寫在前面：

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關于二級結論如何使用我就不再多做贅述了，一定要擺正心態，那就是：

欲用此定理，并證此定理！

欲用此定理，并證此定理！

欲用此定理，并證此定理！

敲黑板，說三遍~~~

如果自己能夠完全證明出來，我覺得根本不用刻意去記，這些東西已經和你融為一體了~~學習數學大法的最高境界啊！

學習方法的鏈接，真是吐了老血了：

高中數學的學習方法問題？?www.zhihu.com

數列部分

奇偶型數列處理方式：

若

則 (合二為一)

常見求和公式：

上面四個務必掌握，下面四個選擇性掌握即可（建議記憶立方和）:

無窮等比數列{an}的和：

數列中錯位相減法的套路化公式：

為公差為d的等差數列， 為公比為q的等比數列，若數列 滿足 ，則數列 的前n項和為

求數列

的前n項的和:

（1）錯位相減套公式：

數列

的前n項和

其中：

（2）化常數列求和：

（3）導數法求和：

數列不動點問題：

定義：方程

的根稱為函數 的不動點

利用遞推數列

的不動點，可將某些遞推關系 所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種方法稱為不動點法.

定理1：若

是的不動點，滿足遞推關系 ，則 ，即是公比為 的等比數列.

定理2：設

滿足遞推關系 ，初值條件

(1)若

有兩個相異的不動點 ，則 （這里 ）

(2)若

只有唯一不動點 ，則 （這里 ）

定理3：設函數

有兩個不同的不動點 ,且由 確定的數列 ,那么當且僅當 時,

等差數列中前n項和Sn的最值問題：

若

則前m項和Sm最大；

若

則前m項和Sm最小．

如果前n項和

(A,B是常數n∈N*)，則也可按二次函數求最值．

設a1>0(<0)，且Sp＝Sq

若p＋q是偶數，則

時， Sn最大（最小）；

若p＋q是奇數，則

時，Sn最大（最小）

等差數列{an}的性質：（設m、n、p、q∈N*）

（1）如果m＋n＝2p， 則

；

（2）如果m＋n＝p＋q，則

（3）在等差數列中等距離的取出若干項也構成等差數列；

（4）在等差數列中依次取出若干個n項，其和也構成等差數列，即

也為等差數列，公差為 ；

圖示理解：

（5）

（6）兩個等差數列

與的和差的數列 仍為等差數列．

（7）等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn ,Tn ,則

證明過程：

等比數列{an}的性質：（設m、n、p、q∈N*）

（1）如果m＋n＝2p， 則

；

（2）如果m＋n＝p＋q，則

（3）在等比數列中等距離的取出若干項也構成等比數列；

（4）在等比數列(公比q≠－1)中依次取出若干個n項，其和也構成等比數列，即

也為等比數列，公比為；

圖示理解：

（5）兩個等比數列積、商的數列仍為等比數列；

（6）等比數列各項的乘方、開方、倒數的數列仍為等比數列．

（7）等比數列{an}的連續n項的積構成的數列：

仍為等比數列．

（8）

是等比數列，則 是等差數列．

等差數列和等比數列Sn中系數的特征：

中的常數項為0是等差數列前n項和的重要特征

中的 的系數A與常數項－A互為相反數是公比不為1的等比數列前n項和的重要特征。

等差數列與等比數列奇偶項問題：

在等差數列中，

當項數為2n時，S偶 ?S奇 =nd；

當項數為2n?1時，S奇 ?S偶 =an（中間項）.

在等比數列中，

當項數為2n時，S偶/S奇=q

當項數為2n?1時，(S奇-a1)/S偶=q.

一般數列的處理方法（遞推數列）

（1）型如

的遞推數列通常用疊加法求通項．

（2）型如

的遞推數列通常用疊乘法求通項．

（3）型如

(A、B是非0常數，A≠1)的遞推數列，通常用待定系數法或求特征根的方法構造等比數列求通項．

（4）型如

的遞推數列通常用待定系數法構造等比數列求通項．

（5）型如

的遞推數列，當B=A時兩邊同除以 構造等差數列.當B≠A時通常用待定系數法構造等比數列求通項．

（6）型如

(Sn是數列前n項和)的遞推數列通常利用公式 消和Sn或消項an, 從而化成型如前面的遞推數列．

（7）型如

的遞推數列都可以用倒數法求通項．

（8）其它類型的遞推數列可根據不同的題采取不同的方法處理,比如歸納,猜想,再用數學歸納法證明等等.

（9）函數與數列的關系:

當函數y＝f(x)是單調函數時，數列an＝f(n)必是單調數列，反之不正確；

當函數y＝f(x)是單調函數時，數列an+1＝f(an)的單調性不確定．

斐波那契數列（兔子數列）：

（1）斐波那契數列從第3項起，每一項都是前面兩項之和

其通項可通過特征根方程求得

（2）斐波那契數列的偶數項之和：

（3）斐波那契數列的奇數項之和：

即

（3）斐波那契數列的前n項之和：

數列的周期性：

類比周期函數的概念，我們可定義：對于數列{an}，如果存在一個常數

使得對任意的正整數 恒有 成立，則稱數列{an}是從第 項起的周期為T的周期數列。若 ，則稱數列{an}為純周期數列，若 ，則稱數列{an}為混周期數列，T的最小值稱為最小正周期，簡稱周期.

常見周期如下所列：

（1）

（2）

（3）

特別地，

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

類比

常用的放縮和裂項相消方法：

不等式的證明常常和數列交匯命題，其常用的放縮、裂項相消方法是：

（均值放縮）

三角函數與數列相結合的裂項相消：

已知數列

是公差為 的等差數列，則

對任一自然數

及任意實數有:

三角函數數列求和裂項相消：

完美結束。

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END

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總結

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