概率论与数理统计（第四版） 第一章：概率论的基本概念（总结）
1、本章分六個小節(jié)：
? 第一個小節(jié)介紹了? “隨機(jī)試驗”，
? 之后講 “事件關(guān)系的集合表示”?“概率”，“等可能概型”，“條件概率”， “事件的獨(dú)立性”。所有這些都是建立在“隨機(jī)試驗”的基礎(chǔ)上。?
? ?隨機(jī)試驗：? （1）可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）每次試驗結(jié)果不只一個，但知道所有可能結(jié)果。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）每次試驗結(jié)果不確定是哪個。
2、第二節(jié)掌握幾個重要概念，和集合運(yùn)算公式及運(yùn)算公式后代表的邏輯含義。
（1）我們進(jìn)行隨機(jī)試驗，我們將所有可能結(jié)果看成集合S，這個集合叫 “樣本空間”。
（2）隨機(jī)試驗的每個結(jié)果叫做 “樣本點”。
（3）樣本空間（集合）的子集叫做事件。? ?每次試驗時，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生。
（4）集合的運(yùn)算及含義。
? ? ? ? ? ? ??：事件B包含事件A，事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生（由于B的樣本點比A多，所以A發(fā)生，B一定發(fā)生）
? ? ? ? ? ? ? ：A和B至少有一個發(fā)生。
? :? A發(fā)生，同時B發(fā)生。
? ? ? ? ? ? ??：A發(fā)生，但B不發(fā)生。
? ? ?：A與B互斥，A與B不能同時發(fā)生。
且，?。 A與B為逆事件，每次試驗時，有且僅有一個發(fā)生。A不發(fā)生，B一定發(fā)生；B不發(fā)生，A一定發(fā)生。
,? ??? :? 交換律
,? ??? ：結(jié)合律。
,???: 分配律。
? ,? ??? ? :德摩根律 ：將集合運(yùn)算變化符號和分解。
注：一定要了解樣本空間集合的實際含義是隨機(jī)試驗的所有可能結(jié)果。
? ? ? ? 集合的運(yùn)算對應(yīng)的實際意義是事件的發(fā)生，求概率就是將事件發(fā)生轉(zhuǎn)化為集合的運(yùn)算。
? ? ? ? 交換律和結(jié)合律都是針對同一種運(yùn)算，交集或并集；分配律針對不同運(yùn)算，有兩種運(yùn)算，交集和并集。
3、第三節(jié)講的是頻率和概率
（1） 對于頻率，只需知道：當(dāng)隨機(jī)試驗次數(shù)足夠多時IE，頻率趨于穩(wěn)定，且接近于概率。
（2）概率的性質(zhì)及理解含義
? ? ? ?可列可加性：??
? ? ? ? ? ? ?? 理解： 當(dāng)我們求多個事件至少有一個發(fā)生時，用這個公式，但條件是每兩個事件互斥，即，.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 和事件的概率時，不能直接將概率相加，應(yīng)看各事件之間是否互斥（交集為空集）。
? ? ? ?加法公式：? ??
? ? ? ? ? ? ? 理解： 就和事件概率時，不能應(yīng)用可列可加性時，應(yīng)用此公式。特殊的：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??
? ? ? 減法公式：??? ?
? ? ? ? ? ? ? 理解： 應(yīng)用條件是。
4、等可能概型： 當(dāng)每個基本事件發(fā)生的概率相同且樣本空間只包含有限個元素素。
（1）由于等可能概型每個基本事件概率相等，所以，求概率時用事件所包含的基本事件除以總基本事件。
（2）首先要判斷是不是等可能概型，然后再按公式計算。
（3）重要的是確保事件包含的基本事件與總基本事件是等可能的。
5、條件概率?
（1）含義：當(dāng) A 已經(jīng)發(fā)生的情況下，B發(fā)生的概率。
（2）公式：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 理解 ：可以求取條件概率，? 等于積事件的概率除以條件事件（已經(jīng)發(fā)生的事件）的概率。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??條件是? , 因為在分母上，而且A事件已經(jīng)發(fā)生，故概率大于0。
（3）性質(zhì)
? ? ? ? ? 也有可列可加性：???,條件也是
? ? ? ? ? 也有加法公式? ? ?：??
