前言

數(shù)學(xué)建模四類基本模型的總結(jié)

1.優(yōu)化模型

1.1 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

線性規(guī)劃、整數(shù)線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

1.2 微分方程組模型

阻滯增長(zhǎng)模型、SARS傳播模型。

1.3 圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題

最短路徑問(wèn)題、網(wǎng)絡(luò)最大流問(wèn)題、最小費(fèi)用最大流問(wèn)題、最小生成樹問(wèn)題(MST)、旅行商問(wèn)題(TSP)、圖的著色問(wèn)題。

1.4 概率模型

決策模型、隨機(jī)存儲(chǔ)模型、隨機(jī)人口模型、報(bào)童問(wèn)題、Markov鏈模型。

1.5 組合優(yōu)化經(jīng)典問(wèn)題

• 多維背包問(wèn)題(MKP)

背包問(wèn)題：$n$個(gè)物品，對(duì)物品$i$，體積為$w_i$，背包容量為$W$。如何將盡可能多的物品裝入背包。

多維背包問(wèn)題：$n$個(gè)物品，對(duì)物品$i$，價(jià)值為$p_i$，體積為$wi$，背包容量為$W$。如何選取物品裝入背包，是背包中物品的總價(jià)值最大。

多維背包問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用有：資源分配、貨物裝載和存儲(chǔ)分配等問(wèn)題。該問(wèn)題屬于$NP$難問(wèn)題。

• 二維指派問(wèn)題(QAP)

工作指派問(wèn)題：$n$個(gè)工作可以由$n$個(gè)工人分別完成。工人$i$完成工作$j$的時(shí)間為$d_{ij}$。如何安排使總工作時(shí)間最小。

二維指派問(wèn)題（常以機(jī)器布局問(wèn)題為例）：$n$臺(tái)機(jī)器要布置在$n$個(gè)地方，機(jī)器$i$與$k$之間的物流量為$f_{ik}$，位置$j$與$l$之間的距離為$d_{jl}$，如何布置使費(fèi)用最小。

二維指派問(wèn)題在實(shí)際中的應(yīng)用有：校園建筑物的布局、醫(yī)院科室的安排、成組技術(shù)中加工中心的組成問(wèn)題等。

• 旅行商問(wèn)題(TSP)

旅行商問(wèn)題：有$n$個(gè)城市，城市$i$與$j$之間的距離為$d_{ij}$，找一條經(jīng)過(guò)個(gè)城市的巡回（每個(gè)城市經(jīng)過(guò)且只經(jīng)過(guò)一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)），使得總路程最小。

• 車輛路徑問(wèn)題(VRP)

車輛路徑問(wèn)題（也稱車輛計(jì)劃）：已知$n$個(gè)客戶的位置坐標(biāo)和貨物需求，在可供使用車輛數(shù)量及運(yùn)載能力條件的約束下，每輛車都從起點(diǎn)出發(fā)，完成若干客戶點(diǎn)的運(yùn)送任務(wù)后再回到起點(diǎn)，要求以最少的車輛數(shù)、最小的車輛總行程完成貨物的派送任務(wù)。

TSP問(wèn)題是VRP問(wèn)題的特例。

• 車間作業(yè)調(diào)度問(wèn)題(JSP)

車間調(diào)度問(wèn)題：存在$j$個(gè)工作和$m$臺(tái)機(jī)器，每個(gè)工作由一系列操作組成，操作的執(zhí)行次序遵循嚴(yán)格的串行順序，在特定的時(shí)間每個(gè)操作需要一臺(tái)特定的機(jī)器完成，每臺(tái)機(jī)器在同一時(shí)刻不能同時(shí)完成不同的工作，同一時(shí)刻同一工作的各個(gè)操作不能并發(fā)執(zhí)行。如何求得從第一個(gè)操作開始到最后一個(gè)操作結(jié)束的最小時(shí)間間隔。

2 分類模型

判別分析是在已知研究對(duì)象分成若干類型并已經(jīng)取得各種類型的一批已知樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)某些準(zhǔn)則建立判別式，然后對(duì)未知類型的樣品進(jìn)行判別分析。

