第三章 多維隨機變量及其分布

§?1 二維隨機變量

二維隨機變量定義: 設E是一個隨機試驗, 它的樣本空間是S={e}, 設$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定義在S上的隨機變量, 由它們構成的一個向量$(X,Y)$,叫做二維隨機向量或二維隨機變量.

二維隨機變量$(X,Y)$的分布函數的定義: 又稱為隨機變量X, Y的聯合分布函數.設( $X,Y$ )是二維隨機變量,對于任意實數 $x,y,$ 二元函數

$$F(x,y)=P\{(X?x)\cap (Y?y)\}\stackrel{\text{?記成?}}{=}P\{X?x,Y?y\}$$

四大基本性質:

$F(x,y)$ 是變量 $x$ 和 $y$ 的不減函數

$0?F(x,y)?1$, 且

對于任意固定的 $y,F(?\infty ,y)=0$

對于任意畫定的 $x,F(x,?\infty )=0$
$F(?\infty ,?\infty )=0,F(\infty ,\infty )=1$

$F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y),$ 即 $F(x,y)$ 關于 $x$ 右連續,關于 $y$ 也右連續.

對于任意 $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),x_1<x_2,y_1<y_2,$ 下述不等式成立: $F\left(x_2,y_2\right)?F\left(x_2,y_1\right)+F\left(x_1,y_1\right)?F\left(x_1,y_2\right)?0$

離散型的隨機變量的定義: 二維隨機變量$(X,Y)$所有可能取到的值是有限對或可列無限多對

二維離散型隨機變量$(X,Y)$的分布律: 又稱為隨機變量X和Y的聯合分布律

二維離散型隨機變量$(X,Y)$的分布函數:$F(x,y)={\sum }_{x_i?x{y}_j?y}{p}_{ij}$

連續型的二維隨機變量的分布函數:$F(x,y)={\int }_{?\infty }^y{\int }_{?\infty }^{x}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

其中, $ f(u, v) $為??二維離散型隨機變量$(X, Y)$的概率密度**

概率密度的四大性質:

$f(x,y)?0$

${\int }_{?\infty }^{\infty }{\int }_{?\infty }^{\infty }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=F(\infty ,\infty )=1$

設 G 是 $xOy$ 平面上的區域,點 $(X,Y)$ 落在 $G$ 內的概率為
$$P\{(X,Y)\in G\}={?}_{G}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

若 $f(x,y)$ 在點 $(x,y)$ 連續 $,$ 則有
$$\frac{{?}^{2}F(x,y)}{?x?y}=f(x,y)$$

§?2 邊緣分布

二維離散型隨機變量$(X,Y)$的邊緣分布函數: 隨機變量X, Y各自的分布函數

邊緣分布函數和分布函數的關系:
$$F_X(x)=P\{X?x\}=P\{X?x,Y<\infty \}=F(x,\infty )$$
就是說，只要在函數 $F(x,y)$ 中令 $y\to \infty$ 就能得到 $F_X(x)$

邊緣分布律:

X的分布律:$$P\left\{X=x_i\right\}=\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij},i=1,2,?$$

Y的分布律:$$P\left\{Y=y_j\right\}=\sum _{i=1}^{\infty }{p}_{ij},j=1,2,?$$

分別稱 $p_i.(i=1,2,?)$ 和 $p.j(j=1,2,?)$ 為( $X,Y$ ) 關于 $X$ 和關于 $Y$ 的邊緣分布律(注意, 記號 $p_i.$ 中的“?"表示 $p_i.$ 是由 $p_{ij}$ 關于 $j$ 求和后得到的;同樣 $,p.$ 是由 $p_{ij}$ 關于 $i$ 求和后得到的）.

邊緣概率密度:

X的概率密度:
$$f_X(x)={\int }_{?\infty }^{\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$$
Y的概率密度:
$$f_Y(y)={\int }_{?\infty }^{\infty }f(x,y)\mathrm{d}x$$
分別稱 $f_X(x),f_Y(y)$ 為 $(X,Y)$ 關于 $X$ 和關于 Y 的邊緣概率密度.