（4）由定義可以直接得乘法公式：?。??條件是? 。
? ? ? ? ? ? ? ? 理解：也可以寫成??,此時的條件是。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?應(yīng)用此公式可以求積事件的概率。?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可以推導(dǎo)出多個積事件的 概率,如：。
（5）全概率公式：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ?理解：~為樣本空間的劃分，所有事件~的和事件為S樣本空間，且相互之間互斥，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由于應(yīng)用條件概率公式，所有每個事件的概率都大于0，即?> 0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?全概率公式提供了概率的一種求法（已知一個劃分，每個劃分事件的概率和每個劃分事件發(fā)送下所求事件的概率）。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??特殊的，當(dāng)一個劃分和時，。
（6）貝葉斯公式：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ?理解：貝葉斯公式是用來求某個劃分的概率的。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?貝葉斯公式的 分母是全概率公式，分子是條件概率乘法公式的應(yīng)用。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由于用了兩次條件概率，所以，應(yīng)用條件除了 是劃分外，還要求。
6、獨(dú)立性
（1）定義：如果兩個事件A和B，滿足式子：，則稱A與B相互獨(dú)立。
理解：乘法公式中，所以，相互獨(dú)立時，,即：B事件 的發(fā)生與A事件發(fā)生無關(guān)。
?（2）推論：
? ? ? ? ? ? ? A和B相互獨(dú)立時，和，和B，和也相互獨(dú)立。
? ? ? ? ? ? ? A和B相互獨(dú)立時，若，，反之亦然。
? ? ? ? ? ? ??如果，則A與B相互獨(dú)與互不相容不能同時成立。
? ? ? ? ? ? ?中間推導(dǎo)重要公式：.
（3）多個事件相互對立的定義
? ?A與B與C相互獨(dú)立需滿足：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
多個事件相互獨(dú)立需滿足： 任意兩個事件相互獨(dú)立，任意3個事件，...，任意n個事件的積事件的概率都等于各事件概率之積。
（4）多個事件相互獨(dú)立的推論
? ? n個事件相互獨(dú)立，則任意k（k小于n大于2）個事件也相互獨(dú)立。
? ?? n個事件相互獨(dú)立，? 則將任意多個事件換成他們的對立事件?，這n個事件仍然相互獨(dú)立。
（5）總結(jié)：相互獨(dú)立是條件概率的特殊形式，當(dāng)一個事件的發(fā)生不影響另一事件的發(fā)生時，這兩個事件相互獨(dú)立，則條件概率
乘法公式，兩個事件積的概率等于概率的積。
?
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總結(jié)：本章應(yīng)掌握隨機(jī)試驗、樣本空間、樣本點、事件、事件發(fā)生的含義。然后理解集合間運(yùn)算對應(yīng)的實際意義。
? ? ? ? ? ? 解決問題時，將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于集合的運(yùn)算公式，常用到集合的基本運(yùn)算（交、并、補(bǔ)、減、互斥、對立），分配律，摩?
? ? ? ? ? ? 爾定律，圖形分析得出公式和結(jié)論，加法公式，減法公式，可列可加（各事件互斥），條件概率計算（事件A已經(jīng)發(fā)生，
? ? ? ? ? ?故概率大于0），全概率公式，貝葉斯公式，獨(dú)立性計算。
?
? ? ? ? ? 應(yīng)用?可列可加公式的條件是事件互斥，否則用加法公式；
? ? ? ? ? 應(yīng)用條件概率的前提是條件事件概率應(yīng)大于0。
? ? ? ? ? 求積事件的概率?，應(yīng)看是否獨(dú)立，不獨(dú)立時應(yīng)用帶條件概率的乘法公式。獨(dú)立時概率相乘即可。
? ? ? ? ??A與B相互獨(dú)與互不相容不能同時成立。
?
? ? ? ? ? ?
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计（第四版） 第一章：概率论的基本概念（总结）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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