聚類分析則是給定的一批樣品，要?jiǎng)澐值念愋蛯?shí)現(xiàn)并不知道，正需要通過(guò)局內(nèi)分析來(lái)給以確定類型的。

2.1 判別分析

• 距離判別法

基本思想：首先根據(jù)已知分類的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各類的重心即分組(類)的均值，判別準(zhǔn)則是對(duì)任給的一次觀測(cè)，若它與第$i$類的重心距離最近，就認(rèn)為它來(lái)自第類。

至于距離的測(cè)定，可以根據(jù)實(shí)際需要采用歐氏距離、馬氏距離、明科夫距離等。

• Fisher判別法

$y=\sum _{i=1}^p{c}_i{x}_i$
基本思想：從兩個(gè)總體中抽取具有個(gè)指標(biāo)的樣品觀測(cè)數(shù)據(jù)，借助方差分析的思想構(gòu)造一個(gè)判別函數(shù)或稱判別式$y=\sum _{i=1}^p{c}_i{x}_i$。其中系數(shù)確定的原則是使兩組間的區(qū)別最大，而使每個(gè)組內(nèi)部的離差最小。

對(duì)于一個(gè)新的樣品，將它的$p$個(gè)指標(biāo)值代人判別式中求出 $y$值，然后與判別臨界值(或稱分界點(diǎn)(后面給出)進(jìn)行比較，就可以判別它應(yīng)屬于哪一個(gè)總體。在兩個(gè)總體先驗(yàn)概率相等的假設(shè)下，判別臨界值一般取：$y_0=\frac{n_1{\overline{y}}^{(1)}+n_2{\overline{y}}^{(2)}}{n_1+n_2}$

最后，用$F$統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)判別效果，若$F>F_a$則認(rèn)為判別有效，否則判別無(wú)效。

以上描述的是兩總體判別，至于多總體判別方法則需要加以擴(kuò)展。

Fisher判別法隨著總體數(shù)的增加，建立的判別式也增加，因而計(jì)算比較復(fù)雜。

• Bayes判別法

基本思想：假定對(duì)所研究的對(duì)象有一定的認(rèn)識(shí)，即假設(shè)$k$個(gè)總體中，第$i$個(gè)總體$G_i$的先驗(yàn)概率為$q_i$，概率密度函數(shù)為$f_i(x)$。再利用bayes公式計(jì)算觀測(cè)樣品$x$來(lái)自第$j$個(gè)總體的后驗(yàn)概率

• 逐步判別法

基本思想與逐步回歸法類似，采用“有進(jìn)有出”的算法，逐步引入變量，每次引入一個(gè)變量進(jìn)入判別式，則同時(shí)考慮在較早引入判別式的某些作用不顯著的變量剔除出去。

2.2 聚類分析

聚類分析是一種無(wú)監(jiān)督的分類方法，即不預(yù)先指定類別。

根據(jù)分類對(duì)象不同，聚類分析可以分為樣本聚類（Q型）和變量聚類（R型）。樣本聚類是針對(duì)觀測(cè)樣本進(jìn)行分類，而變量聚類則是試圖找出彼此獨(dú)立且有代表性的自變量，而又不丟失大部分信息。變量聚類是一種降維的方法。

• 系統(tǒng)聚類法（分層聚類法）

基本思想：開始將每個(gè)樣本自成一類；然后求兩兩之間的距離，將距離最近的兩類合成一類；如此重復(fù)，直到所有樣本都合為一類為止。

適用范圍：既適用于樣本聚類，也適用于變量聚類。并且距離分類準(zhǔn)則和距離計(jì)算方法都有多種，可以依據(jù)具體情形選擇。

• 快速聚類法（K-均值聚類法）

基本思想：按照指定分類數(shù)目$n$，選擇$n$個(gè)初始聚類中心$Z_i(i=1,2,3,...,n)$；計(jì)算每個(gè)觀測(cè)量（樣本）到各個(gè)聚類中心的距離，按照就近原則將其分別分到放入各類中；重新計(jì)算聚類中心，繼續(xù)以上步驟；滿足停止條件時(shí)（如最大迭代次數(shù)等）則停止。

