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什么是三次樣條插值

　　插值（interpolation）是在已知部分數據節點（knots）的情況下，求解經過這些已知點的曲線，

然后根據得到的曲線進行未知位置點函數值預測的方法（未知點在上述已知點自變量范圍內）。

　　樣條(spline)是軟尺(elastic ruler)的術語說法，在技術制圖中，使用軟尺連接兩個相鄰數據點，

以達到連接曲線光滑的效果。

　　樣條插值是一種分段多項式(piecewise polynomial)插值法。數學上，曲線光滑需要在曲線上處處一階導連續，

因此，在節點處需要滿足一階導數相等。另外，為了使得曲線的曲率最小，要求曲線二階導連續^【1】，

在節點處需要二階導相等。

　　三次及以上多項式可以滿足節點處光滑和曲率最小要求，但是次數高的曲線容易震蕩，因此，就選用三次多項式即可。

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數學表述

　　假設有n個已知節點：

　　　　　　

　　函數關系記為：?。

　　在區間??中插值多項式曲線：?

　　　　　? 　

注意，這里頭曲線為，尾曲線為。

　　插值在節點處滿足條件：

　　（1）曲線經過節點：

　　　　

　　（2）曲線一階導連續（光滑）：

　　　　

　　（3）曲線二階導連續（曲率最小）：

　　　　

　　邊界條件：對兩端節點的約束。

　　（B1）自然(natural (or free))邊界條件

　　　　

　　（B2）固定(clamped)邊界條件

　　　　固定一階導數：

　　　　?,

　　　　固定二階導數：

　　　　,?

　　（B3）非節點邊界(not-a-knot )

　　　　要求在第二個節點??和倒數第二個節點?，曲線的三階導也連續：

　　　　

　　　　

?

三次多樣式函數的計算

　　樣條函數采用n-1個三次多項式，每個三次多項式有4個參數，一共是4n-4個參數，

因此需要4n-4個方程。

　　　　條件（1）n-1個曲線每個兩端經過節點，提供2（n-1）=2n-2個方程；

　　　　條件（2）n-1個曲線相鄰一階導連續，提供n-2個方程；

　　　　條件（3）n-1個曲線相鄰二階導連續，提供n-2個方程；

　　以上一共是4n-6個方程，還需要2個方程，這兩個方程由邊界條件提供，條件（B1）,?（B2）,?（B3）

每個均提供2個方程，這樣就湊夠了4n-4個方程。

　　

計算的例子

　　n個節點，n-1條曲線。在區間? 內，令第i條曲線為：

　　　　

　　一二三階導分別為：

　　　　一階：??

　　　　二階：??

　　　　三階：??

　　接下來，套用節點條件和邊界條件：

　　先假設相鄰節點橫縱坐標的差值分別為:?，。

　　　　條件（1）：曲線??已經滿足第一個式子：；

　　　　第二式 ：?

　　　　　　(I)　　　　

　　　　條件（2）：

　　　　　　(II)　　　　　　

　　　　條件（3）：

　　　　　　(III)　　　　　　　　? ?

　　　　邊界條件以非節點（Not-A_Knot）條件為例， 得：

　　　　　　(IV)　　,?

　　聯立方程(I)和(II)， 分別消去??和??得：

　　　　,?　　　　

　　帶入方程(III)得：

　　　　(V)　　　　

　　這里i的最大值應該取不到n-3，當i=n-3時，上式左邊將出現 ，而參數a的范圍是從0到n-2，

所以不存在這項，此式一共是n-2個方程。

　　　　另外，方程(II)和(III)都不支持?，需要單獨計算?：

　　　　由方程(I)，(III)分別有：

　　　　　　

　　　　　　

　　　　=>

　　　　　　

　　　　　　

　　由邊界條件方程(IV)中的? 得：

　　　　

　　方程（V）取i=0有：

　　　　

　　與上式聯立消去，得：

　　　　(VI)　　

　　另由? 得：

　　　　(VII)　　?

?　　方程(V), (VI), (VII)聯立，n-1個方程，n-1個未知數（），參數a得解，然后在算出參數b和c即可。

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References:

[1] Wikipedia: spline interpolation

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轉載于:https://www.cnblogs.com/tlz888/p/11454772.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三次样条插值 cubic spline interpolation的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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