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什么是三次樣條插值

　　插值（interpolation）是在已知部分?jǐn)?shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)（knots）的情況下，求解經(jīng)過這些已知點(diǎn)的曲線，

然后根據(jù)得到的曲線進(jìn)行未知位置點(diǎn)函數(shù)值預(yù)測的方法（未知點(diǎn)在上述已知點(diǎn)自變量范圍內(nèi)）。

　　樣條(spline)是軟尺(elastic ruler)的術(shù)語說法，在技術(shù)制圖中，使用軟尺連接兩個(gè)相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)，

以達(dá)到連接曲線光滑的效果。

　　樣條插值是一種分段多項(xiàng)式(piecewise polynomial)插值法。數(shù)學(xué)上，曲線光滑需要在曲線上處處一階導(dǎo)連續(xù)，

因此，在節(jié)點(diǎn)處需要滿足一階導(dǎo)數(shù)相等。另外，為了使得曲線的曲率最小，要求曲線二階導(dǎo)連續(xù)^【1】，

在節(jié)點(diǎn)處需要二階導(dǎo)相等。

　　三次及以上多項(xiàng)式可以滿足節(jié)點(diǎn)處光滑和曲率最小要求，但是次數(shù)高的曲線容易震蕩，因此，就選用三次多項(xiàng)式即可。

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數(shù)學(xué)表述

　　假設(shè)有n個(gè)已知節(jié)點(diǎn)：

　　　　　　

　　函數(shù)關(guān)系記為：?。

　　在區(qū)間??中插值多項(xiàng)式曲線：?

　　　　　? 　

注意，這里頭曲線為，尾曲線為。

　　插值在節(jié)點(diǎn)處滿足條件：

　　（1）曲線經(jīng)過節(jié)點(diǎn)：

　　　　

　　（2）曲線一階導(dǎo)連續(xù)（光滑）：

　　　　

　　（3）曲線二階導(dǎo)連續(xù)（曲率最小）：

　　　　

　　邊界條件：對兩端節(jié)點(diǎn)的約束。

　　（B1）自然(natural (or free))邊界條件

　　　　

　　（B2）固定(clamped)邊界條件

　　　　固定一階導(dǎo)數(shù)：

　　　　?,

　　　　固定二階導(dǎo)數(shù)：

　　　　,?

　　（B3）非節(jié)點(diǎn)邊界(not-a-knot )

　　　　要求在第二個(gè)節(jié)點(diǎn)??和倒數(shù)第二個(gè)節(jié)點(diǎn)?，曲線的三階導(dǎo)也連續(xù)：

　　　　

　　　　

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三次多樣式函數(shù)的計(jì)算

　　樣條函數(shù)采用n-1個(gè)三次多項(xiàng)式，每個(gè)三次多項(xiàng)式有4個(gè)參數(shù)，一共是4n-4個(gè)參數(shù)，

因此需要4n-4個(gè)方程。

　　　　條件（1）n-1個(gè)曲線每個(gè)兩端經(jīng)過節(jié)點(diǎn)，提供2（n-1）=2n-2個(gè)方程；

　　　　條件（2）n-1個(gè)曲線相鄰一階導(dǎo)連續(xù)，提供n-2個(gè)方程；

　　　　條件（3）n-1個(gè)曲線相鄰二階導(dǎo)連續(xù)，提供n-2個(gè)方程；

　　以上一共是4n-6個(gè)方程，還需要2個(gè)方程，這兩個(gè)方程由邊界條件提供，條件（B1）,?（B2）,?（B3）

每個(gè)均提供2個(gè)方程，這樣就湊夠了4n-4個(gè)方程。

　　

計(jì)算的例子

　　n個(gè)節(jié)點(diǎn)，n-1條曲線。在區(qū)間? 內(nèi)，令第i條曲線為：

　　　　

　　一二三階導(dǎo)分別為：

　　　　一階：??

　　　　二階：??

　　　　三階：??

　　接下來，套用節(jié)點(diǎn)條件和邊界條件：

　　先假設(shè)相鄰節(jié)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的差值分別為:?，。

　　　　條件（1）：曲線??已經(jīng)滿足第一個(gè)式子：；

　　　　第二式 ：?

　　　　　　(I)　　　　

　　　　條件（2）：

　　　　　　(II)　　　　　　

　　　　條件（3）：

　　　　　　(III)　　　　　　　　? ?

　　　　邊界條件以非節(jié)點(diǎn)（Not-A_Knot）條件為例， 得：

　　　　　　(IV)　　,?

　　聯(lián)立方程(I)和(II)， 分別消去??和??得：

　　　　,?　　　　

　　帶入方程(III)得：

　　　　(V)　　　　

　　這里i的最大值應(yīng)該取不到n-3，當(dāng)i=n-3時(shí)，上式左邊將出現(xiàn) ，而參數(shù)a的范圍是從0到n-2，

所以不存在這項(xiàng)，此式一共是n-2個(gè)方程。

　　　　另外，方程(II)和(III)都不支持?，需要單獨(dú)計(jì)算?：

　　　　由方程(I)，(III)分別有：

　　　　　　

　　　　　　

　　　　=>

　　　　　　

　　　　　　

　　由邊界條件方程(IV)中的? 得：

　　　　

　　方程（V）取i=0有：

　　　　

　　與上式聯(lián)立消去，得：

　　　　(VI)　　

　　另由? 得：

　　　　(VII)　　?

?　　方程(V), (VI), (VII)聯(lián)立，n-1個(gè)方程，n-1個(gè)未知數(shù)（），參數(shù)a得解，然后在算出參數(shù)b和c即可。

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References:

[1] Wikipedia: spline interpolation

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/tlz888/p/11454772.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三次样条插值 cubic spline interpolation的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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