使用范圍：要求用戶給定分類數(shù)目$n$，只適用于樣本聚類（Q型），不適用于變量聚類（R型）。

• 兩步聚類法（智能聚類方法）

基本思想：先進(jìn)行預(yù)聚類，然后再進(jìn)行正式聚類。

適用范圍：屬于智能聚類方法，用于解決海量數(shù)據(jù)或者具有復(fù)雜類別結(jié)構(gòu)的聚類分析問(wèn)題。可以同時(shí)處理離散和連續(xù)變量，自動(dòng)選擇聚類數(shù)，可以處理超大樣本量的數(shù)據(jù)。

• 模糊聚類分析

• 與遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或灰色理論聯(lián)合的聚類方法

2.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類方法

3. 評(píng)價(jià)模型

3.1 層次分析法(AHP)

基本思想：是定性與定量相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策、評(píng)價(jià)方法。將決策的有關(guān)元素分解成目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層，并通過(guò)人們的判斷對(duì)決策方案的優(yōu)劣進(jìn)行排序，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性和定量分析。它把人的思維過(guò)程層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學(xué)為分析、決策、評(píng)價(jià)、預(yù)報(bào)和控制提供定量的依據(jù)。

基本步驟：構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型；構(gòu)建成對(duì)比較矩陣；層次單排序及一致性檢驗(yàn)（即判斷主觀構(gòu)建的成對(duì)比較矩陣在整體上是否有較好的一致性）；層次總排序及一致性檢驗(yàn)（檢驗(yàn)層次之間的一致性）。

優(yōu)點(diǎn)：它完全依靠主觀評(píng)價(jià)做出方案的優(yōu)劣排序，所需數(shù)據(jù)量少，決策花費(fèi)的時(shí)間很短。從整體上看，AHP在復(fù)雜決策過(guò)程中引入定量分析，并充分利用決策者在兩兩比較中給出的偏好信息進(jìn)行分析與決策支持，既有效地吸收了定性分析的結(jié)果，又發(fā)揮了定量分析的優(yōu)勢(shì)，從而使決策過(guò)程具有很強(qiáng)的條理性和科學(xué)性，特別適合在社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的決策分析中使用。

缺點(diǎn)：用AHP進(jìn)行決策主觀成分很大。當(dāng)決策者的判斷過(guò)多地受其主觀偏好影響，而產(chǎn)生某種對(duì)客觀規(guī)律的歪曲時(shí)，AHP的結(jié)果顯然就靠不住了。

適用范圍：尤其適合于人的定性判斷起重要作用的、對(duì)決策結(jié)果難于直接準(zhǔn)確計(jì)量的場(chǎng)合。要使AHP的決策結(jié)論盡可能符合客觀規(guī)律，決策者必須對(duì)所面臨的問(wèn)題有比較深入和全面的認(rèn)識(shí)。另外，當(dāng)遇到因素眾多，規(guī)模較大的評(píng)價(jià)問(wèn)題時(shí)，該模型容易出現(xiàn)問(wèn)題，它要求評(píng)價(jià)者對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)、包含的要素及其相互之間的邏輯關(guān)系能掌握得十分透徹，否則評(píng)價(jià)結(jié)果就不可靠和準(zhǔn)確。

改進(jìn)方法：

(1) 成對(duì)比較矩陣可以采用德爾菲法獲得。

(2) 如果評(píng)價(jià)指標(biāo)個(gè)數(shù)過(guò)多（一般超過(guò)9個(gè)），利用層次分析法所得到的權(quán)重就有一定的偏差，繼而組合評(píng)價(jià)模型的結(jié)果就不再可靠。可以根據(jù)評(píng)價(jià)對(duì)象的實(shí)際情況和特點(diǎn)，利用一定的方法，將各原始指標(biāo)分層和歸類，使得每層各類中的指標(biāo)數(shù)少于9個(gè)。

3.2 灰色綜合評(píng)價(jià)法（灰色關(guān)聯(lián)度分析）

基本思想：灰色關(guān)聯(lián)分析的實(shí)質(zhì)就是，可利用各方案與最優(yōu)方案之間關(guān)聯(lián)度大小對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行比較、排序。關(guān)聯(lián)度越大，說(shuō)明比較序列與參考序列變化的態(tài)勢(shì)越一致，反之，變化態(tài)勢(shì)則相悖。由此可得出評(píng)價(jià)結(jié)果。