§?3 條件分布

**條件分布的定義: ** 設 ( $X,Y$ ) 是二維離散型 隨機變量，對于固定的 $j,$ 若 $P\left\{Y=y_j\right\}>0$, 則稱
$$P\left\{X=x_i\mid Y=y_j\right\}=\frac{P\left\{X=x_i,Y=y_j\right\}}{P\left\{Y=y_j\right\}}=\frac{p_{ij}}{p_{ij}},i=1,2,?$$
為在 $Y=y_j$ 條件下隨機變量 X 的條件分布律。

條件分布具有的分布律性質:

$P\left\{X=x_i\mid Y=y_j\right\}?0$

${\sum }_{i=1}^{\infty }P\left\{X=x_i\mid Y=y_j\right\}={\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{p_{ij}}{p_{ij}}=\frac{1}{p_{ij}}{\sum }_{i=1}^{\infty }{p}_{ij}=\frac{p_j}{p_{ij}}=1$

條件概率密度的定義: 設二維隨機變量$(X，Y)$的概率密度為 $f(x,y),(X,Y)$ 關于 $Y$ 的邊緣概率密度為 $f_Y(y).$ 若對于固定的 $y,f_Y(y)>0,$ 則稱 $\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ 為在 $Y=y$ 的條件下 X 的條件概率密度，記
$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

§?4 相互獨立的隨機變量

定義: 設 $F(x,y)$ 及 $F_X(x),F_Y(y)$ 分別是二維隨機變量 $(X,Y)$ 的分布函數及邊緣分布 函數. 若對于所有 $x,y$ 有
$$P\{X?x,Y?y\}=P\{X?x\}P\{Y?y\}$$
即,
$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$
則稱隨機變量 X 和 Y 是相互獨立的

§?5 兩個隨機變量的函數分布

(一) $Z=X+Y$ 的分布

設( $X,Y$ ) 是二維連續型隨機變量 $,$ 它具有概率密度 $f(x,y).$ 則 $Z=X+Y$ 仍為連續型隨機變量,其概率密度為
$$f_{X+Y}(z)={\int }_{?\infty }^{\infty }f(z?y,y)\mathrm{d}y$$
或
$$f_{X+Y}(z)={\int }_{?\infty }^{\infty }f(x,z?x)\mathrm{d}x$$

卷積公式:

又若 X 和 Y 相互獨立，設 (X,Y) 關于 X,Y 的邊緣密度分別為 $f_X(x)$, $f_Y(y)$, 則
$$f_{X+Y}(z)={\int }_{?\infty }^{\infty }{f}_X(z?y)f_Y(y)\mathrm{d}y$$
和
$$f_{X+Y}(z)={\int }_{?\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z?x)\mathrm{d}x$$
稱為$f_X$ 和 $f_Y$ 的卷積公式 $,$ 記為 $f_X?f_Y,$ 即
$$f_X?f_Y={\int }_{?\infty }^{\infty }{f}_X(z?y)f_Y(y)\mathrm{d}y={\int }_{?\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z?x)\mathrm{d}x$$

(二) $Z=\frac{Y}{X}$ 的分布 $,Z=XY$ 的分布

設(X,Y)是二維連續型隨機變量，它具有概率密度 $f(x,y),$ 則 $Z=\frac{Y}{X}$, $Z=XY$ 仍為連續型隨機變量，其概率密度分別為
$$f_{Y/X}(z)={\int }_{?\infty }^{\infty }|x|f(x,xz)\mathrm{d}x$$

$$f_{XY}(z)={\int }_{?\infty }^{\infty }\frac{1}{|x|}f\left(x,\frac{z}{x}\right)\mathrm{d}x$$

(三) $M=max\{X,Y\}$ 及 $N=min\{X,Y\}$的分布

設 X，Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為 $F_X(x)$ 和$F_Y(y).$ 現在來求 $M=\max \{X,Y\}$ 及 $N=\min \{X,Y\}$ 的分布函數.

由于 $M=\max \{X,Y\}$ 不大于 $z$ 等價于 $X$ 和 $Y$ 都不大于 $z$,故有
$$P\{M?z\}=P\{X?z,Y?z\}$$
又由于 X 和 Y 相互獨立，得到 $M=\max \{X,Y\}$ 的分布 函數為
$$F_{\max }(z)=P\{M?z\}=P\{X?z,Y?z\}=P\{X?z\}P\{Y?z\}$$
即有 $F_{\max }(z)=F_X(z)F_Y(z)$

類似地，可得 $N=\min \{X,Y\}$ 的分布函數為
$$\begin{array}{rl}{F}_{\min }(z)& =P\{N?z\}=1?P\{N>z\}\\ & =1?P\{X>z,Y>z\}=1?P\{X>z\}?P\{Y>z\}\end{array}$$
即
$$F_{\min }(z)=1?\left[1?F_X(z)\right]\left[1?F_Y(z)\right]$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计-读书笔记3的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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