4.1 數學期望

1.?離散型隨機變量的數學期望

• E(X)：隨機變量X取值的加權平均值，權重為概率，級數𝑖=1∞𝑥𝑖𝑝𝑖收斂，則
• 0-1分布X~B(1, p)：E(x) = p
• 二項分布X~(n, p)：E(X) =np
• 指數分布X~e(𝛌)：E(X) =?
• 0-1分布X~B(1, p)：E(x) = p
• 幾何分布X ～ G(p)：E(X) =?
• 超幾何分布：E(X) =?

2.?連續型隨機變量的數學期望：

• 均勻分布X ～ U(a, b)：
• Gamma 分布𝐗~𝚪(𝜶,?𝜷)：

3.?隨機變量函數的數學期望

• 一維隨機變量：
  • 離散型：X 為離散型隨機變量，其分布律為 ，k = 1, 2, ..., y = g(x) 是 x 的 (分段) 連續函數或單調函數，且級數絕對收斂，則對Y = g(X），我們有

    • 公式的意義：求E(Y)時，不必算出的分布律或概率密度，而只要利用X的分布律或概率密度就可以了

  • 連續型：若X為連續型的，其密度函數為f(x)，且反常積分絕對收斂，則有

• 二維隨機變量：設 (X, Y) 是二維隨機變量

  • 離散型：若 (X, Y) 是離散型，二維概率分布律為。g(x, y) 是分片連續函數，且級數絕對收斂，則有

  • 連續型：若(X, Y)為連續型，其二維密度函數為f(x, y)，且反常積分絕對收斂，則有

4.?數學期望的性質

• E(C) = C
• E(CX) = CE(X)
• E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
• 若 X 和 Y 獨立，E(XY) = E(X) E(Y)
  • g(X) 和 h(Y) 也是獨立的隨機變量，E(g(X)h(Y)) = E(g(X))E(h(Y))

?

4.2 方差和矩

1.?方差的定義及計算

• 方差：隨機變量 X 取值在期望 E(X) 周圍的集中程度

• 定義：

  • 公式反映
    • D(X) ≥ 0
    • D(X) ≤ E()常用于估計方差上界

  • X為離散型：

  • X為連續型：
  • 均方差標準差：反映了隨機變量和均值的典型距離
• 0-1分布X~B(1, p)：D(x) = p(1-p)
• 二項分布X~(n, p)：D(X) =np(1-p)
• 泊松分布𝐗~𝐏(𝝀)：D(X) =𝜆
• • 幾何分布X ～ G(p)：D(X) =
• 均勻分布X ～ U(a, b)：D(X) =
• Gamma 分布𝐗~𝚪(𝜶,?𝜷)：D(X) =
• 指數分布𝐗~𝐞(𝝀)：D(X) =

2.?方差的性質

• D(C) = 0
• D(aX+b) =?
• 若X與Y獨立，則

  • 隨機變量相互獨立，是n個常數，則

  • D(X) = 0 等價于 P(X = E(X)) = 1
    • ?此時X 服從退化分布

3.?變異系數、原點矩及中心距

• 變異系數：在比較兩個隨機變量的取值集中程度時消除方差和標準差的量綱，衡量了 X 取值在 E(X) 周圍的相對集中程度（越小越集中）
• 定義：若隨機變量 X 的期望、方差均存在, 且 E(X) ≠?0, 則

• 隨機變量的原點矩和中心距： 是非負整數

  • X 的 k 階原點矩：

  • X 的 k 階中心矩：

  • 中心距可以用原點矩表示：

4.3 協方差和相關系數

1. 協方差

• 定義：Cov(X, Y) = E(X ? E(X))(Y ? E(Y)) = E(XY) ? E(X)E(Y)
• 特別情況：Cov(X, X) = D(X)
• 計算
  • ???????離散型

  • 連續型

• 協方差的性質

  • ???????Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

  • Cov(aX, Y) = a Cov(X, Y)
  • Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)
  • Cov(X, a) = 0
  • Cov(X, Y) = E(XY) ? E(X)E(Y)
  • 若 X, Y 獨立, 那么, Cov(X, Y) = 0
  • D(X ±?Y) = D(X) + D(Y) ±?2 Cov(X, Y)
• 均值向量：

• 協方差陣：

• 多項分布的協方差

• 超幾何分布的協方差

• 超幾何分布的方差

2.?相關系數

• 協方差反映隨機變量 X 與 Y 的線性相關關系, 但它受量綱的影響：Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y)。我們將根據協方差定義出一個不受量綱影響的相關系數
• 定義：
  • R(X, Y) = 0 時， X 和 Y不相關
  • R(X, Y) > 0 時，X 和 Y正相關
  • R(X, Y) < 0 時，X 和 Y負相關
  • R(X, Y) = ±1 時, X 和 Y 為完全的線性關系
    • R(X, Y) = 1 時，X 和 Y 完全正相關
    • R(X, Y) = ?1 時，X 和 Y 完全負相關

  • 注意：獨立性蘊含不相關性, 反之未必

• 性質???????

  • R(X,Y)=R(Y,X)
  • |R(X,Y)|≤1
  • |R(X, Y)| = 1 的充要條件為：存在常數 a, b, 且 a = 0，使得 P(Y = aX + b) = 1
    • (X與Y線性相關)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【笔记】概统论与数理统计第四章知识点总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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