基本步驟：建立原始指標(biāo)矩陣；確定最優(yōu)指標(biāo)序列；進(jìn)行指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化或無(wú)量綱化處理；求差序列、最大差和最小差；計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)；計(jì)算關(guān)聯(lián)度。

優(yōu)點(diǎn)：是一種評(píng)價(jià)具有大量未知信息的系統(tǒng)的有效模型，是定性分析和定量分析相結(jié)合的綜合評(píng)價(jià)模型，該模型可以較好地解決評(píng)價(jià)指標(biāo)難以準(zhǔn)確量化和統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題，可以排除人為因素帶來(lái)的影響，使評(píng)價(jià)結(jié)果更加客觀準(zhǔn)確。整個(gè)計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，通俗易懂，易于為人們所掌握;數(shù)據(jù)不必進(jìn)行歸一化處理，可用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行直接計(jì)算，可靠性強(qiáng)；評(píng)價(jià)指標(biāo)體系可以根據(jù)具體情況增減；無(wú)需大量樣本，只要有代表性的少量樣本即可。

缺點(diǎn)：要求樣本數(shù)據(jù)且具有時(shí)間序列特性；只是對(duì)評(píng)判對(duì)象的優(yōu)劣做出鑒別，并不反映絕對(duì)水平，故基于灰色關(guān)聯(lián)分析綜合評(píng)價(jià)具有“相對(duì)評(píng)價(jià)”的全部缺點(diǎn)。

適用范圍：對(duì)樣本量沒(méi)有嚴(yán)格要求，不要求服從任何分布，適合只有少量觀測(cè)數(shù)據(jù)的問(wèn)題；應(yīng)用該種方法進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，指標(biāo)體系及權(quán)重分配是一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題，選擇的恰當(dāng)與否直接影響最終評(píng)價(jià)結(jié)果。

改進(jìn)方法：

(1) 采用組合賦權(quán)法：根據(jù)客觀賦權(quán)法和主觀賦權(quán)法綜合而得權(quán)系數(shù)。

(2) 結(jié)合TOPSIS法：不僅關(guān)注序列與正理想序列的關(guān)聯(lián)度$r^{+}$，而且關(guān)注序列與負(fù)理想序列的關(guān)聯(lián)度$r^{?}$，依據(jù)公式計(jì)算最后的關(guān)聯(lián)度$r=\frac{r^{+}}{r^{+}+r^{?}}$。

3.3 模糊綜合評(píng)價(jià)法

基本思想：是以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，應(yīng)用模糊關(guān)系合成的原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從多個(gè)因素對(duì)被評(píng)價(jià)事物隸屬等級(jí)（或稱為評(píng)語(yǔ)集）狀況進(jìn)行綜合性評(píng)價(jià)的一種方法。綜合評(píng)判對(duì)評(píng)判對(duì)象的全體，根據(jù)所給的條件，給每個(gè)對(duì)象賦予一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)評(píng)判指標(biāo)，再據(jù)此排序擇優(yōu)。

基本步驟：確定因素集、評(píng)語(yǔ)集；構(gòu)造模糊關(guān)系矩陣；確定指標(biāo)權(quán)重；進(jìn)行模糊合成和做出評(píng)價(jià)。

優(yōu)點(diǎn)：:數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，容易掌握，對(duì)多因素、多層次的復(fù)雜問(wèn)題評(píng)判效果較好。模糊評(píng)判模型不僅可對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象按綜合分值的大小進(jìn)行評(píng)價(jià)和排序，而且還可根據(jù)模糊評(píng)價(jià)集上的值按最大隸屬度原則去評(píng)定對(duì)象所屬的等級(jí)，結(jié)果包含的信息量豐富。評(píng)判逐對(duì)進(jìn)行，對(duì)被評(píng)對(duì)象有唯一的評(píng)價(jià)值，不受被評(píng)價(jià)對(duì)象所處對(duì)象集合的影響。接近于東方人的思維習(xí)慣和描述方法，因此它更適用于對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)問(wèn)題進(jìn)行評(píng)價(jià)。

