「不等式」和「最值」之間有著非常天然的強(qiáng)聯(lián)系；基本不等式有3個(gè)非常明顯的形式特征；知識(shí)點(diǎn)的用法比知識(shí)點(diǎn)本身更重要。

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今天我們來看2017年天津卷的數(shù)學(xué)高考題目，這道題同時(shí)出現(xiàn)在了天津卷的文科考卷跟理科考卷上，這也再一次的驗(yàn)證了我一直告訴你的一句話：高中數(shù)學(xué)的大部分知識(shí)點(diǎn)，文科的考法跟理科的考點(diǎn)和考法是一樣的，你沒有必要給它們貼上特定的標(biāo)簽。

就比如這道天津省的高考題：

讀完題目后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這道題的解題方法很明顯需要用到基本不等式。如果你讀完題后根本想不到這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，那就說明你的知識(shí)學(xué)習(xí)存在很大漏洞，我們來回顧一下基本不等式的基本特點(diǎn)。

01、「基本不等式」的三個(gè)要點(diǎn)

我們每個(gè)人都懂基本不等式的公式，可是在考試中有一部分學(xué)生他們只是知道基本不等式的內(nèi)容，并不知道什么時(shí)候用這個(gè)基本不等式，我以前常說，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)固然重要，但比知識(shí)點(diǎn)更重要的是知識(shí)點(diǎn)的考法。

所以我今天想談一談：你在什么時(shí)候想到用基本不等式。

首先，基本不等式的形式是a2+c2≥2ac，它是一個(gè)不等式，是一個(gè)可以用來求最值的公式，換句話來說，比如現(xiàn)在我們知道a2+c2的值，那么我們可以通過基本不等式求出a×c的 *最大值*，反之可以求出一個(gè)和的 *最小值* 。

——這其實(shí)是不等式的一條天然屬性：它可以用來求最值。所以下一次如果你讀題遇到求最值的問題，比較可行的一個(gè)思路是你要看看它能不能用基本不等式。

我在《高中數(shù)學(xué)15講》里談「不等式」這一章節(jié)時(shí)特別講了如何將不等式和「求最值」的問題進(jìn)行關(guān)聯(lián)思考的原則，如果你感興趣、可以在公眾號「效率研究所」左下角的「線上課程」。

當(dāng)然、求最值的方法有很多，基本不等式求最值只是其中的一種方法，這一點(diǎn)只能說是基本不等式的特征，算不得什么顯眼的特性，基本不等式真正獨(dú)特的地方在于：

我們高中數(shù)學(xué)學(xué)過成百上千的公式，可是只有一個(gè)公式能夠?qū)ⅰ讣臃ā购汀赋朔ā惯@兩種運(yùn)算關(guān)聯(lián)起來、并且相互轉(zhuǎn)換，這就是基本不等式——這一點(diǎn)、我們也可以從基本不等式的公式形式看出來。

所以，當(dāng)題目中出現(xiàn)了加法和乘法的轉(zhuǎn)換，我們很自然的就要想到基本不等式。

最后我還想說的是：當(dāng)你用基本不等式將一個(gè)加法運(yùn)算升格成為乘法運(yùn)算，你損失了加法這兩項(xiàng)的次數(shù)——這就是基本不等式的三個(gè)特點(diǎn)。

當(dāng)題目中出現(xiàn)了跟這三個(gè)特點(diǎn)有關(guān)系的內(nèi)容時(shí)，我們一定要想到用基本不等式。

02、「基本不等式」的實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用

我們回歸這道題本身，你可能已經(jīng)把題給忘了，我再貼一次題干：

請注意：題目要求最值——這是一條非常隱晦的提示，你要想到基本不等式可以用來求最值。

而且根據(jù)題目所求式子的形式，我們再思考一下基本不等式的特點(diǎn)，我們很容易就可以想到用基本不等式來做。

我們遇到的主要困難是：題目中的式子的形式與基本不等式平方的形式不符——基本不等式講的是二次方的問題，但是這道題說的是四次方。

但是仔細(xì)觀察一下，其實(shí)發(fā)現(xiàn)a?可以轉(zhuǎn)化為（a2)2，4b?可以轉(zhuǎn)化為(2b2)2——在這里我們可以把a(bǔ)2和2b2看成一個(gè)整體，再用基本不等式放縮，得到a?+4b?≥4a2b2：

