有的時候，網絡流建模要考慮某些邊必須選擇若干次，又不能多于若干次，而且不太容易轉化成比較好的限制模型，

就簡單粗暴地給每條邊定一個流量的上下界，求在滿足上下界的基礎上的一些問題。

大概有以下幾種。

基本思路都是先滿足下界，再調整流量守恒，一邊滿足最優(yōu)性。

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無源匯上下界可行流

每條邊的流量有上下界
問是否存在一種可行方案

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首先我們要保證每個點的流入流量等于流出流量
如果存在一個可行流,那么一定滿足每條邊的流量都大于等于流量的下限.因此我們可以令每條邊的流量等于流量下限,得到一個初始流,然后建出這個流的殘量網絡，每條邊的流量等于上限減下限。
但現在可能流量不是守恒的，讓t[i]=流入量-流出量
我們建出虛擬的源點和匯點，如果t[i]>0,源點向i連t[i]的邊，否則i點向匯點連-t[i]的邊，看是否滿流即可

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注意，把下界干掉時，不是真的流過去，反向邊不用動。因為這里不能反悔。

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有源匯上下界可行流

T到S連一條inf的邊e。然后同上。

設e的最終流量是w，則原圖的可行流就是w

證明：

S，T本身沒有入邊、出邊，那么e的流量就是S流出的，流到T的流量。

拆掉這個邊，每個邊流量加上下界

由于剩下的圖中，滿足流量守恒和上下界，那么一定是一個合法的網絡流流量分配，那么S流出的流量w就是總流量

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無源匯上下界最小費用可行流

干掉下界的時候，把費用先計算上。

把超級源超級匯求最大流的一步，換成最小費用最大流即可。

即滿足合法的前提下，最小化費用。

費用就是之前的費用加上這次的費用。

例題：[NOI2008]志愿者招募

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有源匯上下界最小費用可行流

t到s是（inf，0）的邊。

同上。

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有源匯上下界（最小費用）最大流

先求可行流

現在流量已經守恒了。

拆掉t到s的邊

殘量網絡上求s到t的最大流即可。

因為最大流過程一定滿足流量守恒，所以依然合法。所以求可行流的反向邊流量可以保留，支持反悔。

最大流=可行流+s到t的增加的最大流

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如果涉及最小費用，把所有的最大流換成最小費用最大流即可。

記得統(tǒng)計三次費用。

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有源匯上下界（最小費用）最小流

https://blog.csdn.net/Hanks_o/article/details/77995557

兩種方法。

第一種：

直接類比上面的 有源匯上下界（最小費用）最大流

理解一下反邊，就是反悔。

t到s的最大流，就是s到t能減少的最多的流量。

所以最后一步，求t到s的最大流。

最小流=可行流-t到s的最大流。

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第二種：（并不如第一個好理解）

類似 <有源匯上下界可行流> 的構圖方法，但是不添加T到S的邊，求一次超級源到超級匯的最大流。
加邊(T,S,0,+∞)，在上一步殘量網絡基礎上再求一次超級源到超級匯的最大流。
流經T到S的邊的流量就是最小流的值。

該算法的思想是在第一步中盡可能填充循環(huán)流，以減小最小流的代價。

第二步最大流為了保證合法性。

其實相當于，第一步先占據一些循環(huán)流，然后再跑完第二個最大流之后，刪掉t到s的邊，對于一些第一步構成的循環(huán)流，刪掉。

觀察現在實際的圖流量分配，就是最小流了。

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例題： P4843 清理雪道

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轉載于:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/10132570.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[学习笔记]上下界网络流的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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