缺點(diǎn)：并不能解決評(píng)價(jià)指標(biāo)間相關(guān)造成的評(píng)價(jià)信息重復(fù)問(wèn)題，隸屬函數(shù)的確定還沒(méi)有系統(tǒng)的方法，而且合成的算法也有待進(jìn)一步探討。其評(píng)價(jià)過(guò)程大量運(yùn)用了人的主觀判斷，由于各因素權(quán)重的確定帶有一定的主觀性，因此，總的來(lái)說(shuō)，模糊綜合評(píng)判是一種基于主觀信息的綜合評(píng)價(jià)方法。

應(yīng)用范圍：廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域。綜合評(píng)價(jià)結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性依賴于合理選取因素、因素的權(quán)重分配和綜合評(píng)價(jià)的合成算子等。

改進(jìn)方法：

(1) 采用組合賦權(quán)法：根據(jù)客觀賦權(quán)法和主觀賦權(quán)法綜合而得權(quán)系數(shù)。

3.4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)綜合評(píng)價(jià)法

基本思想：是一種交互式的評(píng)價(jià)方法，它可以根據(jù)用戶期望的輸出不斷修改指標(biāo)的權(quán)值，直到用戶滿意為止。因此，一般來(lái)說(shuō)，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評(píng)價(jià)方法得到的結(jié)果會(huì)更符合實(shí)際情況。

優(yōu)點(diǎn)：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自適應(yīng)能力，能對(duì)多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題給出一個(gè)客觀評(píng)價(jià)，這對(duì)于弱化權(quán)重確定中的人為因素是十分有益的。在以前的評(píng)價(jià)方法中，傳統(tǒng)的權(quán)重設(shè)計(jì)帶有很大的模糊性，同時(shí)權(quán)重確定中人為因素影響也很大。隨著時(shí)間、空間的推移，各指標(biāo)對(duì)其對(duì)應(yīng)問(wèn)題的影響程度也可能發(fā)生變化，確定的初始權(quán)重不一定符合實(shí)際情況。再者，考慮到整個(gè)分析評(píng)價(jià)是一個(gè)復(fù)雜的非線性大系統(tǒng)，必須建立權(quán)重的學(xué)習(xí)機(jī)制，這些方面正是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢(shì)所在。針對(duì)綜合評(píng)價(jià)建模過(guò)程中變量選取方法的局限性，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理可對(duì)變量進(jìn)行貢獻(xiàn)分析，進(jìn)而剔除影響不顯著和不重要的因素，以建立簡(jiǎn)化模型，可以避免主觀因素對(duì)變量選取的干擾。

缺點(diǎn)： ANN在應(yīng)用中遇到的最大問(wèn)題是不能提供解析表達(dá)式，權(quán)值不能解釋為一種回歸系數(shù)，也不能用來(lái)分析因果關(guān)系，目前還不能從理論上或從實(shí)際出發(fā)來(lái)解釋ANN的權(quán)值的意義。需要大量的訓(xùn)練樣本，精度不高，應(yīng)用范圍是有限的。最大的應(yīng)用障礙是評(píng)價(jià)算法的復(fù)雜性，人們只能借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，而這方面的商品化軟件還不夠成熟。

適用范圍：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評(píng)價(jià)模型具有自適應(yīng)能力、可容錯(cuò)性，能夠處理非線性、非局域性的大型復(fù)雜系統(tǒng)。在對(duì)學(xué)習(xí)樣本訓(xùn)練中，無(wú)需考慮輸入因子之間的權(quán)系數(shù)，ANN通過(guò)輸入值與期望值之間的誤差比較，沿原連接權(quán)自動(dòng)地進(jìn)行調(diào)節(jié)和適應(yīng)，因此該方法體現(xiàn)了因子之間的相互作用。

改進(jìn)方法：

(1) 采用組合評(píng)價(jià)法：對(duì)用其它評(píng)價(jià)方法得出的結(jié)果，選取一部分作為訓(xùn)練樣本，一部分作為待測(cè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，如此對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，知道滿足要求為止，可得到更好的效果。

3.5 數(shù)據(jù)包絡(luò)法(DEA)