看上圖黃色的部分，現(xiàn)在我們已經(jīng)得到了與ab相關(guān)的式子，但是分子是a2b2的形式，分母是ab的形式，我們需要再用一次基本不等式降低分子的次數(shù)——這提示我們其實(shí)可以再用一次基本不等式。

最后得出式子4a2b2+1≥4ab，通過計(jì)算得出的最終答案是：最小值為4。

03、加 餐：重溫一道舊題目

在我們之前的 專 欄 中、我們用函數(shù)的方法講解了2017年北京卷文科數(shù)學(xué)的第11題，當(dāng)時(shí)我們用了把它轉(zhuǎn)化成了一個(gè)在固定區(qū)間上求解二次函數(shù)取值范圍的這種方法，這次我們再用不等式的方法從另一角度講解這道題：

我們先來看這道題，這道題按照正常思路，我們首先應(yīng)該將x+y=1平方，變?yōu)楹衳2+y2的式子，也就是（x+y)2=x2+y2+2xy=1，換句話來說，這道題被轉(zhuǎn)化成了求1-2xy的最值，而1是定值，所以式子的最值就由xy決定，這道題的重點(diǎn)就變成了求xy的最大值。

我們從x2+y2到xy，既要將加法運(yùn)算變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算，又要進(jìn)行降次，這很明顯提示我們需要用到基本不等式：x2+y2≥2xy。

我們看下圖的黃色與藍(lán)色部分：

將x2+y2≥2xy和1-2xy兩式聯(lián)合，得到1≥4xy，xy的最大值為1/4，進(jìn)一步的計(jì)算可得x2+y2的最小值。

且題目中告訴我們x≥0,y≥0，所以我們可以認(rèn)為xy的最小值為最小非負(fù)整數(shù)0，所以x2+y2的最大值為1，這道求取值范圍的題目就結(jié)束了。

04、復(fù) 盤：從這道題目中學(xué)會(huì)了什么？

我們再來梳理一下「如何運(yùn)用基本不等式」這個(gè)問題。

這兩道題目都可以用基本不等式來做，而基本不等式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)本身不重要，我們每個(gè)人都知道基本不等式，重要的是我們?nèi)绾胃鶕?jù)基本不等式的三條特點(diǎn)來判斷在何種情況下使用基本不等式？這三點(diǎn)非常重要：1.基本不等式可以求最值。
2.基本不等式高中數(shù)學(xué)唯一一個(gè)可以將乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算聯(lián)系起來的公式
3.再用基本不等式將加法升格為乘法時(shí)，損失了次數(shù)。
總的來說，單單學(xué)會(huì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是不足以保證你能得高分的；只有知道這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在什么情況下能用，這才能夠運(yùn)用到解題的過程中。

類似的問題在2018年的高考真題中也同樣出現(xiàn)，用到了相同的解答策略，你可以在《萬劍歸宗十套卷第二期：2018年高考真題精講》中收聽這道相關(guān)題目的講解，歡迎你和大家一起學(xué)習(xí)。

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00 / 16天提升53分，我總結(jié)了6個(gè)關(guān)鍵學(xué)習(xí)方法（8000字干貨）

01 / 真題精講 - 01 | 分析「函數(shù)」的基本原則

02 / 真題精講 - 02 | 通過「定義域」構(gòu)建解題思路

03 / 真題精講 - 03 | 通過「單調(diào)性分析」構(gòu)建解題思路

04 / 真題精講 - 04 | 函數(shù)「對稱性」的條件識(shí)別原則

05 / 真題精講 - 05 | 使用正弦定理進(jìn)行「邊角互化」的基本原則

06 / 真題精講 - 06 | 從源頭追溯「余弦定理」& 文理科知識(shí)點(diǎn)的異同

07 / 真題精講 - 07 | 三角函數(shù)求最值的常規(guī)原則

08 / 真題精講 - 08 | 三角函數(shù)求最值的轉(zhuǎn)化思路

09 / 真題精講 - 09 | 題目條件可以「用了再用」

10 / 真題精講 - 10 | 影響平面向量和差模長的因素分析

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三个不等_2道真题，讲透「基本不等式」的使用原则 | 真题精讲-11的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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