié)點(diǎn)到樹(shù)根之間的路徑長(zhǎng)度*該節(jié)點(diǎn)的權(quán)重值。

樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度為樹(shù)種所有葉子節(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度之和。數(shù)值最小的就是哈夫曼樹(shù)。

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總結(jié)

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