3.6 組合評(píng)價(jià)法

4. 預(yù)測(cè)模型

定性研究與定量研究的結(jié)合，是科學(xué)的預(yù)測(cè)的發(fā)展趨勢(shì)。在實(shí)際預(yù)測(cè)工作中，應(yīng)該將定性預(yù)測(cè)和定量預(yù)測(cè)結(jié)合起來(lái)使用，即在對(duì)系統(tǒng)做出正確分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)定量預(yù)測(cè)得出的量化指標(biāo)，對(duì)系統(tǒng)未來(lái)走勢(shì)做出判斷。

4.1 回歸分析法

基本思想：根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，尋找自變量與因變量之間的回歸方程式，確定模型參數(shù)，據(jù)此預(yù)測(cè)。回歸問(wèn)題分為一元和多元回歸、線性和非線性回歸。

特點(diǎn)：技術(shù)比較成熟，預(yù)測(cè)過(guò)程簡(jiǎn)單；將預(yù)測(cè)對(duì)象的影響因素分解，考察各因素的變化情況，從而估計(jì)預(yù)測(cè)對(duì)象未來(lái)的數(shù)量狀態(tài)；回歸模型誤差較大，外推特性差。

適用范圍：回歸分析法一般適用于中期預(yù)測(cè)。回歸分析法要求樣本量大且要求樣本有較好的分布規(guī)律，當(dāng)預(yù)測(cè)的長(zhǎng)度大于占有的原始數(shù)據(jù)長(zhǎng)度時(shí)，采用該方法進(jìn)行預(yù)測(cè)在理論上不能保證預(yù)測(cè)結(jié)果的精度。另外，可能出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的現(xiàn)象，有時(shí)難以找到合適的回歸方程類型。

4.2 時(shí)間序列分析法

基本思想：把預(yù)測(cè)對(duì)象的歷史數(shù)據(jù)按一定的時(shí)間間隔進(jìn)行排列，構(gòu)成一個(gè)隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)序列，建立相應(yīng)的數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的變化模型，并將該模型外推到未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

適用范圍：此方法有效的前提是過(guò)去的發(fā)展模式會(huì)延續(xù)到未來(lái)，因而這種方法對(duì)短期預(yù)測(cè)效果比較好，而不適合作中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。一般來(lái)說(shuō)，若影響預(yù)測(cè)對(duì)象變化各因素不發(fā)生突變，利用時(shí)間序列分析方法能得到較好的預(yù)測(cè)結(jié)果；若這些因素發(fā)生突變，時(shí)間序列法的預(yù)測(cè)結(jié)果將受到一定的影響。

灰色預(yù)測(cè)法

基本思想：將一切隨機(jī)變量看作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色變量，不是從統(tǒng)計(jì)規(guī)律角度出發(fā)進(jìn)行大樣本分析研究，而是利用數(shù)據(jù)處理方法(數(shù)據(jù)生成與還原)，將雜亂無(wú)章的原始數(shù)據(jù)整理成規(guī)律性較強(qiáng)的生成數(shù)據(jù)來(lái)加以研究，即灰色系統(tǒng)理論建立的不是原始數(shù)據(jù)模型，而是生成數(shù)據(jù)模型。

適用范圍：預(yù)測(cè)模型是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，如果待測(cè)量是以某一指數(shù)規(guī)律發(fā)展的，則可望得到較高精度的預(yù)測(cè)結(jié)果。影響模型預(yù)測(cè)精度及其適應(yīng)性的關(guān)鍵因素，是模型中背景值的構(gòu)造及預(yù)測(cè)公式中初值的選取。

4.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論有表示任意非線性關(guān)系和學(xué)習(xí)等的能力，給解決很多具有復(fù)雜的不確定性和時(shí)變性的實(shí)際問(wèn)題提供了新思想和新方法。

利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)功能，用大量樣本對(duì)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，調(diào)整其連接權(quán)值和閉值，然后可以利用已確定的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能從數(shù)據(jù)樣本中自動(dòng)地學(xué)習(xí)以前的經(jīng)驗(yàn)而無(wú)需繁復(fù)的查詢和表述過(guò)程，并自動(dòng)地逼近那些最佳刻畫了樣本數(shù)據(jù)規(guī)律的函數(shù)，而不論這些函數(shù)具有怎樣的形式，且所考慮的系統(tǒng)表現(xiàn)的函數(shù)形式越復(fù)雜，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這種特性的作用就越明顯。

誤差反向傳播算法(BP算法)的基本思想是通過(guò)網(wǎng)絡(luò)誤差的反向傳播，調(diào)整和修改網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值和閉值，使誤差達(dá)到最小，其學(xué)習(xí)過(guò)程包括前向計(jì)算和誤差反向傳播。它利用一個(gè)簡(jiǎn)單的三層人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，就能實(shí)現(xiàn)從輸入到輸出之間任何復(fù)雜的非線性映射關(guān)系。目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型已成功地應(yīng)用于許多領(lǐng)域，諸如經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、財(cái)政分析、貸款抵押評(píng)估和破產(chǎn)預(yù)測(cè)等許多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。

優(yōu)點(diǎn)：可以在不同程度和層次上模仿人腦神經(jīng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及信息處理和檢索等功能，對(duì)大量非結(jié)構(gòu)性、非精確性規(guī)律具有極強(qiáng)的自適應(yīng)功能，具有信息記憶、自主學(xué)習(xí)、知識(shí)推理和優(yōu)化計(jì)算等特點(diǎn)，其自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)功能是常規(guī)算法和專家系統(tǒng)技術(shù)所不具備的，同時(shí)在一定程度上克服了由于隨機(jī)性和非定量因素而難以用數(shù)學(xué)公式嚴(yán)密表達(dá)的困難。

缺點(diǎn)：網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)確定困難，同時(shí)要求有足夠多的歷史數(shù)據(jù)，樣本選擇困難，算法復(fù)雜，容易陷入局部極小點(diǎn)。

4.4 支持向量機(jī)法

支持向量機(jī)是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，通過(guò)尋求結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)化最小，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和置信范圍的最小，從而達(dá)到在統(tǒng)計(jì)樣本較少的情況下，亦能獲得良好統(tǒng)計(jì)規(guī)律的目的。

其中支持向量機(jī)是統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的核心和重點(diǎn)。支持向量機(jī)是結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理的近似，它能夠提高學(xué)習(xí)機(jī)的泛化能力，既能夠由有限的訓(xùn)練樣本得到小的誤差，又能夠保證對(duì)獨(dú)立的測(cè)試集仍保持小的誤差，而且支持向量機(jī)算法是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，因此局部最優(yōu)解一定是全局最優(yōu)解，支持向量機(jī)就克服了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢和局部極小點(diǎn)等缺陷。

核函數(shù)的選取在SVM方法中是一個(gè)較為困難的問(wèn)題，至今沒(méi)有一定的理論方面的指導(dǎo)。

4.5 組合預(yù)測(cè)法

在實(shí)際預(yù)測(cè)工作中，從信息利用的角度來(lái)說(shuō)，就是任何一種單一預(yù)測(cè)方法都只利用了部分有用信息，同時(shí)也拋棄了其它有用的信息。為了充分發(fā)揮各預(yù)測(cè)模型的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于同一預(yù)測(cè)問(wèn)題，往往可以采用多種預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。不同的預(yù)測(cè)方法往往能提供不同的有用信息，組合預(yù)測(cè)將不同預(yù)測(cè)模型按一定方式進(jìn)行綜合。根據(jù)組合定理，各種預(yù)測(cè)方法通過(guò)組合可以盡可能利用全部的信息，盡可能地提高預(yù)測(cè)精度，達(dá)到改善預(yù)測(cè)性能的目的。

優(yōu)化組合預(yù)測(cè)有兩類概念，一是指將幾種預(yù)測(cè)方法所得的預(yù)測(cè)結(jié)果，選取適當(dāng)?shù)臋?quán)重進(jìn)行加權(quán)平均的一種預(yù)測(cè)方法，其關(guān)鍵是確定各個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的加權(quán)系數(shù)；二是指在幾種預(yù)測(cè)方法中進(jìn)行比較，選擇擬合度最佳或標(biāo)準(zhǔn)離差最小的預(yù)測(cè)模型作為最優(yōu)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。組合預(yù)測(cè)是在單個(gè)預(yù)測(cè)模型不能完全正確地描述預(yù)測(cè)量的變化規(guī)律時(shí)發(fā)揮其作用的。

后記

作者:吳翔
原文鏈接
首次參加數(shù)模，主要熟悉了數(shù)模的基本模型。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模总结:四类基本模型的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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